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2016届海南省乐东思源高中高三实验班第七次模拟数学科试题(理科

时间:2016-05-31


2016 届海南省乐东思源高中高三实验班第 七次模拟数学科试题(理科)
满分:150 分
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 。第 I 卷第 1 页至第 3 页, 第Ⅱ卷第 3 至第 6 页。 注意事项:
1. 答第 I 卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在本试卷上,否则无效。

第Ⅰ卷
一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 A ? {x | x ? 1, x ? R} ,集合 B ? {1, 2, 3, 4} ,则 (CR A) ? B = A. {4} B. {3, 4} C. {2, 3, 4} D. {1, 2, 3, 4}

2.复数 z 满足 1 ? i ? A. 第一象限

1 ? 2i (其中 i 为虚数单位) ,则 z 在复平面内对应的点位于 z

B .第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.下图一是某校学生身高的条形统计图,从左到右表示学生人数依次记为 A1、 A2、?、A10(如 A2 表示身高在 ?150,155? 内的人数) 。图二是统计图一中身高 在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在 [160,175) 内的学 生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件及输出的 S 值分别是 A.i<6?,1000 B.i<7?,1500 C.i<8?,1850 D.i<9?,2050
?x ? 2 y ? 6 ?3 x ? y ? 3 ? ? 4.若实数 x,y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ?x ? Z ? ? ?y ? Z

A. 2

B.3

C.4

D.1

5. 已知命题 p : 函数 y ? ln x ? 4 为增函数, 命题 q :函数 y ? 最小值为 3,则下列命题是真命题的是 A. (?p) ? q B. p ? q C. ?( p ? q)

1 ? tan x ? 2 的 tan x ? 1

D. p ? (?q)

6. 如图, 矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0,?1) , D(0,1) , B(? ,?1) , C (? ,1) , 正弦曲线 f ( x) ? sin x 和余弦曲线 g ( x) ? cos x 在矩形 ABCD 内交于点 F,则图中 阴影部分的面积为 A. 2 ? 1 C.
2 2

B. 2 ? 1 D. 2

π 7.函数 f ( x) ? sin(?x ? )(?>0) 的图像与 x 轴的 6

交点横坐标构成一个公差为

? 得到 g ( x) ? cos( ?x ? ) 的图像, 可将 f ( x) 的图 6 像

? 的等差数列,要 2

? 个单位 4 ? C.向左平移 个单位 2
A.向右平移 8. 已知数列 {an }, a1 ? A. a n ?

? 个单位 4 ? D.向右平移 个单位 2
B.向左平移

1 ,前 n 项和 Sn ? n(2n ? 1)an ,则数列 {an }的通项公式是 3

1 (2n ? 1)(2n ? 2) 1 n(2n ? 1)

B. a n ?

1 (2n ? 1)(n ? 1)
1 (2n ? 1)(2n ? 1)

C. a n ?

D. a n ?

9.在 ?ABC中,BC ? 6, CA ? 8, AB ? 10, M 是边 AB 上的动点(含 A、B 两端点) , 若存在实数 ? , ? 使得 CM ? ?CA ? ?CB ,则 ? CA ? ? CB 的最大值是 A. 5 B. 6 C. 8 D. 10

10.双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,左右顶点分别为 a 2 b2

A1 , A2 , P 是双曲线左支上任意一点,则分别以线段 PF2 , A1 A2 为直径的两圆
位置关系为 A.内切 B.外切 C.相交 D.相离 11. 已知 PC 为球 O 的直径, A 、 B 是球面上两点,且 AB ? 2 , ? ?APC ? ?BPC ? ,若球 O 的表面积是 16? ,则三棱锥 P ? ABC 的体积是 4 4 3 2 3 A. B. 4 3 C. D. 2 3 3 3
? ? 1gx ,x>0 12. 已知函数 f ( x) ? ? ,则方程 f ( x 2 ? 2 x) ? a(a ? 0) 的不同实数根的个 2 ? ?1 ? x ,x ? 0
数不可能为

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个考题考 生都必须作答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.甲、乙、丙等 5 人站成一排,则甲、乙均不与丙相邻的概率 14. 某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积 是 . .

15.已知直线 l 过抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点,且交抛物线于
A、B 两点,弦 AB 的中点坐标为 (1, 2 ) ,则 AB 等于

.

16. 已知数列 {an } 满足 a1 ? p , a2 ? p ? 1 , an?2 ? 2an?1 ? an ? n ? 2 (其中 n ? N ? ),
记 bn ?

a n ?5

1 ,则数列 {bn } 的前 10 项和为__________. ? an?4

三、解答题:解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,
c ? 2 , sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin A sin B

(Ⅰ)求角 C 的取值;

(Ⅱ)若 sin C ? sin(B ? A) ? 2 sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)古有“文王拘而演周易” ,后经流传,人们常用卦象来 指导生活,而成卦的方式很多,其中一种方式就是用金钱成卦。具体做法就 是抛掷三枚不同的硬币 A、B、C ,硬币落地后只能正面朝上或反面朝上, 1 1 其中硬币 A 正面朝上的概率为 ,硬币 B 正面朝上的概率为 ,硬币 C 正面 2 3 朝上的概率为 t (0 ? t ? 1) ,设 ? 表示正面朝上的硬币枚数. (Ⅰ)求 ? 的分布列及数学期望 E (? ) ; (Ⅱ)当 a n ? (2n ? 1) cos(
6n? E (? )), (n ? N ? ) ,求数列 { an } 的前 n 项和 S n . 5 ? 6t

19. (本小题满分 12 分)如图, ?ABC 的外接圆半径为 5 , CD ? △ABC 所在的 平面, BE // CD , CD ? 4 , BC ? 2 ,且 BE ? 1 , tan?AEB ? 2 5 . (Ⅰ)求证:平面 ADC ? 平面 BCDE ; (Ⅱ )线段 DE 上是否存在点 M , 使得直线 AM 与平面 ACD 所成角的正弦值 2 为 ?若存在,确定点 M 的位置;若不存在,请说明理由. 7

20、已知椭圆 C :

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,左、右焦点分别为 F1 , F2 , 2 2 a b

点 G 在椭圆 C 上,且 GF 1 F2 的面积为 3. 1 ? GF 2 ? 0 , ?GF (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ )设椭圆的左右顶点为 A, B ,过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M , N (不同于点 A, B ) ,探索直线 AM , BN 的交点能否在一条垂直于 x 轴的定 直线上,若能,求出这条定直线的方程;若不能,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? (Ⅰ) 当a ? ?1 时,求 f ( x) 的单调区间;

1 2 x ? (1 ? a ) x, 其中 a 为实数. 2

(Ⅱ)若函数 f ( x) ? 0 对定义域内的任意实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ )证明 :不等式
1 1 1 n 对任意正整数 ? ?? ? ? ln(m ? 1) ln(m ? 2) ln(m ? n) m(m ? n)

m, n
恒成立.

选做题:请考生在 22, 23, 24 题中任选一题作答,若多做,则按所做第一题 计分,做题时请写清题号. 22(本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图所示, ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90? ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于 点 E ,点 D 是 BC 边的中点,连结 OD 交圆 O 于点 M .且 AB ? 4 , DE ?
3 . 2

(Ⅰ)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; (Ⅱ)求 AC 的长.

A E O M B D C

23(本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴, 建立极坐标系,
?x ? 2 ? t (t为参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 1 . 已知直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 1 ? 2t

(Ⅰ)求直线 l 与圆 C 的公共点的个数;

? x' ? x (Ⅱ)在平面直角坐标系中, 圆 C 经过伸缩变换 ? 得到曲线 ? , 设 M ( x, y) ? y' ? 2 y
为曲线 ? 上任意一点, 求 4x 2 ? xy ? y 2 的最大值, 并求出此时点 M 的坐标.

24(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2a | ? | x ? a |, a ? R, a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ)若 b ? R, 且b ? 0 ,证明: f (b) ? f (a) ,并说明等号成立的条件.

理科数学(参考答案)
一、选择题:CCBBD 二、填空题:13、 ABDCA AC 15、 3 2 16、

3 10

14、 16 ? 8 2

5 6

三、17 解: (Ⅰ) sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin A sin B

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab -------2

? cosC ?

a 2 ? b2 ? c2 1 ? ------4 2ab 2

?C ?

?
3

-------5

(Ⅱ) sin C ? sin(B ? A) ? 2 sin(2 A)

?sin( A ? B) ? sin(B ? A) ? 4 sin A cos A ------7

? 2 sin B cos A ? 4 sin A cos A
? cos A(sin B ? 2 sin A) ? 0 ------8

当 cos A ? 0时, A ?

?
2

, c ? 2, C ?

?
3

, S ?ABC ?

2 3 -----9 3

当cos A ? 0时, sin B ? 2 sin A, b ? 2a
? a 2 ? 4a 2 ? 4 ? 2a 2

4 1 1 ? 2 3 ? a 2 ? ,? S ?ABC ? absin C ? ? 2a 2 sin ? 3 2 2 3 3
综上,S ?ABC ? 2 3 ------12 3
------1

-----11

18、解:(Ⅰ) ? 的可能取值为 0,1,2,3

P(? ? 0) ?

1 2 2 ? 2t ? (1 ? t ) ? -------2 2 3 6 1 2 1 1 1 2 3?t P(? ? 1) ? ? (1 ? t ) ? ? (1 ? t ) ? ? t ? 2 3 2 3 2 3 6 1 1 1 1 1 2 1 ? 2t P(? ? 2) ? ? (1 ? t ) ? ? t ? ? t ? 2 3 2 3 2 3 6 1 1 1 P(? ? 3) ? ? t ? t -------5 2 3 6

--------3 -------4

? ? 的分布列为

?

0

1

2

3

P

1? t 3

3?t 6

2t ? 1 6

t 6

-------6

1? t 3?t 2t ? 1 t 5 ? 6t + 1? + 2? + 3? = -------7 3 6 6 6 6 6n? 5 ? 6t ? ) ? (2n ? 1) cos( n? ) ? (?1) n (2n ? 1) -----9 (Ⅱ) an ? (2n ? 1) cos( 5 ? 6t 6 n(1 ? 2n ? 1) ? n2 -------12 ? an ? 2n ?1,? S n ? 2

E (? ) ? 0 ?

19、解法一: (Ⅰ)证明:? CD ? 平面ABC,BE // CD,? BE ? 平面ABC,? BE ? AC, BE ? AB

又 ? tan?AEB ? 2 5 , BE ? 1,? AB ? 2 5 ,由圆的半径为 5, ?? 2 ? AB为圆的直径, ? BC ? AC, 又BC ? BE ? B,? AC ? 平面BCDE?? 4 又AC ? 平面ACD, ? 平面ADC ? 平面BCDE.??5
(Ⅱ)假设存在点 M,过 M 作 MN ? CD 于 N,连接 AN,作 NF ? CB 于 F,连接 AF,

? 平面ADC ? 平面BCDE, ? MN ? 平面ACD, 3 3 x, MF ? 4 ? x ?? 7 2 2 3 ? MA ? AF 2 ? MF 2 ? AC 2 ? CF 2 ? MF 2 ? 16 ? x 2 ? (4 ? x) 2 ??8 2 MN x 2 又 sin ?MAN ? ? ? ??10 AM 7 3 16 ? x 2 ? (4 ? x) 2 2 8 4 2 2 x ? ? (舍去)或x ? ,? MN ? CB,? M存在且MD ? DE.??12 3 3 3 3 ? ?MAN为MA与平面ACD所成的角,设 MN ? x ? ND ?

解法二:证明:(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)以 C 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz . 则点 A(4,0,0) D(0,0,4) , E (0,2,1) . 设点 M 的坐标为

z

(0, x, y)

x
y

于是 DE ? (0,2,?3) , DM ? (0, x, y ? 4) .-------6 由于 DM ∥ DE ,故 ? 实数 ?( ? ? 0 ) , 使得 DM = ? DE , 则有 x ? 2? , y ? 4 ? 3? 即 M (0,2? ,4 ? 3? ) ,于是 AM ? (?4,2?,4 ? 3?) -------8

又 BC ? 平面 ACD ,故平面 ACD 的法向量为 n ? (0,1,0) 设 直 线

所 成 的 角 为 ? AM 与 平 面 A C D

, 依 题 意 ,
-------10

sin ? ? cos n, AM ?

n ? AM n AM

?

2? 16 ? 4?2 ? (4 ? 3? ) 2

?

2 7

化简得, 9?2 ? 6? ? 8 ? 0 ,解得 ? ?
4 即点 M 的坐标为 (0, ,2) 3
-------12

2 4 或 ? (舍). 3 3

20. 解:(Ⅰ)设 F1 (?c,0), F2 (c,0), 由于 e ? 根据 GF1 ? GF2 ? 0, 得 GF1 ? GF2
2

c 1 ? ,? a ? 2c, b ? 3c a 2
2

------1 -------3

? 4c 2 ,由S ?GF1F2 ? 3

? GF1 ? GF2 ? 6,?16c 2 ? 12 ? 4c 2 , ? c ? 1, a ? 2.b ? 3,? 椭圆方程为
(Ⅱ)由(1)知, A(?2,0), B(2,0) ①当直线 l 斜率不存在时, l : x ? 1 与椭圆交于点 M (1, ), N (1,? ) 此时直线 ---6

x2 y 2 ? ?1 4 3

------5

3 2

3 2

AM : y ?

1 3 ( x ? 2), NB : y ? ( x ? 2) ,? 它们交于 (4,3) , 它在垂直于 x 轴的直线 x ? 4 上。 2 2

②当直线 l 斜率存在时,设 l : y ? k ( x ? 1) ,联立椭圆方程有:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0
? x1 ? x2 ? 8k 2 4(k 2 ? 3) , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) -----8

直线 AM 的方程为 y ?

y1 k ( x1 ? 1) ( x ? 2)即:y ? ( x ? 2) x1 ? 2 x1 ? 2
-----10

直线 BN 的方程为 y ?

y2 k ( x2 ? 1) ( x ? 2)即:y ? ( x ? 2) x2 ? 2 x2 ? 2

联立消去 y 得:

8(k 2 ? 3) 24k 2 2[ ? ? 4 x2 ] 2 2 2(2 x1 x2 ? 3x1 ? x2 ) x? ? 3 ? 4 k 2 3 ? 4k ?4 8k x1 ? 3x2 ? 4 ? 4 ? 2 x2 3 ? 4k 2 所以直线 AM 与直线 BN 交点在直线 x ? 4 上。 综上知,直线 AM 与直线 BN 交点一定在直线 x ? 4 上. ------12 1 2 1 21 解(Ⅰ) a ? ?1时, f ( x) ? ? ln x ? x ,? f `(x) ? ? ? x ? 0时 2 x

x ? 1, 且x ? (0,1)时,f ` ( x) ? 0, x ? (1,??)时,f `(x) ? 0 ? f ( x)的单调增区间为 (1,??), 减区间为(0,1)
(Ⅱ)由于 f (1) ? ?

-----2

1 ? a, 显然 a ? 0时, f (1) ? 0, 此时 f ( x) ? 0对定义域内的 2

每一个x不恒成立,a ? 0时,函数f ( x)在区间(0,??)上的极小值 1 1 (也是最小值)是 f (1) ? ? ? a, 此时只要f ( x) ? 0即可,解得a ? ? 2 2 1 ? 实数a的取值范围是(??,? ] 2
(Ⅲ)当 a ? ? 时, f ( x) ? ? ---7

1 1 1 ln x ? x 2 ? x ? 0 2 2 2 1 1 1 1 ? 2 ? ? , 则有 ∴当 x ? 1时 , ln x x ? x x ? 1 x

1 2

-------9

1 1 1 1 ? ? ??? ln(m ? 1) ln(m ? 2) ln(m ? 3) ln(m ? n)
?(
1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ??? ( ? ) m m ?1 m ?1 m ? 2 m ? n ?1 m ? n

?

1 1 n ? ? m m ? n m( m ? n )



1 1 1 n ? ?? ? ------12 ln(m ? 1) ln(m ? 2) ln(m ? n) m(m ? n)

22 证明:(Ⅰ)如图连结 OE、BE,则 BE ? EC,又 D 是 BC 的中点,所以 DE=BD,
? 又因为 OE=OB,OD=OD,所以 ?ODE ? ?ODB ,所以 ?OBD ? ?OED ? 90 ,

所以 O、B、D、E 四点共圆. ------5 (Ⅱ)证明:延长 DO 交圆于点 H,由(1)知 DE 为圆 O 的切线, 所以 BD ? DE ? 所以 AC ? 5

3 ,所以 BC ? 3 ,又因为 AB ? 4 2

-----9

------10
2 2

23 解:(Ⅰ)直线 l 的方程为 2x ? y ? 2 2 ? 1 ,圆 C 的方程是 x ? y ? 1

-----3

圆心到直线的距离为 d ?

0 ? 0 ? 2 2 ?1 4 ?1

? 1 ,所以直线 l 与圆的公共点个数为 0 个.
-------5

(Ⅱ)圆 C 的参数方程是 ?

? x ? cos? ? x ? cos? ,所以 C ' 的方程: ? (0 ? ?<2 π) (?为参数) ? y ? 2 sin ? ? y ? sin ?
-----7

?4x 2 ? xy ? y 2 ? 4 cos2 ? ? cos? ? 2 sin ? ? 4 sin 2 ? ? 4 ? sin 2?
所以 ? ?

?
4

或? ?

5? 时, 4 x 2 ? xy ? y 2 取得最大值 5, ------9 4

此时 M 的坐标为 (

2 2 , 2 )或(? ,? 2) -------10 2 2

24、解(Ⅰ)证明:因为 a ? 1, 不等式变为 x ? 2 ? x ? 1 ? 3 ,-----1 当 x ? 2 时,有 2 x ? 3 ? 3 ,? x ? 3 -----2 -------3

当 1 ? x ? 2 时,有 2 ? x ? x ? 1 ? 3 ,? x ? ? 当 x ? 1 时,有 3 ? 2 x ? 3 ,? x ? 0 所以该不等式的解集为 (??,0) ? (3,??) (Ⅱ)由题知 f (a) ? a ,

--------4

------5

f (b) ? b ? 2a ? b ? a = 2a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b ? a ? a
-------8

------7

所以等号成立的条件是当且仅当 2a ? b 与 b ? a 同号或它们至少有一个为零. ---10


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