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天津市六校联考2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)

时间:2016-07-25


天津市六校联考 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)复数 z 为纯虚数,若(2﹣i)z=a+i(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为() A.﹣ B. 2 C . ﹣2 D.

2. (5 分)已知正

数 x、y 满足

,则

的最小值为()

A.

B.

C. 2

D.4

3. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输入的 P 值为()

A.2

B. 3

C. 4
2

D.5

4. (5 分)已知 x>0,y>0,且 A.(﹣4,2) [来源:学&科&网]

=1,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围() C.(1,2) D.(﹣2,4)

B.(﹣1,2)

5. (5 分)在△ ABC 中,tanA= ,cosB= A. B.

.若最长边为 1,则最短边的长为() C. D.

6. (5 分)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.16

B.32

C.48

D.144

7. (5 分)设双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l

交两渐近线于 A、 B 两点, 且与双曲线在第一象限的交点为 P, 设 O 为坐标原点, 若 (λ,μ∈R) ,λμ= ,则该双曲线的离心率为() A. B. 2 C. D.





8. (5 分)已知函数 f(x)= 恒成立,则实数 t 的取值范围是() A.[ ,+∞) B.(

,若对任意的 x∈[t,t+2],不等式 f(x+t)≥2f(x)

,+∞) C.(0,2]

D.

[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上.

9. (5 分)设 P,Q 分别为直线

(t 为参数)和曲线 C:ρ=

上的

点,则|PQ|的最小值为. 10. (5 分)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N ) ,且 a2+a4+a6=9,则 log3(a5+a7+a9) 的值是.
*

11. (5 分) 向平面区域 Ω={ (x, y) | 下方的概率是.

≤x≤

, 0≤y≤1}内随机投掷一点, 该点落在曲线 y=cosx

12. (5 分)在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别是 CD,BC 的中点,

=

(3,1) ,则

=.

13. (5 分)如图,已知 PA 是⊙O 的切线,A 是切点,直线 PO 交⊙O 于 B,C 两点,D 是 OC 的中点,连接 AD 并延长交⊙O 于点 E,若 PA=2 ,∠APB=30°,则 AE=.

14. (5 分)函数 f(x)=|lnx|﹣ax 在区间(0,3]上有三个零点,则实数 a 的取值范围是.

三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (13 分)已知向量 =(cosx,﹣ ) , =( (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)求 f(x)在[0, ]上的最大值和最小值. sinx,cos2x) ,x∈R,设函数 f(x)= ? .

16. (13 分) 某项选拔共有三轮考核, 每轮设有一个问题, 能正确回答问题者进入下一轮考核, 否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ,且各 轮问题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率; (Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望. 17. (13 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC, E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:PA∥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 B﹣DE﹣C 的平面角的余弦值; (Ⅲ)在棱 PB 上是否存在点 F,使 PB⊥平面 DEF?证明你的结论.

18. (13 分)已知数列{an}{bn}的每一项都是正数,a1=4,b1=8 且 an,bn,an+1 成等差数列, * an,bn,an+1,bn+1 成等比数列(n∈N ) (Ⅰ)求 a2,b2; (Ⅱ)求数列{an}{bn}的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n,都有 + +…+ < .

19. (14 分)已知椭圆 E: (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且椭圆经过点 A(0,﹣1)

(Ⅱ)如果过点 H(0, )的直线与椭圆 E 交于 M、N 两点(点 M、N 与点 A 不重合) . ①若△ AMN 是以 MN 为底边的等腰三角形,求直线 MN 的方程;[来源:Z_xx_k.Com] ②在 y 轴是否存在一点 B,使得 ⊥ ,若存在求出点 B 的坐标;若不存在,请说明理由.

20. (14 分)设函数 f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax,g(x)=ax+ +(3﹣a)lnx,a∈R (Ⅰ)当 a=0 时,求 g(x)的极值; (Ⅱ)当 a=0 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数 y=F(x)图象上任意不同的两点 A(x1,y1) , (x2,y2) .如 果对于函数 y=F(x)图象上的点 M(x0,y0) (其中 x0= )总能使得 F(x1)﹣F(x2)

=F′(x0) (x1﹣x2)成立,则称函数具备性质“L”.试判断函数 F(x)=f(x)﹣g(x)是否具 备性质“L”,并说明理由.

天津市六校联考 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (理科)

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)复数 z 为纯虚数,若(2﹣i)z=a+i(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为() A.﹣ B. 2 C . ﹣2 D.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把等式两边同时乘以 且虚部不等于 0 求解实数 a 的值. 解答: 解:由(2﹣i)z=a+i,得: ∵z 为纯虚数, ∴ ,解得:a= . , ,然后利用复数代数形式的除法运算化简,由实部等于 0

故选:D. 点评: 本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

2. (5 分)已知正数 x、y 满足

,则

的最小值为()

A.

B.

C. 2

D.4

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域, = ,令 u=2x+y 化为 y=﹣

2x+u,u 相当于直线 y=﹣2x+u 的纵截距,由几何意义可得. 解答: 解:由题意作出其平面区域,



=



∴令 u=2x+y 化为 y=﹣2x+u,u 相当于直线 y=﹣2x+u 的纵截距, ∴求 的最小值可转化为求 u 的最大值,

由题意知,当 x=1,y=2 时,u 取得最大值 4, 故 的最小值为 = ,

故选 A. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,同时考查了转化的数学思想,属于难 题. 3. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输入的 P 值为()

A.2 考点: 循环结构.

B. 3

C. 4

D.5

专题: 算法和程序框图. 分析: 根据输入 A 的值,然后根据 S 进行判定是否满足条件 S≤2,若满足条件执行循环体, 依此类推,一旦不满足条件 S≤2,退出循环体,求出此时的 P 值即可. 解答: 解:S=1,满足条件 S≤2,则 P=2,S=1+ = 满足条件 S≤2,则 P=3,S=1+ + = 满足条件 S≤2,则 P=4,S=1+ + + = 不满足条件 S≤2,退出循环体,此时 P=4 故选:C 点评: 本题主要考查了当型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环 结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断.
2

4. (5 分)已知 x>0,y>0,且 A.(﹣4,2)

=1,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围() C.(1,2) D.(﹣2,4)

B.(﹣1,2)

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 化为 x+2y=( ) (x+2y)=4+ =1, ≥8, ,利用不等式得出 8>m +2m,即可求解.
2

解答: 解:∵x>0,y>0,且 ∴x+2y=(
2

) (x+2y)=4+

∵若 x+2y>m +2m 恒成立, 2 ∴8>m +2m, 即﹣4<m<2, 故选:A 点评: 本题考查了均值不等的运用,不等式的恒成立,属于中档题. 5. (5 分)在△ ABC 中,tanA= ,cosB= A. B.

.若最长边为 1,则最短边的长为() C. D.

考点: 正弦定理;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: 欲求最短边的长,必须先判断谁是最短边,转化为判断谁是最小角,结合三角值即 可判断最小角,接下来利用正弦定理求解即可. 解答: 解:由条件知 A.B 都是小于 所以角 C 最大, ,

又 tanB= 由

,B 最小, 得, ,

所以最短边长为



故选 D. 点评: 本题主要考查了正弦定理,正弦定理是指在一个三角形中,各边和它的所对角的正 弦的比相等. 6. (5 分)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.16 考点: 专题: 分析: 计算. 解答:

B.32

C.48

D.144

由三视图求面积、体积. 计算题;空间位置关系与距离. 几何体为四棱锥,结合直观图判断相关几何量的数据,把数据代入棱锥的体积公式 解:由三视图知:几何体为四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,如图:

其中 BC=2,AD=6,AB=6,SA⊥平面 ABCD,SA=6, ∴几何体的体积 V= × ×6×6=48.

故选:C. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应 的几何量是解答本题的关键.

7. (5 分)设双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l

交两渐近线于 A、 B 两点, 且与双曲线在第一象限的交点为 P, 设 O 为坐标原点, 若 (λ,μ∈R) ,λμ= ,则该双曲线的离心率为() A. B. 2 C. D.





考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由方程可得渐近线,可得 A,B,P 的坐标,由已知向量式可得 λ+μ=1,λ﹣μ= ,解 之可得 λμ 的值,由 λμ= ,可得 a,c 的关系,由离心率的定义可得. 解答: 解:双曲线的渐近线为:y=± A(c, 因为 =λ ) ,B(c,﹣ +μ )=( (λ+μ)c, (λ﹣μ) ) , ) ,P(c, ,设焦点 F(c,0) ,则 ) ,

所以(c,

所以 λ+μ=1,λ﹣μ= ,[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 解得:λ= ,μ= ,

又由

,得:



解得:



所以,e= , 故选:D. 点评: 本题考查双曲线的简单性质,涉及双曲线的离心率的求解,属中档题.

8. (5 分)已知函数 f(x)= 恒成立,则实数 t 的取值范围是() A.[ ,+∞) B.(

,若对任意的 x∈[t,t+2],不等式 f(x+t)≥2f(x)

,+∞) C.(0,2]

D.

考点: 函数恒成立问题;函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: 首先考虑特殊值从而判断 t 的符号,然后根据 f(x+t)≥2f(x)代入解析式,最后根 据恒成立的方法即可求出所求. 解答: 解:首先考虑特殊值 ∵对任意的 x∈[t,t+2],不等式 f(x+t)≥2f(x)恒成立 ∴f(t+t)=f(2t)≥2f(t) 若 t<0 则 f(2t)=﹣f(﹣2t)=﹣4t ,f(t)=﹣f(﹣t)=﹣t ,∴﹣4t ≥﹣2t 这不可能 故 t≥0 ∵当∈[t,t+2]时,有 x+t≥2t≥0,x≥t≥0 2 2 ∴当 x∈[t,t+2]时,不等式 f(x+t)≥2f(x)即(x+t) ≥2x ,∴x+t≥ x ∴t≥ 对于 x∈[t,t+2]恒成立 ∴t≥ ∴t≥ 故选 A. 点评: 本题主要考查了函数的单调性与奇偶性,以及函数恒成立问题,解题的关键分析 t 的符号,同时考查了运算求解的能力,属于中档题. 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
2 2 2 2

9. (5 分)设 P,Q 分别为直线

(t 为参数)和曲线 C:ρ=

上的

点,则|PQ|的最小值为



考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 计算题;直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: 运用代入法,化直线方程为普通方程,由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,x +y =ρ ,化极坐标方 程为直角坐标方程,再由直线和圆的两点距离最小为 d﹣r,运用点到直线的距离公式,即可 得到.
2 2 2

解答: 解:直线

(t 为参数)化为普通方程为

3x﹣4y+1=0, 曲线 C:ρ=
2 2 2

即为 ρ=



ρ =ρcosθ﹣ρsinθ,即为 x +y ﹣x+y=0, 其圆心为( ) ,半径 r= ,

则圆心到直线的距离为 d=

=



则有直线和圆上两点的距离的最小值 d﹣r= 故答案为:



点评: 本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程、直角坐标方程的互化,考查直线和圆 的位置关系,考查点到直线的距离公式的运用,属于中档题. 10. (5 分)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N ) ,且 a2+a4+a6=9,则 log3(a5+a7+a9) 的值是 5. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N ) ,可得 3an=an+1,因此数列{an}是等比数列, 则公比为 q=3. 再利用等比数列的性质、对数的运算性质即可得出. * 解答: 解:∵数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N ) , ∴3an=an+1, ∴数列{an}是等比数列.则公比为 q=3. ∵a2+a4+a6=9, 3 5 ∴a5+a7+a9=q (a2+a4+a6)=27×9=3 , 则 log3(a5+a7+a9)= =5.
* *

故答案为:5. 点评: 本题考查了等比数列的定义及其性质、对数的运算性质,考查了计算能力,属于基 础题.

11. (5 分) 向平面区域 Ω={ (x, y) | 下方的概率是 .

≤x≤

, 0≤y≤1}内随机投掷一点, 该点落在曲线 y=cosx

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 平面区域 Ω 为 x 轴上方的一个一个矩形区域,曲线 y=cosx 在该区域恰好半个周期, 计算面积,即可求出概率. 解答: 解:平面区域 Ω 为 x 轴上方的一个矩形区域,面积为 π, 曲线 y=cosx 在该区域恰好半个周期,面积为 2 ∴该点落在曲线 y=cosx 下方的概率为 故答案为: . . cosxdx=2sinx| =2,

点评: 本题考查几何概型,考查利用定积分求曲边梯形的面积,考查学生的计算能力.

12. (5 分)在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别是 CD,BC 的中点,

=

(3,1) ,则

=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量的三角形法则,求出向量 AB,再由向量的数量积的坐标公式即可得到. 解答: 解:由于 , 则有 = ,0) , = ,

= (3,1)﹣ (1,2)=( 则有 故答案为: = .

点评: 本题考查平面向量的数量积的坐标公式,考查向量的加法和减法运算,以及方程的 思想方法,属于基础题. 13. (5 分)如图,已知 PA 是⊙O 的切线,A 是切点,直线 PO 交⊙O 于 B,C 两点,D 是 OC 的中点,连接 AD 并延长交⊙O 于点 E,若 PA=2 ,∠APB=30°,则 AE= .

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 连接 OA,由 AP 为圆的切线,得到∠PAO=90°,过 A 作 AM 垂直于 AC,过 O 作 OF 垂直于 AE,根据垂径定理得到 F 为 AE 的中点,在直角三角形 APO 中,由 AP 的长及∠APO 的度数,利用正切函数定义及特殊角的三角函数值求出半径 OA 的长,由 D 为 OC 的中点, 可求出 OD 的长,同时得到∠AOD 的度数,在三角形 AOD 中,根据余弦定理求出 AD 的长,

再由 OD 及边上的高 AM 求出三角形 AOD 的面积,此三角形的面积还可以用 AD 及边上的高 OF 表示,进而求出 OF 的长,在直角三角形 AOF 中,由 OA 和 OF 的长,利用勾股定理求出 AF 的长,进而求出 AE 的长. 解答: 解:连接 OA,过 O 作 OF⊥AE,过 A 作 AM⊥PC,如图所示, ∵PA 为圆 O 的切线, ∴∠PAO=90°,又 PA=2 ,∠APB=30°,∴∠AOD=120°, ∴OA=PAtan30°=2 ×
2

=2,又 D 为 OC 中点,故 OD=1,
2 2

根据余弦定理得:AD =OA +OD ﹣2OA?ODcos∠AOD=4+1+2=7,解得:AD= ∵在 Rt△ APM 中,∠APM=30°,且 AP=2 , ∴AM= AP= ,[来源:学&科&网 Z&X&X&K] ,则 S= AD?OF= OF=



故三角形 AOD 的面积 S= OD?AM= ∴OF= ,

,[来源:学#科#网]

在 Rt△ AOF 中,根据勾股定理得:AF= 则 AE=2AF= 故答案为: .

=



点评: 此题考查了直 线与圆的位置关系,涉及的知识有锐角三角函数,勾股定理,直角三 角形的性质, 以及垂径定理, 利用了数形结合的思想, 直线与圆相切时, 常常连接圆心与切点, 构造直角三角形解决问题,直 线与圆相交时,常常由弦心距,弦的一半及圆的半径构造直角 三角形解决问题,学生做此类题应注意辅助线的作法. 14. (5 分) 函数( f x) =|lnx|﹣ax 在区间 (0, 3]上有三个零点, 则实数 a 的取值范围是



考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先,画出函数 y=|lnx|的图象,然后,借助于图象,结合在区间(0,3]上有三个零 点,进行判断. 解答: 解:函数 y=|lnx|的图象如图示: 当 a≤0 时,显然,不合乎题意, 当 a>0 时,如图示,

[来源:学科网 ZXXK] 当 x∈(0,1]时,存在一个零点, 当 x>1 时,f(x)=lnx, 可得 g(x)=lnx﹣ax, (x∈(1,3]) g′(x)= ﹣a=, 若 g′(x)<0,可得 x> ,g(x)为减函数, 若 g′(x)>0,可得 x< ,g(x)为增函数, 此时 f(x)必须在[1,3]上有两个交点,





解得,

≤a< ,

在区间(0,3]上有三个零点时, 实数 a 的取值范围是 故答案为: 点评: 本题重点考查函数的零点,属于中档题,难度中等. 三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ,

15. (13 分)已知向量 =(cosx,﹣ ) , =( (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)求 f(x)在[0,

sinx,cos2x) ,x∈R,设函数 f(x)= ? .

]上的最大值和最小值.[来源:学|科|网]

考点: 平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)利用数量积运算可得函数 f(x)= ? = 单调性即可得出. (Ⅱ)当 x 时, .即可得出. 解答: 解: (Ⅰ) 函数 f(x) = ? = 由 ∴ (Ⅱ)当 x ∴ ∴f (x) 在 时, . 上的最大值和最小值分别为 1,﹣ . = ,解得 的单 调递增区间为 , cos2x= , . . ,可得 .再利用正弦函数的

点评: 本题考查了数量积运算、正弦函数的单调性、倍角公式、两角和差的正弦公式,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题. 16. (13 分)某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核, 否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ,且各 轮问题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率; (Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率可先求其对立事件该选手不被淘汰,即三轮都答对的 概率; (Ⅱ)ξ 的可能值为 1,2,3,ξ=i 表示前 i﹣1 轮均答对问题,而第 i 次答错,利用独立事件求 概率即可.

解答: 解: (Ⅰ)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai(i=1,2,3) , 则 , , .

∴该选手被淘汰的概率 = = = . , = P(ξ=3)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= ∴ξ 的分布列为 . ,

(Ⅱ)ξ 的可能值为 1,2,3.



=



点评: 本题考查互斥、对立、独立事件的概率,离散型随机变量的分布列和期望等知识, 同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力. 17. (13 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC, E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:PA∥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 B﹣DE﹣C 的平面角的余弦值; (Ⅲ)在棱 PB 上是否存在点 F,使 PB⊥平面 DEF?证明你的结论.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I)以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系,利用向量法能证明 PA∥平面 BDE.

(II)由已知求出平面 BDE 的一个法向量和平面 DEC 的一个法向量,利用向量法能求出二面 角 B﹣DE﹣C 的余弦值. (Ⅲ) 由已知得 PB⊥DE, 假设棱 PB 上存在点 F, 使 PB⊥平面 DEF, 设 由此利用向量法能求出在棱 PB 上存在点 F,PF= ,使得 PB⊥平面 DEF. , (0<λ∠1) ,

解答: (I)证明:以 D 为坐标原点, 分别以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 设 PD=DC=2,则 A(2,0,0) ,P(0,0,2) ,E(0,1,1) ,B(2,2,0) , =(2,0,﹣2) , 设 =(0,1,1) , ,

是平面 BDE 的一个法向量,

则由 取 y=﹣1,得 ∵

,得

, . ,

=2﹣2=0,∴

又 PA 不包含于平面 BDE,PA∥平面 BDE, (II)解:由(Ⅰ)知 又 = =(1,﹣1,1)是平面 BDE 的一个法向量,

=(2,0,0)是平面 DEC 的一个法向量.

设二面角 B﹣DE﹣C 的平面角为 θ, ∴cosθ=cos< , >= . .[来源:Zxxk.Com] =(0,1,1) ,

故二面角 B﹣DE﹣C 的余弦值为 (Ⅲ)解:∵ ∴ =(2,2,﹣2) ,

=0,∴PB⊥DE, , (0<λ∠1) ,

假设棱 PB 上存在点 F,使 PB⊥平面 DEF,设 则 由 ∴ =(2λ,2λ,﹣2λ) ,
2 2

=

=(2λ,2λ,2﹣2λ) ,

=0,得 4λ +4λ ﹣2λ(2﹣2λ)=0, ∈(0,1) ,此时 PF= , ,使得 PB⊥平面 DEF.

即在棱 PB 上存在点 F,PF=

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角余弦值的求法,考查满足直线与平面 垂直的点的位置的确定,解题时要注意空间思 维能力的培养. 18. (13 分)已知数列{an}{bn}的每一项都是正数,a1=4,b1=8 且 an,bn,an+1 成等差数列, * an,bn,an+1,bn+1 成等比数列(n∈N ) (Ⅰ)求 a2,b2; (Ⅱ)求数列{an}{bn}的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n,都有 + +…+ < .

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由题意得到 2b1=a1+a2, (Ⅱ)由已知得 2bn=an+an+1, 联立即可得到数列{ ,代入已知可得 a2,b2 的值; ,进一步得到当 n≥2 时 ,三式

}是等差数列,求出其通项后可得数列{bn}的通项公式,结合

得到数列{an}的通项公式; (Ⅲ)把{an}的通项公式代入 并整理,放大后列项,代入 + +…+ 证

得答案. 解答: 解: (Ⅰ)由 an,bn,an+1 成等差数列,an,bn,an+1,bn+1 成等比数列, 得:2b1=a1+a2, ∵a1=4,b1=8, ∴a2=2b1﹣a1=12, ,

; (Ⅱ)∵an,bn,an+1 成等差数列, ∴2bn=an+an+1…①. ∵bn,an+1,bn+1 成等比数列, ∴ ,

∵数列{an},{bn}的每一项都是正数, ∴ 于是当 n≥2 时, 将②、③代入①式,可得 因此数列{ ∴ 则 = + }是首项为 (n﹣1)= . . ,公差为 …②. …③. , 的等差数列. ,

由③式,可得当 n≥2 时, 当 n=1 时,a1=4,满足该式子, ∴对一切正整数 n,都有 an=2n(n+1) ; (Ⅲ)证明:由(2)可知,所证明的不等式为





=

(n≥2) , ∴当 n≥2 时,

. 当 n=1 时, .

综上所述,对一切正整数 n,有



点评: 本题是数列与不等式的综合题,考查了等差数列与等比数列的性质,训练了利用裂 项相消法求数列的和,考查了放缩法证明不等式,属难题.

19. (14 分)已知椭圆 E: (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且椭圆经过点 A(0,﹣1)

(Ⅱ)如果过点 H(0, )的直线与椭圆 E 交于 M、N 两点(点 M、N 与点 A 不重合) . ①若△ AMN 是以 MN 为底边的等腰三角形,求直线 MN 的方程; ②在 y 轴是否存在一点 B,使得 ⊥ ,若存在求出点 B 的坐标;若不存在,请说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (Ⅰ)由已知条件得

,由此能求出曲线 E 的方程.

(Ⅱ)①设直线 MN 的方程为 y=kx+ ,把 y=kx+ 代入椭圆方程,得: (1+4k )x + =0, 若 k=0, 则P (0, ) , 满足 AP⊥MN, 直线 MN 的方程为 y= ; k≠0, 则 kAP=﹣ ﹣ ,直 线 MN 的方程为 y= ②假设 存在点 B(0,t) ,满足 由 ,由此能求出直线 MN 的方程. , , .

2

2

﹣ =



=0,解得 t=﹣1.从而推导出存在 B(0,﹣1) ,使得 + =1(a>b>0)的离心率为

解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆 E: ﹣1) ,

,且椭圆经过点 A(0,



,解得 a=2,b=1c=



∴曲线 E 的方程为



(Ⅱ)①若过点 H 的直线斜率不存在,此时 M,N 两点吸一个点与 A 点重合,不满足题意, ∴直线 MN 的斜率存在,设其斜率为 k,则 MN 的方程为 y=kx+ ,

把 y=kx+ 代入椭圆方程,得: (1+4k )x +
2 2



=0,

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,MN 的中点 P(x0,y0) , 则 ,x1 x2=﹣ ,

=﹣



=



AP⊥MN,且 P(﹣



) ,

若 k=0,则 P(0, ) ,显然满足 AP⊥MN,此时直线 MN 的方程为 y= ; k≠0,则 kAP=﹣ ∴直线 MN 的方程为 y= 即 或 =﹣ ,解得 k= , , . ,
2



综上所述:直线 MN 的方程为 y= 或 ②假设存在点 B(0,t) ,满足 =x1x2+y1y2﹣t(y1+y2)+t =﹣ +







=

=0,



,解得 t=﹣1.[来源:Z#xx#k.Com]

∴存在 B(0,﹣1) ,使得



点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查直线方程的求法,考查使向量垂直的点是否存在的 判断与求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用. 20. (14 分)设函数 f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax,g(x)=ax+ +(3﹣a)lnx,a∈R (Ⅰ)当 a=0 时,求 g(x)的极值;

(Ⅱ)当 a=0 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数 y=F(x)图象上任意不同的两点 A(x1,y1) , (x2,y2) .如 果对于函数 y=F(x)图象上的点 M(x0,y0) (其中 x0= )总能使得 F(x1)﹣F(x2)

=F′(x0) (x1﹣x2)成立,则称函数具备性质“L”.试判断函数 F(x)=f(x)﹣g(x)是否具 备性质“L”,并说明理由. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数 的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)函数 g(x)的定义域为(0,+∞) ,a=0 时,g(x)=3lnx+ ,得 g′x)= ,

从而 g(x)在(0, )递减,在( ,+∞)递增,得 g(x)极小值=g( )=3﹣3ln3,没有极 大值; (Ⅱ)由题意,f′(x)= ,令 f′(x)=0,得 x1=﹣ ,x2= ,讨论 a>0,

a<0 的情况,从而得出函数的单调区间; (Ⅲ)F(x)=f(x)﹣g(x)=ax﹣lnx,设函数 F(x)具备性质“L”,即在点 M 处的切线斜 率为 KAB,不妨设 0<x1<x2,则 KAB= =a﹣ ,从而有

=

,即 ln

=

=

,令 t=

∈(0,1) ,则上

式可化为 lnt+

﹣2=0,令 H(t)=lnt+

﹣2, (0<t<1) ,得 H(t)在(0,1)上递增,

故 F(x)<F(1)=0,进而得函数 F(x)不具备性质“L”. 解答: 解: (Ⅰ)函数 g(x)的定义域为(0,+∞) , a=0 时,g(x)=3lnx+ ,

∴g′x)=



令 g′(x)>0,解得:x> , 令 g′(x)<0,解得:0<x< , ∴g(x)在(0, )递减,在( ,+∞)递增,

∴g(x)极小值=g( )=3﹣3ln3,没有极大值;

(Ⅱ)由题意,f′(x)= 令 f′(x)=0,得 x1=﹣ ,x2= ,



若 a>0,由 f′(x)≤0 得 x∈(0, ],由 f′(x)≥0 得 x∈[ ,+∞) , 若 a<0, ①a<﹣2 时,﹣ < , x∈(0,﹣ ]或 x∈[ ,++∞) ,f′(x)≤0,x∈[﹣ , ],f′(x)≥0, ②a=﹣2 时,f′(x)≤0, ③﹣2<a<0 时,﹣ > ,x∈(0, ]或 x∈[﹣ ,+∞) ,f′(x)≤0, x∈[﹣ ,﹣ ],f′(x)≥0; 综上,当 a>0 时,函数的单调递减区间为(0, ],单调递增区间为[ ,+∞) , 当 a<﹣2 时,函数的单调递减区间为(0,﹣ ],[ ,+∞) ,单调递增区间为[﹣ , ], 当 a=﹣2 时,函数的单调递减区间为( 0,+∞) , 当﹣2<a<0 时,单调递减区间为(0, ],[﹣ ,+∞) ,单调递减区间为[﹣ ,﹣ ], (Ⅲ)F(x)=f(x)﹣g(x)=ax﹣lnx, 设函数 F(x)具备性质“L”,即在点 M 处的切线斜率为 KAB,不妨设 0<x1<x2, 则 KAB= =a﹣ ,

而 F(x)在点 M 处的切线斜率为 F′(x0)=F′(

)=a﹣



故有

=



即 ln

=

=



令 t=

∈(0,1) ,

则上式可化为 lnt+ 令 H(t)=lnt+

﹣2=0, ﹣2, (0<t<1) ,

则由 H′(t)=

>0,

∴H(t)在(0,1)上递增,故 F(x)<F(1)=0, ∴方程 lnt+ ﹣2=0 无解,

∴函数 F(x)不具备性质“L”. 点评: 本题考察了函数的单调性,函数的最值问题,新定义问题,导数的应用,是一道综 合题.


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