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北京市东城区2015届高三第二学期综合练习(一) 数学理 Word版含答案


北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(一) 高三数学 (理科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

/>第一部分(选择题
要求的一项)

共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

(1)已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | x ? ?3 ,或 x ? 4} , 那么 A

(?U B) ?
(B) {x | ?3 ? x ? 2} (D) {x | ?3 ? x ? 4}

(A) {x | ?1 ? x ? 4} (C) {x | ?1 ? x ? 2} (2)已知复数 (A) ?2 (C) 2

a?i 为纯虚数,那么实数 a ? 2?i
(B) ? (D)

1 2

1 2 1 ,则实数 m ? 6

(3)在区间 [0, 2] 上随机取一个实数 x ,若事件“ 3 x ? m ? 0 ”发生的概率为 (A) 1 (C) (B) (D)

1 2 1 6

1 3

(4)已知点 M 的极坐标为 (5, (A) (?

2? ) ,那么将点 M 的极坐标化成直角坐标为 3
(B) ( ? (D) ( ?

5 3 5 ,? ) 2 2

5 3 5 , ) 2 2 5 5 3 , ) 2 2

(C) ( ,

5 5 3 ) 2 2
2

(5) “ x ? 1 ”是“ log 1 x ? 0 ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (6)某学校开设“蓝天工程博览课程” ,组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有
2 4 (A ) A 6 种 ? A5 2 (B) A 6 ? 54 种

2 4 (C ) C 6 种 ? A5

2 (D) C6 ? 54 种

(7)一个几何体的三视图如图所示,图中直角三角形的直角边长均为 1 ,则该几何体体积为 (A)

1 6

(B)

2 6
正 (主) 视图 侧(左)视图

3 (C) 6
(D)

1 2
2

俯视图 ( 8 )已知函数 f ( x) ? 2mx ? 2(4 ? m) x ? 1 , g ( x) ? mx ,若对于任意实数 x , f ( x) 与

g ( x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是
(A) (0, 2) (C) (2,8) (B) (0,8) (D) (??, 0)

第二部分(非选择题
二、 填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

共 110 分)

(9)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 8 , S 4 ? 12 ,则 {an } 的公差 d ? (10)曲线 y ? sin x(0 ? x ? ?? 与 x 轴围成的封闭区域的面积为 .



(11)如图,在△ ABC 中,?A ? 60 , AB ? 2 AC ? 8 ,过 C 作△ ABC 外接圆的切线 CD ,

BD ? CD 于 D , BD 与外接圆交于点 E ,则 DE ?
B



O E D C A

(12)已知 F1 , F2 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,且 PF2 a 2 b2


垂直于 x 轴.若 | F1 F2 |? 2 | PF2 | ,则该椭圆的离心率为

(13)已知函数 f ( x) 是 R 上的减函数,且 y ? f ( x ? 2) 的图象关于点 (2, 0) 成中心对称.若

? f (u ) ? f (v ? 1) ? 0, 则 u 2 ? v 2 的最小值为 u , v 满足不等式组 ? ? f (u ? v ? 1) ? 0,



(14)已知 x ? R ,定义: A( x) 表示不小于 x 的最小整数.如 A( 3) ? 2 , A(?1.2) ? ?1 . 若 A(2 x +1) ? 3 ,则 x 的取值范围是 若 x ? 0 且 A(2 x ? A( x)) ? 5 ,则 x 的取值范围是 ; .

三、解答题(共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15) (本小题共 13 分) 在△ ABC 中, b ? 2 , cos C ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin 2 A 值.

7 3 ,△ ABC 的面积为 . 4 4

(16) (本小题共 13 分) 某地区有 800 名学员参加交通法规考试,考试成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩 分组区间是: [75,80) , [80,85) , [85,90) , [90,95) , [95,100] .规定 90 分及其以上为合 格.
频率 组距

0.07 0.06

a
0.02 0.01

O

75 80 85 90 95 100

分数

(Ⅰ)求图中 a 的值 (Ⅱ)根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率; (Ⅲ)若三个人参加交通法规考试,用 X 表示这三人中考试合格的人数,求 X 的分布列与数 学期望.

(17) (本小题共 14 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? 底面 ABC ,AB ? BC ,AB ? PA ? BC ? 2 . D, E 分别为 AB, AC 的中点,过 DE 的平面与 PB, PC 相交于点 M , N ( M 与 P, B 不重合, N 与
P N M

P, C 不重合).
(Ⅰ)求证: MN ∥ BC ; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 PBC 所成角的大小; (Ⅲ)若直线 EM 与直线 AP 所成角的余弦值

3 14 时, 14

A D

E B

C

求 MC 的长. (18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

a ? ln x , a ? R . x

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 (1,2) 上单调递增, 求 a 的取值范围; (Ⅲ)讨论函数 g ( x) ? f ?( x) ? x 的零点个数.

(19) (本小题共 13 分) 在平面直角坐标系中 xOy 中,动点 E 到定点 (1, 0) 的距离与它到直线 x ? ?1 的距离相 等. (Ⅰ)求动点 E 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? b 与曲线 C 相切于点 P ,与直线 x ? ?1 相交于点 Q . 证明:以 PQ 为直径的圆恒过 x 轴上某定点.

(20) (本小题共 14 分) 在无穷数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对于任意 n ? N? ,都有 an ? N? ,且 an ? an ?1 .设集合

Am ? {n | an ? m, m ? N?} ,将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm ,即 bm 是数列 {an } 中满足不
等式 an ? m 的所有项的项数的最大值,我们称数列 {bn } 为数列 {an } 的伴随数列. 例如:数列 {an } 是 1,3, 4, (Ⅰ)设数列 {an } 是 1, 4,5, ,它的伴随数列 {bn } 是 1,1, 2,3, .

,请写出 {an } 的伴随数列 {bn } 的前 5 项;

(Ⅱ)设 an ? 3n ?1 (n ? N* ) ,求数列 {an } 的伴随数列 {bn } 的前 20 项和; (Ⅲ)设 an ? 3n ? 2(n ? N* ) ,求数列 {an } 的伴随数列 {bn } 前 n 项和 S n .


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