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2017-2018第一学期高三期末试题解析

时间:


2018 年普通高等学校招生全国统一考试 模拟调研卷(一)


兰州十八中理科数学 (第Ⅰ卷 选择题共 60 分)
( A )

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) (1)已知全集集合 A ? {x | ?1≤ x ≤ 2} , B ? {x | log3 x < 2} ,则 A∩B ? A. (0, 2] B. (0,1) C. (0,1] D. [1, 2]

解:∵ A ? [?1, 2] , (2)已知 i 为虚数单位,则 ( A. (?1, 0) 解:∵ (

B ? (0,9) ,

∴ A∩B ? (0, 2]

1? i 6 ) 在复平面内对应的点的坐标是( D ) 2
C. (0, ?1) D. (0,1)

B. (1, 0)

1? i 6 ?2i 3 1? i 6 ) ?( ) ? i ,∴ ( ) 表示的点的坐标为 (0,1) 2 2 2

x (3)命题: q : ?x ? R , 3 ? x ≥ 0 的否定是 ( C )

x A. ?x ? R , 3 ? x < 0

x B. ?x ? R , 3 ? x ≤ 0

C. ?x0 ? R , 3 0 ? x0 < 0
x

D. ?x0 ? R , 3 0 ? x0 ≤ 0
x x

解:命题的否定是: ?x0 ? R , 3 0 ? x0 < 0 ,选 C. (4)若双曲线 C : A. 2

x2 y 2 ? ? 1(k > 0) 的离心率为 2,则实数 k 的值为 ( D ) 4 k
B. 4 C. 6 D. 12

k ? 2 ,∴ k ? 12 ,选 D. 4 ? ? ? ? ? ? (5)已知向量 a ? ? k , ?1? , b ? ? 3, ?4 ? ,如果向量 2a ? b 与 a ? 3b 平行,则实数 k 的值为 ( B )
解:因为双曲线的离心率为 2,∴ 1 ? A.

1 4

B.

3 4

C. ?

1 4

D. ?

3 4

解:∵ 2a ? b ? (2k ? 3, ?6) , a ? 3b ? ( k ? 9,11) ,∴ 22k ? 33 ? ?6k ? 54 ,∴ k ?

? ?

?

?

3 4

(6)函数 y ?

1 ? 2 cos x 的部分图象大致为( B ) x

第 1 页 共 1 页

y

y

O

x
A

O

x
B

y
O

y

O

x

x

C 解:因为函数是奇函数,所以排除 AD,又因为 x ? (0, (7)执行如图所示的程序框图,输也的 s 值为( C ) A.9 B.45 C.126 D.2 解:① s ? 0, k ? 3 ,② s ? 9, k ? 6 ,③ s ? 45, k ? 9 , ④ s ? 126, k ? 12 ,所以输出 126.
2 2

D

?
2

) 时, y > 0 ,故选 B
k=k+3

开始 k=0,s=0

s=s+k2


k≤9?


输出 s 结束

(8)直线 x ? y ? 2 与圆 ( x ? 2) ? y ? 4 交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 x 轴的垂线与 x 轴交于 C、D 两点,则 | AC | ? | BD |? ( A. 2 B. 2 2 A ) C. 4 D. 4 2

解:把 x ? y ? 2 代入圆的方程得 y ? ? 2 ,∴ | AC | ? | BD |? 2 2 ,选 B (9)若 sin ? ? A. ?

3? 1 )?( , ? 是第二象限的角,则 sin(2? ? 4 5
B.



23 25

23 25

C.

8 2 ? 23 3 50

D.

23 2 ? 8 3 50

解: ∵ sin ? ?

2 6 4 6 1 23 ,∴ cos ? ? ? ,∵ sin 2? ? ? , cos 2? ? 5 25 5 25

∴ sin(2? ?

3? 2 2 23 2 ? 8 3 )?? sin 2? ? cos 2? ? ,选 D. 4 2 2 50

(10)一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等腰三角形,则这个几何体的表面积为( A )

第 2 页 共 2 页

A.

(1 ? 5)? ?4 2 (1 ? 5)? ?6 2

B.

(1 ? 5)? ?8 2

正视图

2 1 1 1 1

1

2

1

侧视图

C.

D. (1 ? 5)? ? 4

1

解:如图,该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥构成, 半圆锥的侧面积为 S1 ?

俯视图

5? ? ,棱锥的两个侧面面积和为 S 2 ? 3 ,底面积为 S3 ? ? 1 2 2 (1 ? 5)? ? 4 .故选 A. 2

所以该几何体的表面积为 S表 ?

(11)已知在正 △ ABC 中, D,E,F 分别是线段 AB,AC,BC 的占中点, 四个圆分别是各自所在的小正三角形的内切,若向正三角形 ABC 的内 部随机投一点,则所投的点落入图中阴影部分的概率是 ( C ) (A)

1 3? ? 4 9

(B)

1 3? ? 2 3
第 11 题图

1 3? (C) ? 2 18

1 3? (D) ? 3 18

解:不妨设小圆的半径为 1 ,则小三角形的边长为 2 3 ,所以小三角形的面积为 3 3 , 所以大三角形的面积为 12 3 ,小圆的面积为 ? ,∴阴影部分的面积为 6 3 ? 2? 所以 P ?

6 3 ? 2? 9 ? 3? 1 3? ? ? ? .选 C 18 2 18 12 3

? 2 1 ? x ? ( x ≤ 1) (12)设函数 f ( x) ? ? ,若互不相等的实数 a, b, c 满足 f (a ) ? f (b) ? f (c) ,则 2 ? ?ln x( x > 1)

a b c 的取值范围是( C ) ? ? f (a ) f (b) f (c)

A.[e, e e ]

B.[

2e e , 2 e) 3

C.[e, 2 e )

B.[e,

2e e ] 3

解:如图∵ f (a ) ? f (b) ? f (c) ,不妨设 a, b 是平行于 x 轴的直线与抛物线的交点,



1 3 a b a b c c ? ? 0 ,所以 ? ? ? ,且 e < c ≤ e e , < ln c ≤ 2 2 f (a ) f (b) f (a ) f (b) f (c) f (c) x ln x ? 1 ,则 g ?( x) ? ,当 e < x ≤ e e 时, g ( x) 在 ( e , e) 是减,在 (e, e e ) ln x (ln x) 2
第 3 页 共 3 页

令 g ( x) ?

上增,所以 g( x) min ? g (e) ? e ,又∵ g( e ) ? 2 e , g(e e ) ?

2e e <2 e 3

∴ e ≤ g ( x) < 2 e ,∴选 C.
(第Ⅱ卷 非选择题共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13.在 (4 ? x) 的展开式中, x 的系数为
8

7


7 7

y

2x-y=0 (1,2)

解:展开式中含有 x 的项为 C8 4(? x) ? ?32 x , x 的系数为 ?32
7
1

7

?2 x ? y ≤ 0 ? 14. 若 x, y 满足 ? x ? y ≤ 3 ,则 z ? 3 x ? 2 y 的最大值为( ? x≥0 ?
解:如图当直线 z ? 3 x ? 2 y 经过点(1,2)时取得最大值, 且 zmax ? 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 7



O

x x+y=3 3x+2y=0

15.《九章算术》中的“打水井”是我国数学的古典名题:“今有水井若干丈,一人挖,日一丈,日少十 分之一丈,周完毕,问井深几何?题意是:有一人从地面开始打水井,第一天进一丈,以后每天减少 十分之一丈,刚好一周打完,则水井的深度是 丈. 解:由题意 a1 ? 1 , an ? an ?1 ? ?

1 1 , n ? 7 ,所 以 S7 ? 7 ? 21? (? ) ? 4.9 (丈) 10 10

16.已知正 ?ABC 的三个顶点都在直径为 4 的球面上,球心 O 到边 BC 的距离为

7 ,则球心 o 到平面 2

ABC 的距离为 . 解: ∵ 球的直径为 4,∴ OC ? OA ? OB ? 2
又∵ 球心 O 到边 BC 的距离为

7 , ?ABC 是正三角形, 2



O A B

C

E

G

3 3 ∴ BC = 3 ,设 G 是三角形的外接圆心,∴ AE ? 2

∴ AG ? CG ? 3 ,

∴OG ? OC2 ? CG2 ? 1

即球心 o 到平面 ABC 的距离为 1. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (12 分)在 △ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 2sin C ? sin B ? tan A cos B . (I)求角 A 的大小;(5 分) (II)若 a ? 6 ,求 △ ABC 的周长 l 的最大值.(7 分) ∴ 2 cos A sin C ? sin B cos A ? sin A cos B , 解:(I)∵ 2sin C ? sin B ? tan A cos B

第 4 页 共 4 页

∴ 2 cos A sin C ? sin A cos B ? sin B cos A ,∴ 2 cos A sin C ? sin C , ∴ 2 cos A sin C ? sin C

∴ A ? 60? ,即角 A 的大小为 60? .
a ?4 3, sin A

(II)∵ A ? 60? , a ? 6 ,∴ 2 R ?

∴l ? a ? b ? c ? 4 3(sin A ? sin B ? sin C) ? 6 ? 4 3(sin B ? sin C)
∵ B ? C ? 120? ,∴l ? 6 ? 4 3sin B ? 4 3sin(120? ? B)

∴l ? 6 ? 6 3 sin B ? 6cos B ? 6 ? 12(
又∵ 0 < B <

3 1 ? sin B ? cos B) ? 6 ? 12sin( B ? ) , 2 2 6

2? ? ,∴ B ? 时, lmax ? 18 . 3 3

18.( 12 分) 已知有 1 辆有嘏疵的共享单车(车型完美、但质量有点细微问题,可能爆胎),需要专业 人士与专业工具才能检测出来,每次随机检测一辆共享单车,检测后不放回,直到检测出那辆有瑕疵 的共享单车或者检测出 4 辆质理完好的共享单车时检测结束. (Ⅰ)求第一次随机检测一辆是有瑕疵的共享单车的概率;(4 分) (Ⅱ)若每检测一辆共享单车需要用时 5 分钟,设 X 表示直到检测结束所需要的检测时间(单位:分 钟),求 X 的分布列和数学期望.(8 分) 解: (Ⅰ) 因为 5 辆共享单车中只有一辆是有问题的, 所以第一次就抽出有瑕疵的共享单车的概率为

1 ; 5

(Ⅱ)根据题意 X 取值 分别为 5,10,15, 20 ,它们分别表第 1 次,2 次,3 次,4 次检测出瑕疵单车;

1 4 1 1 4 3 1 1 , P ( X ? 10) ? ? ? , P( X ? 15) ? ? ? ? 5 5 4 5 5 4 3 5 1 1 1 2 4 3 2 1 4 3 2 1 2 P( X ? 20) ? 1 ? ( ? ? ) ? (或 P( X ? 20) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 5 5 5 5 5 4 3 2 5 4 3 2 5
所以 P ( X ? 5) ? (注:第 4 次有抽到瑕疵品和没有抽到两种情况,无论哪 一种都结束)

∴ X 的分布列如下:

X

5

1

01

52

0

2 1 1 1 5 5 5 5 1 1 1 2 ∴ X 的期望为 EX ? 5 ? ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 14 . 5 5 5 5
P

第 5 页 共 5 页

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知 AD ? 平面 ABC , AB ? AC , AD ∥ CE , △ ABC 是等腰三角形,

2 CE ? 2 , F 是 BE 上一点,且满足 BF ? 2 FE , 3 (Ⅰ)求证: DF ∥ 平面 ABC ;(6 分) (Ⅱ)求直线 DF 与平面 ACED 所成角的余弦值.(6 分)
且 AD ? AC ? (Ⅰ)证明:∵ AD ∥ CE ,∴ 过 D 作 AC 的平行线交 CE 于 G , 连结 GF ,则 DG ∥ AC

E D F A G

B 2 C ∵ AD ? AC ? CE ? 2 ,∴ CG ? 2GE H 3 又∵ BF ? 2 FE ,∴ GF ∥ BC ,∵ AC∩BC ? C , DG∩FG ? G ∴ 平面 DFG ∥ 平面 ABC ,又因为 DF ? 平面 DFG ,∴ DF ∥ 平面 ABC (Ⅱ)∵ AD ? 平面 ABC , AD ∥ CE ,∴CE ? 平面ABC ,∴ 平面 ABC ? 平面 ACED 又∵ 平面 DFG ∥ 平面 ABC ,∴ 平面 DFG ? 平面 ACED ∵ 平面 DFG∩ 平面 ACED ? EG ,∴ DF 与平面 ACED 所成角就是 ?FDG 2 ∵ AD ? AC ? CE ? 2 , AD ? AC ? 2,CE ? 3 ,且 3FG ? BC ∴ CG ? DG ? AD ? 2 3 又因为 AB ? AC , △ ABC 是等腰三角形,∴ AB ? AC ? 2, 且AB ? AC ,∴ FG ? 过 F 作 CE 平行线交交 BC 于 H ,连结 AH 则 DF∥AH ,且 BH ? 2 HC

2 2 3

2 2 A H2 ? A C ? HC ? 2

8 8 20 2 5 ? A? C H co C s4 5 ? 4? ? ? ,∴ DF ? 9 3 9 3

20 8 ? 9 9 ? 2 ?2 5, 在 △DFG 中, cos ?FDG ? 5 2 5 5 2? 2? 3 4?
20.(12 分)已知点 O 为坐标原点,椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1( a > b > 0 )左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,椭圆 a 2 b2

C 的离心率为

2 , 点 I 、 J 分别是椭圆 C 的一长轴端点、短轴端点,且 Rt△IOJ R 的斜边上的中 2

线长为

3 . 2

P

y

l
F2 Q

(I) 求椭圆 C 的标准方程; (II)如图,已知 P 、 Q 是椭圆 C 上的两个点,

F1

x

以 PQ 为直径的圆过定点 F2 ,线段 PQ 的中垂线 l 的斜率为 2 ,求中垂线 l 的方程.
第 6 页 共 6 页

解:(I)因为椭圆 C 的离心率为

2 3 , ∴b ? c ,又∵ Rt△IOJ R 的斜边上的中线长为 . 2 2

∴ a2 ? b2 ? 3 ,∴a2 ? b2 ? 3 ,又∵c 2 ? b2 ? a 2 ,∴a2 ? 2b2 ? 2c2
∴ b ? 1 , a ? 2 ,所以椭圆 C 的方程为
(II)因为 PQ 中垂线的斜率为 2,∴ k PQ ? ?

x2 ? y 2 ? 1. 2

1 ,设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) , PQ 方程为 x ? 2 y ? m , 2

?x ? 2 y ? m ? 2 2 解方程组 ? x 2 得 2x2 ? ( x ? m)2 ? 4 ,即 3x ? 2mx ? m ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
∴△? 4m2 ?12m2 ? 48 > 0 ,∴ m2 < 6 ,∴? 6 < m <
∴ x1 ? x2 ?
∴ y1 y2 ?

6

2m 1 2m m2 ? 4 ,∴ x1 x2 ? ,∴ y1 ? y2 ? ? ( x1 ? x2 ? 2m) ? , 3 2 3 3
1 1 1 1 1 1 ( x1 ? m)( x2 ? m) ? x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 2 ? ? ? m 2 4 4 4 4 3 6

又 ∵ 以 PQ 为直径的圆过定点 F2 ,∴

y2 y ? 1 ? ?1 ,∴ y2 y1 ? x2 x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0 x2 ? 1 x1 ? 1



1 2 1 m 2 ? 4 2m m ? ? ? ? 1 ? 0 , 3m2 ? 4m ? 4 ? 0 ,∴(3m ? 2)(m ? 2) ? 0 6 3 3 3

2 ∴ m ? ? 或 m ? 2 都符合条件. 3 x ? x2 y ? y2 2 2 2 2 2 ? ? ,∴ 1 ? ? ,∴ PQ 中点为 (? , ? ) 当 m ? ? 时,∴ 1 3 2 9 2 9 9 9 2 2 ∴ PQ 中垂线方程为: y ? ? 2( x ? ) ,即 18x ? 9 y ? 2 ? 0 9 9 x1 ? x2 2 y1 ? y2 2 2 2 ? ,∴ ? ,∴ PQ 中点为 ( , ) 当 m ? 2 时,∴ 2 3 2 3 3 3 2 2 ∴ PQ 中垂线方程为: y ? ? 2( x ? ) ,即 6 x ? 3 y ? 2 ? 0 3 3

第 7 页 共 7 页

.21.(12 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? x)e x ? ax ? 1. (I)若函数 f ( x ) 在 R 上单调递减,求实数 a 的取值范围; ( II)证明不等关系: e < (

2019 2018 ) . 2017

解:(1)∵ f ( x) ? (1 ? x)e x ? ax ?1 ,∴ f ?( x) ? ? xe x ? a ,∵ 函数 f ( x ) 在 R 上单调递减,

∴ ? xe x ? a ≤ 0 恒成立,令 g ( x) ? ? xe x ,则 g ?( x) ? ?e x (1 ? x)

∴ x < ?1 时, g ?( x) > 0 , x > ?1 时, g ?( x) < 0 ,
∴ g ( x) 在 (??, ?1) 上递增,在 (?1, ??) 上递减,∴ g ( x) max ? g ( ?1) ?

1 e

1 1 ∴ a ≥ ,即 a 的取值范围是 [ , ??) e e
(2)(法一)由(1)知当 a ? 1 时, f ( x) ? (1 ? x)e x ? x ?1 ,∴ f ?( x) ? ? xex ?1 ,

∴ 当 x > 0 时, f ?( x) < 0 ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上递减,∴ f ( x) ? f (0) ? 0
1 1? x 1 n ?1 n n ?1 ) ,令 x ? ,则 e n < ,e< ( ∴ f ( x) ? (1 ? x)e ? x ?1 < 0 ,∴ e < 1? x n n ?1 n ?1

x

x

故e< ( (法二)

2019 2018 ) 2017 2019 2018 ) 由e < ( 2017



e< (

x ?1 x ) x ?1

x ? 2018 , 1 < x ln

x ?1 x ?1 ,x > 1 时,x > ln x ?1 x ?1

x ?1 x ?1 2 x2 ? 3 令 g ( x ) ? x ? ln ,则 g ?( x) ? 1 ? , x ≥ 3 时 g ?( x) ≥ 0 ? ? x ?1 x ? 1 ( x ? 1)2 x 2 ? 1
∴ g ( x) 在 [ 3, ??) 递增,又∵ x > 0 时, g ( x) > 0 ,∴ g (2018) > 0 ,即 2018 > ln

2017 2019

∴ 2018ln

2019 2019 2018 2019 2018 2019 2018 > 1 ,∴ ln( ) > 1 ,∴ ( ) > e ,即 e < ( ) . 2017 2017 2017 2017

22.(本小题满分 10 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos t ( t 为参数),在以原点 O 为极点, x 轴 ? y ? ?2 ? sin t

的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? (I)求圆 C 普通方程和直线 l 的直角坐标方程;

?
4

)??

2 . 2

(II)设直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,点 M 是圆 C 上任一点,求 △ ABM 的周长的最大值.

第 8 页 共 8 页

解:(I)∵ ?

? x ? 1 ? cos t ,∴ cos t ? 1 ? x 且 sin t ? ?2 ? y ,∴( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ? y ? ?2 ? sin t
所以圆 C 的普通方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ; 又因为 ? sin(? ?

?
4

)??

2 且 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 2

∴ ? sin ? ? ? cos? ? ?1 ,即 x ? y ? 1 ? 0
所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (II)∵ 直线 l : x ? y ? 1 ? 0 经过圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 的圆心 (1, ?2)

∴ | AB |? 2 ,又 M 在圆 C 上, AM ? BM ,即 AM 2 ? BM 2 ? AB2 ? 4
2 2 又因为 △ ABM 中, AM ? BM ? ?? , AM ? BM ≥

1 ( AM ? BM ) 2 2

L△AMB ? AM ? BM ? 2 ≤2 2 +2 , L△AMB ? AM ? BM ? 2 ≥ 4
△ ABM 的周长的最大值为 2 2 + 2 .
23.已知函数 f ( x) ?| x ? 6 | ? | x ? 2 | . (I)求不等式 f ( x) > 2 ? x 的解集; (II)若 ?x ? R ,都有 f ( x ) ≤ 2m ?
2

10 m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 3

?8, x < ?2 ? 解:(I)∵ f ( x) ?| x ? 6 | ? | x ? 2 |? ??2 x ? 4, ?2 ≤ x < 6 ??8, x ≥ 6 ?

?8 > 2 ? x ??2 x ? 4 > 2 ? x ??8 > 2 ? x 或? 或? ? ? x < ?2 ??2 ≤ x < 6 ?x ≥ 6
?6 < x < - 2 或 ?2 ≤ x < 2 或 x > 10
所以不等式的解集为 (?6, 2)∪(10, ??)

10 10 m 恒成立,所以 2m 2 ? m ≥ f ( x) max 3 3 10 2 m ≥ 8 , 3m2 ? 5m ? 12 ≥ 0 由(I)知 f ( x)max ? 8 ,所以 2m ? 3 4 ∴(3m ? 4)(m - 3) ≥ 0 ,∴ m ≤ ? 或 m ≥ 3 3 4 所以实数 m 取值范围是 (??, ? ]∪[3, ??) 3
因为对 ?x ? R ,都有 f ( x ) ≤ 2m ?
2

第 9 页 共 9 页


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