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第3章课件2


第二节 洛必达法则
0 ? 一、 型、 型未定式 0 ?
定义 如果当 x ? a ( x ? ? ) 时, 函数 f (x)、 F (x)都趋于零 或都趋于无穷大, f ( x) 0 ? 称极限 lim 为 或 型未定式。 x?a F ( x ) 0 ?
( x ?? )

tan x 0 ,( ) 例如, lim x ?0 x

0

ln sin ax ? lim ,( ) x ? 0 ln sin bx ?
?

洛必达法则1:
设(1) 当 x ? a时 ,函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零 ;

( 2) 在 a 点的某去心邻域内 , f ?( x )及 F ?( x ) 都存在且 F ?( x ) ? 0; f ?( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大 ); x ? a F ?( x ) f ( x) f ?( x ) 那么 lim ? lim . x?a F ( x ) x ? a F ?( x )
? f ( x ), 证 设 f1 ( x ) ? ? ? 0, x?a ? F ( x ), , F1 ( x ) ? ? x?a ? 0, x?a , x?a

在 U 0 (a , ? ) 内任取一点 x ,

在以 a 与 x 为端点的区间上 ,

a

?

x

a??

f1 ( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条 件, 则有
f ( x ) f1 ( x ) ? f1 ( a ) f 1?( ? ) f ?( ? ) ? ? ? (?在x与a之间) F ( x ) F1 ( x ) ? F1 (a ) F1?( ? ) F ?( ? )

当x ? a时,? ? a ,
f ?(? ) ? lim ? A, ? ? a F ?(? )

f ?( x ) ? lim ? A, x ? a F ?( x )
f ( x) f ?(? ) ? lim ? lim ? A. x ?a F ( x ) ? ? a F ?(? )

x ?x tan x e ? e 例1 求 (1) lim . ( 2) lim x ?0 x x ? 0 sin x x ? sin x ( 3) lim x ?0 x3 2 sec x ? (tan x ) ? 1. ? lim 解 (1)原式 ? lim x ?0 x ? 0 ( x )? 1

(e x ? e ? x )? e x ? e? x ( 2)原式 ? lim ? lim =2 x ?1 (sin x )? x ?1 cos x ( x ? sin x )? 1 ? cos x 1 ( 3)原式 ? lim ? lim ? 3 2 x ?0 x ?0 ( x )? 3x 6

洛必达法则 1: 洛必达法则 2: 都是无穷大 设(1) 当 x ? a时 ,函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零 ;
( 2) 在 a 点的某去心邻域内 , f ?( x )及 F ?( x ) 都存在且 F ?( x ) ? 0; f ?( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大 ); x ? a F ?( x ) f ( x) f ?( x ) 那么 lim ? lim . x?a F ( x ) x ? a F ?( x )

ln sin ax . 例2 (1) lim x ? 0 ln sin bx
?

tan x ( 2) lim . ? x ? tan 3 x
2

? (ln sin ax ) 解 (1) 原式= lim ? lim x ? 0 (ln sin bx )? x ?0
?

(sin ax )? sin ax (sin bx )? sin bx

?

a cos ax ? sin bx a ? cos bx ? bx ? lim ? lim x ? 0 b cos bx ? sin ax x ? 0 b ? cos ax ? ax
? ?

cos bx ? lim ? 1. x ? 0 cos ax
?

tan x (tan x )? ( 2) lim ? lim ? ? x ? tan 3 x x ? (tan 3 x )?
2 2

sec2 x 1 cos 2 3 x ? lim ? lim 2 ? 3 sec 2 3 x ? 3 cos x x? x?
2 2

1 ? 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x ? lim ? lim ? 3. ? ? 3 x ? ? 2 cos x sin x x ? sin 2 x
2 2

ln x 例3 求极限 lim ? (? ? 0) x ? ?? x 1 1 ln x x ? lim 解: lim ? ? lim =0 ? ? ?1 x ? ?? ? x x ? ?? x x ? ?? ? x

x? 例4 求极限 lim x x ? ?? a

(? ? 0, a ? 1)

解:因为 ? ? 0 ? 必存在自然数 k , 使k ? 1 ? ? ? k
?? 2 x? ? x ? ?1 ?(? ? 1) x lim x ? lim x ? lim x ? ?? a x ? ?? a ln a x ? ?? a x ln 2 a

?(? ? 1) ? ? ? [? ? ( k ? 1)] ? lim x ? ?? x k ? ? a x ln k ?1 a

=0

x ? ?? 时 , x ?是 ln x的高阶无穷大, (? ? 0, a ? 1) a x是x ?的高阶无穷大 .

练习题
tan x ? 1 1 sin x ? x cos x 1 求极限 : (1) lim ? ( 2) lim ? sin 4 x x ?0 2 x sin 2 x 3 x? ln sin x ( 3) lim x ?0 ln x
?

4

1

tan x ? x (4) lim 2 x ? 0 x tan x

sin x ? x cos x ( 2)原式 ? lim x ?0 x3 cos x ? (cos x ? x sin x ) sin x 1 ? lim ? lim ? 2 x ?0 x ?0 3 x 3x 3

sec2 x ? 1 tan x ? x ? lim (4)原式 ? lim 2 3 x ? 0 x ?0 3 x x tan 2 x 1 ? . ? lim 2 x ?0 3 x 3 x ? sin 2 x (5) lim 2 x ? ?? 2 x ? sin x 0 ? 注意: (1)使用洛必达法则,必须 检验是否为 或 型 0 ? f ?( x ) f ( x) ( 2)当 lim 不存在时,不能断言 lim 不存在 g ?( x ) g( x )

二、其它未定式

1. 0 ? ? 型
1 1 步骤: 0 ? ? ? ? ? , 或 0 ? ? ? 0 ? . 0 ? ? 例5 lim x ( ? arctan x ). ( 0 ? ? ) x ? ?? 2 1 ? ? ? arctan x 2 1 ? x 2 解 (1) lim ? lim x ? ?? 1 x ? ?? 1 ? 2 x x x2 ? lim ? 1. x ? ?? 1 ? x 2

2. ? ? ? 型
1 1 0?0 步骤: ? ? ? ? ? ? . 0 0 0?0
例6
1 1 求 lim( ? ). x ? 0 sin x x

(???)

x ? sin x x ? sin x ? lim 解 原式 ? lim x ? 0 x ? sin x x ?0 x2 1 2 x 1 ? cos x ? 0. ? lim ? lim 2 x ?0 x ?0 2 x 2x

3. 0 ,1 , ? 型
0 0

?

步骤: 例7 解

取对数 ? 0 ? ? .
求 lim? x x . ( 00 )
x ?0

原式 ? lim? e
x ?0

x ln x

?e

x ?0?

lim x ln x

?e

ln x lim x ?0? 1 x

?e

1 lim x 1 x ?0? ? 2 x

? e 0 ? 1.

例8 求 lim (sin x )tan x .
? x? 2

(1 )

?



设 y ? (sin x )tan x . 则 lny ? tan x ln sin x

ln sin x ? lim lny ? lim tan x ln sin x ? lim ? cot x ? ? x? x? x? 2 2 2 cos x sin x ? lim ? ? lim cos x sin x ? 0 2 ? ? csc x ? x? x?
2

2

? lim (sin x )tan x ? lim e ln y ? lim e 0 ? 1
x? ? 2 x? ? 2 x? ? 2

a x ? bx ? cx 1 例9 求 lim( )x ( a ? 0, b ? 0, c ? 0 ) x ?0 3 a x ? bx ? cx 1 解 设 y?( )x 3 1 a x ? bx ? cx ln( a x ? b x ? c x ) ? ln 3 设 ln y ? ln ? x 3 3x ln( a x ? b x ? c x ) ? ln 3 ? lim lny ? lim x ?0 x ?0 3x (a x ? b x ? c x )? a x ln a ? b x ln b ? c x ln c ? lim ? lim x x x x ? 0 3( a ? b ? c ) x ?0 3(a x ? b x ? c x )
x x x 1 1 a ? b ? c ? ln abc ? lim( ) x ? lim e ln y ? 3 abc x ?0 3 x ?0 3

例10 求 lim? (cot x )
x ?0

1 ln x

.

( ?0 )
?e
1 ?ln(cot x ) ln x

解 取对数得 (cot x )

1 ln x

,

1 1 ? ? 2 1 ? lim? ? ln(cot x ) ? lim? cot x sin x 1 x ?0 x ? 0 ln x x ?x ? lim? ?1 ? ?1, ? 原式 ? e . x ? 0 cos x ? sin x

练习 求极限 (1) lim (sec x ? tan x ). 0 ?
x? 2 tan 2 x

( 2) lim (tan x )
? x? 4 1 1? x

.

-1
e ?1

( 3) lim x
x ?1

.

三、小结
洛必达法则
???型
f ?g? 1 g ?1 f 1 g ?1 f

0 0 ,1 ? , ? 0 型
0 型 0 ? 型 ?
令y ? f 取对数
g

0?? 型
f ?g? f 1g


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