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湖北省巴东一中高中数学 2.4正态分布教案 新人教版选修2-3


§2.4 正态分布
教学目标: 知识与技能:掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。 过程与方法:结合正态曲线,加深对正态密度函数的理理。 情感、态度与价值观:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质 。 教学重点:正态分布曲线的性质、标准正态曲线 N(0,1) 。 教学难点:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质。 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教学过程

: 一、复习引入: 总体密度曲线:样本容量越大, 所分组数越多, 各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率. 设 想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲 线叫做总体密度曲线.
频率/组距

总体密度曲线

单位
O

a

b

它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b)内取值的概率等 于总体密度曲线,直线 x=a,x=b 及 x 轴所围图形的面积. 观 察 总 体 密 度 曲 线 的 形状 , 它 具 有 “ 两 头 低 ,中 间 高 , 左 右 对 称 ” 的特 征 , 具 有 这 种 特征 的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示:
? 1 ?? ,? ( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

, x ? (??, ??)

式 中 的 实 数 ? 、 ? (? ? 0) 是 参 数 , 分 别 表 示 总 体 的 平 均 数 与 标 准 差 , ?? ,? ( x) 的 图 象 为 正 态 分 布 密度曲线 , 简称正态曲线. 二、讲解新课: 1、一般地,如果对于任何实数 a ? b ,随机变量 X 满足

P(a ? X ? B) ? ? ?? ,? ( x)dx ,
a

b

则 称 X 的 分 布 为 正 态 分 布 ( normal distribution ) .正态分布完全由参数 ? 和 ? 确定,因此 正态分布常记作 N (?, ? ) .如果随机变量 X 服从正态分
2

布,则记为 X~ N (?, ? ) .
2

1

经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从 或近似服从正态分布.例如,高尔顿板试验中,小球在下落过 程中要与众多小木块发生碰撞, 每次碰撞的结果使得小球随机 地向左或向右下落, 因此小球第 1 次与高尔顿板底部接触时的 坐标 X 是众多随机碰撞的结果, 所以它近似服从正态分布. 在 现实生活中, 很多随机变量都服从或近似地服从正态分布. 例 如长度测量误差;某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量 等;一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等; 正常生产条件下各种产品的质量指标 (如零件的尺寸、 纤维的 纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等) ;某地每年七 月份的平均气温、平均湿度、降雨量等;一般都服从正态分 布.因此,正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之 中.正态分布在概率和统计中占有重要的地位. 2.正态分布 N (?, ? 2 ) )是由均值μ 和标准差σ 唯一决定的分布 通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响
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3.通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作 图,书中没有做要求,教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板,形象、美观地画出三条正态曲线 的图形,结合前面均值与标准差对图形的影响,引导学生观察总结正态曲线的性质
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4.正态曲线的性质: (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交 (2)曲线关于直线 x=μ 对称 (3)当 x=μ 时,曲线位于最高点 (4)当 x<μ 时,曲线上升(增函数) ;当 x>μ 时,曲线下降(减函数) 并且当曲线向左、右两边 无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近 (5)μ 一定时,曲线的形状由σ 确定 σ 越大,曲线越“矮胖” ,总体分布越分散; σ 越小.曲线越“瘦高” .总体分布越集中: 五条性质中前三条学生较易掌握,后两条较难理解,因此在讲授时应运用数形结合的原则,采用对比 教学
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5. 标准正态曲线:当μ =0、 σ =l 时, 正态总体称为标准正态总体, 其相应的函数表示式是 f ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2



(-∞<x<+∞) 其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成 标准正态分布的概率问题
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三、讲解范例: 例 1.给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值μ 和标准差σ (1) f ( x) ?

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1 2? 1

e

?

x2 2

, x ? (??,??)

(2) f ( x) ?

2 2?

e

?

( x ?1) 2 8

, x ? (??,??)

(3) f ( x) ?

2 ?2( x ?1)2 e , x ? (??, ??) 2?

答案:(1)0,1;(2)1,2;(3)-1,0.5 例 2 求标准正态总体在( -1 , 2 )内取值的概率. 解:利用等式 p ? ?( x2 ) ? ?( x1 ) 有

p ? ?(2) ? ?(?1) ? ?(2) ? ? 1 ? ??? ?? 1

?? ?

= ?(2) ? ?(1) ? 1 =0.9772 + 0.8413 - 1=0.8151 .

四、课后作业: 习题 2. 4 A 组 1 , 2 B 组 1 , 2
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五、教学反思: 1. 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增 大时,频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线,总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体 密度曲线的相关知识较为抽象,学生不易理解,因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破 口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布
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