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2013年11月高二数学阶段练习及其答案答案


阶段练习三 一、选择题: 1.已知命题 p : ?x ? R , 2 ? 0 ,那么命题 ?p 为(C)
x

(A)?x ?R ,2 ? 0
x

(B)?x ? R ,2 ? 0 (C)?x ?R ,2 ? 0 (D)?x ? R ,2 ? 0
x x x

2. 下列命题中的假命题是(

C) ... A. ?x ? R,lg x ? 0 B. ?x ? R, tan x ? 1 C.

?x ? R, x3 ? 0

D. ?x ? R,2x ? 0

【解析】对于 C 选项 x=0 时,x?=0,故选 C 3.若命题“ p ? q ”为假,且“ ?p ”为假,则( B A. p 或 q 为假 B. q 假 C. q 真 ) D.不能判断 q 的真假 )

4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A

( A. 16 ? 8? B. 8 ? 8? C. 16 ? 16? D. 8 ? 16?



5. 已知球面上 A、 C 三点的截面和球心的距离都是球半径的一半, AB=BC=CA=2, B、 且 则球表面积是( A.

)

64 π 9

B.

8 π 3

C.4π

D.

16 π 9

解析: 如图,过 ABC 三点的截面圆的圆心是 O′,球心是 O,连结 AO′、OO′, 则 OO′⊥ AO′.Δ ABC 中,AB=BC=CA=2,故Δ ABC 为正三角形.∴AO′=

3 2 3 R ×2= 设球半径为 R,则 OA=R,OO′= 3 3 2
在 RtΔ OAO′中,OA =O′O +O′A ,即 R =
2 2 2 2

R2 2 +( 4 3

3 )2

∴R=

4 64 2 ,∴球面面积为 4π R = π ,∴应选 A. 3 9

6. 在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中, O 为 AC,BD 的交点,则 C1O 与 A1D 所成角的( D )
3 6 → 1→ 1→ → → 7、 如图, 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角, 若点 P 满足BP= BA- BC+BD, 则|BP 2 2

A. 60°

B. 90°

C. arccos

3 3

D. arccos

|2 的值为(

)

3 A. 2

B.2

10- 2 C. 4

9 D. 4

→ → → → → → → → → 解析:由题可知|BA|=1,|BC|=1,|BD|= 2.〈BA,BD〉=45° 〈BD,BC〉=45° 〈BA,BC〉=60° , , . 1→ 1→ → 1→ 1→ → → 1→ → → → → → ∴|BP|2=( BA- BC+BD)2= BA2+ BC2+BD2- BA· +BA· -BC· BC BD BD 2 2 4 4 2 1 1 1 1 2 2 9 = + +2- ×1×1× +1× 2× -1× 2× = . 4 4 2 2 2 2 4 答案:D 8. 如图,定点 A 和 B 都在平面 ? 内,定点 P ? ? , PB ? ? , C 是 ? 内异于 A 和 B 的动点,且 PC ? AC .那么,动点 C 在平面 ? 内的轨迹是( B ) A. 一条线段,但要去掉两个点 B. 一个圆,但要去掉两个点 C. 一个椭圆,但要去掉两个点 D. 半圆,但要去掉两个点 二、填空题: 9.若 p : ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ,则 ?p :
2 2 2

;若 p : ?x ? Z , x 的个位数是 7;则 ?p :
2

.

答案: ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ; ?x ? Z , x 的个位数不是 7, 10. 已知 (a ? 3b) ? (7 a ? 5b),( a ? 4b) ? (7 a ? 2 b), 则 a与b 的夹角为

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

.60°

11. 将边长为 1 的正方形 ABCD,沿对角线 AC 折起,使 BD=

6 .则三棱锥 D-ABC 的体积为 2

.

解析:设 AC、BD 交于 O 点,则 BO⊥AC 且 DO⊥AC,在折起后,这个垂直关系不变,因此∠BOD 是二面角 B-AC-D 的平面角. 由于△ DOB 中三边长已知,所以可求出∠BOD:

这是问题的一方面,另一方面为了求体积,应求出高,这个高实际上是△ DOB 中,OB 边上的高 DE, 理由是:

∵DE⊥OB,

∴DE⊥面 ABC.

由 cos∠DOB=

,知 sin∠DOE=

∴DE=

∴ 12. 正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,各棱长均为 2,M 为 AA1 中点,N 为 BC 的中点,则在棱柱的表面上从点 M 到 点 N 的最短距离是 .

解析: (1)从侧面到 N,如图 1,沿棱柱的侧棱 AA1 剪开,并展开,则 MN= = 10 (2)从底面到 N 点,沿棱柱的 AC、BC 剪开、展开,如图 2.

AM 2 ? AN 2 = 12 ? (2 ? 1) 2

则 MN=

AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos120 ?

= 1 ? ( 3 ) ? 2 ? 1? 3 ?
2 2

1 = 4? 3 2

∵ 4 ? 3 < 10

∴ M Nmin = 4 ? 3 . 13、若四面体各棱长是 1 或 2,且该四面体不是正四面体,则其体积的值是 .(只须写出一个可能的 值) 解析: 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点,实际上主要考 查由所给条件构造一个四面体的能力,首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.

排除{1,1,2} ,可得{1,1,1}{1,2,2}{2,2,2} , , ,然后由这三类面在空间构造满足条件的一个 四面体,再求其体积. 由平时所见的题目,至少可构造出二类满足条件的四面体,五条边为 2,另一边为 1,对棱相等的四面体. 对于五条边为 2,另一边为 1 的四面体,参看图 1 所示,设 AD=1,取 AD 的中点为 M,平面 BCM 把三棱锥分 成两个三棱锥,由对称性可知 AD⊥面 BCM,且 VA—BCM=VD—BCM,所以

VABCD=

1 SΔ BCM·AD. 3
2 2

2 2 CM= CD ? DM = 2 ? ( ) =

1 2

15 15 11 2 2 ?1 = .设 N 是 BC 的中点, MN⊥BC, 则 MN= CM ? CN = , 4 2 2

从而 SΔ BCM=

11 11 1 ×2× = , 2 2 2

故 VABCD=

11 11 1 × ×1= . 2 6 3

对于对棱相等的四面体,可参见图 2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中,再用长方体的体积减去 四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式 V= 不妨令 a=b=2,c=1,则 V=

2 · (a 2 ? b 2 ? c 2 )(b 2 ? c 2 ? a 2 )(c 2 ? a 2 ? b 2 ) , 12

2 · (4 ? 4 ? 1)( 4 ? 1 ? 4)(1 ? 4 ? 4) 12

=

14 2 · 7= . 12 12

14、在桌面上有三个球两两相切,且半径都为 1,在桌面与三球间放置一个小球,使它与三个球相切.求此 小球半径. 解析: 如图,球 O 为放置在桌面上与已知三球相切的半径为 r 的小球,过 O 作 O1O2O3 平面的垂线,垂足为 H, 它一定是Δ O1O2O3 的中心, 连接 O1H, 1O, RtΔ O1OH 中, 1H= O 在 O

2 3 2 2 2 , OH=1-r,OO1=1+r,∴OO1 =O1H +OH , 3

即(1+r) =(

2

2 3 2 1 2 ) +(1-r) ,解得 r= . 3 3

三、解答题: 15、如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1 C 所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)取 AB 中点 E,连结 CE, A1 B , A1 E ,

[ ∵AB= AA1 , ?BAA1 = 60 ,∴ ?BAA1 是正三角形,
0

∴ A1 E ⊥AB,

∵CA=CB,

∴CE⊥AB,

∵ CE ? A1 E =E,∴AB⊥面 CEA1 ,

∴AB⊥ A1C ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, EA1 ⊥AB, 又∵面 ABC⊥面 ABB1 A1 ,面 ABC∩面 ABB1 A1 =AB,∴EC⊥面 ABB1 A1 ,∴EC⊥ EA1 , ∴EA,EC, EA1 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, EA 的方向为 x 轴正方向,| EA |为单位长度,建立如图 所示空间直角坐标系 O ? xyz , 有 题 设 知 A(1,0,0),

??? ?

??? ?

A1

(0,

3

,0),C(0,0,

3

),B(-1,0,0),



???? ???? ???? ??? ? BC =(1,0, 3 ), BB1 = AA1 =(-1,0, 3 ), A1C =(0,- 3 , 3 ),

??? ? ? x ? 3z ? 0 ?n ? BC ? 0 ? ? 设 n = ( x, y, z ) 是平面 CBB1C1 的法向量, 则 ? ,即 ? ,可取 n =( 3 ,1,-1), ???? ?n ? BB1 ? 0 ?x ? 3y ? 0 ? ? ???? ???? n ? A1C 10 10 ???? ∴ cos n, A1C = , ∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 5 | n || A1C | 5
16、如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形, AB // CD , AB ? AD , ?PAB 和 ?PAD 是两个边长为 2 的正三角形, DC ? 4 , O 为 BD 的中点, E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PO ? 平面 ABCD ; P (Ⅱ)求证: OE // 平面 PDC ; (Ⅲ)求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值.

E

A
O

B
C

D
(Ⅰ)证明:设 F 为 DC 的中点,连接 BF ,则 DF ? AB ∵ AB ? AD , AB ? AD , AB // DC , ∴四边形 ABFD 为正方形, ∵ O 为 BD 的中点, ∴ O 为 AF , BD 的交点, ∵ PD ? PB ? 2 ,

P

E

A
O

B
F

D
∴ PO ? BD , ∵ BD ? ∴ PO ?

C

………………………………..2 分

AD 2 ? AB 2 ? 2 2 ,

PB 2 ? BO 2 ? 2 , AO ?
2 2

1 BD ? 2 , 2
2

在三角形 PAO 中, PO ? AO ? PA ? 4 ,∴ PO ? AO ,……………………………4 分 ∵ AO ? BD ? O ,∴ PO ? 平面 ABCD ; ……………………………5 分 (Ⅱ)方法 1:连接 PF ,∵ O 为 AF 的中点, E 为 PA 中点, ∴ OE // PF , ∵ OE ? 平面 PDC , PF ? 平面 PDC , ∴ OE // 平面 PDC . ……………………………9 分 方法 2: 由(Ⅰ)知 PO ? 平面 ABCD , A ?D 又 B A 以 OP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由已知得: , 所以过 O 分别做 AD, AB 的平行线, 以它们做 x, y 轴,

P

A(?1, ?1,0) , B(?1,1,0) , D(1, ?1,0)

E

A
O

B
y

D

x

F

C

F (1,1,0) , C (1,3,0) , P (0,0, 2) ,
1 1 2 E (? , ? , ), 2 2 2
??? ? ??? ? ??? ? 1 1 2 ,? , ) , PF ? (1,1, ? 2) , PD ? (1, ?1, ? 2) , PC ? (1,3, ? 2) . 2 2 2 ??? ? ? 1 ??? ∴ OE ? ? PF 2 ∴ OE / / PF ∵ OE ? 平面 PDC , PF ? 平面 PDC , ∴ OE // 平面 PDC ; …………………………………9 分 ? (Ⅲ) 设平面 PDC 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,直线 CB 与平面 PDC 所成角 θ ,
则 OE ? (?

??? ?

? ???? ? x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0 ?n?PC ? 0 ? ? 则 ? ? ???? ,即 ? , ? ?n?PD ? 0 ? x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ? ?
解得 ?

? y1 ? 0 ? ? ,令 z1 ? 1 ,则平面 PDC 的一个法向量为 n ? ( 2, 0,1) , ? x1 ? 2 z1 ?

又 CB ? (?2, ?2, 0) 则 sin θ ? cos ? n , CB ? ?

??? ?

? ? ???

2 2 3 ? , 3 3?2 2
3 . 3
………………………………………14 分

∴直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值为

17.在四棱锥 P - ABCD 中, AB // CD , AB ^ AD ,
P

AB = 4, AD = 2 2, CD = 2 , PA ^ 平面 ABCD , PA = 4 .
(Ⅰ)设平面 PAB ? 平面 PCD ? m ,求证: CD // m ; (Ⅱ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅲ)设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为
A

PQ 3 ,求 的值. 3 PB
(Ⅰ)证明: 因为 AB // CD , CD ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , 所以 CD //平面 PAB .

D C

B

………………………………………2 分

因为 CD ? 平面 PCD ,平面 PAB ? 平面 PCD ? m , 所以 CD // m . ………………………………………4 分

(Ⅱ)证明:因为 AP ^ 平面 ABCD , AB ^ AD ,所以以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在的直线分别

为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 则 B(4,0,0) , P(0,0, 4) , D(0, 2 2, 0) , C (2, 2 2, 0) . ………………………………………5 分 所以 BD ? (?4, 2 2, 0) , AC ? (2, 2 2, 0) ,

??? ?

????

??? ? AP ? (0, 0, 4) ,
所以 BD ? AC ? (?4) ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 0 ,

z P

??? ???? ?

??? ??? ? ? BD ? AP ? (?4) ? 0 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 4 ? 0 .
所以 BD ? AC , BD ? AP . 因为 AP ? AC ? A , AC ? 平面 PAC ,
A C B x D y

PA ? 平面 PAC , 所以 BD ? 平面 PAC .
(Ⅲ)解:设

………………………………………9 分

PQ = ? (其中 0 #? PB ??? ? ??? ? 所以 PQ = ? PB .
所以 ( x, y, z - 4) =

, (, , 1 ) Qxyz )

,直线 QC 与平面 PAC 所成角为 ? .

? (4,0, - 4) .

ì x = 4? , ? ? ? 所以 í y = 0, 即 Q(4? ,0, - 4? + 4) . ? ? z = - 4? + 4, ? ? ? ??? ? 所以 CQ = (4? - 2, - 2 2, - 4? + 4) . ………………………………………11 分
由(Ⅱ)知平面 PAC 的一个法向量为 BD ? (?4, 2 2, 0) . ………………………………………12 分

??? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CQ ×BD 因为 sin ? = cos < CQ, BD > = ??? ??? , ? ? CQ ×BD

所以

3 ?4(4? ? 2) ? 8 . ? 3 2 6 ? (4? ? 2) 2 ? 8 ? (?4? ? 4) 2

7 ? [0,1] . 12 PQ 7 = 所以 . PB 12
解得 ? ?

………………………………………14 分

18. 在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAC 和 ?PBC 是边长为 2 的等边三角形, AB ? 2 , O 是 AB 中点.

(Ⅰ)在棱 PA 上求一点 M ,使得 OM ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求证:平面 PAB ⊥平面 ABC ; (Ⅲ)求二面角 P ? BC ? A 的余弦值. (Ⅰ)当 M 为棱 PA 中点时, OM ∥平面 PBC . 证明:? M , O 分别为 PA, AB 中点,

P

A

? OM ∥ PB
又 PB ? 平面 PBC , OM ? 平面 PBC

O
B
--------------------4 分

C

?OM ∥平面 PBC .
(Ⅱ)连结 OC , OP

? AC ? CB ? 2 , O 为 AB 中点, AB ? 2 ,
? OC ⊥ AB , OC ? 1 .
同理, PO ⊥ AB , PO ? 1 . 又 PC ?

2,

? PC 2 ? OC 2 ? PO 2 ? 2 , ??POC ? 90? .
? PO ⊥ OC .

? PO ⊥ OC , PO ⊥ AB , AB ? OC ? O ,
? PO ⊥平面 ABC . ? PO ? 平面 PAB

? 平面 PAB ⊥平面 ABC .
(Ⅲ)如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz . 则 B(1, 0, 0) , C (0,1, 0) , P(0, 0,1) ,

--------------------9 分

z
P

??? ? ??? ? ? BC ? (?1,1, 0) , PB ? (1, 0, ?1) . ??? ? 由(Ⅱ)知 OP ? (0, 0,1) 是平面 ABC
的一个法向量. 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

A

O
B

C

y

??? ? ?n ? BC ? 0 ?? x ? y ? 0 ? 则 ? ??? . ?? ? ?n ? PB ? 0 ? x ? z ? 0 ?
令 z ? 1,则 x ? 1, y ? 1 ,

x

? 平面 PBC 的一个法向量 n ? (1,1,1) . ??? ? ??? ? OP ? n 1 3 ? ? cos ? OP, n ?? ??? ? ? . 3 | OP | ? | n | 1? 3

? 二面角 P ? BC ? A 的平面角为锐角, ? 所求二面角 P ? BC ? A 的余弦值为

3 . 3

--------------------14 分


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