nbhkdz.com冰点文库

第十二届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答


中学生数学 # 2009 年 7 月上 # 第 373 期( 高中)

应 用 与 建 模

第十二届北京高中数学知识应用竞赛 决赛试题及参考解答
2009 年 3 月 22 日 1. ( 满分 16 分) 目前, 电脑液晶显示屏的 宽高比一般为 4 B 3、 B 9 和 16 B 10 等标准. 16 4 B3的为普屏, 16

B 9 的为 小宽屏, 16 B 10 的 为宽屏. r 寸液晶显示屏是指对角线长为 r 英 寸( in) , 1 英寸 U25. 4mm. 液晶显示屏还有两个常见的技术指标: 最 佳分辨率, 点距. 最佳分辨率就是最高分辨率, 在这个分辨率下, 每个液晶单元负责显示一个 像素. 点距是指每个液晶单元中心到相邻液晶 单元中心的距 离. 在最高分辨率下, 液晶的点 距就是相邻像素间的距离. 一般认为, 每个像素在 0. 25~ 0. 30m m 之 间人眼觉得比较舒服, 所以液晶的标准点距都 在这一范围. 请回答以下问题: ( 1) 常用的 19 寸宽屏的电脑液晶显示屏 的宽为多少? 高为多少? ( 2) 为 了在电脑 液晶显示 屏上清晰 地看 / 高清的图像( 分辨率为 1920 @ 1080 像素) 0, 应 选择普屏、 小宽屏、 宽屏中的 哪一种? 多少寸 合适? 说明理由. 解 ( 1 ) 19 寸 宽 屏 对 角 线 长 度 为 482. 6mm, 设高度 为 a, 因为宽屏 的宽高 比为 8 2 2 16 B 10, 所以 宽度 b= 5 a, 又因为 a + b = 482. 6 2 , 所 以, a2 + ( 8 a ) 2 = 482. 62 , 得 a = 5 当点距为 0. 30m m 时, 宽约为 1920 @ 0. 30 = 576( mm ) ; 高约为 1080 @ 0. 30= 324( m m) ; 对角线长约为 661mm , 约为 26 in. 故应该选择大约在 22~ 26 寸之间的/ 小宽 屏0或/ 宽屏0. 2. ( 满分 16 分) 2008 年 10 月央行宣布, 存 量房贷可以享受 7 折优惠利率. 如果某人以等 额本息还款方式( 即借款人每月以相等的金额 偿还贷款本息) 贷款买 房, 在 2008 年 10 月 27 日之前享受的是 8. 5 折优惠, 商业贷款 5 年以 上的年利率是 5. 94% , 存量房贷为 a, 贷款期还 有 8 年零 1 个月. 当他成功申请到 7 折优惠利 率后, 每月还款额是多少? 比 8. 5 折优惠时每 月少还多少? 注: 存量房贷是指 2008 年 10 月 27 日房贷 新政策出台前发 放的个人住房 贷款中尚未还 清的部分. 解 月均还款额为 d, r 为月利率, 令 C k 为 第 k 个月末还款后的本息余额. 则 C1 = a ( 1+ r) - d, C2 = [ a ( 1+ r) - d] ( 1+ r ) - d = a ( 1+ r ) - d ( 1+ r ) - d = a ( 1+ r ) - [ ( 1+ r) + 1] d, C3 = [ a ( 1+ r) 2 - [ ( 1+ r ) + 1] d] ( 1+ r) - d = a ( 1+ r ) - [ ( 1+ r) + ( 1+ r ) + 1] d, 一般地 C k = a ( 1+ r ) k - i= 0( 1+ r ) i d E = a ( 1+ r ) ( 1+ r ) n r a. ( 1+ r ) n - 1
k k- 1 3 2 2 2

中 学 生 数 学

255. 7775, b= 409. 244. 即宽为 409. 244mm , 高 为 255. 7775mm. ( 2) 由 1920 B 1080 U 16 B 9 应选择/ 小宽 屏0, 或/ 宽屏0. 选择点距在 0. 25~ 0. 30mm 之 间的液晶显示屏产品. 当点距为 0. 25mm 时, 宽约为 1920 @ 0. 25 = 480( mm ) ; 高约为 1080 @ 0. 25= 270( m m) ; 对角线长约为 551mm, 约为 22 in;

( 1+ r ) - 1 d. r

k

根据题意, 当 k = n 时, C n = 0, 于是 d =

已知贷款期还有 n= 97 个月, 月利率为 r = 5. 94% @ 0. 7 A12= 4. 158% A12

网址: zxs s. chin ajou rnal . net . cn

# 32 #

电子邮箱: zx ss@ chinajournal. net . cn

中学生数学 # 2009 年 7 月上 # 第 373 期( 高中)

= 0. 3465% , ( 1+ 0. 003465) 97 @ 0. 003465 得 d= a ( 1+ 0. 003465) 97 - 1 1. 4 @ 0. 003465 = a= 0. 01213a. 1. 4- 1 若延续 8. 5 折优惠还款, 这时的月利率为 r = 5. 94% @ 0. 85 A12= 0. 42% . 得 d = ( 1+ 0. 0042) @ 0. 0042a = 0. 0126a. 97 ( 1+ 0. 0042) - 1 利率的 7 折优惠比 8. 5 折优 惠每月少还
97

一角处被一个半径为 30 米的圆形街心花园的 四分之一占去, 某单位要在这块场地中盖一座 南北朝向、 高度一定的矩形办公楼, 要求办公 楼与街心花园的最近距离不得小于 10 米, 请你 设计一 个方 案, 使得 办公楼的占地面积最 大, 面向南 的楼 面面 积 尽 量 大, 并 加 以 证明. 解 如图 2 设置
图2

应 用 与 建 模

0. 00047a. 3. ( 满分 16 分) 在队列 操练中, 通过口 令: / 立正0、 向右转0、 向后转0、 向左转0 操 / / / 练队列朝向的转换. 连续执行两个口令得到的 结果可以理解 为两个转向的叠加, 例 如, 向右 转+ 向右转= 向后转, 向右转+ 向后转= 向左 转. 如果分别用数 0、 2、 表示立正、 1、 3 向右转、 向后转、 向左转, 两个 转向的叠加就可以用数 的运算表示, 例 如, / 向 右转 + 向 后转 = 向左 转0可以表示为/ 1+ 2= 30, 我们称其为代数形 式. 请列出队列转向叠加的所有代数 形式, 并 指出它与我们熟悉 的整数的加法 运算有什么 异同. 解 所有的叠加的结果为下表. 立正 0 立正 0 右转 1 后转 2 左转 3 0 1 2 3 右转 1 1 2 3 0 后转 2 2 3 0 1 左转 3 3 0 1 2

办公楼 BCDE, 其中 点 B 在以 A 为圆心, 半径为 40 米的圆上.

设 N BA F= H 矩形 B CDE 的面积为 S . , S = BE # BC= ( 80- 40cosH ( 80- 40sinH ) ) = 402 ( 2- co sH ( 2- sinH ) ) = 40 ( 4- 2cosH 2sinH sinH# cosH . + ) P ( 0 [ H[ 2 ) S = 4- 2( sinH cosH + sinH + ) cosH 2 40 1 1 = 4- 2( sinH cosH + 2 ( 2sinH + 1) - 2 + ) cosH = 4- 2( sinH cosH + 1 ( sinH co sH 2 - 1 + ) + ) 2 2 = 1 ( sinH cosH 2 - 4( sinH cosH + 4 + 3 + ) + ) 2 2 = = 1 ( sinH cosH - 2 + ) 2 1 2 2sin( H + 1 2 P )- 2 4
2 2

+
2

3 2 3 . 2
2 P 3 )- 2 + . 4 2

+

这个运算与整数的加法运算不同, 因为表 中右下角的六个运算的结果不是相加的结果. 它与整数加法相似之处是这个/ 加法0 对 于{ 0, 1, 2, 3} 这 四个 数是封闭的, 而且同样 满足交换律和结合律. 4. ( 满 分 16 分 ) 如图 1, 一 块 边 长 80 米的正方形场地, 其中
图1

所以, S= 402

2sin( H +

由于图形的对称性, 不妨先考虑 0 [ H [ _ P P P [ H + [ , 4 4 2

P . 4

P 此时 sin( H 4 ) 恒为正且单调递增, + _ 2 P [ sin( H + ) [ 1, 2 4

中 学 生 数 学

网址: zxs s. chin ajou rnal . net . cn

# 33 #

电子邮箱: zx ss@ chinajournal. net . cn

中学生数学 # 2009 年 7 月上 # 第 373 期( 高中)

1 [ 2sin( H P) [ 2. + 4

应 用 与 建 模

_ S 最小.

当H =

P P 时, 2 sin( H + ) 最大, 此时 4 4 P P ) 时, 2sin( H + ) 最小, 此时 2 4

有一块矩形平地目标区域, 大小为 100 米 @ 200 米, 需要进行全境搜索. 要求持探测仪器 沿着平行于矩形边缘的方向搜索, 直线搜索可 覆盖宽度为 20 米, 行进平均速度为 0. 5 米/ 秒; 非搜索行进时, 平均速度为 3 米/ 秒; 每次沿一 条直线方向探测宽 20 米的矩形区域时, 起点和 终点分别设在据端点 10 米位置即可测到全部 区域. 行进路线转弯时需要 15 秒的时间调整搜 索仪器的 前进方 向. 搜索 的出 发点 是区 域中 心; 出口在区域左侧短边的中点处, 搜索到区 域内每一点并最后到达出口即完成任务. 请回 答以下问题:

当 H 0( 或 = S 最大.

图3

图4

( 1) 为使完成搜索任务所用时间尽量少, 需要控制哪些因素? ( 2) 能否在 34 分钟内完成搜索任务? 如 果可以, 请画出一个路线图, 如果不可以, 请给 出证明. 解 ( 1) 需要控制的因素主要有两个, 一 是拐弯次数尽量少, 二是非搜索行进路线尽量 短, 若因为减少拐弯而不得已增加非搜索行进 路线时, 要折算一减一增的总体是增是减. ( 2) 可以. 搜索路线如图 5 所示, 其中双线 箭头表示搜索行进路线, 单线箭头表示非搜索 行进路线. 这样, 搜索行进路线长度为 20 米 @ 42= 880 米, 用时 880 米 A 0. 5 米/ 秒 = 1760 秒. 拐弯 10 个, 用时 15 秒 @ 10= 150 秒. 非搜 索行进路线长度为 200 米, 用时约 66. 7 秒. 总 用时约: 1977 秒, 即约 33 分钟.

为了面向南的楼面面积尽量 大, 选择 H = P ( 图 4) 方案. 2 5. ( 满分 18 分) 一个雪球, 在融化时其半 径的减小量与时间成正比, 已知两小时内融化 了其体积的四 分之一. 问: 其余部分在多长时 间内全部融化完? 解 设雪球的半径为 r ( t) , r( 0) 记作 r 0 , 由 于在融化时其半径的减小量与时间成正比, 设 比例常数为 k( > 0) , 时间为 t , 于是有 r( 0) - r ( t ) = k t, r ( 2) = r 0 - 2k. 由于两小时内融化了其体积的四分之一, 所以 4 P r 0 - 2k) 3 = 3 # 4 P 0 3 , ( r 3 4 3 得 k= 1 ( 12
3

3 ) r0 . 4 U 21. 87 U22( 小时) .

中 学 生 数 学

若雪球全部融化完, 也就是 r 0 - kt = 0, 即t= r0 = k 2 13

3 4

这表明, 雪球全部融化需要 22 小时, 那么 开始融化两小时之后再需 20 小时才能融化完. 6. ( 满分 18 分) 在大地震造成的严重惨状 面前, 救援人员需要在废墟中 搜救遇险人员. 考虑如下经简化的情况.
图5

( 北京数学会普及委员会提供)

网址: zxs s. chin ajou rnal . net . cn

# 34 #

电子邮箱: zx ss@ chinajournal. net . cn


第十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答

第十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答_学科竞赛_高中教育_教育专区...途中时速低于 12 公里(称为等候)时,每累计 2.5 分钟加收 1 元,不足 2.5 ...

高中数学知识应用竞赛试题及参考答案

高中数学知识应用竞赛试题及参考答案 试题 1、(满分...尝试用数学分析出合理的解答。 3. (满分 20 分)...第四届北京高中数学知识... 7页 免费 第四届北京...

第十六届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题答案解析(扫描版)

高中教育 学科竞赛第​十​六​​北​京​高​中​数​学​知​识​应​用​竞​赛​决​赛​试​题​答​案​解​...

第03届北京高中数学知识应用竞赛决赛

第03届北京高中数学知识应用竞赛决赛_从业资格考试_...第三届北京高中数学知识应用竞赛试题 1、 (满分 15...0 (参考数据:sin12 =0.2079,cos12 =0.9781,tg...

第十六届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题(扫描版无答案)

第十二届北京高中数学知... 3页 1下载券 第七届北京高中数学知识... 4页 ...​应​用​竞​赛​决​赛​试​题​,​可​为​竞​...

第05届北京高中数学知识应用竞赛决赛

第05届北京高中数学知识应用竞赛决赛_学科竞赛_高中教育_教育专区。 今日推荐 180份文档 2014证券从业资格考试 2014证券资格证券交易高分突破试卷及答案 2014年证券考试...

第十七届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答

第十七届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 第十七届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及...

北京市高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案

北京市高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案 参考答案: 四、解 要估算 2000 年 18 岁的人口数.由于 2000 年的统计资料我们还不能按集到,我们根据以往的 算...

第十六届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及解答

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档第十六届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及解答 ©2014 Baidu 使用百度前必读 | 文库协议...