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河南大学附属中学10-11学年高二上学期期中考试(数学理)本部


河大附中 2010-2011 学年上学期期中考试

高二年级数学试题(理科)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.在等比数列 { a n } 中, a 2012 ? 8 a 2009 ,则公比 q 的值为 A.2 B.3 C.4
2

D.8
2

2. 对于实数 a , b , c , a ? b ”是“ ac “ A.充分不必要条件 C.充要条件

? bc

”的

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.在等差数列 { a n } 中, a 3 ? a 4 ? a 5 ? 12 ,那么 a 1 ? a 2 ? ? ? a 7 = A.14 B.21 C.28 D.35

4.在 ? ABC 中, a ? 15 , b ? 10 , A ? 60 ? ,则 cos B = A. ?
2 3 2

B.

2 3

2

C. ?

6 3

D.

6 3

?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 5.已知实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是 ? x ? y ?1? 0 ?

A. 9 6.下列四个命题中,

B.

15 7

C.1

D.

7 15

①?x ? R , 2
?

x ?1

? 0
2

② ? x ? N , ( x ? 1) ? 0 ③ ? x 0 ? Z , y 0 ? Z ,使 3 x 0 ? 2 y 0 ? 10 ④ ? ? 0 ? R , ? 0 ? R ,使 sin( ? 0 ? ? 0 ) ? sin ? 0 ? sin ? 0 真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

7.某班设计了一个八边形的班徽(如图) ,它由腰长为 1,顶角为 ? 的四个等腰三角形,及 其底边构成的正方形所组成,则该八边形的面积为 A. 2 sin ? ? 2 cos ? ? 2 B. sin ? ?
3 cos ? ? 3

C. 3 sin ? ?

3 cos ? ? 1

D. 2 sin ? ? cos ? ? 1

8.一个直角三角形的三条边长为 a , b , c ,若 t ? 0 , 则边长是 a ? t , b ? t , c ? t 的三角形的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
5 4

9.已知等比数列 { a n } 的前 n 和为 S n ,如果 a 2 ? a 3 ? 2 a 1 ,且 a 4 与 2 a 7 的等差中项为 则S5 = A.29 B.31 C.33 D.35



10.已知 x ? 0 , y ? 0 , x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ,则 x ? 2 y 的最小值是 A.3 B.4 C.
9 2

D.

11 2

11.设 a ? 0 , b ? 0 ,则以下不等式不恒成立的是 A. ( a ? b )(
1 a ? 1 b
a ?1 ? a ? 2 ? a

) ? 4

B. a ? b ?

1 a ?b

? 2

C. a ? 3 ?

D.
1 an

a ?b ?

a ?

b

12.在数列 { a n } 中, a 1 ? 2 , a n ? 1 ? 1 ?

,则 a 2010 =
1 2

A.1

B. ? 1

C.

D.2

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
2 13. 设数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? n ,则 a 10 = ____________.

14 . 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax ? b ? 0 的 解 集 是 (1, ?? ) , 则 关 于 x 的 不 等 式
( 2 ? x )( ax ? b ) ? 0 的解集是

.
2 , ? ADB ? 135 ? ,

15.在 ? ABC 中, D 为 BC 边上一点, BC ? 3 BD , AD ?
AC ? 2 AB ,

则 BD =


x x
2

16.已知 x ? 0 ,则使不等式

? 3x ? 1

? a 恒成立的 a 取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 在等差数列 { a n } 中,已知 a 3 a 7 ? ? 16 , a 4 ? a 6 ? 0 ,求 { a n } 的前 n 项和 S n .

18. (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 , a ? 1 ,比较 a ?
1 a

与a ?
2

1 a
2

的大小.

19. (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中, ? B ? 45 ? , AC ?
10

, cos C ?

2 5

5

(1)求 sin A 的值和边 AB 的长;

(2)设 AB 的中点为 D ,求中线 CD 的长.

20. (本小题满分 12 分) 设命题 p :函数 y ? c 在 R 上单调递减
x

命题 q :关于 x 不等式 x ?

1 x ?1

? 2 c 对于 x ? ? 1 恒成立

如果 p ? q 是真命题, p ? q 是假命题,求 c 的范围.

21. (本小题满分 12 分) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a 1 ? 1 , S n ? 1 ? 4 a n ? 2

(1)设 b n ? a n ? 1 ? 2 a n ,证明数列 { b n } 是等比数列; (2)求数列 { a n } 的通项公式.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? bx ? c ,对于任意的 x ? R ,恒有 2 x ? b ? f ( x ) .
2

(1)证明:当 x ? 0 时, f ( x ) ? ( x ? c ) ;
2

(2)如果不等式 f ( c ) ? f ( b ) ? M ( c ? b ) 恒成立,求 M 的最小值.
2 2

参考答案
19、选择题 1-5 ABCDA 20、填空题 13、19 6-10 CAABB 11-15 BB

14、 ( ? ? , ? 1) ? ( 2 , ? ? ) 或写成 ? x x ? ? 1或 x ? 2 ? 15、 B D ? 2 ? 16、 [ , ? ? )
5 1
5

21、解答题 17、 解答:考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式 因为 a 4 ? a 6 ? 2 a 5 ? 0 ,所以 a 5 ? 0 所以 a 3 a 7 ? ( a 5 ? 2 d )( a 5 ? 2 d ) ? ? 4 d
2

? ?16,

即 d ? ?2
2

当 d ? 2 时, a 1 ? a 5 ? 4 d ? ? 8 , S n ? ? 8 n ? 当 d ? ? 2 时, a 1 ? a 5 ? 4 d ? 8 , S n ? 8 n ?
1 2

1 2

n ( n ? 1) ? 2 ? n ? 9 n
2

n ( n ? 1) ? ( ? 2 ) ? ? n ? 9 n

2 2 故 { a n } 的前 n 项和 S n ? n ? 9 n 或 S n ? ? n ? 9 n

18、 解答:考查比较两数大小最常用的方法 因为 a ? 0 , a ? 1

比较法

所以, s in A ? s in (1 3 5 ? ? C ) ? s in 1 3 5 ? c o s C ? c o s 1 3 5 ? s in C ?

3 10 10

因为

AB s in C

?

AC s in B

,

所以 A B ?

A C ? s in C s in B

10 ? ? 2 2

5 5 ? 2

(2) 因为

BC s in A

?

AC s in B

,

所以 B C ?

A C ? s in A s in B

10 ? ?

3 10 10 2 2 ? 3 2

20、解答:考查逻辑联结词的概念、函数和不等式的应用
p :函数 y ? c 在 R 上单调递减,即 p : 0 ? c ? 1
x


x? 1 x ?1 ? ( x ? 1) ? 1


?1? 2

x ? ?1
1 x ?1


?1 ? 1





x ?1 ? 0



x ?1

( x ? 1) ?

当x ?1 ? 故q : c ?
1 2

1 x ?1

,即 x ? 0 时 x ?

1 x ?1

有最小值 1,所以 2 c ? 1 ,c ?

1 2

因为 p ? q 是真命题, p ? q 是假命题,所以 p , q 中一个真命题,一个假命题 当 p 是真命题, q 是假命题时
1 2 ? c ? 1,

当 p 是假命题, q 是真命题时 c ? 0 所以, c 的范围是 ( ? ? , 0 ] ? [ ,1)
2 1

21、解答:考查数列的通项与前 n 和关系;递推公式在等差数列、等比数列中的 应用 (1) 因为 S n ? 1 ? 4 a n ? 2 , S n ? 4 a n ? 1 ? 2 , n ? 2 所以 S n ? 1 ? S n ? ( 4 a n ? 2 ) ? ( 4 a n ? 1 ? 2 ) , n ? 2

即 a n ? 1 ? 2 a n ? 2 ( a n ? 2 a n ? 1 ) ,即 b n ? 2 b n ? 1 , 又 b1 ? a 2 ? 2 a 1 ? S 2 ? S 1 ? 2 a 1 ? 4 a 1 ? 2 ? 3 a 1 ? a 1 ? 2 ? 3 数列 { b n } 是等比数列 (2)因为数列 { b n } 是首项为 3,公比为 2 等比数列
n ?1 所以, b n ? 3 ? 2 n ?1 即有 a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ? 2 ,

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

3 4



a1 2

?

1 2

,所以 {
1

an 2
n

} 是首项为

1 2

,公差为

3 4

的等差数列

an 2
n

?

3 ? ( n ?1 ) ? 2 4
(3 n ? 1) 2 4
n

3 ? 1 n ? 4

故an ?

22、解答:考查函数、不等式的综合应用 (1)函数 f ( x ) ? x ? bx ? c ,对于任意的 x ? R ,恒有 2 x ? b ? f ( x )
2

令t ?

b c

,因为 c ? b ,所以 ? 1 ? t ? 1
1 1? t

而 函 数 g ( t )?

? 2

) 在 区 间 ( ? 1 , 1是 增 函 数 , 所 以

g (t ) ? 2 ?

1 2

?

3 2

这样,当 c ? b 时, M ?
b
2

3 2

当 c ? b 时,由 c ?

? 1 可得 b ? ? 2 , c ? 2 ,
2 2

4

这时 f ( c ) ? f ( b ) ? 0 或 f ( c ) ? f ( b ) ? ? 8 , c ? b ? 0
f (c ) ? f (b ) ? 3 2 ( c ? b ) 恒成立
2 2

综上所述, M ?

3 2

, M 的最小值是

3 2

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