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三角函数专题(学案)

时间:2012-02-15


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一、三角函数的概念 1.角的概念的推广: 1.角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 角的概念的推广 的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角 叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称 为始边,终止位置称为终边。 (1)象限角 在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与

x 轴的非负 半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边 在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 第一象限角的集合 ? x | 2kπ < x < 2kπ + π , k ∈ Z ? ? ?
? 2 ?

第二象限角的集合 ? x | 2kπ + π < x < 2kπ + π , k ∈ Z ? ? ?
? 2 ?

第三象限角的集合 ? x | 2kπ ? π < x < 2kπ ? π , k ∈ Z ? ? ?
? 2 ?

第四象限角的集合 ? x | 2kπ ? π < x < 2kπ , k ∈ Z ? ? ?
? 2 ?

( 2) 轴线角 )

终边在 x 轴上角的集合 {α | α = kπ , k ∈ Z } ,终边在 y 轴上角的集合

π ? ? kπ ? ? ?α | α = + kπ , k ∈ Z ? ,终边在坐标轴上角的集合 ?α | α = , k ∈ Z ? 2 2 ? ? ? ?

终边相同的角的表示: 2. 终边相同的角的表示: (1) α 终边与 θ 终边相同( α 的终边在 θ 终边所在射线上) ? α = θ + 2kπ (k ∈ Z) . 注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等. 注意 (2) α 终边与 θ 终边共线( α 的终边在 θ 终边所在直线上) ? α = θ + kπ (k ∈ Z) . (3) α 终边与 θ 终边关于 x 轴对称 ? α = ?θ + 2kπ (k ∈ Z) . (4) α 终边与 θ 终边关于 y 轴对称 ? α = π ? θ + 2kπ (k ∈ Z) . (5) α 终边与 θ 终边关于原点对称 ? α = π + θ + 2kπ (k ∈ Z) . 的终边关系: 3. α 与 α 的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.
2

且绝对值最小的角的度数是___, 合___弧度。 例 1 与角 ? 1825o 的终边相同, 例 2 α 的终边与 的终边关于直线 y = x 对称,则 α =____________。
6

π

例 3 若 α 是第二象限角,则 是第_____象限角
2

α

4.角度、弧度的换算关系: 角度、弧度的换算关系: 角度

1

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(1) 360o = 2π rad , 1o = π
? 180 ? rad , 1rad = ? ? 180 ? π ?
o

(2)扇形的弧长、面积公式:设扇形的弧长为 l ,圆心角为 α (rad ) ,半径为 r ,则
1 1 l = r ? α ,扇形的面积 S = lr = r 2 ? α 2 2

该扇形的中心角是 1 弧度, 求该扇形的面积。 例 4 已知扇形 AOB 的周长是 6cm,

5.三角函数定义:设 α 是任意一个角,P ( x, y ) 是 α 的终边上的任意一点(异于原 三角函数定义: 三角函数定义 点) ,它与原点的距离是 r = x 2 + y 2 > 0 ,那么 sin α = , cos α = , tan α = , ( x ≠ 0 ) ,
cot α = x r r ( y ≠ 0) ,sec α = ( x ≠ 0 ) ,csc α = ( y ≠ 0 ) 。三角函数值只与角的大小有关, y x y
y r x r y x

而与终边上点 P 的位置无关。 6.三角函数在各象限的符号规律:口诀“一全正, 二正弦 三正切 四余弦 三角函数在各象限的符号规律:口诀“一全正 二正弦,三正切 四余弦. 三正切,四余弦 三角函数在各象限的符号规律

+

+



+



+







+

+



sin α

cos α

tan α ( cot α )

例 1 已知角 α 的终边经过点 P(5,-12),则 sin α + cos α 的值为__。 例 2 设 α 是第三、四象限角, sin α =
2m ? 3 ,则 m 的取值范围是_______ 4?m
2

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例3 若
| sin α | cos α + = 0 ,试判断 cot(sin α ) ? tan(cos α ) 的符号 sin α | cos α |

三角函数线的特征是: 正弦线 MP “站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 余弦线 OM 、 “躺 7.三角函数线的特征 三角函数线的特征 在 x 轴上(起点是原点)” 、正切线 AT“站在点 A(1, 0) 处(起点是 A )”.
y B P α O M A x S T

三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。 三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式 例 1 若 ? < θ < 0 ,则 sin θ , cos θ , tan θ 的大小关系为__
8

π

___ ____

例 2 若 α 为锐角,则 α ,sin α , tan α 的大小关系为___

例 3 函数 y = 1 + 2 cos x + lg(2 sin x + 3 ) 的定义域是______ _ 二、同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式(1)倒数关系: tan α ? cot α = 1 同角三角函数的基本关系式 (2)商的关系: tan α = sin α , cot α = cos α .
cos α sin α

(3)平方关系: sin 2 α + cos 2α = 1

3

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2.诱导公式 诱导公式 函数
x ?α
sin x ? sin α

cos x cos α
m sin α

tan x ? tan α

cot x ? cot α

π

2 π ±α

±α

cos α
m sin α

m cot α
± tan α

m tan α
± cot α

? cos α
± sin α

3π ±α 2

? cos α
± sin α

m cot α m tan α

m tan α
± cot α

2π ± α

cos α

注意: (1)诱导公式可概括为 k ? ± α 的各三角函数值的化简公式。 注意: (2)记忆规律:奇变偶不变,符号看象限。其中的奇、偶是指 的奇数倍
2

π 2

π

和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化,若是奇数倍,则函数名称变为相应的余 名函数,若是偶数倍,则函数名称不变;符号看象限是指把 α 看成锐角时原函数值 的符号作为结果的符号。在运用诱导公式过程中注意两点:一是函数名称是否 改变,二是正负号的确定原则。 例 1 cos
9π 7π + tan(? ) + sin 21π 的值为________ 4 6

(答:
4 5

2 3 ? ) ; 2 3

例 2 已知 sin(540 o + α ) = ? ,则 cos(α ? 270 o ) = ______,若 α 为第二象限角,则
[sin(180 o ? α ) + cos(α ? 360 o )]2 = ________。 tan(180 o + α )

(答: ? ; ? 3.注意常见方法的运用: 注意常见方法的运用: 注意常见方法的运用

4 5

3 ) 100

2 (1) sin α + cos α = a, 可运用(sin α + cos α) = a 2求得 sin α ? cos α 与 sin α ? cos α 的值。

(2)若 tan α = a ( a ≠ 0 ) , 可求 ①
3sin α + 4 cos α 3 tan α + 4 3a + 4 = = ( 3a ? 1 ≠ 0 ) 3sin α ? cos α 3 tan α ? 1 3a ? 1
4

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② sin 2 α + 3sin 2α = ③
sin 2 α + 3sin 2α tan 2 α + 6 tan α a 2 + 6a = = 2 sin 2 α + cos 2 α tan 2 α + 1 a +1

1 sin 2 α + cos 2 α tan 2 α + 1 a 2 + 1 = = = sin 2α + cos 2 α sin 2α + cos 2 α 2 tan α + 1 2a + 1
sin α + tan α 的值的符号为____ cos α + cot α

例 1 函数 y =

例 2 若 0 ≤ 2 x ≤ 2π ,则使 1 ? sin 2 2 x = cos 2 x 成立的 x 的取值范围是____ 例 3 已知 sin θ = 例 4 已知
m?3 4 ? 2m π , cosθ = ( < θ < π ) ,则 tan θ =____ m+5 m+5 2

tan α sin α ? 3 cos α = ?1 ,则 =___; sin 2 α + sin α cos α + 2 =____ tan α ? 1 sin α + cos α

例 5 已知 sin 200 o = a ,则 tan 160 o 等于 A. ?
a 1? a2

B.

a 1? a2

1? a 2 C. ? a

1? a 2 D. a

例 6 已知 f (cos x) = cos 3x ,则 f (sin 30 o ) 的值为______ 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 两角和与差的正弦
令α = β sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ??? sin 2α = 2 sin α cos α →
令α = β cos (α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ??? cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α →

                        2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α ↓ = tan α ± tan β 1+cos2α         cos 2 α= ? 1 m tan α tan β 2 1 ? cos2α                      2 α= ↓ sin 2 2 tan α     2α = tan 1 ? tan 2 α   (α ± β ) = tan

注意:熟悉以下公式变形 (1) tan θ + tan β = tan (θ + β )(1 ? tan θ tan β ) (2) sin 2 θ =
1 ? cos 2θ 1 + cos 2θ ; cos 2 θ = 2 2

(3)1 + cos θ = 2 cos 2 ,1 ? cos θ = 2 sin 2
2

θ

θ
2
5

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θ θ (4)1 ± sin θ = ? sin ± cos ? ? ?
? 2 2?
2

(5)注意“凑角”运用: θ = (θ + β ) ? β = 意角的范围及符号。例如:已知 θ、β ∈ ? ?
π? ? cos ? θ + ? = ? 4? ?

θ +β
2

+

θ ?β
2

π? π ? = ? θ + ? ? ,求值时,特别注 4? 4 ?

3π 3 π ? 12 ? ? ,π ?, (θ + β ) = ? , sin ? β ? ? = , 则 sin 5 4 ? 13 ? 4 ? ?

(6)辅助角公式的运用: a sin θ + b cos θ = a 2 + b2 sin (θ + ? ) ,其中 tan ? = .如:
sin θ +

b a

π ? ? 3 c o s θ = 2 sin ? θ + ? , 3 ? ?

π ? ? 3 sin θ ? co s θ = 2 sin ? θ ? ? , 6 ? ?

π? ? sin θ + cos θ = 2 sin ? θ + ? 4? ?

等。

(7)几种常用变换思想:①变不同角为同角 ③见高次降幂 例 1 下列各式中,值为 的是( A. sin15o cos 15o B. cos 2
π
12 ? sin 2 1 2

②变不同函数为同名函数

) C.
tan 22.5o 1 ? tan 2 22.5o

π
12

D.

1 + cos 30o 2

) 例 2 命题 P: tan( A + B ) = 0 ,命题 Q: tan A + tan B = 0 ,则 P 是 Q 的( A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条 件 例 3 已知 sin( α ? β )cos α ? cos( α ? β ) sin α = ,那么 cos 2 β 的值为___ 例4
1 3 的值是______ ? o sin 10 sin 80o 3 5

_

例 5 已知 tan1100 = a ,求 tan 500 的值(用 a 表示)甲求得的结果是 得的结果是

a? 3 ,乙求 1 + 3a

1 ? a2 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______(答:甲、 2a

乙都对) 三角函数的化简 计算、 函数的化简、 三、 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 一角二名三结构 即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的 角的 变换是三角函数变换的核心! ;第 变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”
6

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三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: 基本的技巧有: 基本的技巧有 巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的 (1)巧变角 变换、 两角与其和差角的变换. 如 α = (α + β ) ? β = (α ? β ) + β , α = (α + β ) + (α ? β ) , 2
2α = ( β + α ) ? ( β ? α ) , α + β = 2 ?

α +β
2

,α + β
2

= α?

例 1 已知 tan(α + β ) = , tan( β ? ) = ,那么 tan(α + ) 的值是___
4 4

2 5

π

(

β
2

1 4

π

, ) ( α β ) 等)
? 2 ?

__

例 2 已知 0 < β <

π
2

< α < π ,且 cos( α ?

β

1 α 2 ) = ? , sin( ? β ) = ,求 cos( α + β ) 的值 2 9 2 3

例 3 已知 α , β 为锐角, sin α = x, cos β = y , cos(α + β ) = ? ,则 y 与 x 的函数关系为 ______ (2)三角函数名互化 (2)三角函数名互化(切割化弦), 三角函数名互化 例 1 求值 sin 50o (1 + 3 tan10o )

3 5

例 2 已知

sin α cos α 2 = 1, tan(α ? β ) = ? ,求 tan( β ? 2α ) 的值 1 ? cos 2α 3

(3)公式变形使用 (3)公式变形使用( tan α ± tan β = tan (α ± β )(1 m tan α tan β ) 。如 公式变形使用 如 例 1 已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B = tan A + tan B + 1 ,则 cos( A + B) =_____
tan sin 例 2 设 ?ABC 中, A + tan B + 3 = 3 tan Atan B , Acos A =
3 , 则此三角形是____ 4

三角形 (4)三角函数次数的降升 (4)三角函数次数的降升(降幂公式: cos 2 α = 三角函数次数的降升 式:1 + cos 2α = 2 cos 2 α , 1 ? cos 2α = 2 sin 2 α )。
7

1 + cos 2α 1 ? cos 2α , sin 2 α = 与升幂公 2 2

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例 1 若 α ∈ ( π , π ) ,化简
3 2

1 1 1 1 + + cos 2α 为_____ 2 2 2 2
5 3( x ∈ R ) 的单调递增区间为____ 2

例 2 函数 f ( x ) = 5 sin x cos x ? 5 3 cos 2 x +

(5)式子结构的转化 (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 式子结构的转化 例 1 tan α (cos α ? sin α ) +
sin α + tan α cot α + csc α

例 2 求证:

1 + sin α 1 ? 2sin
2

α
2

=

1 + tan 1 ? tan

α α
2;

2

例 3 化简:

2 cos 4 x ? 2 cos 2 x +

2 tan( ? x) sin 2 ( + x) 4 4

π

π

1 2

(6)常值变换主要指“ (6)常值变换主要指“1”的变换(1 = sin 2 x + cos 2 x = sec 2 x ? tan 2 x = tan x ? cot x 常值变换主要指 的变换 = tan π = sin π = L 等) , 例
2 已知 tan α = 2 ,求 sin 2 α + sin α cos α ? 3cos 2 α 4

(7)正余弦“三兄妹 sin x ± cos x、 x cos x ”的内存联系――“知一求二” 如 三兄妹— sin ,如 (7) 三兄妹 __ 例 1 若 sin x ± cos x = t ,则 sin x cos x = 例 2 若 α ∈ (0, π ),sin α + cos α = 1 ,求 tan α 的值。
2
8

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例 3 已知

sin 2α + 2 sin 2 α π π = k ( < α < ) ,试用 k 表示 sin α ? cos α 的值 1 + tan α 4 2

(8)辅助角公式中辅助角的确定: a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin ( x + θ ) (其中 θ 角所在 辅助角公式中辅助角的确定 的象限由 a, b 的符号确定,θ 角的值由 tan θ = 确定)在求最值、化简时起着重要 作用。 例 1 若方程 sin x ? 3 cos x = c 有实数解,则 c 的取值范围是___________. 例 2 当函数 y = 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______ 例 3 如果 f ( x ) = sin ( x + ? ) + 2 cos( x + ? ) 是奇函数,则 tan ? = 例 4 求值:
3 1 ? + 64 sin 2 20° = ________ 2 sin 20° cos 20°
2

b a

9


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