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北京2011-2012年各区模拟及高考真题分类整理 立体几何大题


(海淀 20110116) 在 如 图 的 多 面 体 中 , EF ⊥ 平 面 AEB , AE ? EB , AD // EF , EF // BC , A D BC ? 2 AD ? 4 , EF ? 3 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点. (Ⅰ) 求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ) 求证: BD ? EG ; (Ⅲ) 求二面角 C ? DF

? E 的余弦值.

E

F

B

G

C

(东城 20110116)
? 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形. ?BCD ? 60 , AB ? PB ? PD ? 2 , PC ? 3 ,

AC 与 BD 交于 O 点, E , H 分别为 PA , OC 的中点.
(Ⅰ)求证: EC ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证: PH ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)求直线 CE 与平面 PAB 所成角的正弦值.
P

E

D H O A B

C

(西城 20110117) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE , DE ? 3 AF , BE 与 平面 ABCD 所成角为 60 . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (Ⅲ) 设点 M 是线段 BD 上一个动点, 试确定点 M 的 位置,使得 AM // 平面 BEF ,并证明你的结论. F D C
0

E

A

B

(朝阳 20110116) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D , 底 面 A B C D 直 角 梯 形 , 且 AD // BC , 中 为

?ABC ? ?PAD ? 90? ,侧面 PAD ? 底面 ABCD . 若 PA ? AB ? BC ?

(Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)侧棱 PA 上是否存在点 E ,使得 BE // 平面 PCD ?若存在,指出点 E 明,若不存在,请说明理由; P (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值.

1 AD . 2
的位置并证

A B

D C

(丰台 20110116) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90° ,平面 PAD⊥ 底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2, BC=

1 AD=1,CD= 3 . 2
(Ⅰ)若点 M 是棱 PC 的中点,求证:PA // 平面 BMQ; (Ⅱ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅲ)若二面角 M-BQ-C 为 30° ,设 PM=tMC,试确定 t 的值 .

P

M D Q

C B

A (石景山 20110117) 在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点. (Ⅰ)求证:EF//平面 ACD1; (Ⅱ)求异面直线 EF 与 AB 所成的角的余弦值; (Ⅲ)在棱 BB1 上是否存在一点 P,使得二面角 P—AC—B 的大小为 30°?若存在,求 出 BP 的长;若不存在,请说明理由.

(海淀 20120017) 在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB ∥ CD ,

?ABC ? 90? , AB = PB = PC = BC = 2CD ,平面 PBC ? 平
面 ABCD . (Ⅰ)求证: AB ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 BCP 所成二面角 (小于 90° ) 的大小; (Ⅲ)在棱 PB 上是否存在点 M 使得 CM ∥平面 PAD ?若 存 在,求
B

P

C

D

A

PM 的值;若不存在,请说明理由. PB

(东城 20120017) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 , Q 为 AD 的 中点, PA ? PD ? AD ? 2 . (Ⅰ)求证: AD ? 平面 PQB ; (Ⅱ)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定 t 的值, 使 PA // 平面 MQB ;
?

P M

D Q A

C

(Ⅲ)若 PA // 平面 MQB ,平面 PAD ? 平面 ABCD , 求二面角 M ? BQ ? C 的大小.

B

(西城 20120017)
? 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC ? 2 AA1 , ?ABC ? 90 , D 是 BC 的

中点. (Ⅰ)求证: A1 B ∥平面 ADC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值; (Ⅲ) 试问线段 A1 B1 上是否存在点 E , AE 与 DC1 成 60 使
?

角?若存在,确定 E 点位置,若不存在,说明理由.

(朝阳 20120017) 如 图 , 在 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , 平 面 SAD ? 平 面 ABCD . 底 面 ABCD 为 矩 形 ,
AD ? 2a, AB ? 3a , SA ? SD ? a .

(Ⅰ)求证: CD ? SA ; (Ⅱ)求二面角 C ? SA ? D 的大小.

(丰台 20120017) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC=BC=2, AB ? 2 2 ,CC1=4, M 是棱 CC1 上一点. (Ⅰ)求证:BC⊥AM; (Ⅱ)若 M,N 分别是 CC1,AB 的中点,求证:CN //平面 AB1M;
C1 A1 M B1

3 (Ⅲ)若 C1M ? ,求二面角 A-MB1-C 的大小. 2

C N A

B

(海淀 20120116) 在 四 棱 锥 P中 A B C D , AB // CD , AB ? AD ,
P

AB = 4, AD = 2 2, CD = 2 , PA ? 平面 ABCD , PA = 4 .
(Ⅰ)设平面 PAB ? 平面 PCD ? m ,求证: CD // m ; (Ⅱ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅲ)设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角的
A C B D

正弦值为

3 PQ ,求 的值. 3 PB

(东城 20120117) 如图 1,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的 点 , 且 满 足 AE ? FC ? CP?1 . 将 △ AEF 沿 EF 折 起 到 △ A1 EF 的 位 置 , 使 二 面 角

A1 ? EF ? B 成直二面角,连结 A1 B , A1 P .(如图 2)
(Ⅰ)求证: A1 E ⊥平面 BEP ; (Ⅱ)求直线 A1 E 与平面 A1 BP 所成角的大小.
A

A1
E

E F
F

B
B

P

C

P

C

图1

图2

(西城 20120117) 如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, ?DAB ? ?DBF ? 60? ,且 FA ? FC . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDEF ;
E

(Ⅱ)求证: FC ∥平面 EAD ; (Ⅲ)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值.
D A

F

C

B

(朝阳 20120117) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形, ?ABD = 90? , EB ? 平面

ABCD , EF//AB , AB = 2 , EB = 3, EF = 1 , BC = 13 ,且 M 是 BD 的中点.
(Ⅰ)求证: EM// 平面 ADF ; (Ⅱ)求二面角 D-AF-B 的大小; (Ⅲ)在线段 EB 上是否存在一点 P , 使得 CP 与 AF 所成的角为 30? ? 若存在,求出 BP 的长度;若不 存在,请说明理由. A F E

D M B

C

(丰台 20120117) 四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,侧面 PAD⊥底面 ABCD, ∠BCD=60? ,PA=PD= 2 ,E 是 BC 中点,点 Q 在侧棱 PC 上. (Ⅰ)求证:AD⊥PB; (Ⅱ)若 Q 是 PC 中点,求二面角 E-DQ-C 的余弦值; (Ⅲ)若

P Q D E A B C

PQ ? ? ,当 PA // 平面 DEQ 时,求 λ 的值. PC

(石景山 20120117) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥面 ABC , BC ? AC, BC ? AC ? 2 ,

AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点.
(Ⅰ)求证: AB1 // 面BDC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 AA1 上是否存在点 P ,使得

B1

B

C C1 D A1 A

CP ? 面BDC1 ?请证明你的结论.

(海淀 20120216) 如图所示,PA ? 面 ABC ,点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上,?CBA ? 30? ,PA ? AB ? 2 ,点 E 为线段 PB 的中点,点 M 在 ? 上,且 OM ∥ AC . AB ⑴ 求证:平面 MOE ∥平面 PAC ; ⑵ 求证:平面 PAC ? 平面 PCB ; ⑶ 设二面角 M ? BP ? C 的大小为 ? ,求 cos ? 的值.
P

E C A M

O

B

(东城 20120217) 如 图 , 矩 形 A MN D所 在 的 平 面 与 直 角 梯 形 MBCN 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 , MB ∥

NC , MN ? MB ,
且 MC ? CB , BC ? 2 , MB ? 4 , DN ? 3 . (Ⅰ)求证: AB // 平面 DNC ; (Ⅱ)求二面角 D ? BC ? N 的余弦值.
M A

D

N

C

B

(西城 20120216) 如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直. AB ∥ CD ,

AB ? BC , AB ? 2CD ? 2BC , EA ? EB .
E

(Ⅰ)求证: AB ? DE ; (Ⅱ)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 EA 上是否存在点 F ,使 EC // 平面 FBD ?若 存在,求出
B C D A

EF ;若不存在,说明理由. EA

(朝阳 20120217) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为正方形, EA ? 平面 ABCD , EF//AB ,

AB = 4, AE = 2, EF =1 .
(Ⅰ)若点 M 在线段 AC 上,且满足 CM ? 求证: EM// 平面 FBC ; (Ⅱ)求证: AF ? 平面 EBC ; (Ⅲ)求二面角 A - FB - D 的余弦值. B

1 CA , 4

E F

A M C

D

(丰台 20120217) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABEF⊥平面 ABCD, EF // AB, ∠BAF=90? , AD= 2,AB=AF=2EF =1,点 P 在棱 DF 上. (Ⅰ)若 P 是 DF 的中点, (ⅰ) 求证:BF // 平面 ACP; (ⅱ) 求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值; (Ⅱ)若二面角 D-AP-C 的余弦值为

6 ,求 PF 的长度. 3
F E P

A

D

B

C

(201016) 如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥

AC,AB= 2 ,CE=EF=1.
(Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDE; (Ⅲ)求二面角 A-BE-D 的大小。

(201116)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形, AB ? 2, ?BAD ? 60? 。 (I)求证: BD ? 平面 PAC (Ⅱ)若 PA ? AB ,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长;

P

D A B
C

(201216)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1) 求证:A1C⊥平面 BCDE; (2) 若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3) 线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直? 说明理由


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