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第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)


第二届(2010 年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案 (非数学类)
(150 分钟) 一、 (25 分,每小题 5 分) (1)设 xn ? (1 ? a)(1 ? a 2 )?(1 ? a 2 ), 其中 | a |? 1, 求 lim xn .
n ??
n

? 1? (2)求 lim e ? x ?1 ? ? 。 x

?? ? x?
(3)设 s ? 0 ,求 I ?

x2

?

?

0

e? sx x n dx(n ? 1, 2,?) 。
?2 g ?2 g ?1? x 2 ? y 2 , g ( x, y ) ? f ? ? ,求 2 ? 2 。 ?x ?y ?r?

(4)设函数 f (t ) 有二阶连续导数, r ?

(5)求直线 l1 : ?

?x ? y ? 0 x ? 2 y ?1 z ? 3 ? ? 与直线 l2 : 的距离。 4 ? 2 ?1 z ? 0 ?
n n

解: (1) xn ? (1 ? a)(1 ? a 2 ) ?(1 ? a 2 ) = xn ? (1 ? a)(1 ? a)(1 ? a 2 ) ?(1 ? a 2 ) / (1 ? a) = (1 ? a2 )(1 ? a2 )?(1 ? a2 ) / (1 ? a) = ? = (1 ? a2 ) / (1 ? a)
n n?1

? lim xn ? lim(1 ? a 2 ) / (1 ? a) ? 1/ (1 ? a)
n ?? n ??

n?1

1 1 ln e? x (1? ) x x 2 ln(1? ) ? x ? 1? x x (2) lim e ?1 ? ? ? lim e ? lim e x ?? x ?? x ?? ? x?
2

x2

?x

令 x=1/t,则
(ln(1?t ) ?t )

原式= lim e
t ?0

t2

? lim e
t ?0

1/(1? t ) ?1 2t

? lim e
t ?0

?

1 2(1? t )

?e

?

1 2

? ? 1 ? 1 ? sx I n ? ? e ? sx x n dx ? (? ) ? x n de ? sx ? (? )[ x n e ? sx |? dx n ] ? 0 ? ?0 e 0 0 s s (3) n ? ? sx n ?1 n n(n ? 1) n! n! e x dx ? I n ?1 ? I n ? 2 ? ? ? n I 0 ? n ?1 2 ? s 0 s s s s

(4)略(不难,难得写) (5)用参数方程求解。答案好像是 14 二、 (15 分)设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上具有二阶导数,并且

f ??( x) ? 0, lim f ?( x) ? ? ? 0, lim f ?( x) ? ? ? 0, 且存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 。
x ??? x ???

1/5

证明:方程 f ( x) ? 0 在 (??, ??) 恰有两个实根。 解: (简要过程) 二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为 f(x)有小于 0 的值,所以只需在两边 找两大于 0 的值。 将 f(x)二阶泰勒展开

f ( x) ? f (0) ? f ' (0) x ?

f '' (? ) 2 x 2

因为二阶倒数大于 0,所以
x ???

lim f ( x) ? ?? , lim f ( x) ? ??
x ???

证明完成。

? x ? 2t ? t 2 三、 (15 分)设函数 y ? f ( x) 由参数方程 ? (t ? ?1) 所确定,其中? (t ) 具有二阶 ? y ? ? (t )
导数,曲线 y ? ? (t ) 与 y ?

?

t2

1

e ?u du ?

2

3 在 t ? 1 出相切,求函数? (t ) 。 2e

t2 3 d2y ? ?u2 解: (这儿少了一个条件 2 ? )由 y ? ? (t ) 与 y ? ? e du ? 在 t ? 1 出相切得 1 2e dx

? (1) ?

3 2 ' ,? (1) ? 2e e

dy dy / dt ? ' (t ) ? ? dx dx / dt 2 ? 2t

d 2 y d (dy / dx) d (dy / dx) / dt ? '' (t )(2 ? 2t ) ? 2? ' (t ) ? =。 。 。 ? ? dx 2 dx dx / dt (2 ? 2t )3
上式可以得到一个微分方程,求解即可。 四、 (15 分)设 an ? 0, S n ?
??

? a , 证明:
k ?1 k

n

(1)当 ? ? 1 时,级数

? S ? 收敛;
n ?1 n

an

(2)当 ? ? 1 且 sn ? ?(n ? ?) 时,级数 解: (1) an >0, s n 单调递增

? S ? 发散。
n ?1 n

??

an

2/5



?a
n ?1 ?

?

n

收敛时,?

an an an a ,而 ? 收敛,所以 n 收敛; ? ? ? sn s1 s1 sn ?



?a
n ?1

n

发散时,

lim sn ? ?
n ??

?

sn dx sn dx an sn ? sn ?1 ? ?? ?? ? ? ? sn?1 s sn?1 x? sn sn n

所以,

? sn dx sn dx an a1 a1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? s1 x s1 n?2 sn?1 x s1 n ?1 sn

?



?

sn

s1

sn1?? ? s11?? a1 s11?? dx a1 ? ? lim ? ?? ? k ,收敛于 k。 x? s1? n?? 1 ? ? s1 ? ? 1

所以,

? s ? 收敛。
n ?1 n
n ??

?

an

(2)? lim sn ? ?

所以

? an 发散,所以存在 k1 ,使得 ? an ? a1
n ?1

?

k1

n?2

an k1 an an ? 1 2 于是, ? ? ? ? ? ? sk1 2 2 sn 2 sn
k1

k1

依此类推,可得存在 1 ? k1 ? k2 ? ... 使得

? s ? ? 2 成立
ki n

ki?1

an

1

所以

?s ?
1 n
?

kN

an

?N?

1 2

当 n ?? 时, N ? ? 所以

? s ? 发散
n ?1 n

an

五、 (15 分)设 l 是过原点、方向为 (? , ? , ? ) , (其中 ? ? ? ? ? ? 1) 的直线,均匀椭球
2 2 2

3/5

x2 y 2 z 2 ? ? ? 1 ,其中( 0 ? c ? b ? a, 密度为 1)绕 l 旋转。 a 2 b2 c 2
(1)求其转动惯量; (2)求其转动惯量关于方向 (? , ? , ? ) 的最大值和最小值。 解: (1)椭球上一点 P(x,y,z)到直线的距离

d 2 ? (1 ? ? 2 ) x2 ? (1 ? ? 2 ) y2 ? (1 ? ? 2 ) z 2 ? 2?? xy ? 2?? yz ? 2?? zx

? ??? xydV ? ??? yzdV ? ??? zxdV ? 0
? ? ?
2 2 ??? z dV ? ? z dz ? ?c c

x2 a

? 2

y2 b

??
?1? 2

z2 c2

dxdy ? ? ? ab(1 ?
?c

c

z2 2 4 ) z dz ? ? abc3 2 c 15

由轮换对称性,

??? x dV ? 15 ? a bc, ??? y dV ? 15 ? ab c
2 3 2 3 ? ?

4

4

I ? ??? d 2 dV ? (1 ? ? 2 )
?

4 4 4 ? a3bc ? (1 ? ? 2 ) ? ab3c ? (1 ? ? 2 ) ? abc3 15 15 15

4 ? abc[(1 ? ? 2 )a 2 ? (1 ? ? 2 )b 2 ? (1 ? ? 2 )c 2 ] 15 (2)? a ? b ? c 4 ? 当 ? ? 1 时, I max ? ? abc(a 2 ? b 2 ) 15 4 ? abc(b 2 ? c 2 ) 当 ? ? 1 时, I min ? 15 ?
六、(15 分)设函数 ? ( x) 具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 C 上,曲线 积分

? ?
c

2 xydx ? ? ( x)dy 的值为常数。 x4 ? y 2
2 2

(1)设 L 为正向闭曲线 ( x ? 2) ? y ? 1, 证明 (2)求函数 ? ( x) ;

? ?
c

2 xydx ? ? ( x)dy ? 0; x4 ? y 2

(3)设 C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求

? ?
c

2 xydx ? ? ( x)dy 。 x4 ? y 2

4/5

解: (1) L 不绕原点,在 L 上取两点 A,B,将 L 分为两段 L1 , L2 ,再从 A,B 作一曲线 L3 , 使之包围原点。 则有

? ?
L

2 xydx ? ? ( x)dy 2 xydx ? ? ( x)dy 2 xydx ? ? ( x)dy ? ? ? ? 4 2 4 2 ? ? x ?y x ?y x4 ? y 2 L1 ? L3 L ? ?L
2 3

(2) 令 P ?

2 xy ? ( x) ,Q ? 4 2 x ?y x ? y2
4

由(1)知

?Q ?P ? ? 0 ,代入可得 ?x ?y

? ' ( x)( x4 ? y2 ) ? ? ( x)4x3 ? 2x5 ? 2xy 2
上式将两边看做 y 的多项式,整理得

y 2? ' ( x) ? ? ' ( x) x4 ? ? ( x)4 x3 ? y 2 (?2 x) ? 2 x5
由此可得

? ' ( x) ? ?2 x

? ' ( x) x4 ? ? ( x)4x3 ? 2x5
解得: ? ( x) ? ? x
'

2

(3) 取 L 为 x ? y ? ? ,方向为顺时针
4 2 4

?

?Q ?P ? ?0 ?x ?y

?? ?
c

2 xydx ? ? ( x)dy 2 xydx ? ? ( x)dy 2 xydx ? ? ( x)dy ? ? ?? 4 2 4 2 ? ? x ?y x ?y x4 ? y 2 c ? L' L' ?
L' ?

?

1

?

4

? ? 2 xydx ? x dy ? ?
2

(最后一步曲线积分略去,不知答案对不对)

5/5


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