nbhkdz.com冰点文库

江西师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)试题含解析


江西师大附中 2015 届 高三年级数学(理)月考试卷 命题人:张和良 审题人:蔡卫强 2114 年 10 月

【试卷综析】本次试卷考查的范围是必修一的全部内容以及必修四第一章三角函数.高考试 卷形式相同。试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况.整份试卷 难易适中,没有偏、难、怪题,保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情;在选题 和

确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础,突出知识体系中的重点,培养能力”的命题原 则,重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 【题文】 1. 已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} , B ? {x | y ? ln(1? | x |)} ,则 A ( ) A. (1, 2) B. [1, 2) C. (1, 2] D. [1, 2]

(?R B) ?

【知识点】交、并、补集的混合运算.A1 【答案解析】B 解析:解:由集合 A 中的不等式 x ﹣x﹣2<0,解得:﹣1<x<2, ∴A=(﹣1,2) , 由集合 B 中的函数 y=ln(1﹣|x|) ,得到 1﹣|x|>0,即|x|<1,解得:﹣1<x<1, ∴B=(﹣1,1) ,又全集 R,∴CRB=(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) ,则 A∩(CRB)=[1,2) . 故选 B 【思路点拨】求出集合 A 中不等式的解集,确定出集合 A,求出集合 B 中函数的定义域,确 定出集合 B,找出 R 中不属于 B 的部分,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的公共部分即可 【题文】2.以下说法错误的是(
2 2


2

A.命题“若 x -3x+2=0,则 x=1”的逆否命题是“若 x≠1,则 x -3x+2≠0” B.“x=1”是“x -3x+2=0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题
2 D.若命题 p: ? x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则﹁p: ? x∈R,都有 x +x+1≥0
2 2

【知识点】命题的真假判断与应用;四种命题间的逆否关系;必要条件、充分条件与充要条 件的判断.A2 【答案解析】C 解析:解:命题“若 x ﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”故 A 为真命题; 2 “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件.故 B 为真命题; 若 p∧q 为假命题,则 p、q 存在至少一个假命题,但 p、q 不一定均为假命题,故 C 为假命 题; 2 2 命题 p: ?x ∈R,使得 x +x+1<0.则非 p: ?x ∈R,均有 x +x+1≥0,故 D 为真命题; 故选 C. 【思路点拨】根据四种命题的定义,我们可以判断 A 的真假;根据充要条件的定义,我们可
1
2 2

以判断 B 的真假;根据复合命题的真值表,我们可以判断 C 的真假;根据特称命题的否定方 法,我们可以判断 D 的真假,进而得到答案. 【题文】3.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 A. y ? 2| x| C. y ? 2x ? 2? x 【知识点】函数奇偶性的性质.B4 【答案解析】D 解析:解:A∵f(﹣x)=f(x)∴为偶函数 B∵f(﹣x)=﹣f(x)∴为奇函数 C∵f(﹣x)=f(x)∴为偶函数 D 定义域是(﹣1,+∞) ,定义域不关于原点对称既不是奇函数,又不是偶函数. 【思路点拨】由奇偶性的定义判断 【题文】 4.若一元二次不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1或x ? } , 则 f1 ( 0) ( x0 ? 的解集为 A. {x | x ? ?1或x ? lg 2} C. {x | x ? ? lg 2} B. {x | ?1 ? x ? lg 2} D. {x | x ? ? lg 2} B. y ? 1g ( x ? D. y ? 1g ( )

x 2 ? 1)

1 x ?1

1 2



【知识点】其他不等式的解法;一元二次不等式的解法.E1,E3 【答案解析】D 解析:解:由题意可知 f(x)>0 的解集为{x|﹣1<x< }, 故可得 f(10 )>0 等价于﹣1<10 < , 由指数函数的值域为(0,+∞)一定有 10 >﹣1, 而 10 < 可化为 10 <
x x x x x

,即 10 <10

x

﹣lg2



由指数函数的单调性可知:x<﹣lg2 故选 D 【思路点拨】由题意可得 f(10 )>0 等价于﹣1<10 < ,由指数函数的单调性可得解集. 【题文】5.已知 a>l, f ( x) ? a x A. ?1 ? x ? 0
2

x

x

?2 x

,则使 f ( x) ? 1 成立的一个充分不必要条件是( C. ?2 ? x ? 0 D. 0 ? x ? 1



B. ?2 ? x ? 1

【知识点】要条件、充分条件与充要条件的判断;指数函数的单调性与特殊点.A2,B6 【答案解析】A 解析:解:f(x)<1 成立的充要条件是 ∵a>1∴x +2x<0∴﹣2<x<0 ∴f(x)<1 成立的一个充分不必要条件是﹣1<x<0,故选项为 A 【思路点拨】求出不等式的解集即不等式成立的充要条件;据当集合 A?集合 B 且 B?A 时,
2

2

A 是 B 的充分不必要条件 1 【题文】6.若变量 x,y 满足| x |-ln =0,则 y 关于 x 的函数图象大致是(

y



【知识点】对数函数的图像与性质.B7 【答案解析】B 解析:解:若变量 x,y 满足|x|﹣ln =0,则得 y= 且过点(0,1) ,故排除 C、D. 再由当 x>0 时,y= 故选 B. 【思路点拨】由条件可得 y= 是减函数,从而得出结论 【题文】7.△ABC 中,A= A.4 3 sin(B+ C.6sin(B+ ,显然定义域为 R,且过点(0,1) ,当 x>0 时,y= , ,是减函数,故排除 A, ,显然定义域为 R,

? ,BC=3,则△ABC 的周长为( 3
B.4 3 sin(B+ D.6sin(B+



? )+3 3

? )+3 6

? )+3 3

? )+3 6

【知识点】正弦定理.C5 【答案解析】D 解析:解:根据正弦定理 ∴AC= =2 sinB,AB= sinB+3cosB+ sinB+3=6sin(B+ , =3cosB+ )+3 sinB

∴△ABC 的周长为 2 故选 D.

【思路点拨】根据正弦定理分别求得 AC 和 AB,最后三边相加整理即可得到答案 【题文】8.方程 log 1 ( a ? 2 ) ? 2 ? x 有解,则 a 的最小值为(
2 x



A.2

B.1

C.

3 2

D.

1 2

【知识点】函数的零点与方程根的关系.B9

3

【答案解析】B 解析:解:若方程

有解,



=a﹣2 有解,即

x

+2 =a 有解∵

x

+2 ≥1

x

故 a 的最小值为 1,故选 B 【思路点拨】若方程 有解,根据将对数式化为指数式后要得

+2 =a 有解,根据基本不等式求出

x

+2 的最小值,即可得到答案. 时,f ( x) ? 2? | x ? 2 | ,

x

3 ] , 1 [ 【题文】 9.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) , 当 x?
则( )

A. f (sin

2? 2? ) ? f (cos ) 3 3

B. f (sin1) ? f (cos1) D. f (sin 2) ? f (cos 2)

C. f (tan 3) ? f (tan 6)

【知识点】函数的周期性;函数单调性的性质.B3,B4 【答案解析】D 解析:解:设 x∈[﹣1,1],则 x+2∈[1,3] ∴f(x)=f(x+2)=2﹣|x+2﹣2|=2﹣|x| 即 f(x)=

∴ ∴

=f( ,排除 A

)﹣f(

)=﹣2﹣

+2+

=0

∵1>sin1>cos1>0,f(x)在[0,1]上单调减 ∴f(sin1)<f(cos1) ,排除 B ∵﹣1<tan6<tan3<0,f(x)在[﹣1,0]上单调增 ∴f(tan3)>f(tan6) ,排除 C 故选 D 【思路点拨】先设 x∈[﹣1,1],则 x+2∈[1,3],根据 f(x)=f(x+2)求出 f(x)在[﹣ 1,1]上的解析式,根据解析式可知 f(x)在[0,1]上单调减,在[﹣1,0]上单调增,对选 项逐一检验 【题文】10.设 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a>0,b>0,若 f ( x ) ? f ( ) |对一切 x∈R 恒成 6 立,则 ① f(

?

11? 7? ? ) ? 0; ② | f ( ) |?| f ( ) |; ③f(x)既不是奇函数也不是偶函数 ; ④f(x)的单调递 12 10 5
4

[ k? ? 增区间是

? 2? , k? ? ](k∈Z); ⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相 6 3
) C.①③④ D.①②④⑤ B.①③

交.以上结论正确的是( A.①②④

【知识点】三角函数中的恒等变换应用;复合三角函数的单调性.C7 【答案解析】B 解析:解:①f(x)=asin2x+bcos2x= 由f (x) ≤|f ( 即 =| ) |对一切 x∈R 恒成立得|f ( + |, b. ) . ) |= sin(2x+?) , =|asin +bcos |=| + |,

两边平方整理得:a= ∴f(x)= ①f( ②|f(

bsin2x+bcos2x=2bsin(2x+ )=2bsin( )|=|f( +

)=0,故①正确; ,故②错误;

)|=2bsin

③f(﹣x)≠±f(x) ,故③正确; ④∵b>0,由 2kπ ﹣ 得, kπ ﹣ ≤x≤kπ + ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z) , kπ + ] (k∈Z) ,

(k∈Z) , 即f (x) 的单调递增区间是[kπ ﹣

故④错误; ⑤∵a= b>0,要经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交,则此直线与 x 轴平 行,又 f(x)的振幅为 2b> b, ∴直线必与函数 f(x)的图象有交点,故⑤错误. 综上所述,结论正确的是①③. 故选 B. 【思路点拨】 先将 f (x) =asin2x+bcos2x, a>0, b>0, 变形为 f (x) = 再由 f(x)≤|f( sin (2x+?) ,

)|对一切 x∈R 恒成立得 a,b 之间的关系,然后顺次判断命题真假

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 【题文】11.已知命题“函数 f ( x) ? log2 ( x ? ax ? 1) 定义域为 R”是假命题,则实数 a 的
2

取值范围是



【知识点】函数的定义域及其求法.B1 【答案解析】a≤﹣2 或 a≥2 解析:解:若函数 f(x)=log2(x +ax+1)定义域为 R,为假 命题, 2 2 则 x +ax+1>0 恒成立为假命题,即对应的判别式△=a ﹣4≥0,解得 a≤﹣2 或 a≥2, 故答案为: a≤﹣2 或 a≥2
5
2

【思路点拨】根据对数函数的图象和性质,转化为一元二次函数问题即可得到结论. 4 ?? ?? ?? ? ? ? 【题文】12. 若 α ∈ ? , ? ? ,且 sinα = ,则 sin ? ? ? ? +cos ? ? ? ? = 5 4? 4? ?2 ? ? ? .

【知识点】两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函 数.C2,C5 【答案解析】 ∴cosα =﹣ ,又 ∴ 故答案为 【思路点拨】 由题设条件知本题是一个三角化简求值题, 可先由同角三角函数的基本关系求 出角 α 的余弦, 再由正弦的和角公式, 余弦的和角公式将 展开成用角 α 的余弦,正弦表示,代入值即可求得答案 【题文】13.由曲线 y= x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 【知识点】定积分 B13 【答案解析】 解析:解:如图所示: . = 解析:解:∵ = ×(﹣ )= ,且 cosα ,

联立 由曲线 y= S=

解得

,∴M(4,2) .

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积 = = .

故答案为



6

【思路点拨】利用微积分基本定理即可求出

?log 2 x, x ? 0 1 【题文】14.已知函数 f ( x) ? ? x 若f (a) ? , 则 a= 2 ?2 , x ? 0.
【知识点】函数的值;分段函数的应用.B1,B3 【答案解析】﹣1 或 ∴a= .解析:解:当 a>0 时,log2a=
a ﹣1



,当 a≤0 时,2 = =2 ,∴a=﹣1.∴a=﹣1 或 .
a



故答案为:﹣1 或

【思路点拨】当 a>0 时,log2a= ;当 a≤0 时,2 = .由此能求出 a 的值 【 题 文 】 15. 若 不 等 式 x2 ?| x ? 1 | ?a 的 解 集 是 区 间 (?3,3) 的 子 集 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 .

【知识点】一元二次不等式的解法.E3 【答案解析】 (﹣∞,5]解析:解:不等式 x <|x﹣1|+a 等价为 x ﹣|x﹣1|﹣a<0, 2 设 f(x)=x ﹣|x﹣1|﹣a, 2 若不等式 x <|x﹣1|+a 的解集是区间(﹣3,3)的子集, 则 ,即 ,则 ,
2 2

解得 a≤5,故答案为: (﹣∞,5] 【思路点拨】将不等式转化为函数,利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论 三、解答题:本大题共 6 个题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 【题文】16.(本小题满分12分)已知p:?x∈R,2x>m(x +1),q:?x0∈R, x0 + 2x 0 - m -1=0, 且p∧q为真,求实数m的取值范围. 【知识点】复合命题的真假.A2 【答案解析】2≤m<﹣1 解析:解:不等式 2x>m(x +1) ,等价为 mx ﹣2x+m<0, 若 m=0,则﹣2x<0,即 x>0,不满足条件. 若 m≠0,要使不等式恒成立,则 ,
2 2



,解得 m<﹣1.即 p:m<﹣1.

若?x0∈R,x

+2x0﹣m﹣1=0,则△=4+4(m+1)≥0,解得 m≥﹣2,

即 q:m≥﹣2.若 p∧q 为真,则 p 与 q 同时为真,则



7

即﹣2≤m<﹣1. 【思路点拨】分别求出 p 和 q 的等价条件,然后利用 p∧q 为真,求出实数 a 的取值范围 【题文】17.(本小题满分 12 分)记函数 f ( x) ? lg( x 2 ? x ? 2) 的定义域为集合 A ,函数

g ( x ) ? 3 ? x 的定义域为集合 B .
(Ⅰ)求 A

B;

(Ⅱ)若 C ? x x ? 4 x ? 4 ? p ? 0, p ? 0 ,且 C ? ( A
2 2

?

?

B ) ,求实数 p 的取值范围.

【知识点】对数函数的定义域;集合关系中的参数取值问题.A1,B7 【答案解析】(I)A∩B={x|﹣3≤x<﹣1 或 2<x≤3;(II)0<p≤1 解析:解: (1)依题意, 2 得 A={x|x ﹣x﹣2>0}={x|x<﹣1 或 x>2} B={x|3﹣|x|≥0}={x|﹣3≤x≤3} ∴A∩B={x|﹣3≤x<﹣1 或 2<x≤3} (2)∵p>0,∴C={x|﹣2﹣p<x<﹣2+p} 又 C?(A∩B)∴ ∴0<p≤1

【思路点拨】 (1)根据对数函数的真数大于 0 求出集合 A,根据偶次根式被开方数大于等于 0 求出集合 B,最后根据交集的定义求所求; (2)先求出集合 C,然后根据 C?(A∩B)建立不等式组,解之即可 【题文】 18. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? sin(? x ? ) ? 2cos2 与函数 f ( x) 图像相邻两交点的距离为 ? . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若点 ( ,0) 是函数 y ? f ( x) 图像 的一个对称中心,且 b=3,求 ?ABC 面积的最大值. 【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦定理.C7,C8 【答案解析】(I) ω =2(II) =sinω xcos ﹣cosω xsin 解析:解: (Ⅰ)函数 f(x)=sin(ω x﹣ ﹣2? +1= sinω x﹣ cosω x= )﹣2cos
2

?

?x
2

6

? 1(? ? 0) ,直线 y ? 3

B 2

x+1 )

sin(ω x﹣

∵f(x)的最大值为

,∴f(x)的最小正周期为 π ,∴ω =2. sin(2x﹣ ) ,

(Ⅱ)由(1)知 f(x)=


2

sin(B﹣
2

)=0?B=

,∵cosB=

=

= ,

ac=a +c ﹣9≥2ac﹣9,ac≤9,故 S△ABC= acsinB=

ac≤



8

故△ABC 的面积的最大值为



【思路点拨】 (Ⅰ)运用二倍角的余弦公式,以及两角差的正弦化简 f(x) ,再由周期公式, 即可得到 ω 的值; (Ⅱ)由(1)知 f(x)= sin(2x﹣ ) ,f( )=0,得到 B= ,再由余弦定理和基本

不等式,以及三角形的面积公式,即可求出面积的最大值. 【题文】19.(本小题满分 12 分)如图,简单组合体 ABCDPE ,其底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PD ⊥平面 ABCD , EC ∥ PD, 且 PD ? 2 EC ? 2. (Ⅰ)在线段 PB 上找一点 M ,使得 ME ⊥平面 PBD; (Ⅱ)求平面 PBE 与平面 PAB 的夹角.
D
A

P

E

C

B

【知识点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质 G11 【答案解析】 (Ⅰ)M 为线段 PB 的中点(II)

?
6

(Ⅰ)M 为线段 PB 的中点. 连 . 解析:解:

结 AC 与 BD ,交点为 F , 过 F 作底面 ABCD 的垂线交 PB 于 M ,由 CF ? 平面 PBD , 又四 边形 FCEM 为矩形,? ME ⊥平面 PBD. (Ⅱ)如图建立空间坐标系 D ? xyz. 设 PA 中点为 N . 各点坐标如下:

D ? 0,0,0? ; A? 2,0,0? ; B ? 2,2,0? ; E ? 0, 2,1? ; P ? 0,0, 2? ; N ?1,0,1? . 由 DN ? PA, DN ? AB, 得 ND ? 平面 PAB.
所以平面 PAB 有法向量 DN ? n ? ?1,0,1? ; 设平面 PBE 法向量 m ? ? x, y, z ? , 因为 BE ? ? ?2,0,1? , BP ? ? ?2, ?2, 2? , 由?
N

z

P
E M

? ?m ? BE ? 0

? 2x ? z ,取 m ? ?1,1, 2? ?? x ? y ? z m ? BP ? 0 ? ? ?
m?n

D
C

y F
B

A

x 3 3 ? ? cos m, n ? ? ? . 所以平面 PBE 与平面 PAB 夹角为 . 2 6 2? 6 m n

【思路点拨】 (1)M 为线段 PB 的中点,连接 AC 与 BD 交于点 F,连接 MF,由 F 为 BD 的中点, 知 MF∥PD 且 MF= PD.由 EC∥PD,且 EC= PD,知四边形 MFCE 为平行四边形,由此能证明 ME⊥面 PDB; (2)求出 E 到平面 PAB 的距离、ME,即可求出平面 PBE 与平面 PAB 的夹角

b c d ? R) ,设直 【题文】20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ,,, l2 分别是曲线 y ? f ( x) 的两条不同的切线. 线 l1 , b c d 的值; (Ⅰ)若函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 1 时 f ( x) 有极小值为 ?4 ,求 a ,,,
9

(Ⅱ)若直线 l1 // l2 ,直线 l1 与曲线 y ? f ( x) 切于点 B 且交曲线 y ? f ( x) 于点 D ,直线 l2 和 B, C, D 的横坐标分别为 与曲线 y ? f ( x) 切于点 C 且交曲线 y ? f ( x) 于点 A ,记点 A ,

xA , xB , xC , xD ,求 ( xA ? xB ) : ( xB ? xC ) :( xC ? xD ) 的值.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.B11

c ? ?6 , b ? d ? 0 (II) ( xA ? xB ) :( xB ? xC ) :( xC ? xD ) ? 1: 2 :1 【答案解析】(I) a ? 2 , 解析:解: (Ⅰ)∵ x ? R , f ( x) 为奇函数,
∴ f (0) ? d ? 0 , f (? x) ? ? f ( x) 即 ?ax3 ? bx 2 ? cx ? ?ax3 ? bx 2 ? cx ,∴b = 0, ∴ f ( x) ? ax3 ? cx , 则 f ?( x) ? 3ax2 ? c ,又当 x ? 1 时 f ( x) 有极小值为 ?4 ,

? f ?(1) ? 0 , ?3a ? c ? 0 , ∴? 即? ?a ? c ? ?4 , ? f (1) ? ?4 , ?a ? 2 , ∴? 即 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x , ?c ? ?6 ,
经检验 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 满足题意; c ? ?6 , b ? d ? 0; ∴ a ? 2,

xC ? x2 ,由 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 及 l1 // l2 得 (Ⅱ)令 xB ? x1 ,
2 x ?) 2b 2 ? (x ) x2 由 1x1x? 得 3ax12 ? 2bx1 ? c ? 3ax2 ? 2bx2 ? c , ∴ 3a (1x? 2x ) (? 1x 2 2b 2b x1 ? x2 ? ? ,即 x2 ? ? x1 ? ; 将 y ? (3ax12 ? 2bx1 ? c)( x ? x1 ) ? y1 与 y ? f ( x) 联立化简 3a 3a b 3 得 ax3 ? bx2 ? (3ax12 ? 2bx1 ) x ? 2ax1 ? bx12 ? 0 , ∴ a( x ? x1 )2 ( x ? 2x1 ? ) ? 0 , ∴ a b b b b 2b ,∴ xA ? xB ? x1 ? , xB ? xC ? 2x1 ? , xD ? ?2x1 ? ,同理 xA ? ?2 x2 ? ? 2 x1 ? a 3a 3a a 3a b xC ? xD ? x1 ? ,∴ ( xA ? xB ) :( xB ? xC ) :( xC ? xD ) ? 1: 2 :1 3a 【思路点拨】 (1) (i)由函数为奇函数求得 b,再由当 x=1 时 f(x)有极小值为﹣4 列式求 出 a,c 的值;

(ii)设(x0,y0)为曲线 y=f(x)上一点,由(i)得

,由此得到

y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程结合 f′(﹣1)=0,f(﹣1)=4,可知 y=4 是曲线 y=f (x)的一条切线,且过(m,4) .再设另两条切线切点分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,求出直 线 l1 和 l2 的方程,令 y=4 求得 且 ,可知 x1,

x2 是方程

的两解,然后构造辅助函数,再利用导数求出 m 的取值范围;

(2)令 xB=x1,xC=x2,由直线 l1∥l2 得到两点横坐标的关系,再通过求解方程组求得点 D 和 点 A 的坐标,得到(xA﹣xB) , (xB﹣xC) , (xC﹣xD) ,则答案可求. 【题文】21.(本小题满分 14 分)巳知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2a ln x , g ( x) ? ln 2 x ? 2a 2 ,其 中 x ? 0, a ? R . (Ⅰ)若 f ( x) 在区间 (2, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围;

10

(Ⅱ)记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求证: F ( x) ?

1 . 2

【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.B11

4 3 解析:解: (Ⅰ)∵ f ( x) 在区间 (2, ??) 上单调递增,
∴ f ?( x ) ? ∴a ?

2 2 【答案解析】(I) ( ??, ] (II) F ( x ) ? ( x ? a ) ? (ln x ? a ) ? (

2 2 1 ) ? 2 2

2 x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 在区间 (2, ??) 上恒成立, x

x2 对区间 (2, ??) 恒成立, x ?1 x2 2 x( x ? 1) ? x 2 x 2 ? 2 x 令 M ( x) ? ,则 M ?( x ) ? ? x ?1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2
当 x ? (2, ??) 时, M ?( x ) ? 0 ,有 M ( x ) ? ∴ a 的取值范围为 ( ??, ] .

x2 4 ? M (2) ? , x ?1 3

4 3 2 (Ⅱ)解法 1: F ( x) ? x ? 2ax ? 2a ln x ? ln2 x ? 2a 2

? 2[a 2 ? ( x ? ln x )a ?
令 P(a ) ? a ? ( x ? ln x )a ?
2

x 2 ? ln 2 x ], 2

x 2 ? ln 2 x , 2 x ? ln x 2 x ? ln x 2 x 2 ? ln 2 x ) ?( ) ? 则 P( a ) ? ( a ? 2 2 2 2 x ? ln x 2 ( x ? ln x ) ( x ? ln x ) 2 ? (a ? ) ? ? 2 4 4 1 x ?1 令 Q( x) ? x ? ln x ,则 Q ?( x ) ? 1 ? ? , x x
显然 Q ( x ) 在 (0,1] 上单调递减, 在 [1, ??) 上单调递增, 则 Q( x)min ? Q(1) ? 1 , 则 P(a ) ? 故 F ( x) ? 2 ?

1 , 4

1 1 ? . 4 2 解法 2: F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2a ln x ? ln2 x ? 2a 2 ? ( x ? a)2 ? (ln x ? a)2 则 F ( x ) 表示 y ? ln x 上一点 ( x,ln x) 与直线 y ? x 上一点 ( a , a ) 距离的平方. 1 1 ? 1,解得 x0 ? 1 , 由 y ? ln x 得 y ? ? ,让 y ? ? x x0 ∴直线 y ? x ? 1 与 y ? ln x 的图象相切于点 (1,0) , 1 (另解:令 N ( x) ? x ? 1 ? ln x ,则 N ?( x ) ? 1 ? , x 可得 y ? N ( x ) 在 (0,1] 上单调递减,在 [1, ??) 上单调递增, 故 N ( x)min ? N (1) ? 0 ,则 x ? x ? 1 ? ln x , 直线 y ? x ? 1 与 y ? ln x 的图象相切于点 (1,0) ) ,

11

点(1,0)到直线 y ? x 的距离为

2 2 2 1 2 2 ,则 F ( x ) ? ( x ? a ) ? (ln x ? a ) ? ( ) ? . 2 2 2

【思路点拨】 (Ⅰ)根据极点的定义很容易求出 a 的值,由于只是导函数在一点的导数等于 0,不能说明这一点是极点,所以求出 a 之后需验证它是否是极点. (Ⅱ)由 f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,便得到在该区间上 f′(x)≥0,然后用 x 表示 a,即得到
2

,只需求

的范围即可.
2 2

(Ⅲ)求出 F(x)=x ﹣2ax﹣2alnx+ln x+2a ,通过观察 F(x)的解析式的形式,能够想到 解析式里可能存在完全平方式,所以试着构造完全平方式,结果能构造出完全平方式,并得 到:F(x)= 即可,这点的说明,利用求导数,根据单调性判断即可. ,所以只要 x﹣lnx≥1

12


江西师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)试题含解析

江西师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)试题含解析_数学_高中教育_教育...江西师大附中 2015 届 高三年级数学(理)月考试卷 命题人:张和良 审题人:蔡...

江西师范大学附属中学2017届高三10月月考数学(理)试题

江西师范大学附属中学2017届高三10月月考数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。江西师大附中高三数学(理)月考试卷第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) Z-XK] 网科 :...

江西师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)

江西师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)_数学_高中教育_教育专区。江西...2x ? 2? x 【知识点】函数奇偶性的性质.B4 【答案解析】D 解析:解:A∵f...

江西师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(文)试题含解析

江西师范大学附属中学2015届高三10月月考数学()试题含解析_数学_高中教育_教育...则 四边形 B1BDD1 为平行四边形,同理可证四边形 AA1D1D 为平行四边形,则 ...

江西省师范大学附属中学2015届高三数学10月月考试题 理

江西省师范大学附属中学2015届高三数学10月月考试题 理_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 江西省师范大学附属中学2015届高三数学10月月考试题 理...

江西师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)试题 Word版含解析

江西师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)试题 Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江西师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)试题 Word...

江西省师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)试题 Word版含答案

江西省师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江西省师范大学附属中学2015届高三10月月考 江西省师范大...

江西省师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)试题

江西省师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 江西省师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)...

江西省师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)试题

江西省师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)试题_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 江西省师范大学附属中学2015届高三10月月考数学(理)...