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广东省揭阳市高三4月高考模拟考试理科数学试题

时间:2014-05-04


绝密★启用前

广东省揭阳市2014届高三4月第二次模拟

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的 答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 棱锥的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设全集 U ? R , A ? {x | y ? lg(1 ? x)} ,则 C R A ? A. (??,1) B. (0,1] C. [1, ??) D. (1, ??)

( 1+i) (1 ? mi) ? 2i (i 是虚数单位) 2.已知 ,则实数 m 的值为
A. ?1 B.1 C. 2 D. ?1

3.已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 ,前 7 项和 S7 ? 84 ,则 a6 等于 A.18 B. 20 C.24 D. 32

4.运行如图 1 的程序框图,则输出 s 的结果是 A.

1 6

B.

25 24

C.

3 4

D.

5.已知命题 p :函数 y ? sin 4 x 是最小正周期为

q :函数 y ? tan x 在 ( , ?) 上单调递减,则下列命题为真命题的是 2
A. p ? q B. (?p) ? q C. (?p) ? (?q ) D. (?p) ? (?q)

?

? 的周期函数,命题 2

11 12

6.某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据: x y 6 2 8 3 10 5 12 6
?

? ?a ? ? bx ? 中的 b 的值为 0.7 ,则记 根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y

揭阳市 2014 年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)试题 第 1 页(共 4 页)

? ?a ? ? bx ? 中, a ? y ? b x , 忆力为 14 的同学的判断力约为(附:线性回归方程 y
其中 x , y 为样本平均值) A.7 7. 若 f ( x) ? cos( x ? B. 7.5 C.8 D. 8.5

?

?

?
4

) ,则
B. f (?1) ? f (1) ? f (0) D. f (1) ? f (0) ? f (?1)

A. f (?1) ? f (0) ? f (1) C. f (1) ? f (?1) ? f (0)

? x ? 0, ? y ? 0, ? 8.已知点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 的坐标满足不等式组 ? ,若 a ? ( 1 ,? 1 ) ,则 MN ?a 的取值范 x ? 2 y ? 6, ? ? ?3x ? y ? 12.
围是 A. [?3,3] B. [?4, 4] C. [?6, 6] D. [?7, 7]

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.不等式 | 2 x ? 1|? 2 的解集为 . . .

(x ? ) 的展开式中 x 4 的系数为 10.
10

1 x

11.过点(2,1)作圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的弦,其中最短的弦长为 12.已知一棱锥的三视图如图 2 所示,其中侧视图和俯视图都是 等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则该棱锥的体积为 13.已知函数 y ? f ( x) ? x3 为偶函数,且 f (10) ? 10, 若函数



g ( x) ? f ( x) ? 4 ,则 g (?10) =



图 2

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题)

π? ? 14.(坐标系与参数方程选做题)[在极坐标系中,过点 A ? 4 , ? ? 引圆 2? ?

? ? 4sin ? 的一条切线,则切线长为



15. (几何证明选讲选做题)如图(3) , PA 是圆 O 的切线,切点为 A , 图 3 PO 交圆 O 于 B, C 两点,且 PA ? 2, PB ? 1, 则 AB 的长为 . 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,已知 cos A ?

1 13 , cos( A ? B) ? , 且 B ? A . 7 14

(1)求角 B 和 sin C 的值; (2)若 △ ABC 的边 AB ? 5 ,求边 AC 的长.

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17. (本小题满分 12 分) 下表是某市从 3 月份中随机抽取的 10 天空气质量指数(AQI)和“PM2.5”(直径小于等于 2.5 微米的 颗粒物)24 小时平均浓度的数据,空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气质量优良. 日期编号 空气质量指数(AQI) “PM2.5”24 小时平均浓度( ug / m3 ) A1
179 135

A2
40 5

A3
98 80

A4
124 94

A5
29 80

A6
133 100

A7
241 190

A8
424 387

A9
95 70

A10
89 66

(1)根据上表数据,估计该市当月某日空气质量优良的概率; (2)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析, 设事件 M 为“抽取的两个日期中,当天‘PM2.5’的 24 小时平均浓度不超过 75 ug / m3 ” ,求事件 M 发生 的概率; (3)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取 3 天,记 ? 为“PM2.5”24 小时平均浓 度不超过 75 ug / m3 的天数,求 ? 的分布列和数学期望. 18. (本小题满分 14 分) 已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? 4, 公比 q ? 2 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? ( n ? N ). (1)求数列 ?an ? 和数列 {bn } 的通项 an 和 bn ; (2)设 cn ?
?

4 2 2 b n ? an ? 3 3 3

bn c c c n (n ? N ? ) ,证明: 1 ? 2 ? ... ? n ? . an c2 c3 cn ?1 2

19. (本小题满分 14 分) 如图 4,已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面垂直,且∠ACB=90° , ∠BAC=30° ,BC=1,AA1= 6 ,点 P、M、N 分别为 BC1、CC1、AB1 的中点. (1)求证:PN//平面 ABC; (2)求证:AB1⊥A1M; (3)求二面角 C1—A B1—A1 的余弦值. 20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线的方程为 y ? ax ? 1 ,直线 l 的方程为 y ?
2

图4

x ,点 A ? 3, ?1? 关于直线 l 的对称点在抛物线 2

上. (1)求抛物线的方程; (2)已知 P ?

15 ?1 ? ? ) 是抛物线的焦点,M 是抛物线上的动点,求 | MP | ? | MF | 的最小 ,1? ,点 F (0, 16 ?2 ?

值及此时点 M 的坐标; (3)设点 B、C 是抛物线上的动点,点 D 是抛物线与 x 轴正半轴交点,△BCD 是以 D 为直角顶点的

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直角三角形.试探究直线 BC 是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 . x ? bx ? 1 ( b 为常数) 2

(1)函数 f ( x) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线与函数 g ( x) 的图象相切,求实数 b 的值; (2)若 b ? 0, h( x) ? f ( x) ? g ( x) , ? x1 、 x2 ? [1, 2] 使得 h( x1 ) ? h( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的 最大整数 M ; (3)当 b ? 2 时,若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,都有
| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,求 b 的取值范围.

数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影 响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错 误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题:CDAB DBAD 解析: 7.因 f (?1) ? cos(

?

f (1) ? cos(1 ? ) ? 0 ,所以选 A. 4
8.设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由条件知: x1 、 x2 ?[0, 4] , y1 、 y2 ?[0,3] ,则

?

? 1) ? cos(1 ? ) ? cos( ? ) ? f (0) ? 0 ,而 ? 1 ? ? ? ,故 4 4 2 4 2 4

?

?

?

?

?

MN ? a ? x2 ? x1 ? y1 ? y2 ?[?7,7] ,当且仅当点 M (4, 0), N (0,3) 时上式取得最小值-7,当且仅当点点
M (0,3), N (4, 0) 时,上式取最大值 7.故选 D.
二、填空题:9. {x | ?

3 1 ? x ? } ;10.-120 ;11. 2 2 ;12.16,13.2014,14. 4 2 , 2 2

15.

3 5 . 5
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解析: 12. 该几何体是底面为直角梯形的四棱锥,依题意得 V ?

1 1 ? ? (4 ? 2) ? 4 ? 4 ? 16 . 3 2

13.由函数 y ? f ( x) ? x3 为偶函数得 f (? x) ? x3 ? f ( x) ? x3 ,则 f (?10) ?103 ? f (10) ? 103 ,

f (?10) ? 2010 ,故 g (?10) ? f (?10) ? 4 ? 2014 .
14.把 A 点和圆化为直角坐标系下的坐标和方程得 A? 0 , ? 4? ,圆 x2 ? y 2 ? 4 y ,A 点到圆心的距离为 6, 半径为 2,所以切线长为 62 ? 22 ? 4 2 .

PB PA BA ? ? , ,由已知 PA ? 2, PB ? 1, ,可解得 PC ? 4 ,所以圆直径为 3,又 PA PC AC 3 5 BA 1 由 . ? , BA2 ? AC 2 ? 9 可解得 AB ? 5 AC 2
15 由 ?PBA

?PAC , 可得:

三.解答题: 16.解(1)由 cos A ?

1 13 ? ? ? 0 , cos( A ? B ) ? ? 0, 得 0 ? A ? 且 0 ? A ? B ? --------1 分 7 14 2 2

2 可得 sin A ? 1 ? cos2 A ? 1 ? ( ) ?

1 7

4 3 , ---------------------------------------2 分 7

13 3 3 , ---------------------------------3 分 sin( A ? B) ? 1 ? cos 2 ( A ? B) ? 1 ? ( )2 ? 14 14
?cos B ? cos[ A ? ( A ? B)] ? cos A cos( A ? B) ? sin A sin( A ? B)

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? ? ---------------------------------------------------------5 分 7 14 7 14 2
∵0 ? B ??

?B ?

?
3

. --------------------------------------------------------6 分

∵在△ABC 中, C ? ? ? ( A ? B) ∴ sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B)

? sin A cos B ? cos A sin B --------------------------------------------------------7 分

?

4 3 1 1 3 5 3 ? ? ? ? . ------------------------------------------------------9 分 7 2 7 2 14
AB AC ? ,---------------------------------10 分 sin C sin B

(2)在△ABC 中,由正弦定理得:

3 AB ? sin B 2 ? 7 .------------------------------------------------12 分 ? ∴ AC ? sin C 5 3 14 5?

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17.解: (1)由上表数据知,10 天中空气质量指数(AQI)小于 100 的日期有: A2 、A3 、A5 、A9 、A10 共 5 天,------------------------------------------------1 分 故可估计该市当月某日空气质量优良的概率 P ?

5 1 ? .------------------------------3 分 10 2

(2) 由 (1) 知 10 天中表示空气质量为优良的天数为 5, 当天 “PM2.5” 的 24 小时平均浓度不超过 75 ug / m3 有编号为 A2 、A9 、A10,共 3 天,-----------------------------------4 分 故事件 M 发生的概率 P( M ) ?

C32 3 ? .---------------------------------------------6 分 C52 10

(3)由(1)知, ? 的可能取值为 1,2,3. --------------------------------------------7 分 且 P(? ? 1) ?
1 2 C3 C2 3 --------------------------------------------------------8 分 ? , 3 C5 10

1 C32C2 3 -----------------------------------------------------------9 分 P(? ? 2) ? 3 ? , C5 5 3 C3 1 ? ,-----------------------------------------------------------10 分 3 C5 10

P(? ? 3) ?

故 ? 的分布列为:

?
P (? )

1

2

3

3 10

3 5

1 10

--------------------------------------------------------11 分

? 的数学期望 E? ? 1?

3 3 1 9 ? 2 ? ? 3 ? ? .-------------------------------------12 分 10 5 10 5

18.(1) 解法一:由 a2 ? 4, q ? 2 得,

an ? a2 ? 2n?2 ? 2n. ---------------------------------------------------------------2 分
4 2 2 4 2 b n ? an ? 得 Sn ? b n ? (2n ? 1) , 3 3 3 3 3 4 2 n 4 2 n ?1 则当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? bn ? (2 ? 1) ? bn ?1 ? (2 ? 1) ,-----------------4 分 3 3 3 3
由上式结合 S n ?

? bn ? 2n?1 ? 4bn?1 ? 2n ? 0 -------------------------------------------------------5 分

? bn ? 2n ? 4(bn?1 ? 2n?1 ) ,-------------------------------------------------------7 分
∵ b1 ? S1 ?

4 2 b1 ? ? 1 ,∴ b1 ? 2 ,------------------------------------------------8 分 3 3

∴数列 {bn ? 2n } 是首项为 b1 ? 2 ? 4 ,公比为 4 的等比数列,---------------------------9 分 揭阳市 2014 年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)试题 第 6 页(共 4 页)

∴ bn ? 2n ? 4 ? 4n?1 ? 4n ,∴ bn ? 4n ? 2n .-----------------------------------------10 分 【解法二:由 a2 ? 4, q ? 2 得,

an ? a2 ? 2n?2 ? 2n. ---------------------------------------------------------------2 分
4 2 2 4 2 b n ? an ? 得 Sn ? b n ? (2n ? 1) , 3 3 3 3 3 4 2 n 4 2 n ?1 则当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? bn ? (2 ? 1) ? bn ?1 ? (2 ? 1) ,-----------------4 分 3 3 3 3
由上式结合 S n ?

? bn ? 2n?1 ? 4bn?1 ? 2n ? 0 ? bn ? 4bn?1 ? 2n (n ? 2) --------------------------------5 分
bn bn ?1 1 ? ? (n ? 2) , ------------------------------------------------------6 分 4n 4n ?1 2n 1 1 (1 ? ) 1 1 2 n ?1 bn b1 1 1 1 2 2 ? ? n ,-----------------------------8 分 ∴ n? ? 2? 3? ? n ? 1 2 2 4 4 2 2 2 1? 2 4 2 ∵ b1 ? S1 ? b1 ? ? 1 ,∴ b1 ? 2 ,------------------------------------------------9 分 3 3

?

∴ bn ? 4n ? 2n .---------------------------------------------------------------10 分】 (2) 由 cn ?

bn 4n ? 2n ? 2n ? 1 ,------------------------------------------11 分 得 cn ? 2n an

ck 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , (k ? 1, 2,..., n) -----------------------------------13 分 ck ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2
【或

ck 2k ? 1 2k 1 ? k ?1 ? k ?1 ? ,(k ? 1, 2,..., n) 】 ck ?1 2 ? 1 2 2



c c1 c2 n ? ? ... ? n ? . ----------------------------------14 分 c2 c3 cn?1 2

19. (1)证明:连结 CB1,∵P 是 BC1 的中点 ,∴CB1 过点 P,--1 分 ∵N 为 AB1 的中点,∴PN//AC,-------------------- ---------2 分 又∵ AC ? 面 ABC , PN ? 面 ABC , ∴PN//平面 ABC. ------------------------------------------3 分 (2)证法一:在直角 ΔABC 中,∵BC=1,∠BAC=30° , ∴ AC=A1C1= 3 --------------------------------------------------------------4 分 ∵棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面垂直,且 B1C1 ? C1 A 1 ,以点 C1 为 原点,以 C1B1 所在的直线为 x 轴建立如图所示空间直角坐标系如图示,则

揭阳市 2014 年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)试题 第 7 页(共 4 页)

C1 (0,0,0) , A1 (0, 3,0) , B1 (1,0,0) , A(0, 3, 6) , M (0, 0,
∴ AB1 ? (1, ? 3, ? 6) , A1M ? (0, ? 3,

6 ) ---------------------6 分 2

6 ) -----------------7 分 2

∵ AB1 ? A1M ? 3 ? 6 ?

6 ? 0 -----------------------------8 分 2

∴ A1M⊥AB1---------------------------------------------9 分 【证法二:连结 AC1,在直角 ΔABC 中,∵BC=1,∠BAC=30° , ∴ AC=A1C1= 3 ∵

CC1 AC ? 1 1 = 2 ,-----------------------------------4 分 A1C1 MC1

∴ Rt ?AC 1 1M

Rt ?C1CA ---------------------------------5 分

??A1MC1 ? ?CAC1 ,??AC1C ? ?CAC1 ? ?AC1C ? ?A1MC1 ? 90
即 AC1⊥A1M. -------------------------------------------6 分 ∵B1C1⊥C1A1,CC1⊥B1C1,且 C1 A1 ? CC1 ? C1 ∴B1C1⊥平面 AA1CC1,-----------------------------------7 分 ∴B1C1⊥A1M,又 AC1 ? B1C1 ? C1 ,故 A1M⊥A B1C1,-------------------------------8 分

AB1 ? 面 A B1C1, ∴ A1M⊥AB1. -----------------------------------------------9 分】
【证法三:连结 AC1,在直角 ΔABC 中,∵BC=1,∠BAC=30° , ∴ AC=A1C1= 3 -------------------------------------------------------------4 分 设∠AC1A1=α,∠MA1C1=β ∵ tan ? tan ? ?

AA1 MC1 6 2 ? = ? =1,------------------------------------------5 分 AC AC 2 3 1 1 1 1

∴α+β=90° 即 AC1⊥A1M. -------------------------------------------------------6 分 ∵B1C1⊥C1A1,CC1⊥B1C1,且 C1 A1 ? CC1 ? C1 ∴B1C1⊥平面 AA1CC1,-----------------------------------------------------------7 分 ∴B1C1⊥A1M,又 AC1 ? B1C1 ? C1 故 A1M⊥面 A B1C1,-------------------------------------------------------------8 分

AB1 ? 面 A B1C1, ∴ A1M⊥AB1. -----------------------------------------------9 分】
(3)解法一:∵棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面垂直,且 B1C1 ? C1 A 1, 以点 C1 为原点,以 C1B1 所在的直线为 x 轴建立如图所示空间直角坐标系,

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依题意得 C1 (0,0,0) , A 1 (1,0,0) , A(0, 3, 6) , B(1,0, 6) , 1 (0, 3,0) , B

C(0,0, 6) , M (0, 0,

6 ) ------------------------------------11 分 2

设面 AB1C1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) 由?

? ?n ? C1 B1 ? 0 ? ? n ? C1 A ? 0

得?

? ?

x?0

? ? 3y ? 6z ? 0

,令 z ? 1, 得 n ? (0, ? 2,1) .-----12 分

同理可得面 AA 1B 1 的一个法向量为 m ? ( 3,1,0) ------------------------------------13 分 故二面角的平面角 ? 的余弦值为

cos? ? cos n, m ?

| n?m | 6 ----------------------------------------------14 分 ? | n |?| m| 6

【解法二:过 C1 作 C1E⊥A1B1 交 A1B1 于点 E,过 E 作 EF⊥AB1 交 AB1 于 F,连结 C1 F, ∵平面 AA1BB1⊥底面 A1B1C1,∴ C1E⊥平面 AA1BB1, ∴ C1E⊥AB1,∴ AB1⊥平面 C1EF,∴ AB1⊥C1F, 故 ?C1FE 为二面角 C1—A B1—A1 的平面角,-------------11 分

1 3 , B1 E ? 2 2 B1E EF ,----------------12 分 ? Rt B1EF ~ Rt B1 AA1 ,? AB1 AA1 1 15 6? 又 AB1 ? 10 故 EF ? 2 -----------------13 分 10 10
在 ?A 1B 1C1 中, C1 E ?

15 EF 6 cos ?C1 FE ? ? 10 ? -----------------------------------------------14 分】 FC1 3 10 6 10
20.解:(1)设点 A(3,-1)关于直线 l 的对称点为坐标为 A ' (x,y),
y ?1 ?x?3 ? 2? ?0 ?x ? 1 ? 2 则? 2 解得 ? ---------------------------3 分 ? y ?3 y ? 1 ? ? ? ?2 ?x ?3 ?

把点 A ' (1,3)代入 y ? ax ? 1 ,解得 a = 4,
2

所以抛物线的方程为 y ? 4 x ? 1---------------------------4 分
2

15 ) 是抛物线的焦点,抛物线的顶点为(0,-1) , 16 17 ∴抛物线的准线为 x ? ? ,------------------------------------------------------5 分 16 ? (2)∵ F (0,
过点 M 作准线的垂线,垂足为 A,由抛物线的定义知 | MF |?| MA | , 揭阳市 2014 年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)试题 第 9 页(共 4 页)

∴ | MP | ? | MF | = | MP | ? | MA |?| PA | ,当且仅当 P、M、A 三点共线时“=”成立,-------7 分 即当点 M 为过点 P 所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时, | MP | ? | MF | 取最小值,

17 33 1 )? ,这时点 M 的坐标为 ( , 0) .-------------------9 分 16 16 2 1 1 (3)BC 所在的直线经过定点,该定点坐标为 ( ? , ) , 2 4 1 令 y ? 4 x2 ?1=0 ,可得 D 点的坐标为 ( , 0) 2
∴ (| MP | ? | MF |) min ? 1 ? (? 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,显然 x1 ? x2 , 则 kBC ?

y1 ? y2 4( x12 ? x2 2 ) ? ? 4( x1 ? x2 ), --------------------------------------10 分 x1 ? x2 x1 ? x2

1 1 k DB ? 4( x1 ? ), k DC ? 4( x2 ? ), -------------------------------------------------11 分 2 2 1 1 5 1 ? ( x1 ? x2 ), ∵ BD ? CD ,∴ k DB ? k DC ? 16( x1 ? )( x2 ? ) ? ?1 ,即 x1 x2 ? ? 2 2 16 2 直线 BC 的方程为 y ? y1 ? 4( x1 ? x2 )( x ? x1 ), 1 即 y ? 4( x1 ? x2 ) x ? 4 x1 x2 ? 1 ? 2( x1 ? x2 )(2 x ? 1) ? --------------------------------13 分 4 1 1 所以直线 BC 经过定点 ( ? , ) .---------------------------------------------------14 分 2 4
1 , f ' (1) ? 1 , x ∴函数 f ( x) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线方程为 y ? x ? 1 ,--------------------------2 分

21.解: (1)∵ f ( x) ? ln x ,∴ f ' ( x) ?

? y ? x ? 1, ? 2 ∵直线 y ? x ? 1 与函数 g ( x) 的图象相切,由 ? 消去 y 得 x ? 2(b ? 1) x ? 4 ? 0 , 1 2 y ? x ? bx ? 1, ? ? 2
则 ? ? 4(b ? 1) ? 16 ? 0 ,解得 b ? 1或 ? 3 -------------------------------------------4 分
2

(2)当 b ? 0 时,∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ∴ h '( x) ?

1 (1 ? x)(1 ? x) ,--------------------------------------------------5 分 ?x? x x

1 2 x ? 1( x ? [1, 2]) , 2

当 x ? (1, 2] 时, h '( x) ? 0 ,∴在 [1, 2] 上单调递减,

3 h( x) max ? h(1) ? ? , h( x)min ? h(2) ? ln 2 ? 3, -------------------------------------7 分 2 3 则 [h( x1 ) ? h( x2 )]max ? h( x)max ? h( x)min ? ? ln 2 , 2 3 ∴ M ? ? ln 2 ? 1 ,故满足条件的最大整数 M ? 0 .----------------------------------9 分 2
(3)不妨设 x1 ? x2 ,∵函数 f ( x) ? ln x 在区间[1,2]上是增函数,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

揭阳市 2014 年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)试题 第 10 页(共 4 页)

∵函数 g ( x) 图象的对称轴为 x ? b ,且 b ? 2 ,∴函数 g ( x) 在区间[1,2]上是减函数, ∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,--------------------------------------------------------------10 分 ∴ | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ? g ( x1 ) , 即 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ,------------------------------------------------11 分 等价于 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 等价于 ? '( x) ?

1 2 x ? bx ? 1在区间[1,2]上是增函数, 2

1 ? x ? b ? 0 在区间[1,2]上恒成立,----------------------------------12 分 x 1 等价于 b ? x ? 在区间[1,2]上恒成立, x
∴ b ? 2 ,又 b ? 2 ,∴ b ? 2 .------------------------------------------------------14 分

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