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浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期期中考试数学(理)试题

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说明:1、本试题卷分选择题和非选择题部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2、请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | 2 x ?

x ? 0}, 集合B ? { y | y ? e ? 1} ,则 A ? B ? ( D
2 x



A. {x |1 ? x ? 2}

B. {x | x ? 2}

C. {x | x ? 1}

D. {x |1 ? x ? 2} (B )

2. 已知 f ?x ? ? x ln x ,若 f′(x0)=2,则 x0 等于 A. e
2

ln 2 D. ln 2 2 3.在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a10 ? a12 的值为( C
B.

e

C.

)

A.20
2

B.22

C.24

D.28

4 若 p : ( x ? x ? 1) x ? 3 ? 0, q : x ? ?2 ,则 p 是 q 的( B ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. 已知两个非零向量 a 与 b ,定义 a ? b ? a b sin ? ,其中 ? 为 a 与 b 的夹角. 若 a = ? ?3, 4 ? , b = ? 0, 2 ? ,则 a ? b 的值为( D ) A. ?8 B. ?6 C.8
2

D.6

6.已知函数 f ( x) ? sin(? ? 2 x), g ( x) ? 2cos x ,则下列结论正确的是(C) (A)函数 f ( x) 在区间 [

? ?

, ] 上为增函数 4 2

(B) 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最小正周期为 2? (C) 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图象关于直线 x ? (D) 将函数 f ( x) 的图象向右平移

?
8

对称

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 g ( x) 的图象 2
2 2

7. 设点 A(1, ?1) , (0,1) , 若直线 ax ? by ? 1 与线段 AB (包括端点) 有公共点, a ? b 的最小值为 则 ( B A.

C )

1 4

B.

8.已知集合 A ? ( x, y ) x( x ? 1) ? y ( y ? 1) ? r ,集合 B ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? r 2 ,若 A ? B ,则实数 r 可 以取的一个值是( A )

?

1 3

C.

?

1 2

D. 1

?

?

1页

A.

2 ?1

B.

3

C. 2

D. 1 ?

2 2
)

?1 ? x ? 1 , x ? ( ??, 2) ? 9.设函数 f ( x) ? ? 1 ,则函数 F ( x) ? xf ( x) ?1 的零点的个数为( C ? f ( x ? 2), x ? [2, ??) ?2
A. 4 10、设非空集合 S ? x m ? x ? n 满足:当 x ? S 时,有 x ? S ,给出如下三个命题:
2

?

B. 5

?

C. 6

D. 7

①若 m ? 1, 则 S ? ?1? ;②若 m ? ? 其中正确命题的是( D ) A.① B.①②

2 1 1 1 ? m ? 0. , 则 ? n ? 1 ; ③若 n ? , 则 ? 2 2 4 2
C.②③ D.①②③

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11、已知一个奇函数的定义域为 ??1, 2, a, b? , 则 a ? b = -1

12. 已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是 4 2

?



?2 x ? y ? 2 ? 0 13.若如果点 P 在不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所确定的平面区域内, O 为坐标原点,那么 PO 的最小值为 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

2 5 5
14.若 a, b 是两个非零向量,且 | a |?| b |?

? | a ? b |, ? ? [

3 ,1] ,则 b 与 a ? b 的夹角的 3

取值范围是 __▲

__. 15. 设 g ( x) 是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若 f ( x) ? x ? g ( x) 在区间 [0,1] 上的值域 为 [?2,5] ,则 f ( x) 在区间 [0,3] 上的值域为 16.已知 l1 和 l 2 是平面内互相垂直的两条直线, 它们的交点为 A , 动点 B, C 分别在 l1 和 l 2 上, BC ? 3 2 , 且 则过 A, B, C 三点的动圆扫过的区域的面积为 .. ▲ .18π

2页

1 1 ? a an ?1 1 1 17.设正整数数列 ?an ? 满足: a2 ? 4 ,且对于任何 n ? N* ,有 2 ? ? n ? 2? , an ?1 1 ? 1 an n n ?1
则 a10 ? 100 ▲ .

三、解答题:本大题共 5 个小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明或演算过程。

p :不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? a 对一切实数 x 都成立;命题 q :已知函数 f ( x) ? mx 3 ? nx 2 的图像在点 (?1,2) 处的切线恰好与直线 2 x ? y ? 1 平行, f (x) 在 [a, a ? 1] 上单调 且 递减。若命题 p 或 q 为真,求实数 a 的取值范围。
18.(本题满分 14 分)命题

19.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 3cos

2

?x
2

?

3 3 sin ? x ? (? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, 2 2

点 A 为图象的最高点, B, C 为图象与 x 轴的交点,且三角形

ABC 的面积为

3 ?. 4

(I)求 ? 的值及函数 f ( x) 的值域; (II)若 f ( x0 ) ?

4 ? ? ? 3, x0 ? ( , ) ,求 f ( x0 ? ) 的值. 5 12 3 6

19(I)

f ( x) ? 3 sin(? x ?

?
3

),



S ?ABC ?

| BC |?

?
2

?

则 f ( x) ? 3 sin(2 x ? ? ), 值 域 是 [? 3, 3] …………………..7 3 分 (II)由 f ( x0 ) ? 4 3 得 sin(2 x0 ? ? ) ? 4 , 5 3 5 ? ? ? ? ? 3 ? ? x0 ? ,? ? 2 x0 ? ? ? , 得 cos(2 x0 ? ) ? ? , 则 12 3 2 3 3 5
3页

? ?

1 3 3 | BC |? ? 2 4



,则 ? ? 2 。

f ( x0 ? ) == 6

?

……14 分 20.(本题满分 14 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,向量 m ? (2a ? c, b) ,

n ? (cos B, cos C ) ,且 m, n 垂直.
(I)确定角 B 的大小; (II)若 ?ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ,且 BD ? 1 ,设 BC ? x, BA ? y , 试确定 y 关于 x 的函数式,并求边 AC 长的取值范围. (I)由 (2sin A ? sin C) cos B ? sin B cos C ? 0 得 2sin A(cos B ? 1) ? 0 , 1 ? A, B ? (0, ? ),? sin A ? 0, 则 cos B ? ? , B ? 120?. ……………6 分 2 (II)由 S?ABC ? S?ABD ? S?BDC 得 x ? y ? xy , 则y? x ,x ? 1,?) .……………………9 分 ( + x ?1
.网]

由 AC 2 ? x 2 ? y 2 ? xy ? ( x ? y )2 ? xy ? ( x ? y )2 ? ( x ? y ) ? ( x ? y ? 1 )2 ? 1 , 2 4 ( x ? y ) 2 ,得 x ? y ? 4 ,? AC ? [2 3, ??) ………….14 分 x ? y ? xy ? 4 21.(本题满分 15 分)已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (Ⅰ)设 bn ? (Ⅱ)设 cn ?

1 ,其中 n? N*. 4an

2 2an ? 1

,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?a n ? 的通项公式 an ;

4an 1 ,数列 ?cn cn ? 2 ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ,使得 Tn ? 对于 n? N*恒 cm cm ?1 n ?1

成立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,请说明理由. (I)证明

bn ?1 ? bn ?

2 2a n ?1 ? 1

?

2 2a n ? 1

?

2 ? 1 2?1 ? ? 4a n ? ? ? ?1 ? ?

?

2 2a n ? 1

?

4a n 2 ? ? 2, 2a n ? 1 2a n ? 1

所以数列 ?bn ? 是等差数列, a1 ? 1, b1 ? 2 ,因此

bn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,
由 bn ? (II) c n ?

2 2a n ? 1

得 an ?

n ?1 . …………………………..8 分 2n

4 ] ? 2 ?1 ? 2? ? , cn cn?2 ? ?, n?n ? 2? n ?n n? 2?
4页

所以 Tn ? 2?1 ?

? ?

1 1 1 ? ? ? ? ? 3, 2 n ?1 n ? 2 ?

依题意要使 Tn ?

1 m(m ? 1) * 对于 n ? N 恒成立,只需 ? 3, c m c m ?1 4

解得 m ? 3 或 m ? ?4 ,所以 m 的最小值为 3 …………………………….15 分

22. (本小题满分 15 分) 已知 a, b 是正实数,设函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ?a ? x ln b 。 (Ⅰ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求 h( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若存在 x0 ,使 x0 ? [

a ? b 3a ? b b , ] 且 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 的取值范围。 4 5 a

a +b a +b a +b a +b b 3a -b h(x )min =h( )= (ln -lnb)+a ? (ln -lnb)+a = > 4 4 4 4 e 4
b 3a +b b 3e 5-e (iii)当 > ,即 > 时, a < b e 5 a 5-e 3e a +b 3a +b 单调递减。 ? h(x )在[ , ]上d 4 5
5页

3?

4-e b-b 3-e e = b>0 ?不成立 4 e

………………………12 分

5-e 2? b-b 3a +b 3a +b 3a +b 3a +b b 2a -b 2-e 3e h(x )min =h( )= (ln -lnb)+a < (ln -lnb)+a = < = b<0 5 5 5 5 e 5 5 3e b 3e 时恒成立 ……………………14 分 > a 5-e b 综上所述, e ? <7 ……………………15 分 a

?



∴ 值在 C 处,为 7。 ∴ …………14 分 ……………15 分

y 的最大 x

y b 7 的取值范围为 ? e, ? ,即 的取值范围是 ? e, 7 ? 。 a x
6页

7页

绍兴一中2013 学 年 第一学期

高三数学期中考答题纸
(理科)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9 0

1

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、 15、 . 12、 . 16、 . 13、 . 17、 . 14、 .

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明或演算过程。 ) 18、 (本小题满分 14 分) 解:

19、 (本小题满分 14 分) 解:

8页

20、 (本小题满分 14 分) 解:

21、 (本小题满分 15 分) 解:

9页

22、 (本小题满分 15 分) 解:

10 页

绍兴一中 学期 第一

2013 学 年

高三数学期中试卷(理科)

说明:1、本试题卷分选择题和非选择题部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2、请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.全集 U ? R ,集合 A ? {x | 2 x ? x ? 0}, 集合B ? { y | y ? e ? 1} ,则 A ? B ?
2 x

A. {x |1 ? x ? 2}

B. {x | x ? 2}

C. {x | x ? 1}

D. {x |1 ? x ? 2}

2.已知 f ?x ? ? x ln x ,若 f′(x0)=2,则 x0 等于

ln 2 D. ln 2 2 3.在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a10 ? a12 的值为
A. e
2

B.

e

C.

A.20
2

B.22

C.24

D.28

4.若 p : ( x ? x ? 1) x ? 3 ? 0, q : x ? ?2 ,则 p 是 q 的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知两个非零向量 a 与 b ,定义 a ? b ? a b sin ? ,其中 ? 为 a 与 b 的夹角. 若 a = ? ?3, 4 ? , b = ? 0, 2 ? ,则 a ? b 的值为 A. ?8 B. ?6 C.8
2

D.6

6.已知函数 f ( x) ? sin(? ? 2 x), g ( x) ? 2cos x ,则下列结论正确的是 (A)函数 f ( x) 在区间 [

? ?

, ] 上为增函数 4 2

(B) 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最小正周期为 2? (C) 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图象关于直线 x ? (D) 将函数 f ( x) 的图象向右平移 得到函数 g ( x) 的图象 7.设点 A(1, ?1) , B(0,1) ,若直线 ax ? by ? 1 与线段 AB (包括端点)有公共点,则 a ? b 的最小值为
2 2

?
8

对称

? 个单位,再向上平移 1 个单位, 2

A.

1 4

B.

8.已知集合 A ? ( x, y ) x( x ? 1) ? y ( y ? 1) ? r ,集合 B ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? r 2 ,若 A ? B ,则实数 r 可以 取的一个值是
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?

1 3

C.

1 2

D. 1

?

?

?

A.

2 ?1

B.

3

C. 2

D. 1 ?

2 2

?1 ? x ? 1 , x ? (??, 2) ? 9.设函数 f ( x) ? ? 1 ,则函数 F ( x) ? xf ( x) ?1 的零点的个数为 ? f ( x ? 2), x ? [2, ??) ?2
A. 4 10.设非空集合 S ? x m ? x ? n 满足:当 x ? S 时,有 x ? S ,给出如下三个命题:
2

?

B. 5

?

C. 6

D. 7

①若 m ? 1, 则 S ? ?1? ;②若 m ? ? 其中正确命题的是 A.① B.①②

2 1 1 1 ? m ? 0. , 则 ? n ? 1 ; ③若 n ? , 则 ? 2 2 4 2
C.②③ D.①②③

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知一个奇函数的定义域为 ??1, 2, a, b? , 则 a ? b = 12.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ▲

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是 ▲ 4 2

?

?2 x ? y ? 2 ? 0 13.若如果点 P 在不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所确定的平面区域内, O 为坐标原点,那么 PO 的最小值为 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
▲ 14.若 a, b 是两个非零向量,且 | a |?| b |?

? | a ? b |, ? ? [

3 ,1] ,则 b 与 a ? b 的夹角的取值范围是__▲__. 3

15.设 g ( x) 是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若 f ( x) ? x ? g ( x) 在区间 [0,1] 上的值域 为 [?2,5] ,则 f ( x) 在区间 [0,3] 上的值域为 ▲

16.已知 l1 和 l 2 是平面内互相垂直的两条直线, 它们的交点为 A , 动点 B, C 分别在 l1 和 l 2 上, BC ? 3 2 , 且 则过 A, B, C 三点的动圆扫过的区域的面积为 .. ▲ .
*

17.设正整数数列 ?an ? 满足: a2 ? 4 ,且对于任何 n ? N ,

1 1 ? a an ?1 1 1 有2? ? n ? 2 ? ,则 a10 ? an ?1 1 ? 1 an n n ?1

▲ .

三、解答题:本大题共 5 个小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明或演算过程。 18.(本题满分 14 分)命题 p :不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? a 对一切实数 x 都成立;命题 q :已知函数
12 页

f ( x) ? mx 3 ? nx 2 的图像在点 (?1,2) 处的切线恰好与直线 2 x ? y ? 1 平行, f (x) 在 [a, a ? 1] 上单调 且 递减。若命题 p 或 q 为真,求实数 a 的取值范围。

19.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 3cos

2

?x
2

?

3 3 sin ? x ? (? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, 2 2

点 A 为图象的最高点,B, C 为图象与 x 轴的交点, 且三角形

ABC 的面积为

3 ?. 4

(I)求 ? 的值及函数 f ( x) 的值域; (II)若 f ( x0 ) ?

4 ? ? ? 3, x0 ? ( , ) ,求 f ( x0 ? ) 的值. 5 12 3 6

20.(本题满分 14 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,向量 m ? (2a ? c, b) ,

n ? (cos B, cos C ) ,且 m, n 垂直.
(I)确定角 B 的大小; (II)若 ?ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ,且 BD ? 1 ,设 BC ? x, BA ? y , 试确定 y 关于 x 的函数式,并求边 AC 长的取值范围.

21.(本题满分 15 分)已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (Ⅰ)设 bn ? (Ⅱ)设 cn ?

1 ,其中 n? N*. 4an

2 2an ? 1

,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?a n ? 的通项公式 an ;

4an 1 ,数列 ?cn cn ? 2 ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ,使得 Tn ? 对于 n? N*恒成 cm cm ?1 n ?1

立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,请说明理由.

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22. (本小题满分 15 分) 已知 a, b 是正实数,设函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ?a ? x ln b 。 (Ⅰ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求 h( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若存在 x0 ,使 x0 ? [

a ? b 3a ? b b , ] 且 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 的取值范围。 4 5 a

14 页

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