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开放性与探索性问题


探索型问题一(开放性问题)
【考点透视】 习惯上,人们把命题者对解题者的要求,将数学问题分为两类:一类是问题的条件和结论都有确 定要求的题型;另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型,并称前者为封闭题型,后者为 开放题型. 开放性问题的基本形式有:条件开放题(问题的条件不完备) ;结论开放题(问题的结论不确定或 不唯一) ,这些问题的解决,需解题者经过探索确定结

论或补全条件,将开放性问题转化为封闭性问题, 然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 现在还出现一些其他形式的开放题, 如解题策略的开放题和 题干结构的开放题. 前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计,后者主要是所给题目不完整,需要 解题者把题目补充完整,然后完成解答. 开放性问题对于训练和考查学生的发散思维,进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的. 教育部在《2000 年初中毕业、升学考试改革的指导意见》中特别指出:数学考试“应设计一定结合情境 的问题和开放性问题”.由于各地认真贯彻执行这一指导意见,所以在近年的各地中考中,开放性试题越 来越受到命题者的青睐,也越来越受到广大初中教师和学生的重视. 【典型例题】 一、条件开放题 解条件开放题,一种是直接补齐条件,使题目结论成立;另一种是需要我们作出探索去补齐条件使 A 题目结论成立. 这两种情况所需补充的条件往往不惟一. 例 1 (1)如图 7.1,△ ABC 中,AB=AC,D 为 AC 边上的一点,要使 △ ABC∽△ BCD,还需要添加一个条件,这个条件可以是__________ D _______________________(只需填写一个你认为适当的条件即可). B (2001 年淄博市中考题) C 图 7.1 (2)如图 7.2,在△ ABC 和△ FED 中,AD=FC,AB=FE,当添加条 B 件:__________________时,就可得到△ ABC≌△ FED(只需填写一 C 个你认为正确的条件). (2003 年无锡市中考题) A F D 解: (1)BD=BC.(也可以是:∠ ABC=∠ BDC;或∠ A=∠ DBC; 或 BC∶CD=AC∶BC;或 BC2=AC?CD 中的某一个) E (2)∠ A=∠ F. (或 BC=ED 等) 图 7.2 说明:开放题的一个显著特点是:答案的不唯一性. 第(1)小题中,我们只需给出能使结论成立 的一个答案即可. 例 2 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是 ?
?x ? 2 , ? x ? ?2 , 和? ,试 ?y?4 ? y ? ?4

写出符合要求的方程组____________________________.(只要填写一个即可) (2000 年安徽省中考题) 分析:我们只要分别构造出一个既含 x,又含 y 的一个二元一次方程和一个二元二次方程. 构造方 程实际上就是寻找 x 与 y 之间的关系. 解: ?
? y ? 2x , ? xy ? 8.

说明: 方程与函数有着紧密的联系, 如果我们把方程组的解看作对应于平面直角坐标系中的两个点 A(2,4) ,B(-2,-4) ,则我们可以写出过这两个点的一个一次函数的解析式(也是一个二元一次方 程)和一个二次函数的解析式(也是一个二元二次方程,这个方程不唯一).
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本题在解法上可以用代数的方法来解, 也可用几何的方法来解 (形数结合——一种重要的数学思想 方法) ;可以用待定系数法,运用演绎推理的方法来解,也可用直觉思维的方法来解,所以本题既是一 个条件开放题,也是一个策略开放题. 例 3 已知:如图 7.3.1,四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形,A 是 BD 的中点,过 A 点的切线与 CB 的延长线交于点 E. (1)求证:AB?DA=CD?BE; (2)若点 E 在 CB 延长线上运动,点 A 在 BD 上运动,使切线 EA 变为割线 EFA,其它条件不变, 问具备什么条件使原结论成立?(要求画出示意图,注明条件,不要求证明) (2000 年北京海淀区中考 题) 分析:本题的(2)是一个条件开放题.由于本题的结论与(1)相同,所以这一条件的获得,我们 可以从(1)的证明过程中受到启示. A E BD AB ? AD (1)证明:连结 AC.∵ A是 的中点,∴ ,∠ ACB=∠ ACD. D O B ∵ EA 切⊙ O 于 A,∴ ∠ EAB=∠ ACB. 又∵ ∠ ABE=∠ D,∴ △ EAB∽△ ACD,∴ AB∶CD=EB∶AD, C 图 7.3.1 ∴ AB?AD=CD?BE. A (2)解:如图 7.3.2 中,若有△ EAB∽△ ACD,则原结论成立,故我们 F 只需探求使△ EAB∽△ ACD 的条件. E B O D 由于∠ ABE=∠ D,所以只要∠ BAE=∠ DAC 即可,这只要 BF ? CD 即可. C 所以本题只要 BF ? AD ,原结论就成立.
图 7.3.2

说明:探求条件的过程,是一个由果索因的过程,这是数学中的一种重要的解题方法——分析法. 例 4 如图 7.4,AB、AC 分别是⊙ O 的直径和弦,D 为劣弧 AC 上一点,DE⊥ AB 于点 H,交⊙ O于 点 E,交 AC 于点 F,P 为 ED 的延长线上一点. (1)当△ PCF 满足什么条件时,PC 与⊙ O 相切?为什么? (2)点 D 在劣弧 AC 的什么位置时,才能使 AD =DE· DF?为什么? (2002 年济南市中考题) 分析: (1)连 OC.要使 PC 与⊙ O 相切,则只需∠ PCO=900 即可. 由∠ OCA=∠ OAC,∠ PFC=∠ AFH,即可寻找出△ PCF 所要满足的条件
AD DF (2)要使 AD =DE· DF,即 ,也就是要使△ DAF∽△ DEA, ? DE AD
2 2

P
A

D F A H E
图 7.4

C

O

B

这样问题就较容易解决了. 解: (1)当 PC=PF(或∠ PCF=∠ PFC,或△ PCF 是等边三角形)时,PC 与⊙ O 相切. 连 OC. ∵ PC=PF,∴ ∠ PCF=∠ PFC, ∴ ∠ PCO=∠ PCF+∠ OCA=∠ PFC+∠ OAC=∠ AFH+∠ AHF=900,
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∴ PC 与⊙ O 相切. (2)当点 D 是 AC 的中点时,AD2=DE· DF. 连结 AE.∵AD ? CD ,∴ ∠ DAF=∠ DEA. 又∵ ∠ ADF=∠ EDA,∴ △ DAF∽△ DEA, ∴
AD DF ,即 AD2=DE· DF. ? DE AD

说明:本题是探索性开放题,在解决这类问题时,我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条 件.如第(1)小题中,若要 PC 与⊙ O 相切,则我们需要怎样的条件.第(2)小题也是如此. 二、结论开放题 结论开放题通常是结论不确定或不惟一, 解题时, 需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结论. 例 5 如图 7.5.1,以等腰三角形 ABC 的一腰 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于 D,过 D 作 DE⊥ AC 于 E, 可得结论 DE 是⊙ O 的切线. 问: (1)若点 O 在 AB 上向点 B 移动,以 O 为圆心,OB 长为半径的圆 A 仍交 BC 于 D,DE⊥ AC 的条件不变,那么上述结论是否还成立?请说明理由.
3 (2)如果 AB=AC=5cm, sinA= ,那么圆心 O 在 AB 的什么位置时,⊙ O 5
O E B D
图 7.5.1

与 AC 相切? (2001 年黑龙江省中考题) 分析: (1)连 OD. ∵ OB=OD,∴ ∠ OBD=∠ ODB=∠ C,∴OD∥ AC, 从而可得 OD⊥ DE,结论仍然成立. (2)若⊙ O 与 AC 相切,设切点为 F,连 OF,则由 Rt△ AOF 中可 求得 OF=
15 15 ,即 OB= . 8 8

C

A

解: (1)结论仍然成立. 如图 7.5.2,连 OD,则 OD=OB,∠ OBD=∠ ODB. 又 AB=AC,∴ ∠ B=∠ C,∴ ∠ ODB=∠ C, ∴ OD∥ AC. ∵ DE⊥ AC,∴ OD⊥ DE, ∴ DE 是⊙ O 的切线. (2)如图 7.5.3,若 AC 与⊙ O 切于点 F,连 OF, 则 OF⊥ AC,即△ AOF 是直角三角形, ∴ sinA= ∴ OB=
OF OB 3 ? ? , AO 5 ? OB 5

O E B D
图 7.5.2

C

A F

O B
图 7.5.3

15 , 8 15 时,⊙ O 与 AC 相切. 8

C

即当 OB=

说明:本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题. 第(1)小题是直接从题设条件出发探求 结论是否成立;第(2)小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件,这也是解决这类问题的常用 方法.
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例 6 如图 7.6.1,⊙ O 的直径 AB,过半径 OA 的中点 G 作弦 CE⊥ AB,在 CB 上取一点 D,分别作 直线 CD、ED,交直线 AB 于点 F、M. (1)求∠ COA 和∠ FDM 的度数; C (2)求证:△ FDM∽△ COM; (3)如图 7.6.2,若将垂足 G 改取为半径 OB 上任意一 点,点 D 改取在 EB 上,仍作直线 CD、ED,分别交直线
A G E
图 7.6.1

C D O M B F A OG F E
图 7.6.2

B D

M

AB 于点 F、M. 试判断:此时是否仍有△ FDM∽△ COM? 证明你的结论. (2003 年苏州市中考题)

(1)解:∵ AB 是⊙ O 的直径,CE⊥ AB,∴AC ? CE ,CG=EG.
1 1 在 Rt△ COG 中,∵ OG= OC,∴ ∠ OCG= 30 ,∴ ∠ COA= 60 . 又∠ CDE 的度数= CAE 的度数= AC 2 2

的度数=∠ COA= 60 ,∴ ∠ FDM= 180 -∠ COA= 120 . (2)证明:∵ ∠ COM= 180 -∠ COA= 120 ,∴ ∠ COM=∠ FDM. 在 Rt△ CGM 和 Rt△ EGM 中, GM=GM,CG=EG, ∴ Rt△ CGM≌Rt△ EGM, ∴ ∠ GMC=∠ GME. 又∠ DMF=∠ GME,∴ ∠ OMC=∠ DMF, ∴ △ FDM∽△ COM. (3)解:结论仍然成立. ∵ ∠ FDM= 180 -∠ CDE, ∴ ∠ CDE 的度数=
1 CAE 的度数= AC 的度数=∠ COA, 2

∴ ∠ FDM= 180 -∠ COA=∠ COM. ∵ AB 为直径,CE⊥ AB,∴ 在 Rt△ CGM 和 Rt△ EGM 中, GM=GM,CG=EG, ∴ Rt△ CGM≌Rt△ EGM, ∴ ∠ GMC=∠ GME, ∴ △ FDM∽△ COM. 说明:本题的第(3)小题是在第(2)小题改变条件的情况下,探求结论是否还成立. 在探求时应 寻着(2)的解题思路来进行. 三、解题策略开放题 解题策略开放题,现在更多的是以要求解题者设计解题方案来设计题目. 例 7 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含 300 的直角三角形组成, 利用这副三角板构成一个 0 含 15 角的方法很多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上作出必要的标注,不写作法. (2000 年荆州市中考题)
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分析:本题可利用这副三角板中的角做“加减运算”:600-450,或 450-300,或 600+450-900 等来得到 150 的角. G A 解:如图所示. 图 7.7.1 中就包含有两中构造方法, D E ∠ ABD 和∠ ACD 都等于 15 ;图 7.7.2 中,∠ EFG= 15 .
B C F

图 7.7.1 图 7.7.1 请同学们试着拼出其它的图形. 说明:这类拼图组合,给出了一定的条件,但解决问题的办法需要我们自己来寻找. 通常解决这类 问题的方法不惟一. 用现有的工具去解决问题,这在实际生产和生活中常会遇到. 例 8 如图,把边长为 2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下 列要求的图形 (全部用上, 互不重叠且不留空隙) , 并把你的拼法仿照图 1 按实际大小画在方格纸内 (方 格为 1cm× 1cm). (1)不是正方形的菱形(一个) ; (2)不是正方形的矩形(一个) ; (3)梯形(一个) ; (4)不是矩形和菱形的平行四边形(一个) ; 图 7.8 (5)不是梯形和平行四边形的凸四边形(一个) ; (6)与以上画出的图形不全等的其他凸四边形(画出的图互不全等,能画出几个画几个,至少画 三个). (2001 年徐州市中考题)

解: (1) (4)

(2)

(3)

(5)

(6)

说明:本例是一道设计图形的开放性试题,这类题近几年在全国各地的中考试题中经常出现.设计 型开放题,有利于培养学生的发散性思维能力,有利于充分发挥学生的想象力和创造力,这对培养学生 的创新意识和创新精神具有着积极的作用, 例 9 有一种“二十四点”游戏,其规则是这样的:任取四个 1 至 13 之间的自然数,将这四个数(每 个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算,使其结果等于 24.例如对 1,2,3,4,可以运算得(1+2 +3)× 4=24(注意上述运算与 4× (1+2+3)应视作相同方法的运算).现有四个有理数 3,4,-6, 10,用上述规则写出三种不同方法的算式,使其结果等于 24,运算如下: (1)_____________________; (2)________________________; (3)_________________________. 另有四个有理数 3,-5,7,-13,可通过运算式(4)____________________________,使其结果等 于 24. (2001 年杭州市中考题) 分析:“二十四点”游戏,小学生也可参加. 本题将数的范围扩大到整数范围,变成新的游戏,其实
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就是有理数的运算.本题具有开放性,答案是不唯一的. 解: (1)3× [4+(-6)+10]=24; (2)4-(-6)÷ 3× 10=24; (3) (10-4)-3× (-6)=24. (4) [(-5)× (-13)+7]÷ 3=24. 说明:本题将有理数的运算与学生熟知的游戏结合起来,使数学学习更具趣味性. 四、题目结构开放题 以看作是一个条件开放题. 例 10 某一学生在做作业时,不慎将墨水瓶打翻,使一道作业题只看到如下字样:“甲、乙两地相 距 40 千米,摩托车的速度为 45 千米/时,运货汽车的速度为 35 千米/时, ?”(涂黑 部分表示被墨水覆盖的若干文字)请将这道作业题补充完整,并列方程解答.(2001 年吉林省中考题) 分析:这里“距离”和“速度”都有了,故我们可以考虑从时间上去把本题补完整. 解一:摩托车和运货汽车同时从甲地驶向乙地,则摩托车比运货汽车早到几分钟? 40 ? 40 40 ? 设摩托车比运货汽车早到 x 分钟,则 ? ? ? ? 60 ? x ,x= . 21 ? 35 45 ? 答:摩托车比运货汽车早到
40 分钟. 21

解二:摩托车和运货汽车分别从甲地和乙地同时相向而行,则几分钟后它们相遇? 设摩托车与运货汽车出发 x 分钟后相遇,则(45+35)×
x = 40,x=30. 60

答:摩托车与运货汽车出发 30 分钟后相遇. 解三:运货汽车从甲地出发 10 分钟后,摩托车从甲地出发去追赶运货汽车,问在到达乙地前,摩 托车能否追上运货汽车? 运货汽车走完全程需
40 8 40 8 ? 小时,摩托车走完全程需 ? 小时, 35 7 45 9

8 8 16 摩托车比运货汽车少用 ? ? 小时. 7 9 63 16 10 9 ∵ ? ? ? 0, 63 60 126

∴ 摩托车在运货汽车到达乙地前能追上. 解四:摩托车和运货汽车分别从甲、乙两地沿由甲地往乙地的方向同向而行,问经过几小时摩托车 可追上运货汽车? 设经过 x 小时摩托车可追上运货汽车,则 45x=40+35x,解得 x=4. 答:经过 4 小时摩托车可追上运货汽车. 说明:由于行程问题是大家比较熟悉的应用问题,所以我们还可以编出很多这样的问题来,同学们 不妨试试.

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习题七
一、填空题 1. (1)写出和为 6 的两个无理数_________________.(2003 年绍兴市中考题) (2)若关于 x 的方程 x2+kx-12=0 的两根均是整数,则 k 的值可以是______________.(只要求写出两 个) (2001 年浙江省中考题) 2. 如图, 在△ ABC 中, 以 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于点 D, 连结 AD, 请你添加一个条件, 使△ ABD≌△ ACD, 并说明全等的理由. 你添加的条件是_________________________.(2002 年金华市中考题) 二、解答题 3.做一做:用四块如图 1 的瓷砖聘成一个正方形,使 拼成的图案成轴对称图形.请你在图 2、图 3 图 4 中各画出一种拼法(要求三种拼法各不 相同,所画图案中的阴影部分用斜线表示). 图1 图2 图3 图4 (2003 年无锡市中考题) 第3题 4.先根据要求编写应用题,再解答你所编写的应用题. 编写要求: (1)编写一道行程问题的应用题,使得根据题意列出的方程为
120 120 ? ? 1; x x ? 10

(2)所编应用题完整,题意清楚,联系生活实际且解符合实际. (2001 年青岛市中考题) 5.同学们知道:只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件,使 这两个三角形全等.请你仿照方案(1) ,写出方案(2) 、 (3) 、 (4). 解:设有两边和一角对应相等的两个三角形. 方案(1) :若这角的对边恰好是这两边中的大边,则这两个三角形全等.(2000 年广东省中考题) A 6.如图,⊙ O 与⊙ O1 完外切于点 T,PT 为其内公切线,AB 为其外 P B 公切线,A、B 为切点,AB 与 TP 相交于点 P,根据图中所给出的已知条件 O 及线段,请写出一个正确结论,并加以证明.(2001 年杭州市中考题) O T 1 7.如图,在△ ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,给出 5 个论断: B
第6题 ① CD⊥ AB;② BE⊥ AC;③ AE=CE;④ ∠ ABE= 30 ;⑤ CD=BE. (1)如果论断① ② ③ ④ 都成立,那么论断⑤ 一定成立吗? 答:____________; D (2)从论断① ② ③ ④ 中选取 3 个作为条件,将论断⑤ 作为结论, A 组成一个真命题,那么你选的 3 个论断是__________________ C E 第7题 A (只需填论断的序号) ; (3)用(2)中你选的 3 个论断作为条件,论断⑤ 作为结论,组 成一道证明题,画出图形,写出已知、求证,并加以证明. B E (2003 年徐州市中考题) 8.如图,AB=AE,∠ ABC=∠ AED,BC=ED,点 F 是 CD 的中点. C F D (1)求证:AF⊥ CD; 第8题 (2)在你连接 BE 后,还能得出什么新的结论?请写出三个 (不要求证明). (2002 年江西省中考题)

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9.已知在直角坐标系中,直线 y ? ? 3x ? 2 3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、点 B, 以 AB 为一边的等腰△ ABC 的底角为 300,请在坐标系中画出△ ABC,并求出点 C 的坐标. (2000 年北京市崇文区中考题) 10.如图,已知直线 MN 与以 AB 为直径的半圆相切于点 C,∠ A= 28 . (1)求∠ ACM 的度数; (2)在 MN 上是否存在点 D,使 AB?CD=AC?BC?为什么? (2001 年广州市中考题)
M C N A 第 10 题 B

参考答案:
1. (1) 2 和 6- 2 (有无数多个) (2) 1,-1(或 4,-4;或 11,-11) 2. 答案不唯一. 添加的条件可以是: ① AB=AC; ② ∠ B=∠ C; ③ BD=DC (或 D 是 BC 中点) ; ④ ∠ BAD=∠ CAD (或 AD 平分∠ BAC)等. 3.略. 4.所编应用题符合编写要求. 正确设未知数、列方程,正确求出方程的解. 5.方案(2) :若这角是直角,则这两个三角形全等. 方案(3) :在两个钝角三角形中,有两边和一角对应相等的两个三角形. 方案(4) :在两个锐角三角形中,有两边和一角对应相等的两个三角形. 6.AB=2PT. 证明略. B 7. (1)一定. (2)① 、③ 、④ . (3)已知,如图,在△ ABCD、E 分别 在 AB、AC 上,CD⊥ AB,AE=CE,∠ ABE=3 0 . 求证:CD=BE. 证明: 作 EF∥ CD 交 AB 于 F. ∵ AE=CE,∴ AF=FD,∴ CD=2EF. ∵ CD⊥ AB, ∴ EF⊥ AB. 在 Rt△ EFB 中,∠ EFB= 90 ,∠ EBF=3 0 ,∴ BE=2EF, ∴ CD=BE. 图要正确. C 8. (1)证明:连结 AC、AD,∵ AB=AE,∠ ABC=∠ AED,BC=ED, ∴ △ ABC≌△ AED,∴ AC=AD. 又∵ F 为 CD 的中点,∴ AF⊥ CD. (2)① BE∥ CD;② AF⊥ BE;③ △ ACF≌△ ADF;④ ∠ BCF=∠ EDF; ⑤ 五边形 ABCDE 是以直线 AF 为对称轴的轴对称图形. (还可写出 其它的结果) 9.如图,C1(6,0) ,C2(0, ?2 3 ) ,C3(0, C5(2,
4 3 ) ,C6(2, 4 3 ). 3 2 3 ) ,C4(-4, 2 3 ) , 3
C4 D F A

E
第7题

y
C6

B C5 C3 O A C1

x

10. (1)∵ AB 是直径,∠ ACB= 90 . 又∠ A= 28 ,∴ ∠ B= 62 . 又 MN 是切线,C 为切点,∴ ∠ ACM= 62 . (2)在 MN 上存在符合条件的点 D. 证明:过点 A 作 AD⊥ MN 于 D. 在 Rt△ ABC 和 Rt△ ACD 中,MN 切半圆 ACB 于点 C, ∴ ∠ B=∠ ACD,∴ △ ABC∽△ ACD,∴
AB BC ,即 AB?CD=AC?BC. ? AC CD

C2

第9题

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