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福建省南安第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

时间:2016-02-15


南安一中 2015~2016 上学期高二年期末考数学(文)试卷

本试卷考试内容为:人教版选修 1—1(1,2 章) ,选修 1—2(1 章) 。分第 I 卷(选择题) 和第 II 卷,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: (1)给定临界值表

P(K ? k0 )

0.50 0.455<

br />
0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.84

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

k0
(2) K 2 ?

n(ad ? bc) 2 , 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量。 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡相应位置) 1. 一位母亲记录了儿子 3—9 岁的身高,收集了好几组数据(略) ,由此建立的身高与年龄的 回 归模型为 y ? 7.18x ? 73.95,用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是 ( ) B. 身高在 145.75cm 左右 D. 身高在 145.75cm 以下 )

A. 身高在 145.75cm 以上 C. 身高一定是 145.75cm

2.已知直线方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,则该直线的倾斜角为( A. 45
o

B. 60

o

C. 90

o

D. 135

o

3.原命题“若 x ? ?3 ,则 x ? 0 ”的逆否命题 是( .... A.若 x ? ?3 ,则 x ? 0 C.若 x ? 0 ,则 x ? ?3
2



B.若 x ? ?3 ,则 x ? 0 D.若 x ? 0 ,则 x ? ?3 )

4.当 K ? 6.635时,认为事件 A 与事件 B ( A.有 95 % 的把握有关 C.没有理由说它们有关
2

B.有 99 % 的把握有关 D.不确定
2

5. 直线 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 9 相交于 A、 B 两点, 则 AB 的长度等于 ( A. 4 2 B. 2 C. 2 2 D.1



-1-

6. “ x ? 1 ? 0 ”是“ x ? 1 ”的(
2

) C.充要条件 D.既不充分也不必要条

A.充分而不必要条件 件

B.必要而不充分条件

7.已知焦点在 x 轴上的椭圆过点 A(?3, 0) ,且离心率 e ?

5 ,则椭圆的标准方程是( 3



A.

x2 y 2 ? ?1 9 81 4 x2 y 2 ? ?1 81 9 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 9

C.

D.

x2 y 2 ? ?1 9 4

8. 已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点 , 过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A, B 两点 , 若 △ ABF2 是正三角形, 则这个椭圆的离心率为( )

A.

2 2

B.

2 3

C.

3 3

D.

3 2

x2 y2 9.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程 a b
为( )A. y ? ? 2 x B . y ? ?2 x C . y??

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2

10.设线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动, 且|AB|=4,点 M 是线段 AB 的中 点,则点 M 的轨迹方程是( )
2 2

x2 y2 ? ?1 A. 9 4

B. x ? y ? 4

C. x ? y ? 4
2 2

y2 x2 ? ?1 D. 25 9

2 11.直线 y ? x ? 3 与抛物线 y ? 4 x 交于 A、B 两点,过 A、B 两点向抛物线的准线 l 作垂线,

垂足分别为 P、Q,则梯形 APQB 的面积为( A. 48 B. 36 C. 56 D. 64



y A x2 y2 ? ? 1 上的一点 A 关于原点的对称点为 B, F2 为它的右焦点, 12.椭圆: 25 16 o 若 A F2 ⊥B F2 ,则三角形△A F2 B 的面积是( ) B
-2-

F2

x

A.

15

B. 32

C. 16

D. 18

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置)

13.命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 的否定 ?p 是 14.抛物线 x 2 ? ?2 y 的焦点坐标是 .

.

15.如果实数 x,y 满足 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,则

y 的最大值是 x



N (5, 0) 是平面上的两点, 16. 已知 M (?5,0) , 若曲线 C 上至少存在一点 P , 使P | M | | ?P |N 6
则称曲线 C 为“黄金曲线” .下列五条曲线:

? ,



y 2 x2 ? ?1; 16 9

② y2 ? 4x ;



x2 y 2 ? ?1; 4 9

x2 y 2 ? ? 1; ④ 4 9

⑤ x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 .(写出所有 “黄金曲线”的序号) ..

其中为“黄金曲线”的是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 和 l 2 : x ? (a ? 1) y ? a ? 1 ? 0 .
2

(Ⅰ)若 l1 ? l 2 , 求实数 a 的值;(Ⅱ)若 l1 // l 2 , 求实数 a 的值.

18.(12 分) 抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为 2. (Ⅰ)求抛物线的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? 2 x ? 1与抛物线相交于 A,B 两点,求 AB 的长度.

19. (12 分) 已知命题 p : 关于 x 的方程 x ? 2ax ? a ? 2 ? 0 “?x ? [1,2], x 2 ? a ? 0” , 命题 q :
2

有解。若命题“ p 且 q ”是真命题, 求实数 a 的取值范围.

-3-

20.(本小题满分 12 分) “奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查,统计出售价 x 元和销售量 y 杯之 间的一组数据如下表所示: 价格 x 销售量 y 5 12 5.5 10 6.5 6 7 4

通过分析,发现销售量 y 对奶茶的价格 x 具有线性相关关系。 (Ⅰ)求销售量 y 对奶茶的价格 x 的回归直线方程; (Ⅱ)欲使销售量为 13 杯,则价格应定为多少?

?? ?x ? a ? 中, b 注:在回归直线 y ? b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

? x. ? = y -b ,a

2 i

?x
i ?1

4

2 i

? 5 2 ? 5.5 2 ? 6.5 2 ? 7 2 ? 146.5

21. (小题满分 12 分)设 A, B 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右顶点,双曲 a 2 b2

线的实轴长为 4 3 ,焦点到渐近线的距离为 3 . (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)已知直线 y ?

3 x ? 2 与双曲线的右支交于 M , N 两点,且在双曲线的右支上存在点 3

D ,使 OM ? ON ? tOD ,求 t 的值及点 D 的坐标.

???? ? ????

????

22. (本小题满分 14)如图,中心在原点的椭圆的焦点在 x 轴上,长轴长为 4,焦距为 2 3 ,

O 为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)是否存在过 M (0, 2) 的直线与椭圆交于 A , B 两个不同点,使以 AB 为直径的圆过原 点?若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.

y

o
-4-

x

(第 22 题图)

-5-

南安一中 2015~2016 上学期高二年期末考数学(文)试卷 参考答案 1-6 BDCBAB 7-12 DCCBAC 14. (0, ? )

13. ?p : ?x ? R, sin x ? 1

1 2

15.

3

16. ②⑤

17 (1) 若 l1 ? l 2 , 则 a ? 1 ? 2( a ? 1) ? 0 ? a ?

2 . ................6 分 3

(2) 若 l1 // l 2 , 则 a ? (a ? 1) ? 1? 2 ? 0 ? a ? ?1或2. .....................10 分 经检验, a ? 2 时, l1 与 l 2 重合. a ? ?1 时, 符合条件.? a ? ?1. .......12 分 18.解(1)由题意可知 p=2。??2 分∴抛物线标准方程为:x =4y????5 分 (2)直线 l:y=2x+l 过抛物线的焦点 F (0,1) ,设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) 联立 ?
2

? y ? 2x ? 1 ?x ? 4 y
2

得 x -8x-4=0??????8 分

2

∴x1+x2=8?????10 分 ∴ AB ? y1 ? y2 ? 2 ? 2x1 ? 1 ? 2x2 ? 1 ? 2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 20 ?????12 分 19.解: p ? a ? ( x ) min ? 1. ????????????????????4 分
2

q ? ? ? 4a 2 ? 4(a ? 2) ? 0 ? a ? ?1或a ? 2. ???????????8 分
∵“p 且 q”为真命题,∴p、q 都是真命题?????????10 分

? a ? ?1 ? “p 且 q”是真命题时, 实数 a 的取值范围是 (??,?1] ???12 分
20. 解: (Ⅰ)

?x y
i ?1 4 i

4

i

? 182???1分

x ? 6, y ? 8???2分 ? ? -4,a ?x ? 32???6分 ? ? y ?b b

?x
i ?1

2

i

? 4 x 2 ? 2.5??? 4分

? ? ?4 x ? 32???7分 故回归直线方程为 y
(Ⅱ) 令 - 4 x ? 32 ? 13???9分

x ? 4.75???11分

答:商品的价格定为 4.75元???12分
21. (Ⅰ)双曲线的渐近方程为 y ? ?

b x ,焦点为 F (?c, 0) , ? 焦点到渐近线的距离为 a

bc a ? b2
2

? b ? 3 ,?????????????2 分

-6-

又 2a ? 4 3,?a ? 2 3 ,双曲线的方程为 (2)设点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), D( x0 , y0 )

x2 y 2 ? ? 1 .?????????????4 分 12 3

? 3 y? x?2 ? ? 2 3 由? 得: x ? 16 3x ? 84 ? 0 ,?????????????6 分 2 2 ?x ? y ?1 ? ?12 3
? x1 ? x2 ? 16 3, y1 ? y2 ? 3 ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 12 ?????????????8 分 3

? 16 3 x0 ? ? ???? ? ???? ???? ? t ??????10 分 ? OM ? ON ? tOD ,?t ( x0, y0 ) ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,有 ? ? y ? 12 0 ? t ?
16 3 2 12 2 ( ) ( ) t ? ? t ? 1 ,解得 t 2 ? 16 ,? 点 D 在双曲线的右支 又点 D( x0 , y0 ) 在双曲线上, 12 3
上,? t ? 0 ,? t ? 4 ,此时点 D(4 3,3) .????????????12 分

22(Ⅰ)设椭圆的方程为:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2
?????????????1 分 ?????????????2 分 ?????????????3 分

? 2a ? 4 ? a ? 2

? 2c ? 2 3 ?c ? 3
?b2 ? a 2 ? c 2 ? 1
所以,椭圆的方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

?????????????4 分

(Ⅱ)法一:假设存在过 M (0, 2) 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两个不同点,使以 AB 为直 径的圆过原点,依题意可知 OA ? OB . ①当直线 l 的斜率不存在时, A 、 B 分别为椭圆短轴的端点,不符合题意 ?5 分 ②当直线 l 的斜率存在时,设为 k ,则直线 l 的方程为: y ? kx ? 2

-7-

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 1) x2 ? 16kx ? 12 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
令 ? ? 0 ,得: (16k )2 ? 4 ? (4k 2 ? 1) ?12 ? 4k 2 ? 3 ? 0

?????????7 分

?k2 ?

3 4

?????????????8 分

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 又 y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2

16k 12 , x1 x2 ? 2 2 4k ? 1 4k ? 1

??????9 分

? y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4
? 12 32k 2 ? ?4 4k 2 ? 1 4 k 2 ? 1 ?20k 2 4 ? 4k 2 ? 4 ? 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
????????????? 10

?


? OA ? OB

? x1x2 ? y1 y2 ? 0

?

12k 2 4 ? 4k 2 ? ?0 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
3 4
????????????????????13 分

?k2 ? 4 ?
? k ? ?2

? 直线 l 的方程为: y ? ?2 x ? 2 ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0
所以,存在过 M (0, 2) 的直线与椭圆交于 A 、 B 两个不同点,使以 AB 为直径的圆 过原点,其方程为: 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0 ??????????14 分

(Ⅱ)法二:假设存在过 M (0, 2) 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两个不同点,使以 AB 为直 径的圆过原点,依题意可知 OA ? OB ,设直线 l 的方程为: x ? m( y ? 2) ???5 分

? x ? m( y ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得: (m ? 4) y ? 4m y ? 4m ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4

???????7

-8-

令 ? ? 0 ,得: 16m4 ? 4 ? (m2 ? 4) ? (4m2 ? 4) ? 64 ? 48m2 ? 0

? 0 ? m2 ?

4 3

??????????????8

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

4m 2 4m 2 ? 4 , y y ? 1 2 m2 ? 4 m2 ? 4

?????9

又 x1x2 ? m( y1 ? 2) ? m( y2 ? 2) ? m2[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] ?

12m 2 m2 ? 4

??10 分

? OA ? OB

? x1x2 ? y1 y2 ? 0

?

12m2 4m2 ? 4 ? ?0 m2 ? 4 m2 ? 4
????13 分

? m2 ?

1 4 1 ? ?m ? ? 2 4 3

1 ? 所求直线的方程为: x ? ? ( y ? 2) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0 2
所以,存在过 M (0, 2) 的直线与椭圆交于 A 、 B 两个不同点,使以 AB 为直径的圆 过原点,其方程为: 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0 14 ?????????????

-9-


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