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2014届高考数学复习第二篇第3讲函数的奇偶性与周期性


第3讲 函数的奇偶性与周期性

【2014年高考会这样考】
1.判断函数的奇偶性. 2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. 3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用. 4.对三种性质的综合考查;借助函数图象解决问题

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考点梳理
1.奇、偶函数的概念
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

f(-x)=f(x) ____________,那么函数f(x)就叫做偶函数.
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

f(-x)=-f(x) ______________,那么函数f(x)就叫做奇函数. y轴 原点 奇函数的图象关于_____对称;偶函数的图象关于_____对
称.

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2.奇、偶函数的性质

相同 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_____,偶函 相反 数在关于原点对称的区间上的单调性_____.
(2)在公共定义域内

奇函数 ①两个奇函数的和是_______,两个奇函数的积是 偶函数 _________;
偶函数 ②两个偶函数的和、积都是_______; 奇函数 ③一个奇函数和一个偶函数的积是_______.

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3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数 f(x+T)=f(x) T,使得当x取定义域内的任何值时,都有____________,

那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周
期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 ______________的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的 最小正周期.

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【助学· 微博】 一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充

分条件.
两个性质 (1)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0.

(2)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公
共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇 ×偶=奇.
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三条结论
(1)若对于R上的任意的x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a +x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x),且f(2b-x)= f(x)(其中a<b),则:y=f(x)是以2(b-a)为周期的周期函

数.
(3)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数f(x)是周期函数,其 中一个周期为T=2|a-b|.

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考点自测
1.(2013· 徐州模拟)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)= ( ).

A.-1
解析

B.1

C.-2

D.2

由于f(x)的周期为5,∴f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1).

又f(x)为R上的奇函数,∴f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=

-2+1=-1,即f(3)-f(4)=-1.
答案 A

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2.(2011· 广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函

数,则下列结论恒成立的是 A.f(x)+|g(x)|是偶函数
B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 解析 答案

(

).

由题知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),显然f(-x)+

|g(-x)|=f(x)+|g(x)|.
A

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3.(2012· 山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当 -3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x) =x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)= A.335 B.338 C.1 678 ( D.2 012 ).

解析

由f(x+6)=f(x)可知,函数f(x)的周期为6,所以f(-

3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0) =f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有f(1)+

f(2)+…+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以f(1)+f(2)
+…+f(2 012)=f(1)+f(2)+335×1=1+2+335=338, 故选B. 答案 B
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4.(2012· 浙江)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶 函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则 f
解析 当 x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],
?3? ? ?=________. ?2?

又 f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=1-x. ∵f(x)在 R 上的周期为 2, ∴f
?3? ?3 ? ? 1? ? 1? 3 ? ?=f ? -2?=f ?- ?=1-?- ?= . ?2? ?2 ? ? 2? ? 2? 2

答案

3 2

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5.(2013· 开封模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若 当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值

范围是________.
解析 画草图,由f(x)为奇函数

的性质知:f(x)>0的x的取值范
围:(-1,0)∪(1,+∞). 答案 (-1,0)∪(1,+∞)

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考向一

函数奇偶性的判断

【例1】?(2013·广州模拟)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=(x-1) 2+x ; 2-x

lg?4-x2? (2)f(x)= ; |x-2|+|x+4|
?x2+x,x<0, ? (3)f(x)=? ?-x2+x,x>0. ?

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[审题视点] 确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域 是否关于原点对称.若对称,再验证f(-x)=±f(x)或其等 价形式f(-x)±f(x)=0是否成立. 2+x 解 (1)由 ≥0,得-2≤x<2,即函数 f(x)的定义域是 2-x {x|-2≤x<2}, 关于原点不对称, f(x)为非奇非偶函数. 故 ?4-x2>0, ? (2)由? 得-2<x<2, ?|x-2|+|x+4|≠0, ? 即函数 f(x)的定义域是{x|-2<x<2}. lg?4-x2? lg?4-x2? 1 又 f(x)= = = lg(4-x2), |x-2|+|x+4| 2-x+x+4 6 1 1 2 ∴f(-x)= lg[4-(-x) ]= lg(4-x2)=f(x), 6 6 所以函数 f(x)是偶函数.
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(3)当x<0时,f(x)=x2+x,-x>0,
f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当x>0时,f(x)=-x2+x,-x<0, f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). ∴f(x)是奇函数.

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1.判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条 件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不

充分条件;(2)判断f(-x)是否等于±f(x).
2.分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函 数,分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等

式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区
间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.

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【训练 1】 判断下列函数的奇偶性. 1-x (1)f(x)=lg ; 1+x
?x2+x?x>0?, ? (2)f(x)=? 2 ?x -x?x<0?; ?

lg?1-x2? (3)f(x)= 2 . |x -2|-2 1-x 解 (1)由 >0?-1<x<1,定义域关于原点对称.又 1+x
?1-x? 1+x 1-x ? ?-1 f(-x)=lg =lg? =-lg =-f(x), 1+x? 1-x 1+x ? ?

故原函数是奇函数.

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(2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又 当x>0时,f(x)=x2+x,则当x<0时,-x>0, 故f(-x)=x2-x=f(x), 当x<0时,f(x)=x2-x,则当x>0时,-x<0,

故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.
?1-x2>0, ? (3)由? 2 ?|x -2|-2≠0 ?

得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原

lg?1-x2? lg?1-x2? 点对称,∴f(x)= =- . x2 -?x2-2?-2 lg[1-?-x?2] lg?1-x2? ∵f(-x)=- =- =f(x), x2 ?-x?2 ∴f(x)为偶函数.
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考向二

函数奇偶性的应用

【例2】?函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意
x1,x2∈D,有f(x1·2)=f(x1)+f(x2). x (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;

(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函
数,求x的取值范围. [审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断.根据已知,恰当 赋值,变换出符合定义的条件. 解 (1)∵对于任意x1,x2∈D,有f(x1·2)=f(x1)+f(x2), x

∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.

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(2)令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0. 2 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.

(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数.

∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16).
又f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17且x≠1. ∴x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.
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抽象函数奇偶性的判断方法
(1)利用函数奇偶性的定义,找准方向(想办法出现f(-x)、 f(x));

(2)巧妙赋值,合理、灵活地变形配凑;
(3)找出f(-x)与f(x)的关系,得出结论.

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【训练 2】 函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞) 时是增函数,若 f(1)=0,求不等式 f
? ? 1?? ?x?x- ??<0 2?? ? ?

的解集.

解 ∵y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上也是增函数,且由 f(1)=0,得 f(-1)=0. ? ? 1? ?x?x-2?>0, ? ? ?? ? ? 1 若 f ?x?x-2??<0=f(1),则? ? ? ? ? ?? ?x?x-1?<1, ? 2
? ?

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? 1? 0<x?x-2?<1, ? ?

1+ 17 1- 17 1 解得 <x< 或 <x<0. 2 4 4 ? ? 1? ? 若 f?x?x-2??<0=f(-1), ? ? ?? ? ? 1? ?x?x-2?<0, ? ? 则? ? ? ?x?x-1?<-1, ? 2
? ? ? 1? x?x-2?<-1,解得 ? ?



x∈?.

? ? ? ?1 1+ ?x? <x< ∴原不等式的解集是 ? ?2 4 ?

17

1- 17 或 <x<0 4
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? ? ?. ? ?

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考向三

函数的奇偶性与周期性

【例3】?设f(x)是定义在R上的奇 函数,且对任意实数x,恒有 f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013). [审题视点] (1)只需证明f(x+T)=f(x),即可说明f(x)是周

期函数;(2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[-2,0]上的
解析式,进而求得f(x)在[2,4]上的解析式;(3)由周期性求 和的值.
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(1)证明

∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2],

∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8,
又f(4-x)=f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x2+6x-8, 即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

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(3)解

∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.

又f(x)是周期为4的周期函数,

∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(2 012)+f(2 013)=f(0) +f(1)=1.

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判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x) (T≠0)便 可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与 函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题.

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【训练3】 (2013·成都质检)已知f(x)在R上是奇函数,且满
足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)等于 ( A.-2 解析 B.2 C.-98 D.98 ).

∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为4的函数,∴f(7)=

f(2×4-1)=f(-1),又∵f(x)在R上是奇函数,∴f(-x)=
-f(x),∴f(-1)=-f(1),而当x∈(0,2)时,f(x)=2x2, ∴f(1)=2×12=2,∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2,故选A.

答案

A

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热点突破4——函数单调性、奇偶性、周期性的交汇问题
【命题研究】 通过对近三年高考试题的分析可以看出, 考查函数的性质往往不是单纯考查一个性质,而是综

合考查,所以需要对函数的各个性质非常熟悉,并能
结合函数图象的特点,对各个性质进行综合运用.常 考题型有选择题、填空题,题目为中档难度.

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【真题探究1】? (2012·陕西)下列函数中,既是奇函数又 是增函数的为
3

(

).

1 A.y=x+1 B.y=-x C.y=x D.y=x|x| [教你审题] 先确定奇函数,再确定函数单调递增.
[解法] 选项A为一次函数,不是奇函数,是增函数;选项

B是奇函数,不是增函数;选项C是反比例函数,为奇函
数,不是增函数;选项D,去绝对值号,变为分段函数, 符合题意. [答案] D [反思] 通过题目的反复练习,熟练掌握函数奇偶性的判断 方法及函数单调性的判断方法.
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【试一试1】 (2012· 天津)下列函数中,既是偶函数,又在 区间(1,2)内是增函数的为 ( ).

A.y=cos 2x,x∈R


B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0

ex-e x C.y= ,x∈R D.y=x3+1,x∈R 2 解析 A、B 中的函数均是偶函数;C 中的函数是奇函
数;D 中的函数是非奇非偶函数.对于 y=cos 2x 在
? ?π ? π? ?1, ?上单调递减,? ,2?上单调递增,不满足题意; 2? ? ?2 ?

对于 y=log2|x|,当 x∈(1,2)时,y=log2|x|是增函数.
答案 B
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【真题探究 2】? (2011· 全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f 1 A.- 2 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2
? 5? ?- ?转化为已 ? 2?

? 5? ?- ?= ? 2?

(

).

[教你审题] 利用函数周期性和奇偶性把 f 知区间内的函数,然后代入解析式求解.

[解法] ∵f(x)是周期为 2 的奇函数,∴f f
? 1? ?1? 1? 1 ? 1 ?- ?=-f ? ?=-2× ×?1- ?=- . 2? 2 ? 2 ? 2? ?2?

? 5? ? 5 ? ?- ?=f ?- +2?= ? 2? ? 2 ?

[答案] A
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【试一试2】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当 x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)=________. 解析 答案 ∵f(x)为R上的奇函数,∴f(-2)=f(2), -1

又当x=2时,f(2)=22-3=1,∴f(-2)=-1.

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