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三角变换合集

时间:2013-07-25


专题:三角变换
三角函数的五大基本题型:求值,化简,证明,图像,性质。这里面充满 着各种各样扑朔迷离的变形,拍案叫绝的构思,顿足捶胸的妙解!很多时候, 解题的成功与否就是一步精巧的变形,或者是自己都说不出来的一些奇思妙想! 那么,如何才能让自己成为解三角的强者,请同学们在本专题的学习中潜心领 悟,成为强者!我把三角变换分为五类:角的变换、名的变换、常数的变换、 幂的变换、公式的变换以及结构的变换,统称为三角恒等变换,简称三角变换。

一、角的变换
当题目中含有三个或三个以上的角时, 这时我们有意观察这些角之间存在着怎样的和差 倍半或互补互余关系。通过这种关系,借助相应的和差倍半角公式或者诱导公式使解题 变得流畅。 角的变换的本质:通过 使题目达到 。 常见的凑角情形:

例 1:化简:

s i n ?7 ? 例 2:求 ? cos 7 ?

? ? cos15 sin 8 的值。 ? ? sin15 sin 8

例 3: 已知 tan(? ? ? ) ? , tan(? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) ? (
4 4

2 5

?

1 4

?



A

13 18

B

13 22

C

3 22

D

1 6

例 4:在 △ ABC 中,

tan A ?

1 3 tan B ? 4, 5 .求角 C 的大小

例 5:已知 ? , ? 都是锐角, cos ? ? , cos(? ? ? ) ? ?

1 7

11 ,求 cos ? 的值。 14

角的变换作业: 1、已知 ? ? ? ? ? ? 3? , sin(? ? ? ) ? ? 3 , cos( ? ? ? ) ? 12 , 求 cos 2? 、sin 2? 及 tan 2? 的值。 2 4 5 13

sin 2? cos ? ? sin ? ?π ? 2、已知 ? 为锐角,且 tan ? ? ? ? ? 2 .⑴ tan? 的值;⑵ 求 求 的值. cos 2? ?4 ?

I

二、名的变换
三角变形中,常常需要变不同名函数为同名函数。通常是化切、割为弦, 变异名为同名。尤其是当名数达到 3 个或者 3 个以上时,必须实现名数的减少 或者统一! 名的变换的本质:通过 使题目达到 。 变换名的常见公式:

例 1:已知 sin ? ? 2 cos ? ,求

sin ? ? 4cos ? 及 sin 2 ? ? 2sin ? cos ? 的值。 5sin ? ? 2cos ?

例 2:方程 2x2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根分别是 sin ? , cos ? ,求

sin ? cos ? ? 的值。 1 1 ? tan ? 1? tan ?

例 3: tan 15? ? cot 15? 的值是( A 2 B 2+ 3 C 4 D


4 3 3

例 4:若 sin ? ? cos? ? 2 ,则 tan ? ? cot ? 等于



? 例 5:已知 5 sin ? ? sin(2? ? ? ) ,则 tan( ? ? ) cot? 的值

II

三、常数的变换
在三角变换的过程中,有时为了运用公式的需要,常常把一些常数变换为三角 式,使题目运用公式更加流畅。
引入辅助角策略 形如 a sin ? ? b cos ? 的形式可化为

a 2 ? b 2 sin(? ? ? )

例 1:求值:①

3 ? 3tan15? ; 3 ? 3 tan15?

1 ? tan15。 ② ; 。 1 ? tan15
π π 例 2:化简:① 2sin?4-x?+ 6cos?4-x?; ? ? ? ? ② sin

?
12

? 3 cos

?
12



1 3 ? 。 0 sin10 cos100

例 3:求 sin500 (1 ? 3 tan100 ) 的值。

四、幂的变换
幂的变换是历年高考中,考察频率最高的三角变换,包括降幂和升幂两种。 幂的变换公式:

幂的变换时机:
2 例 1: (上海卷理)函数 y ? 2cos x ? sin 2 x 的最小值是__________

例 2:(天津文,17)已知函数 f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx+1 (x∈R,ω>0)的最小正周期 π 是 .(1)求 ω 的值;(2)求函数 f(x)的最大值,并且求使 f(x)取得最大值的 x 的集合。 2

III

例 3:(山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+
求函数 f(x)的最大值和最小正周期.

? 2 )+sin x. 3

例 4: (北京文) (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x)cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

例 5: (北京卷 15)(本小题共 13 分) . 已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? π ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . ? ? 2? ?
2π (Ⅰ)求 ? 的值;:(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? ? 3? ?

升幂变换举例:
1、化简: 1 ? 2 sin(? ? ? ) cos(? ? ? , (?为第三象限角)

2、化简:

1 ? sin 2? ? cos 2? 。 1 ? sin 2? ? cos 2?

3、化简:

1 ? cos? 1 ? cos? ? , ?为第二象限角。 1 ? cos? 1 ? cos?

4、化简: 2 1 ? sin 8 ? 2 ? 2 cos8 。

IV


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