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专题训练一 集合、常用逻辑用语、函数重点

时间:2015-02-15


专题训练一
一、选择题:

集合与常用逻辑用语、函数

1.(2014 河南开封一模理)若集合 A ? {x ? R | y ? lg(2 ? x)} , B ? { y ? R | y ? 2x?1 , x ?

A} ,则 ? R ( A B) ?
A. R


<

br />) C. [2, ??) D. (??, 0]

B. (??,0] [2, ??)

1.B【解析】 A ? {x | x ? 2} ,对于集合 B ,因为 x ? A ,所以 x ? 1 ? 1 ,所以 2x?1 ? (0, 2) , 得 B ? { y | 0 ? y ? 2},于是 A 故选 B. 2. (2014 江西省南昌二中月考)已知 f ( x ) 的定义域是 (0,1) , 则 f [( ) ] 的定义域为( A. (0,1) B. ( ,1)

B ? {x | 0 ? x ? 2} ,所以 ? R ( A B) ? (??,0] [2, ??) .
1 3

x

)

1 3

C. (??, 0)

D. (0, ? ?)

2.D【解析】要使 f [( ) ] 有意义,必须保证 ( ) 在 f ( x ) 的定义域内,即 0 ? ( ) ? 1 ,解
x x x

1 3

1 3

1 3

得 x ? 0 .故选 D. 3.(2014 吉林大学附属中学第一次摸底理)在一次跳高比赛前,甲、乙两名运动员各试跳 了一次. 设命题 p 表示“甲的试跳成绩超过 2 米”,命题 q 表示“乙的试跳成绩超过 2 米”, 则命题 (?p) ? (?q) 表示( )

A.甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过 2 米 B.甲、乙两人的试跳成绩都没有超过 2 米 C.甲、乙至少有一人的试跳成绩超过 2 米 D.甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过 2 米 3. D【解析】 ? p 表示“甲的试跳成绩不超过 2 米” , ? q 表示“乙的试跳成绩不超过 2 米” , 故 (?p) ? (?q) “甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过 2 米”.故选 D. 4.(2014 合肥一模理)设集合 S ? {0, a} , T ? {x ? Z | x2 ? 2} ,则“ a ? 1 ”是“ S ? T ” 的 ( ) A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

2 4.A【解析】 T ? {x ? Z | x ? 2} ? {?1,0,1} , a ? 1 时, S ? {0,1} ,所以 S ? T ;反之若

S ? T ,则 S ? {0,1} 或 S ? {0, ?1}.所以, “ a ? 1 ”是“ S ? T ”的充分不必要条件.故
选 A.

5.(2014 山东日照校际联考理)设函数 f ( x) ? n ? 1 , x ? [n, n ? 1) , n ? N ,则方程

f ( x) ? log 2 x 的根有
A.1 个 5.C【解析】验证知 x ?



) C.3 个 D.无数个

B. 2 个

1 , x ? 1 , x ? 2 是方程的根.当 n ? 3 时, f ( x) ? n ? 1 的图象与 2

y ? log2 x 的图象没有公共点.所以方程 f ( x) ? log 2 x 有 3 个根.故选 C.
2x 1 ? ,[ x] 表示不超过 x 的最大 6.(2014 陕西省西安一中期中考试理)设函数 f ( x) ? x 1? 2 2
整数,则函数 y ? [ f ( x)] 的值域是 A. {0,1} 6.B【解析】 f ( x) ? B. {0, ?1} ( ) C. {?1,1} D. [0,1]

1 2x 1 2x ? 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? .当 x ? 0 时, 0 ? f ( x ) ? , x x x 2 1? 2 2 1? 2 2 2 1? 2

? [ f ( x)] ? 0 ; 当 x ? 0 时,

1 ? f ( x) ? 0 , [ f ( x)] ? ?1 ; [ f ( x)] ? 0 . 当 x ? 0 时,f ( x) ? 0 , 2

所以 y ? [ f ( x)] 的值域为 {0, ?1} .故选 B.

? f ( x ? 4), x ? 0 ? 7.(2014 重庆七校联考理)若 f ( x) ? ? x ,则 f (2016) ? 21 e ? ? dt, x ? 0 ? 1 t ?
A. 0 7. D【解析】 B. ln 2 C. 1 ? e
2





D. 1 ? ln 2

?

2

1

? f ( x ? 4), x ? 0 1 2 dt ? ln t |1 ? ln 2 ,所以 f ( x) ? ? x . t ?e ? ln 2, x ? 0
? f (0) ? 1 ? ln 2 .故选 D.

所以 f (2016) ? f (2012) ? f (2008) ?

8.(2014 江西九江市三七校联考理)已知函数 f ( x) ? kx ? 2(k ? 0) 的图象分别与 x 轴、 y
2 轴交于 A 、B 点, 且 AB ? (1, 2) , 函数 g ( x) ? x ? x ? 6 , 当 x 满足不等式 f ( x) ? g ( x) ? 4

时,函数 y ? A. [ ?

g ( x) ? 1 的值域是 f ( x) ? 2
B. [ ?



) C. [ ?

3 5 , ] 2 12

7 3 , ] 12 2

3 7 , ] 2 12

D. [ ?

1 7 , ] 2 12

8.C 【解析】由函数 f ( x) ? kx ? 2( k ? 0)的图象分别与 x 轴、 y 轴交于 A 、 B 点,得

2 2 A(? , 0) , B(0, 2) ,所以 AB ? ( , 2) ,又 AB ? (1, 2) ,得 k ? 2 ,又 f ( x) ? g ( x) ? 4 , k k
可得 x ? [?1, 4] , y ?

g ( x) ? 1 x 2 ? x ? 5 1 1 ? ? [( x ? 2) ? ? 5] ,因为 x ? 2 ?[1,6] , f ( x) ? 2 2x ? 4 2 x?2
3 7 ; x ? 4 时, ymax ? .故 2 12

所以由基本不等式和函数的单调性知 x ? ?1 时, ymin ? ? 选 C.

9. (2014 山东泰安期末考试理) 设函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 ,g ( x) ? ln x ? x2 ? 3 , 若实数 a ,

b 满足 f (a) ? 0 , g (b) ? 0 ,则
A. 0 ? g (a) ? f (b) C. f (b) ? 0 ? g (a) B. f (b) ? g (a) ? 0 D. g (a) ? 0 ? f (b)

9.D【解析】 a 是函数 f ( x ) 的零点,因为 f (0) ? 0 , f (1) ? 0 ,且 f ( x ) 在定义域内是单调 递增函数,所以 0 ? a ? 1 ,又因为 g ( x) 在定义域内是单调递增函数,且 g (1) ? 0 ,所以

g (a ) ? 0 . b 是函数 g ( x) 的零点,因为 g (1) ? 0 , g (2) ? 0 ,所以 1 ? b ? 2 ,所以 f (b) ? f (1) ? 0 .所以 g (a) ? 0 ? f (b) .故选 D.
10. (2014 辽宁抚顺市六校联合体联考理)已知函数 f ( x) 的定义域为 R , f ( x) ?

? x, 0 ? x ? 1 ? ,且对于任意的 x ? R 都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,若在区间 [?1,3] 上函 ? 1 x ( ) ? 1, ?1 ? x ? 0 ? ? 2 数 g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 恰有四个不同零点,则实数 m 的取值范围为 ( ) 1 1 1 1 A. [ 0 , ] B. [0, ) C. (0, ] D. ( 0 , ] 2 4 2 4
10.D【解析】因为 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,所以

y
A

f ( x ? 2) ? f ( x) ,所以函数 y ? f ( x) 是周期
为 2 的周期函数,作出函数 y ? f ( x) 在区间
1

[?1,3] 上 的 图 象 如 图 . 函 数 g ( x) 在 区 间

-1

O

1

2

3

x

[? 1, 3 上 ] 恰有四个不同的零点,即函数

y ? f ( x) 与直线 l : y ? mx ? m 的图象在区间 [?1,3] 上有四个不同的交点,直线 l 恒过点

(?1, 0) ,当直线 l 过点 A(3,1) 时, m ?

1 1 .由图可知当 m ? (0, ] 时,函数 y ? f ( x) 的图象 4 4

与直线 l 在区间 [?1,3] 上有四个不同的交点.故选 D.
* z ,y ? z 11. (2014 上海十三校调研考试理) 集合 S ? {( x, y, z) | x 、y 、z ? N , 且 x ?y ?

? x 、 z ? x ? y 恰有一个成立 } .若 ( x, y, z ) ? S ,( z, w, x) ? S ,则下列选项正确的是 ( )
A. ( y, z, w) ? S , ( x, y, w) ? S C. ( y, z, w) ? S , ( x, y, w) ? S B. ( y, z, w) ? S , ( x, y, w) ? S D. ( y, z, w) ? S , ( x, y, w) ? S

11.B【解析】特殊值法,取 x ? 1 , y ? 2 , z ? 3 , w ? 4 ,则 (1, 2,3) ? S , (3, 4,1) ? S , 且 (2,3,1) ? S , (1, 2, 4) ? S .故选 B.

?2 x , x ? 0, 12.(2014 皖西七校联考理)设函数 f ( x) ? ? 若对任意给定的 y ? (2,??) ,都 ?log2 x, x ? 0,
存在唯一的 x ? R ,满足 f ( f ( x)) ? 2a y ? ay ,则正实数 a 的最小值是 (
2 2



A. 0.25

B. 0.5
x

C. 2

D. 4

12.A【解析】当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? (0,1] , f ( f ( x)) ? log2 2x ? x ? (??,0] ; 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x) ? l o 2 , g x? ? (? ,0 ] f ( f ( x)) ? 2log2 x ? x ? (0,1] ; 当 x ? 1 时 ,

f ( x) ? l o 2 g x? ( 0, ? ?,)f ( f ( x)) ? log2 (log2 x) ? R .当 b ? 1 时,方程 f ( f ( x)) ? b 有两
个不同的实根,当 b ? 1 时,方程 f ( f ( x)) ? b 有唯一实根.所以,根据题意,正实数 a 应满
2 2 2 2 足 2a y ? ay ? 1 ( y ? (2,??) ).令 g ( y) ? 2a y ? ay ?1( y ? (2,??) ) ,因为其图象

1 2 2 ? 0, 所以 g ( y ) 在 (2, ??) 上是增函数, 由 2a y ? ay ? 1 ? 0 在 (2, ??) 2a 1 2 上恒成立,得 8a ? 2a ? 1 ? 0 ,即 (4a ? 1)(2a ? 1) ? 0 ,因为 a ? 0 ,所以 a ? .故选 A. 4
的对称轴 y ? ? 二、填空题 13.(2014 广东东莞南开实验中学摸底理)已知集合 A ? {1,3, a} , B ? {1, a ? a ? 1} ,且
2

B ? A ,则 a ? ____

__.

2 2 13. a ? ?1 或 a ? 2 【解析】 依题意 A ? {1,3, a} ,B ? {1, a ? a ? 1} , 且B ? A, 当 a ? a ?1

? a 时,则有 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 ,此时与集合元素的互异性矛盾;当 a2 ? a ? 1 ? 3

时,解得 a ? ?1 或 a ? 2 ,检验知, a ? ?1 或 a ? 2 符合题意.综上知 a ? ?1 或 a ? 2 . 14. (2014 山西运城市期末考试理) 给出下列说法: ① “ ?x ? 0 ,2 ? 1 ” 的否定是 “ ?x ? 0 ,
x

2x ? 1 ” ;②“ xy ? 0 ”是“ | x ? y |?| x | ?| y| ”的必要不充分条件;③若 a ? b ? 0 ,则 a 与

b 的夹角为钝角;④命题“若 cos ? cos ? ? 1,则 sin(? ? ? ) ? 0 ”的逆否命题为真命题.
其中正确的说法的序号是 .
x x

14.④【解析】对于①, “ ?x ? 0 , 2 ? 1 ”的否定是“ ?x ? 0 , 2 ? 1 ” ,所以①错;对 于②, “ xy ? 0 ” 是 “ | x ?y |? | x| ? | y | ” 的充分不必要条件, 所以②错; 对于③, 若 a ?b ? 0 ,

1 则 a 与 b 的夹角可能为 180 ,所以③错;对于④,若 cos ? cos ? ? 1,则 cos ? ?cos ? ?
或 cos ? ? cos ? ? ?1 ,这两种情况下都有 sin(? ? ? ) ? 0 ,所以④对. 15. (2014 南京市、盐城市一模)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 [0, ??) 上 是单调递增函数.如果实数 t 满足 f (ln t ) ? f (ln ) ? 2 f (1) 时, 那么 t 的取值范围是 15. ( , e) 【解析】依题意 f (ln ) ? f (ln t ?1) ? f ( ?ln t) ? f (ln t) ,所以原不等式变为

1 t

.

1 e

1 t

2 f (ln t ) ? 2 f (1) ,即 f (ln t ) ? f (1) ,又 f ( x) 在区间 [0, ??) 上是单调递增函数,所以
1 | ln t |? 1 ,即 ?1 ? ln t ? 1 ,解得 ? t ? e . e
? x3 , x?0 f ( x ) ? 16.(2014 江西省新课程第三次适应性测试理)已知 ,则函数 ? ? | lg(? x) |, x ? 0

y ? 2 f 2 ( x) ? 3 f ( x) 的零点的个数为
2

.

16.5【解析】根据题意,令 2 f ( x) ? 3 f ( x) ? 0 ,解 得 f ( x) ? 0 或 f ( x) ?

y

3 ,作出函数 f ( x ) 的图象,由图 2

象可知,当 f ( x) ? 0 时, f ( x ) 的图象与 x 轴有 2 个交 点,当

1.5 -1 O 1 x

f ( x) ?

3 3 时, f ( x ) 的图象与直线 x ? 有 3 个交点, 2 2
2

于是关于 x 的函数 y ? 2 f ( x) ? 3 f ( x) 的零点个数为 5. 17. (2014 河南豫东、豫北十所名校第四次联考理)已知函数 f ( x) ? ln

x ?1 11 ,则 f ( ) ? 2? x 10

6 13 7 3 8 17 9 19 f ( )? f ( )? f ( )? f ( )? f ( )? f ( )? f ( )? f ( ) ? 5 10 5 2 5 10 5 10

.

17. 0 【解析】 观察知, 求和式中距首末两端距离相等的两项的自变量之和为 3, 设 x1 ? x2 ? 3 , 则 x2 ? 3 ? x1 ,因为 f ( x1 ) ? ln

x1 ? 1 x ?1 2 ? x1 , f ( x2 ) ? ln 2 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln 2 ? x2 x1 ? 1 2 ? x1

3 ? 0 ,又 f ( ) ? 0 ,所以原求和式的值为 0 . 2
18.(2014 黑龙江省哈尔滨六中月考理)已知 f ( x ) ? 则实数 a 的取值范围是 .

ln( 2 ? ax ) 在区间 (0,1] 上单调递减, a ?1

18. a ? 0 或 1 ? a ? 2 【解析】 a ? 1 时, a ? 1 ? 0 , u ? 2 ? ax 是减函数, y ? ln u 是增函 数,同时须 u ? 2 ? ax 在 (0,1] 上满足大于 u ? 0 ,即 2 ? a ? 0 ,所以, 1 ? a ? 2 ;

0 ? a ? 1 时, a ? 1 ? 0 ,u ? 2 ? ax 是减函数, y ? ln u 是增函数,函数 f ( x ) ?

ln( 2 ? ax ) a ?1

为增函数; a ? 0 时, a ? 1 ? 0 , u ? 2 ? ax 是增函数, y ? ln u 是增函数,函数

f ( x) ?

ln( 2 ? ax ) 为减函数,同时, u ? 2 ? ax 在 (0,1] 上满足大于 u ? 0 ,所以, a ? 0 . a ?1

综上知,实数 a 的取值范围是 a ? 0 或 1 ? a ? 2 . 19. (2014 湖北武昌区 1 月调研理)某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得 到西红柿种植成本 Q (单位:元/ 100 kg )与上市时间 t (单位:天)的数据如下表: 时间 t 种植成本 Q 60 116 100 84 180 116

根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关 系. Q ? at ? b , Q ? at ? bt ? c , Q ? a ? b , Q ? a ? log a t .利用你选取的函数,求得:
2 t

(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 (2)最低种植成本是 19. (1)120 (元/ . 100 kg )



(2) 80 【解析】根据表中数据,函数图象上的点 (60,116) 和 (180,116) 关

2 于直线 t ? 120 对称,所以选择二次函数 Q ? at ? bt ? c ,且 a ? 0 .因为对称轴是 t ? 120 ,

所以西红柿种植成本最低时的上市天数是 120 . 将三个已知点 (60,116) , (100,84) ,

? 602 a ? 60b ? c ? 116 1 ? (180,116) 分 别 代 入 二 次 函 数 解 析 式 , 得 ?1002 a ? 100b ? c ? 84 , 解 得 a ? , 100 ?1802 a ? 180b ? c ? 116 ?

b??

12 4ac ? b 2 ? 80 . , c ? 224 ,所以函数的最小值为 Qmin ? 5 4a

20. (2014 湖南衡阳市第一次联考理)已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,若存在常数 m ? 0 , 对任意 x ? R ,有 | f ( x)| ? m| x | ,则称 f ( x ) 为 F 函数,给出下列函数:① f ( x) ? x2 ;②

f ( x) ? sin x ? cos x ;③ f ( x) ?

x ;④ f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且满足对一 x ? x ?1
2

切实数 x1 , x2 ,均有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 | x1 ? x2 | .其中是 F 函数的序号为

.

20. ③ ④ 【 解 析 】 对 于 ①, | x2 |? m | x | , 显 然 不 成 立 , 故 其 不 是 F 函 数 ; 对 于 ② ,

f ( x) ? sin x ? cos x ,由于 x ? 0 时, | f ( x ) |? m | x | 不成立,故不是 F 函数;对于③,
f ( x) ? x x | x| 4 4 |? 2 ? | x | ,故存在 m ? ,都有 | f ( x) | ,| f ( x) |?| 2 x ? x ?1 x ? x ?1 x ? x ?1 3 3
2

? m | x | ,故其是 F 函数;对于④, f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足对一切实数 x1 ,

x2 ,均有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 | x1 ? x2 | ,令 x1 ? x , x2 ? 0 ,由奇函数的性质知 f (0) ? 0 ,
故有 | f ( x) |? 2 | x | ,所以是 F 函数. 【温馨提示】解答本专题的问题,容易出现的错误: (1)在求解集合关系问题时,易忽视集合中元素的“确定性”,忽视对空集的讨论; (2)对“命题的否定”和“否命题”的概念混淆不清,容易导致对命题的判断错误; (3)对“充分条件”和“必要条件”的概念混淆不清,容易出现推导方向的错误; (4)求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则; (5)判断函数的奇偶性时忽略函数具有奇偶性的必要条件:定义域关于原点对称; (6)在涉及指数、对数型函数的单调性有关问题时,没有根据性质进行分类讨论的意识 和易忽略对数函数的真数的限制条件; (7)不能将函数、方程与不等式进行有效的联系和转化; (8)在解决函数的应用问题时,不能建立正确的函数模型.


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