nbhkdz.com冰点文库

浅谈中学数学中的最值问题


淮南师范学院 2009 届本科毕业论文

1

浅谈中学数学中最值的求解
学生:朱芳芳 指导老师:轩明辉 淮南师范学院数学与计算科学系

摘 要:本文对中学数学阶段里的最值的求解进行一些回顾、分析。解题思想方法主要有:利用 三角函数的性质求最值、转化为二次函数求最值、用换元法求最值、利用数形结合法求最值等。 关

键词:最值问题;求解;解题方法

Discuss the value of the solution in Primary Mathematics
Student :Zhu Fangfang Instructor:Xuan Minghui Department of Mathematics and Computational Science,Huainan Normal University
Abstract: This paper conducted a review and analysis on the methods to obtain the max and min of a function. The methods are : employing trigonometric function, transferring the function to be solved to quadratic function, substituting, and employing the combination of number and form, etc. Key words: the max and min of a function; solutions; Solution approach

前言 最值问题是一类特殊的数学问题,它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛 的应用,而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置,是历年高考重点考查的知 识点之一,也是近几年数学竞赛中的常见题型。近年来,高考试题越来越注重对思 维能力的考查。其中,最值问题便是一种典型的考查能力的题型。最值问题起源于 函数,贯穿于高中数学的各个知识模块中,对最值问题的求解一直以来都是高中数

浅谈中学数学中最值的求解

2

学的重点,难点。在高考中,它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等 式及某些几何知识紧密联系,并以一些基础题,小综合的中档题或一些难题的形式 出现。由于其解法灵活,综合性强,能力要求高,故而解决这类问题,要掌握各数 学分支知识,能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法。 本文就中学数学阶段里的最值的求解进行一些回顾、分析。解题思想方法主要 有:利用三角函数的性质求最值、转化为二次函数求最值、用换元法求最值、利用 数形结合法求最值等。 1 利用三角函数的性质求最值 型或含型 求此型函数的最值问题,用三角换元法的思维视角是公式: 简称弦函数换元。 例 1 求的最小值 解:先求定义域由得 由于
所以

故可设,则 则 其中 ∴当,即时, 显然,当,即时,. 例 2 的最值 解:先求定义域由得 设, 则 其中 ∴当,即, 显然,当,即时, 含型

淮南师范学院 2009 届本科毕业论文

3

求此型函数的最值问题,用三角换元法的思维视角是公式:简称割函数换元或切 函数换元。 例 3 求的最小值 解:先求定义域由得 设, 则 ∴当,即时, 如果给定函数,经变形后能转化成:或(、是常数)的形式,则由或 可知:当或时, (设) 当或时, (设) 例4 求函数的最大值 解:∵

当时, 而当时, 即: 所以,当时, 2 转化为二次函数求最值 利用二次函数求最值,可分为: 2.1 无条件的二次函数的最值(自变量没有限制) 若,当时, 若,当时, 例 1 求的最值 解:

∴当时,

浅谈中学数学中最值的求解

4

当时, 2.2 有条件的二次函数的最值(自变量没有限制),由于没有限制,所以不一定 成立,故此时的最大值(或最小)不一定是。 例2 若方程的两实数根为、 ,求的最小值(是与无关的实数) 解:由韦达定理 ∴ ∵方程有实数根
∴即

∴,或 ∵ ∴时,有最小值是2 2.3 利用配方法主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数,然后利用二次函 数的性质求出最值。 例3 求函数的最值 解:

∴当时, (没有最小值) 2.4 利用三角变换转化为二次函数求最值 例4的三个内角为、,求当为何值时,取得最大值,并求出这个最大值 、 解:由,得, 所以有, 则

当,即时, 取得最大值 3 利用换元法求最值问题 换元法主要有代数换元和三角换元,用换元法时一定要注意中间变量的取值范

淮南师范学院 2009 届本科毕业论文

5

围。 3.1 代数换元法 例1 求函数的最值 解:令, 则可化为 此方程在上有解的充要条件是:或 可解的 ∴, 例 2 正数满足,其中为不相等的正常数,求的最小值 解:令 则 当且仅当, 即时上式取等号. 故 3.2 三角换元法 例 3 求函数的最值 解:由可得 即给定函数的定义域为: 于是令 , 则给定函数可变形为:




又在是增函数,所以其最值在端点处取得当时 所以 当时 换元的目的,是把给定的复杂函数转化为简单函数,从而容易求其最值。 4 利用数形结合法求最值

浅谈中学数学中最值的求解

6

几何图形是研究函数性质的一个重要辅助工具,它直观地反映了函数本身的特 性, 使函数式形象化。 诸多的数学问题都隐含着“ 形” 的信息, 若能充分利用 这个“ 形” 把复杂的数学问题变为简单的几何问题, 便可使问题简捷获解。 例1 如图1,若点在直线的图象上(为边之长, 为斜边) ,求的最小值 解:点到直线的距离为

所以 例2求函数的最小值 解:将原函数化为 如图, 问题变为在轴上求一点,使它到两定点,距离之和最小,利用对称关系,求出 关于轴的对称点,故

例3求函数的最值 解:将函数式化为
令, ,

问题变为直线与单位圆有公共点,如图所示, 由直线的距离公式有 解得,所以 , 例4 已知曲线:的中心平行于轴的直线交曲线于、两点,求面积的最大值 解:将原方程配方得 令, , 在新坐标系中的方程为, 设直线方程为,代入方程得: ∴ ∴

淮南师范学院 2009 届本科毕业论文

7

而到的距离为


当且仅当,即时,等号成立。 ∴当直线方程为时,最大值为1。 5 利用单调法求最值 当自变量的取值范围为一区间时,常用单调性法来求函数的最值。若函数在整 个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。 若函数在整个区间 上不是单调的 ,则把该区间分成各个小区间,使得函数在每一个区间上是单调的, 再求出各个小区间上的最值,从而可以得到整个区间上的最值。 例1 求函数的最大值和最小值 解:先求定义域,由得 又∵, 故当,且增加时,增大,而减小.于是是随着的增大而减小,即在区间上是减函数,所 以 , 例2 求函数,的最大值和最大值 解:∵∴, 令,.当时,有 ∴在上是减函数,因此, ∴, 有些函数是单调的,所以其最值应在定义域的“端点”处取得。有些函数的最 值问题,常常转化成“型”的函数最值问题。可应用的单调性去求最值。 的单调性是: 在上是减函数,在上是增函数; 在上是增函数,在上是增函数。 例3 求函数的最小值 解:∵、都是的增函数,所以是的增函数. 又∵,∴,由于是的增函数,

浅谈中学数学中最值的求解

8

所以的最值在函数定义域时的“最小端点”处取得. 再如是增函数, 其最小值在“最小端点”处取得,最大值在“最大端点”处取得. 例4求函数的最小值 误解: ∴、


即: 分析:忽略了无解 正确解法:令则 ∵是增函数 ∴当时,取得最小值 6 利用导数法求最值 设函数在上连续,在上可导,则在上的最大值和最小值为在内的各极值与,中 的最大值与最小值。 要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值, 通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。 例 1 求函数,的最大值和最小值 解:,令,方程无解.


∴函数在上是增函数. 故当时,, 当时, 例 2 求函数在上的最大值和最小值 解: 令得驻点为, , 它们为的可能的极值点,算出这些点及区间端点处的函数值: ,, ,

淮南师范学院 2009 届本科毕业论文

9

将它们加以比较,可知在上 函数的最大值为,最小值为 例 3 求数列的最大项 解: 设,则 令,则得 又∵ , 将,及加以比较,得的最大值为 ∴数列的最大项为第项,这一项的值为

小结: 以上就是本文整理出的有关于求函数最值问题的几种基本解法。 当然解代数最 值问题的方法不止这些,例如:判别式法,单调性法,配方法,导数法等等。这里只是 对求最值问题的方法作部分的归纳,具体的方法还有待大家去进一步的发现和总结。 由于最值问题的解题方法的灵活多样性,所以教师在对最值问题的教学活动中,应重 视思想方法的渗透,把建构和发展学生数学思维作为教学活动的一项重要任务。

致谢 在本人毕业论文完成之际,我要真诚的感谢我的指导老师轩明辉老师,感谢他 在百忙之中帮我纠正论文的书写格式及内容;感谢他认真的指导与耐心的讲解。 此外, 我还要感谢我的同学从繁忙的事物中抽出时间帮我查找资料, 检查论文,我郑重的向 他们说声: “谢谢” 。

参考文献: [1] 庞佑庸. [2] 王晓东. [3] 戴保尔. [4] 梁国强. [5] 蔡广军.

求最值的几种方法[J].达县师范高等专科学校学报, 2002,12: 12-14. 求函数最值的几种方法[J].内江科技, 2008,1: 20-23. 初等方法求解函数最值问题 [J].科技资讯, 2008,20: 15-18. 数形结合在最值问题中的应用[J].黔东南民族师专学报, 2001,19: 5-7. 高考试题中的最值问题的解题策略[J].数学, 2008,9: 21-24.

浅谈中学数学中最值的求解

10

[6] 武增明. 用三角换元法求无理函数最值问题的思维视角[J].中学数学, 2008,11: 8-10. [7] 王悦琴. 用换元—数形结合法求三角函数最值[J].甘肃教育, 2008,19: 17-19. [8] 颜远雪. 浅谈求函数最值问题的方法[J].中学生数学, 2008,18: 22-25.


(冯大磊)浅谈中学数学中的最值问题

15 第 2 页共 15 页 浅谈中学数学中的最值问题冯大磊摘 要:在中学数学里,尤其是高中数学,最值问题已经融入到数学的各个知识板 块,并且频繁出现,从近几年的...

中学数学的最值问题

中学数学的最值问题 最值问题是历年高考的热点,也是学生学习的难点。对于中学...浅谈中学数学中的最值问... 暂无评价 10页 3下载券 例谈中学数学中的最值...

中学数学的最值问题

中学数学的最值问题 最值问题是历年高考的热点,也是学生学习的难点。对于中学...浅谈中学数学中的最值问... 暂无评价 10页 3下载券 中学数学最值题的常用...

中学数学的最值问题

中学数学的最值问题 最值问题是历年高考的热点,也是学生学习的难点。对于中学...浅谈中学数学中的最值问... 暂无评价 10页 3下载券 中学数学最值题的常用解...

中学数学的最值问题

中学数学的最值问题 最值问题是历年高考的热点,也是学生学习的难点。对于中学...浅谈中学数学中的最值问... 暂无评价 10页 3下载券 中学数学最值题的常用解...

中学数学的最值问题

中学数学的最值问题 最值问题是历年高考的热点,也是学生学习的难点。对于中学...浅谈中学数学中的最值问... 暂无评价 10页 3下载券 中学数学最值题的常用...

毕业论文——高中数学常见最值问题及解题策略

25 1 引言最值问题是人们在生产和日常生活最为普遍的一种数学问题, 它的应用性和实用 性非常广泛,无是在生产实践中还是在科学研究领域我们都会遇到一些关于...

中学数学中的最值问题

中学数学中的最值问题_数学_高中教育_教育专区。龙源期刊网 http://www.qikan...中学数学的最值问题 278人阅读 13页 免费 浅谈中学数学中的最值问... 55人...

谈谈中学数学中的最值问题

标题: 标题:谈谈中学数学中的最值问题 摘要:应随社会的进步,科技的进步教育必须应随着改革,归纳、总结、 摘要:应随社会的进步,科技的进步教育必须应随着改革,归纳...

浅谈初中数学线段之和最值问题

浅谈初中数学线段之和最值问题近年来,在全国各地出现的中考试题的平面几何最值问题中,呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象, 对学生来讲是个难点;如果深入思考...