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浅谈中学数学中的最值问题


淮南师范学院 2009 届本科毕业论文

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浅谈中学数学中最值的求解
学生:朱芳芳 指导老师:轩明辉 淮南师范学院数学与计算科学系

摘 要:本文对中学数学阶段里的最值的求解进行一些回顾、分析。解题思想方法主要有:利用 三角函数的性质求最值、转化为二次函数求最值、用换元法求最值、利用数形结合法求最值等。 关

键词:最值问题;求解;解题方法

Discuss the value of the solution in Primary Mathematics
Student :Zhu Fangfang Instructor:Xuan Minghui Department of Mathematics and Computational Science,Huainan Normal University
Abstract: This paper conducted a review and analysis on the methods to obtain the max and min of a function. The methods are : employing trigonometric function, transferring the function to be solved to quadratic function, substituting, and employing the combination of number and form, etc. Key words: the max and min of a function; solutions; Solution approach

前言 最值问题是一类特殊的数学问题,它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛 的应用,而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置,是历年高考重点考查的知 识点之一,也是近几年数学竞赛中的常见题型。近年来,高考试题越来越注重对思 维能力的考查。其中,最值问题便是一种典型的考查能力的题型。最值问题起源于 函数,贯穿于高中数学的各个知识模块中,对最值问题的求解一直以来都是高中数

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学的重点,难点。在高考中,它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等 式及某些几何知识紧密联系,并以一些基础题,小综合的中档题或一些难题的形式 出现。由于其解法灵活,综合性强,能力要求高,故而解决这类问题,要掌握各数 学分支知识,能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法。 本文就中学数学阶段里的最值的求解进行一些回顾、分析。解题思想方法主要 有:利用三角函数的性质求最值、转化为二次函数求最值、用换元法求最值、利用 数形结合法求最值等。 1 利用三角函数的性质求最值 型或含型 求此型函数的最值问题,用三角换元法的思维视角是公式: 简称弦函数换元。 例 1 求的最小值 解:先求定义域由得 由于
所以

故可设,则 则 其中 ∴当,即时, 显然,当,即时,. 例 2 的最值 解:先求定义域由得 设, 则 其中 ∴当,即, 显然,当,即时, 含型

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求此型函数的最值问题,用三角换元法的思维视角是公式:简称割函数换元或切 函数换元。 例 3 求的最小值 解:先求定义域由得 设, 则 ∴当,即时, 如果给定函数,经变形后能转化成:或(、是常数)的形式,则由或 可知:当或时, (设) 当或时, (设) 例4 求函数的最大值 解:∵

当时, 而当时, 即: 所以,当时, 2 转化为二次函数求最值 利用二次函数求最值,可分为: 2.1 无条件的二次函数的最值(自变量没有限制) 若,当时, 若,当时, 例 1 求的最值 解:

∴当时,

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当时, 2.2 有条件的二次函数的最值(自变量没有限制),由于没有限制,所以不一定 成立,故此时的最大值(或最小)不一定是。 例2 若方程的两实数根为、 ,求的最小值(是与无关的实数) 解:由韦达定理 ∴ ∵方程有实数根
∴即

∴,或 ∵ ∴时,有最小值是2 2.3 利用配方法主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数,然后利用二次函 数的性质求出最值。 例3 求函数的最值 解:

∴当时, (没有最小值) 2.4 利用三角变换转化为二次函数求最值 例4的三个内角为、,求当为何值时,取得最大值,并求出这个最大值 、 解:由,得, 所以有, 则

当,即时, 取得最大值 3 利用换元法求最值问题 换元法主要有代数换元和三角换元,用换元法时一定要注意中间变量的取值范

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围。 3.1 代数换元法 例1 求函数的最值 解:令, 则可化为 此方程在上有解的充要条件是:或 可解的 ∴, 例 2 正数满足,其中为不相等的正常数,求的最小值 解:令 则 当且仅当, 即时上式取等号. 故 3.2 三角换元法 例 3 求函数的最值 解:由可得 即给定函数的定义域为: 于是令 , 则给定函数可变形为:




又在是增函数,所以其最值在端点处取得当时 所以 当时 换元的目的,是把给定的复杂函数转化为简单函数,从而容易求其最值。 4 利用数形结合法求最值

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几何图形是研究函数性质的一个重要辅助工具,它直观地反映了函数本身的特 性, 使函数式形象化。 诸多的数学问题都隐含着“ 形” 的信息, 若能充分利用 这个“ 形” 把复杂的数学问题变为简单的几何问题, 便可使问题简捷获解。 例1 如图1,若点在直线的图象上(为边之长, 为斜边) ,求的最小值 解:点到直线的距离为

所以 例2求函数的最小值 解:将原函数化为 如图, 问题变为在轴上求一点,使它到两定点,距离之和最小,利用对称关系,求出 关于轴的对称点,故

例3求函数的最值 解:将函数式化为
令, ,

问题变为直线与单位圆有公共点,如图所示, 由直线的距离公式有 解得,所以 , 例4 已知曲线:的中心平行于轴的直线交曲线于、两点,求面积的最大值 解:将原方程配方得 令, , 在新坐标系中的方程为, 设直线方程为,代入方程得: ∴ ∴

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而到的距离为


当且仅当,即时,等号成立。 ∴当直线方程为时,最大值为1。 5 利用单调法求最值 当自变量的取值范围为一区间时,常用单调性法来求函数的最值。若函数在整 个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。 若函数在整个区间 上不是单调的 ,则把该区间分成各个小区间,使得函数在每一个区间上是单调的, 再求出各个小区间上的最值,从而可以得到整个区间上的最值。 例1 求函数的最大值和最小值 解:先求定义域,由得 又∵, 故当,且增加时,增大,而减小.于是是随着的增大而减小,即在区间上是减函数,所 以 , 例2 求函数,的最大值和最大值 解:∵∴, 令,.当时,有 ∴在上是减函数,因此, ∴, 有些函数是单调的,所以其最值应在定义域的“端点”处取得。有些函数的最 值问题,常常转化成“型”的函数最值问题。可应用的单调性去求最值。 的单调性是: 在上是减函数,在上是增函数; 在上是增函数,在上是增函数。 例3 求函数的最小值 解:∵、都是的增函数,所以是的增函数. 又∵,∴,由于是的增函数,

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所以的最值在函数定义域时的“最小端点”处取得. 再如是增函数, 其最小值在“最小端点”处取得,最大值在“最大端点”处取得. 例4求函数的最小值 误解: ∴、


即: 分析:忽略了无解 正确解法:令则 ∵是增函数 ∴当时,取得最小值 6 利用导数法求最值 设函数在上连续,在上可导,则在上的最大值和最小值为在内的各极值与,中 的最大值与最小值。 要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值, 通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。 例 1 求函数,的最大值和最小值 解:,令,方程无解.


∴函数在上是增函数. 故当时,, 当时, 例 2 求函数在上的最大值和最小值 解: 令得驻点为, , 它们为的可能的极值点,算出这些点及区间端点处的函数值: ,, ,

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将它们加以比较,可知在上 函数的最大值为,最小值为 例 3 求数列的最大项 解: 设,则 令,则得 又∵ , 将,及加以比较,得的最大值为 ∴数列的最大项为第项,这一项的值为

小结: 以上就是本文整理出的有关于求函数最值问题的几种基本解法。 当然解代数最 值问题的方法不止这些,例如:判别式法,单调性法,配方法,导数法等等。这里只是 对求最值问题的方法作部分的归纳,具体的方法还有待大家去进一步的发现和总结。 由于最值问题的解题方法的灵活多样性,所以教师在对最值问题的教学活动中,应重 视思想方法的渗透,把建构和发展学生数学思维作为教学活动的一项重要任务。

致谢 在本人毕业论文完成之际,我要真诚的感谢我的指导老师轩明辉老师,感谢他 在百忙之中帮我纠正论文的书写格式及内容;感谢他认真的指导与耐心的讲解。 此外, 我还要感谢我的同学从繁忙的事物中抽出时间帮我查找资料, 检查论文,我郑重的向 他们说声: “谢谢” 。

参考文献: [1] 庞佑庸. [2] 王晓东. [3] 戴保尔. [4] 梁国强. [5] 蔡广军.

求最值的几种方法[J].达县师范高等专科学校学报, 2002,12: 12-14. 求函数最值的几种方法[J].内江科技, 2008,1: 20-23. 初等方法求解函数最值问题 [J].科技资讯, 2008,20: 15-18. 数形结合在最值问题中的应用[J].黔东南民族师专学报, 2001,19: 5-7. 高考试题中的最值问题的解题策略[J].数学, 2008,9: 21-24.

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[6] 武增明. 用三角换元法求无理函数最值问题的思维视角[J].中学数学, 2008,11: 8-10. [7] 王悦琴. 用换元—数形结合法求三角函数最值[J].甘肃教育, 2008,19: 17-19. [8] 颜远雪. 浅谈求函数最值问题的方法[J].中学生数学, 2008,18: 22-25.


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