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《正弦函数、余弦函数的图像》教案(新人教A版必修4)


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1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 ----正弦函数的图象
一、教学目标: 1.知识目标: 正弦函数的图象 2.能力目标: (1)会用单位圆中的正弦线准确地画出正弦函数的图象 (2)会用五点法画出正弦函数的简图 3.情感目标: 发展学生的数形结合思想,使学生感受动与静的辩证关系

二、教学重点、难点: 重点:用五点法画正弦曲线 难点:利用单位圆中的正弦线画正弦曲线 三、教学方法: 借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法, 画出正弦曲线。以讲授法为主。 四、教学过程: 教学 环节 复 习 引 入 教学内容 复习前面所学的正弦 函数的对应法则、 定义域、 正弦线,诱导公式一等内 容。 师生互动 设计意图

教师提问:正弦函数的对应法则、定 温故知新 义域、正弦线,诱导公式一分别是什 么? 学生回答:正弦函数的对应法则是

y ;定义域是 R;正弦线即把正弦值 r
几何化;诱导公式一是

sin(? ? k ? 360? ) ? sin ? (k ? Z )
教师点评:只有明白以上的基本知 识,才能为后续的学习提供条件。 图 象 的 形 成 1. 如何画出正弦函数的图 象 1.教师提问:初中学习过的画函数 的基本方法是什么?你能否使用该 方法画出 y ? sin x, x ? [0,2? ] 图象 学生作图: 教师在此过程中引导学生 1.复习初中所学的 描点作图法,进而 引出如何才能更准 确地画出正弦函数 图象的问题。

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2.学生比较所画图象

在列表的过程中比较以度为单位和 以弧度为单位哪一种更简洁,进而描 点、连线。该过程中要适时的指点学 生并加强学生与学生之间的和讨论 和交流。 2.学生相互比较所画的图象,因各 自所画图象不尽相同,故产生疑问 教师提出问题: 谁画的图象最准 2.交流、置疑 确?怎样才能使所画图象更准确? 有没有更好的方法? 3.第一步:列表,首先在单位 圆中画出正弦线.在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单

3.用正弦线作图象

位圆, 从这个圆与 x 轴的交点 A 起把 3.准确地画出正弦 圆分成 12 等份, 过圆上的各分点作 x 函数在 x ? R 上的 ? 图象,但是此方法 轴的垂线,可以得到对应于角 0, , 6 比较耗时,不太实 ? ? 用。 , ,?,2π 的正弦线(这等价

3

2

于描点法中的列表). 第二步:描点。我们把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份,把角 x 的正弦线向右平行移动, 使得正弦线 的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则 正弦线的终点就是正弦函数图象上 的点. 第三步:连线。用光滑曲线把这些正 弦线的终点连结起来,就得到正弦函 数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象. 因为 sin(x ? k ? 2? ) ? sin x, k ? Z , 所以 正弦函数 y ? sin x 在 x ? (?2? ,0) ,

x ? (2? ,4? ) , x ? (4? ,6? )



的图象与 x ? (0,2? ) 的形状完全一 样,只是位置不同,因此我们把 y=sinx, x∈[0,2π ]的图象沿 x 轴 平移 ? 2? ,?4? ,就可以得到 y=sinx, x ? R 的图象。

- - -

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43 2 ?

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4.教师提问:观察图象,你认为在 x ∈[0,2π ]这一区间上,其关键作用 的点有几个,分别是什么? 学生回答:这五个点分别是

? 3 (0,0), ( ,1), (? ,0), ( ? ,?1), (2? ,0) 2 2
教师提问: 你以后再画正弦函数图象 会采取什么办法? 学生回答:画出以上的五点,在用光 滑的曲线连结即可。 教师总结: 以上方法称为 “五点法” , 是最常用的画正弦函数图象的方法。 4. 用五点法画正弦函数的 简图 4.让学生在体验、 比较各种方法之 后,得出“五点法” 是常见、易用的方 法,发展学生归纳 概括的能力 学生板演, 教师对学生在解题思路和 规范性方面进行指导。 让学生巩固“五点 法”,记住五点的 坐标。

应 用 举 例 归 纳 小 结 布 置 作 业

例 1.用“五点法”作函 数 y ? 1 ? sin x ,在

[0,2? ] 上的简图
知识:正弦函数图象的画 法 方法:“五点法”作图 层次一:练习 A 的 1、2 层次二:练习 B 的 1、2 让学生谈一谈本节课的收获并进行 反思 教师归纳 关注学生自主体 验,反思和发表本 节课的体验和收获

作业分两个层次:层次一要求所有的 通过分层作业要求 学生都要完成; 层次二要求学有余力 学生巩固本节课所 的学生完成 学内容

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必修 4 教学目标: 1.知识与技能 (1)理解正弦函数的性质

1.3.1 正弦函数的图象性质(2)

(2)理解周期函数与最小正周期的意义 2.过程与方法 通过正弦函数的图像,进一步体会数形结合的思想方法。 3.情感、态度与价值观 通过正弦函数性质的学习,培养学生“看图说话”的能力,即图形语言、文字语言与符号语 言的转换,从而达到从直观到抽象的飞跃。 教学重点:正弦函数的性质 教学难点:正弦函数的周期性 教学方法:引导学生正弦函数的图像,观察、归纳、启发探究相结合的教学方法,运用现代 化多媒体教学手段,进行教学活动。首先由形及数,数形结合,通过设置问题引导学生观察、 分析、归纳正弦函数的性质,使学生在独立思考的基础上进行合作交流,在思考、探究和交 流的过程中获得对正弦函数的性质的全面的理解与认识。 教学过程: 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 为学生认识 函数 复习 引入 1. 复习 y ? sin x 的图像 2. 函数的性质有哪些? 教师提出问题, 学生回答。

y ? sin x 的
性质作好准 备。

1? 正弦函数的值域与最值
正弦函数 y ? sin x 的图像

值域: 观察正弦曲线分布在两 条平行直线 y ? 1 和 y ? ?1 之间,这表明 y ? ?? 1,1?

性质 教学

最值: 当且仅当

x ? 2k? ?

?
2

, k ? Z 时, 正弦

函数取得最大值 1 ;

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教学 环节

教学内容 当且仅当

师生互动

设计意图

x ? 2k? ?

?
2

, k ? Z 时, 正弦

函数取得最大值 ? 1 ;

动态演示正弦线的运动:

观察正弦线的变化得: 值域: 正弦线的长度小于或等 于单位圆半径的长度, 这表明

y ? ?? 1,1?

最值: 当角的终边与 y 轴的正半轴 重合时, 正弦函数取得最大值 1, 即当且仅当 性质 教学 从正弦曲线 与正弦线两 种途径探索 正弦函数的 性质,加深对 二者的巩固 与复习,体会 数形结合思 想在函数中 的作用

x ? 2k? ?

?
2

, k ? Z 时, 正弦

函数取得最大值 1 ;

当角的终边与 y 轴的负半轴 重合时, 正弦函数取得最小值 ? 1, 即当且仅当

x ? 2k? ?

?
2

, k ? Z 时, 正弦

函数取得最小值 ? 1 ;

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教学 环节

教学内容

师生互动 演示前一节所做图象并提出 问题(1):上节课我们研究的 正弦曲线和以往的函数图象 有什么不同? 正弦图象和图(2)、(3)有 什 么相同点和不同点? 如何描述图(1)、图(3)的图 象特征

设计意图

2? 正弦函数的周期性

正弦曲线连续不断无限延伸的形状
y

1
? 2? 3? ? ? ? 2

y ? sin x
0

? ? 2

?1

? 2

?

3? 2

2?

3?

4?

x

图(1)

教师结合课件提问, 从具体到 抽象从特殊到一般。 观察图(1)可知:

(1)引导学 生进入探究 的思维场 (2)对比思 维

y

性质 教学

1

0

x

3? ? 5? ,1), ( ,1), ( ,1) 2 2 2 3? ? 5? sin( ? ) ? sin ? sin 2 2 2 11? 1 ? 1 13? 1 (? , ), ( , ), ( , ) 6 2 6 2 6 2 (?

sin( ? 2? ) ? sin 2 2 sin( ? 2? ) ? sin 2 2

? ?

?

图(2) 图(2)

?

?

y

sin(x ? 2? ) ? sin x sin(x ? 2? ) ? sin x
? sin(x ? 2k? ) ? sin x

1 -5 -3 -1
0

1

3

5

x

(k ? Z )
观察图(3)可知:

图(3)

(?5,1), (?3,1), (?1,1), (1,1), (3,1), (5,1)

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f (?5) ? f (?3) ? f (?1) ? f (1) ? f (3) ? f (5) ?
? f ( x ? 2) ? f ( x)

教学 环节

教学内容

师生互动 由图(2)的分析可知:当自 变量 x 的值每增加或减少 2? 的整数倍时, 正弦函数的值重 复出现. 在单位圆中,当角的终边绕原 点转动回到原处时,正弦线的 数量 ( 长度和符号 ) 不发生变 化。

设计意图

从感性认识 向理性认识 从过渡最后 抽象概括 并渗透三种 语言的转化

定义: 对于函数 f ( x) , 如果存在一个非零常数 T , 师生共同总结函数周期性的 性质 教学 使得定义域内的每一个 x 值,都满足 定义。

f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做周期函
数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数 f ( x) ,如果在它的所有周 期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫 做它的最小正周期. 说 明 : 正 弦 函 数 是 一 个 周 期 函 数 ,

2k? (k ? Z , 且k ? 0) 都是它的周期, 2? 是其最
小正周期

3? 正弦函数的奇偶性
性质 教学

教师提出问题: 1.如何判断函数的奇偶性? 2.正弦函数具有奇偶性吗? 3.如何判断它的奇偶性? 学生回答: 1.

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偶函数 ? f ?? x ? ? f ?x ?

? 图像关于 y 轴对称;
奇函数 ? f ?? x ? ? ? f ?x ?

? 图像关于 ?0,0? 成中心对
称。 教学 环节

教学内容 正弦函数 y ? sin x 的图像

师生互动 2. 正弦函数具有奇偶性。 3. 方法一:由诱导公式

设计意图 教师引导 学生从诱导 公式、正弦曲 线、正弦线三 种角度探究 正弦函数的 奇偶性,温故 知新。

sin?? x ? ? ? sin x
可知,正弦函数 y ? sin x 是 奇函数。 方法二:正弦函数 y ? sin x 的图像关于原点成中心对称 可知,正弦函数 y ? sin x 是 奇函数。 方法三:由正弦线知,角 ? x、x 的 正 弦 线 知 ,

性质 教学

sin?? x ? ? ? sin x ,故正弦函
数 y ? sin x 是奇函数。

4? 正弦函数的单调性
正弦函数 y ? sin x 的一个周期内的图像中,如图:

教师引导学生观察正弦曲线 在一个周期 ??

? ? 3? ? , ? 的图 ? 2 2?

像,可以看出: 当x由?

?

2 sin x 由 ? 1 增加到 1 ; ? 3? 当 x由 增加到 时, 2 2 sin x 由 1 减小到 ? 1 。

增加到

? 从正弦曲线 时, 2 及正弦线双
重角度体会 正弦函数的 单调性,进一 步体会三角 函数线及正 弦曲线的工

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具性。 教师根据学生的回答, 得出左 边的表格,直观体现变化趋 势。

x
sin x

?

?
2

o o

? 2
1

?
o

3? 2
?1

?1

教学 环节

教学内容 动态演示正弦线的运动:

师生互动 随着正弦线的变化, 体会正弦 函数的单调性。 学生总结正弦函数的单调性: 单调递增区间:

设计意图

性质 教学

? ? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ?, k ? Z ? 2 ? 2 ?
单调递减区间:

3? ?? ? ? 2k? , ? 2k? ?, k ? Z ? 2 ?2 ?
例 1.设 sin x ? t ? 3, x ? R ,求 t 的取值范围。 例 2.求使下列函数取得最大值和最小值的 x 的取 值范围,并说出最大值和最小值是什么: (1) y ? sin 2 x (2) y ? sin x ? 2 应用 举例 (3) y ? (sin x ? 1) ? 2
2

师: 例 1 中体现出什么基础知 识? 例 2(1)中体现什么基本方 法? 例 2 ( 2 )中为什么 sin x 与 sin x ? 2 同时取得最大值? 例 2(3)通过观察题目结构 可以利用什么方法转化成什 么问题? 例 3 基本三角函数 sin x 的最 小正周期是什么?怎样利用 换元法解决 (1) (2) 的周期? 对一般的函数

使学生巩固 掌握正弦函 数的性质。

例 3.求下列函数的周期 (1) y ? sin 2 x (2) y ? sin(

1 ? x? ) 2 6

例 4.不通过求值,指出下列各式大于零还是小于 零: (1) sin( ?

y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, x ? R)
如何求出周期?

从特殊到一 般,类比思维

?
18

) ? sin( ?

?
10

);

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(2) sin( ? 归纳 小结 布置 作业

23 17? ? ) ? sin( ? ) 5 4
学生反思本节内容, 对知识进 行总结, 教师对思想方法进行 提炼。 让学生学会 学习,学会总 结。

1.知识:正弦函数的性质。 2.思想方法:数形结合思想、换元法、类比法。 层次 1:43 页 A 中 3、5;B 中 3。 层次 2:43 页 A 中 4。

层次 1 要求所有学生完成; 层 使学生进一 次 2 要求中等以上水平完成。 步 巩 固 和 应 用所学知识。

必修 4

1.3.1 正弦函数的图象性质(3)

一、教学目标 (一)、知识与技能: 1、初步认识振幅、周期、频率、初相的概念,认识正弦型函数; 2、 会 “五点作图” 作正弦型函数的图象。 例:y ? 3sin x 、y ?

1 1 sin x 、y ? sin 2 x 、y ? sin x 、 3 2

?? ?? ? ? y ? 3sin? x ? ? 、 y ? 3sin? 2 x ? ? 等; 3? 3? ? ?
3 、能够认识以上这些函数与正弦函数 y ? sin x 图象的关系,即它们是如何通过正弦函数

y ? sin x 图象平移、伸缩而得到;
4、能够根据图象的特征写出正弦型函数的解析式,并能由解析式求出函数的周期、最值等; 5、明确 A, ? ,? 的物理意义,把数学知识用在解决相关的物理等实际问题中的能力。 (二)、过程与方法: 1、通过“五点作图”法,使得学生掌握作三角函数图象的一种一般方法; 2、通过图象变换的学习,培养运用数行结合思想分析、研究问题的能力,以及探究、创新的 能力; 3、通过图象的对比,学生利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析、解决问题; 4、培养逆向思维解决问题的能力; (三)、情感、态度与价值观: 1、通过图象变换的学习,培养从特殊到一般,从具体到抽象的思维方法,从而达到从感性认 识到理性认识的飞跃; 2、事物之间总是有联系的,通过现象能够看到不同表象背后的共性,培养概括、归纳的思维 习惯; 3、培养动与静的辩证关系; 4、渗透数形结合的思想方法。 二、教学重点、难点 重点:“五点作图”法;图象的平移与伸缩变换。 难点:图象的平移与伸缩变换;函数 y ? A sin x 与 y ? Asin ??x ? ? ? 的图象的关系。 三、教学方法

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问题+资料,引导式教学方法 四、教学过程 教学 环节 情景 引入 教学内容 1、 放短片---大观览车 师生互动 学生观看短片 老师提出问题:问题 1:已 知转轮半径为 R, 转轮距地 面最近距离 1 米, 转动的角 速为 ? ( rad / s ),有一 人在 p0 的位置,如图,此 时 ?xop0 ? ? 。当经过 t 秒后,点 p0 到达点 p 的位 置, 求此时此人的距地面高 度。(座椅的高度不计) 生:动手解决问题 教师引导归纳: 设计意图 将实际问题转化为数 学问题的能力,培养 学生建模的能力

利用解析法研究问题 的能力

H ? R sin(?x ? ? ) ? R ? 1

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概念 形成

引出概念 振幅、周期、频率、相位、初 相 ( 幻 灯 片 ) 函 数

老师讲解: 如果以转轮轴心为坐标原 点建立坐标系,那么,点 P 位 置 的 纵 坐 标 是

培养学生自主学习的 能力

y ? R sin(?x ? ? ) , 这 种
函数我们在前一节见到过:

y ? A sin(?x ? ? )



x ? ?0,???, A ? 0, ? ? 0 表 示
一个振动量时,A 就表示这个 量振动时离开平衡位置的最 大距离,通常称为这个振动的 振幅;往复振动一次所需要的 时间 T ?

y ? A sin(?x ? ? )
我们把这种形式的函数称 为正弦型函数。 学生看书 44 页,第一自然 段

2?

?

,称为这个振动

的周期;单位时间内往复振动

1 ? ? ,称为振 T 2? 动的频率; ?x ? ? 称为相位; x ? 0 时的相位称为初相。
的次数 f ?

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应用 举例

例 1、用五点作图法作下列函 数一个周期上的图象: (1) y ? 3sin x (2) y ? sin ? x ? (3) y ? sin 2 x (4) y ? 3sin? 2 x ?

先复习回顾正弦函数

y ? sin x 的五点作图法

巩固、强化学生 动手作图的能力

? ?

??
? 3?

? ?

??
? 3?

(一半学生完成例 1,另一半 学生完成例 2, 最后互相交流) 解: ( 1) 易知, 函数 y ? 3sin x 的周期 T ? 2? , 作 x ? ?0,2? ? 的简图 列表: X sinx 3sin x 0 0 0

师:提问 生:回答 师:请同学们用“五点法” 作出下列函数在一个周期 上的简图 培养学生类比、归纳 生:动手做图(1)、(4) 的能力 列表 描点 连线 (光滑 曲线) (2)、 (3)可以利用电脑 生成, 分别放在一个坐标系 中与函数 y ? sin x 的图像 分别比较。 师:(1)请说出每个函数 的最大值、最小值、值域, 振幅,周期等; (2)在同一坐标系中,对 比 这 些 函 数 分 别 与

? 2
1 3

?
0 0

3? 2
-1 -3

2?
0 0

y ? sin x 图象的关系,观
察图像说出它们(例:

1 y ? 3sin x 和 y ? sin x ) 3
分别是由 y ? sin x 的图象 如何变换得到? (3)学生总结归纳:

描点作图:

y

y ? 3sin x, x ? R 的 值
域是[-3,3],图象可看作 把函数 y ? sin x 的图象上 o x 所有点的纵坐标伸长到原 来的 3 倍 (横坐标不变) 而 得到。 师引导归纳: 1、函数 y ? A sin x 的值 域是 ? A , A ,可知 A 的 大小,

?

?

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例 2、用五点作图法作下列函 数的图象: (1) y ?

反映曲线 y ? A sin x 波 动幅度的大小。 2、 一 般 地 , 函 数

培养学生抽象概括的 能力

1 sin x 3

y ? A sin x, x ? R (其

(2) y ? sin ? x ? (3) y ? sin

? ?

??
? 3?

中 A)0,且 A ? 1 )的 图象,可以看作把函数

1 x 2

y ? sin x 的 图 象 上 所
有点的纵坐标伸长(当 A>1 时 ) 或 缩 短 ( 当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得 到。

1 ?1 ?? (4) y ? sin ? x ? ? 3 ?2 3?

方案二: 例 1 课上研究、 交流, 例 2 课下作业,学生独立研究 完成 (4)学生总结:

函数 y ? sin ? x ?

? ?

??

? 的图 3?

象可看作 y ? sin x 曲线上 所有点向左平移 长度得到。 师引导归纳: 一般地,把函数 y ? sin x 的图象上所有的点向左 (当

? 个单位 3

? ? 0 时) 或向右 (当 ? ? 0
时)平移 ? 个单位长度, 就得到函数。 (5)类似,由学生完成总 结 y ? sin 2 x 型 应用 举例 例 3、如图,是一个按照正弦 规律变化的交流电的图象,根 据图象求出它的周期、频率和 电流的最大值,并写出图象的 函数解析式。 老师给出问题,图象 学生: 看图、 思考并回答问 题 读图、提取信息的能 力

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思维 拓展

总结归纳图象变换的一般规 律: 由 y ? sin x 图象经过怎样的 变化得到 y ? 3sin? 2 x ?

问题:由两条途径得到

培养思维的条理性

?? ? y ? 3sin? 2 x ? ? 的图象 3? ?
途径一: 使思维向纵深发展, 进一步揭示客观事物 步骤 2-----(沿 x 轴平移) 的内在规律 步骤 1----由 y ? sin x

? ?

??
? 3?

步 (

骤 )

3----

步 ( 得

骤 到 : ) 函

4---数

?? ? y ? 3sin? 2 x ? ? 的图象 3? ?
途径二: 步骤 1----由 y ? sin x 步骤 2-----(所有点的纵 坐标不变,横坐标发生变 化)

步 (

骤 )

3----

步 ( 得

骤 到 ) : 函

4---数

?? ? y ? 3sin? 2 x ? ? 的图象 3? ?

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归纳 小结

知识方面:图象的平移规律; 让学生谈本节课的收获, 并 进行反思 方法:1、数形结合的思想; 2 、由特殊到一般的研究规 教师归纳 律 层次一:教材 49 页练习 A,T1 ( 4 ),T2 ( 3)、( 4),习 题 1-3A T7、T8 层次二:习题 1-3B T1、T2、 T3、T4 作业分两个层次, 第一层次 要求所有学生都要完成; 第 二层次要求学有余力的学 生完成。 通过分层作业使学生 进一步巩固本节课所 学内容

作业

板书 设计 课后 反思

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必修 4

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(1)

一、 教学目标 1、 知识与技能目标:理解余弦函数的性质,能正确使用“五点法”“几何法”“图象变 换法”画出余弦函数的图象。 2、 过程与方法目标:通过图象变换的学习,培养运用数形结合思想分析、理解问题的能 力;培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。 3、 情感、态度与价值观目标:通过图象变换的学习,培养从特殊到一般,从具体到抽象 的思维方法,从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。 二、 教学重点、难点: 本小结的教学重点是余弦函数的性质与图象,用“五点法”作函数 y ? A cos??x ? ? ? 的图 象,并求这个函数的最大值、最小值、周期及单调区间。 余弦函数的图象与正弦函数的图象之间的关系以及 y ? A cos??x ? ? ? 的图象画法。 三、 教学方法: 难点是

本节教学方法选用类比法,通过与正弦函数的图象与性质的类比得出余弦函数的性质, 从而达到温故知新的教学效果。 四、教学过程 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图

复习 1、 正弦函数的图象与性质 2、回顾图象平移的有关知识 复 习 引 入

?? ? 3、画出函数 y ? sin ? x ? ? 的 2? ?
图象 4 回顾公式 sin ? x ?

? ?

??

? ? cos x 2?

师:前面我们学习了正弦函 数的图象与性质,请同学们 在下面画出正弦函数的图 象并写出性质。 生:学生独立完成。 师:教师正确点拨。 关于图象平移我们常见的 有哪些? 生:学生回答。

深入浅出,温故 知新。

引出函数 y ? cos x 的图象

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师:教师整理。你能运用 复 习 引 入

y ? sin x 图象的平移画出
函 数 y ? sin ? x ?

? ?

??

? 的图 2?

象吗? 生:学生试画,教师矫正。 师: sin ? x ? 由上得出 y ? cos x 的图象。 让同学观察图象,通过与函 数 y ? sin x 类比的方法得 出 y ? cos x 的性质。由学 生独立完成,教师完善 概 念 形 成 性质:1、定义域: x ? R 2、值域: y ? ?? 1,1? y 的最大值为 1, 最小值为 ? 1 3、周期: 2? 4、奇偶性:偶函数,图象关于 y 轴对 称 5、单调性: 单调减区间: ?2k? , ?2k ? 1?? ?; 单调增区间: ??2k ? 1?? ,2?k ? 1?? ? 通过类比法, 学 生会轻松得出 余弦函数的性 质, 从而会增加 学生学习的自 信心, 激发学习 的兴趣。

? ?

??

??? 2?

教学

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环节 例 1 求下列函数的最大值或最小 值: (1) y ? ?3 cos x ? 1 巩 固 概 念 在教师的启发下,尽量由学 生完成,最后给出正确的解 题步骤。 练习由学生独立完成,大家 共同完善正确答案。 让学生感知, 如何用学的 知识去解决 问题。

1? ? (2) y ? ? cos x ? ? ? 3 2? ?
(3) y ?

2

1 1 ? cos 2 x

例 2 判断下列函数的奇偶性: (1) y ? cos x ? 2 (2)y=sinxcosx 练习: 第 53 页练习 A 的 1、 2 题。 学生独立画图象,并观察图 象,结合前面学过的

(1)前面我们用五点法画

y ? A sin ??x ? ? ?的图象,那么
大 家 能 否 用 五 点 法 画

y ? A sin ??x ? ? ? 的图象性
质给出相应结论。 教师设问: (1 ) 在 y ? A sin ??x ? ? ? 中 振幅=?周期 T=?频率 f=? 初相=? ( 2 ) y ? A sin ??x ? ? ? 与 依旧引新,类 比推理,降低 难度,调动学 生主动思考, 增加自信、成 就感。

y ? A cos??x ? ? ? 的 图 象 ? 请
复 习 引 入 画 y ? 2 cos? 2 x ?

? ?

??

? 的简图。 4?

( 2 )类比 y ? A sin ??x ? ? ? 的 图象的变化性质,讨论的图象

y ? A cos??x ? ? ? 的性质。

y ? A cos ??x ? ? ? 的 图 象
之间有什么关系? 学生回答: (1)振幅= A

2? ? 1 (3)频率 f ? T (4)初相= ?
(2)周期 T=

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(5) y ? A cos ?? x ? ? ? 可 以 看 作 是 由

y ? A sin ??x ? ? ? 向左平移

? 得到。 2
y ? A cos ??x ? ? ?
概 念 形 成 (1)振幅 A 师:由同学对以上问题的回 顾 与 研 究 , 对 于

2? (2)周期 T= ? 1 (3)频率 f ? T (4)初相= ?

y ? A cos ??x ? ? ? 你 能 得
到什么结论?

锻炼学生积 极思考、归纳 总结的能力

例 3: 求函数 y ? 2cos ? 概 念 巩 固

?? ?1 x? ? 4? ?3

例 3 以学生为主, 教师为辅。 练习由学生独立完成,教师 指导。 对学习的新 知识进行检 测与巩固。

的周期、振幅、频率、初相。 练习: 求下列函数的振幅、 周期、 初相。 (1) y ? 4cos ? 3x ?

? ?

??
? 5?

(2) y ?

1 ?? ?1 cos ? x ? ? 2 7? ?4

练习 1:下列各题中,两个函数 的图象之间有什么关系? 概 念 深 化

1 cos x 与 y ? cos x 3 3 (2) y ? cos x 与 y ? cos x 5
(1) y ? (3)

?? ? y ? cos ? x ? ? 4? ?

师:学生思考,利用平移变 换,如何将 与

y ? cos x

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教学 环节

教学内容 (4) y ? cos ? 2 x ?

师生互动

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? ?

??
3?

?与

y ? cos x ? y ? cos( x ? ) 3

?

y ? cos x
练习 2:求函数

?? ? ? y ? cos ? 2 x ? ? 3? ?
? y ? 3cos(2 x ? ) 3
学生思考,教师指导。

?

根据学生接受 程度增删, 意在 对所学知识有 深刻的全面的 理解。

y ? 2 cos(3 x ? ) 的单调区 4
间。

?

1、知识:a、余弦函数图象与 归 纳 小 结 性质; b、y ? A cos ?? x ? ? ? 的图象与性质。 2、数学思想方法:类比法、 数形结合思想。

让学生谈本节课的收获, 并进行 反思,教师协助归纳。

让学生学会反 思、总结、自主 学习, 重视数学 思想方法在研 究解决问题中 的作用。

布 置 作 业

P53:练习 A P61:1、(2);2、(2); 3、(3);4、(4); 8、(1)(4)。

作业分两个层次, 第一层次要求 所有学生都要完成; 第二层次要 求学有余力的学生完成。

通过分层使学 生进一步巩固 本节课所学内 容。

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必修 4

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(2)

一、教学目标 1、知识目标 (1)通过类比正弦、余弦的作图方法,会画出正切函数的图象; (2)借助图象理解正切函数在(-π /2,π /2)上的性质(如单调性、最大和最小值、图象 与 x 轴交点等)。 2、能力目标 (1)迁移、类比的能力 (2)绘图,观察,类比推理,探索知识。 3、情感目标 (1)渗透数形结合的思想,用数形结合的思想理解和处理问题。 (2)学生养成看问题要从实际出发,尊重客观规律,懂得实践是认知的源泉;发现数学美; 体验成功后的喜悦。 二、教学重点、难点 1、教学重点:正切函数的图象及正切函数的主要性质 2、教学难点:利用正切线画出正切函数的图象,并认识到直线 x ? ?

?
2

是此图象的两条渐近

线。 3、学好本部分的关键:充分利用图象说明正切函数的特性,通过一定的训练使学生了解图象 性质。 三、教学方法 通过类比正弦、余弦的作图方法,会画出正切函数的图象,利用正切线画出正切函数的 图象,并认识到直线 x ? ?

?
2

是此图象的两条渐近线。借助单位圆的直观,教师可以引导学生

自主地探索三角函数的有关性质,培养他们分析问题和解决问题的能力。 四、教学过程 教 学 环 节

教学内容

师生互动

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复 习 引 入

1、 复习我们已经研究了的正弦函数、余弦函数的图象和性质 2、 复习单位圆的正切线。 3、 利用正切函数与正弦、余弦函数存在商数关系,知道正切函数 的周期π 。

tan?x ? ? ? ?

sin ?x ? ? ? ? sin x ? ? tan x cos?x ? ? ? ? cos x

教 师 提出提出问 题,学生回 答。

研究正切函数的和性质只须研究其一个周期里的图象和性质即可 . 那么如何选择这个周期的左右端点呢?类比正弦、 余弦函数图象的画法, 你能否画出正切函数的图象呢?

从已有的知识 出发,发现新知。 通过对正切线的 复习为研究正切 函数的图象做好 准备。

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概 念 形 成

一、正切函数 y ? tan x 的图象

? ? ?? x ? k? ? ?k ? z ? , 1、 根据正切函数的定义域: 我们常常选择 ? ? , ? 2 ? 2 2?
这一周期研究正切函数的图象。 2、做正切函数图象的步骤:

?

①作直角坐标系,并在直角坐标系

轴左侧作单位圆.

②把单位圆右半圆分成 8 等份,分别在单位圆中作出正切线.

1、 让学 生 类 比正 弦、余弦函 数图象的画 法,首先讨 论画正切函 数图象的步 骤,然后自 己动手尝试 画出正切函 数的图象。

三角函数线的主 要意义在于用一 个圆中的线段直 观地展现了三角 函数值的变化规 律.

③找横坐标(把

轴上



这一段分成 8 等份).

④找纵坐标,正切线平移. ⑤连线.

y

?

?
2

? 2

x

根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

y ? tan x

x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线”
y

2、 教师 通过演示课 件,进一步 明确画图的 步骤,展示 一个周期内 正切曲线是 如 何 得到 的。

正切曲线的 作法, 主要体现了 对应思想和等价 转化的思想, 要很 好地感受.

3、 由正切函 数 的 周期

3 ? ? 2 -21 世纪教育网

? ? 2 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 2
0

?? ? ?

3

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? x

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性,通过图 象的平移, 进而得到其 它区间内的 图象。 要特别注意 观察分析直 线 x??

?
2

是此图象的 两 条 渐近 线。 可以看出,正切曲线是由通过点 ? k? ? 平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成。 二、正切函数的性质 1、 定义域: ? x | x ? 2、 值域:R 观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于 引导学 生观察,共 同获得

函数的定义域表 明了函数的图象 为什么是夹在两 条平行线之间的 无穷多支曲线组 成. 这些平行线都是 正切曲线的渐近 线

? ?

?

? ,0 ?, ?k ? Z ? 且与 y 轴互相 2 ?

? ?

?

? ? k? , k ? z ? , 2 ?

巩固研究函数 性质的一般方法: 通过图象研究函 数的性质。

?
2

? ?k ? z ?, x ? ?? k? ? 时, tan x ? ?? ?

?
2

? k? ?k ? z ? , x ? ??

?
2

2

? k? 时, tan x ? ?? ?? 。

训练学生观 察、 分析图形的能 力。

3、 周期性: T ? ?

4、 奇偶性: tan?? x ? ? ? tan x 奇函数。 5、单调性:在开区间 ? ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 2 ? 2 ?

例 1、不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小: 学生自 己 独 立完 成,教师适 当 时 候点 拨。

(1)





比较两个正 切型实数的大小, 关键是把相应的 角 诱 导 到

应 用 举 例

(2)





的同

一单调区间内, 利 解:(1)∵ 用



单调递增性来解

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又 ∵

,在

上是增函数

决.



(2)∵

又 ∵

,函数



是增函数,







巩固正切函数 的图象, 利用正切 函数的图象求自 变量的取值范围。

例 2、用图象解不等式 tan x ?

3

(对于基础较好的学生可以改编为: tan x ? 3 ? 0 ) 解:利用图象知,所求解为 ?k? ? 亦可利用单位圆求解
王新敞
奎屯 新疆

? ?

?
3

, k? ?

??
2? ?

k?z

例 3、求函数 y ? tan? x ? 偶性、单调性。

? ?

??

(对于基础 较好的学生 可以提问:

关于例 3,研 究复合函数的性 质时, 要灵活运用 基本函数的性质.

? 的定义域、值域,并指出它的周期性、奇 4?

?? ? y ? tan? x ? 例 ? 3 的变式的教 4? ?
的图象是如 何 由

? ? ? 解:定义域: ? x | x ? R且x ? k? ? , k ? z ? 4 ? ?
值域:R 周期为π 在 ? k? ? 非奇非偶函数

学可根据学生的 基础水平和课堂 实际调节.

y ? tan x
的图象得到 的? 图象可看作 是

? ?

3? ?? , k? ? ? 上是增函数。 4 4?

y ? tan x
的图象向左

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变式 1:求函数 y ? ? tan? x ? 奇偶性、单调性。 变式 2: 求函数 y ? 奇偶性、单调性。 例 4、求函数 y ? tan? 3x ? 偶性、单调性。 解:由 3 x ?

? ?

??
4?

? 的定义域、值域,并指出它的周期性、

平移 位)

? 单 4

?? ? 值域, 并指出它的周期性、 tan? x ? ? 的定义域、 4? ?
? ?

??

? 的定义域、值域,并指出它的周期性、奇 3?

?
3

? k? ?

?
2

得x ?

k? 5? ? , 3 18

k? 5? ? ? ? , k ? z? ? 所求定义域为 ? x | x ? R, 且x ? 3 18 ? ?
值域为 R,周期 T ? 在区间 ?

?
3

,是非奇非偶函数。

? k? ? k? 5? ? ? , ? ??k ? z ? 上是增函数。 ? 3 18 3 18 ?

(1)

的作图是利用平移正切线得到的,当我们获得

上图像后,

再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。

(2)

性质.

从方法和知识 等几方面小结, 培 养学生学会总结 的思维习惯, 重视 数学思想方法在 分析和解决问题 中的作用。

归 纳 小 结

定义域

值域 周期 奇偶性 单调增区间 对称中心 奇函数

渐近线方 程



3、数学思想方法: 数形结合的数学思想 类比的思想方法

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布 置 作 业

P56 练习 A V1,2,3,4,5

必修 4

1.3.3 已知三角函数值求角

(一) 教学目标 1. 知识目标 (1) 理解根据三角函数线和三角函数图象,解决有关已知正、余弦及正切函数值,求 角问题。 (2) 初步了解反三角函数符号的来源及其意义。 (3) 正确运用 arcsinx,arccosx,arctanx 表示角。 2.能力目标 (1)通过已知正弦三角函数值求角,培养学生会用类比的方法得出由余弦值或正切值 求角。 (2)通过对解题步骤的分析,掌握有关技巧,提高分析问题,解决问题的能力。 3.情感目标 通过对知识的讲解,使学生了解已知三角函数值求角的过程,培养学生辨证唯物 主义的观点。 (二)教学重点、难点 重点是已知三角函数值求角,难点有:根据[0,2 ? ]范围确定有已知三角函数值求角; 对符号 arcsinx,arccosx,arctanx 的正确认识;并用符号表示所求的角。 (三)教学方法 本节课采用观察、启发探究、类比的教学方法,运用现代化多媒体教学手段,进行教学 活动,通过设置问题引导学生观察分析,使学生在独立思考的基础上进行合作交流,在 思考、探索、和交流的过程中掌握已知三角函数值求角的过程,会表示给定范围内的角。 同时设置适当的练习,加以巩固,深化对知识的理解。 (四)教学过程 教学 环节 复 习 引 入 教学内容 ① 三角函数线的作法 ② 三角函数各周期内简图 ③ 求特殊角的三角函数值 师生互动 教师运用多媒体展示三角 函数线的作法, 并通过口答形式复习特殊 叫的三角函数值。 师:以上我们知道给出角, 我们能求出函数 值,今天我们尝试已知三角 函数值求对应的角。 设计意图

共同回顾 点明主题

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问题1:已知 sin x ?

知 识 的 讲 解

学生思考后?. 教师分析并 作答,利用正弦 ? ? 且x ? [? , ],求x的取值集合 线求角. 2 2
2 , 2 2 , 2 且x ? [0, 2? ],求x的取值集合. 2 , 2 且x ? R, 求x的取值集合.

问题2:已知 sin x ?

锻炼学生发现问 题,解决问题的能 力.

问题3 : 已知 sin x ?

提问形式让学生 发现问题 1、2 的区别,引导 学生如何解决问题 让学生动手,师生共同纠 错. 对以上 3 问题比较,重点分 析问题 1. (1) 从三角函数图象上观察 其单调性,一一对应关系.

一般地:对于正弦函数 y=sinx, 如 果 已 知 函 数

值y ( y ? [?1,1]) , 那么在 [? , ]上有唯一的x 2 2 值和它对应,记为

1 (2)回答 sin x ? , 培养学生归纳总 2 结 结能力并学会举 3 x ? arcsin y sin x ? ? , 论 一反三 2 ? ? ( ? 1 ? y ? 1, ? ? x ? ) sin x ? 0, sin x ? 0.3458 等, 2 2 x ? [? 的值.

? ?

? ?

, ]上的x 2 2

问题4: (1)已知 cos x ? ? 2 , 2 x ? [0,? ],求x的值. 2 , 2 x ? [0,2? ]求x的值. 2 , 2

师: 能否类比正弦对余弦提 出相类似的问题. 生:编题(提醒单调区间)

提 出 问 题

(2)已知 cos x ? ?

培养学生类比的 思想及动手能力

(3)已知 cos x ? ? x ? R, 求x的值. 问题5:

学生互相讨论并回答

3 已知 tan x ? ? ,且 3 ? ? x? ( ? , ),求x的值. 2 2

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(1)在区间[0,? ]上,符合 y ? cos x, y ? [ ?1, 1]的角x,记为 x ? arccos y 结 ( ? 1 ? y ? 1, 0 ? x ? ?)


学生总结并做巩固练习 老师点评应注意的问题.

培养学生分析问 题的能力

练习` 1:求下列各式的值 ( 1 ) arcsin 3 2

( 2) y ? t an x, y ? R, 且 , ) 2 2 则x ? arct an y x ? (?

? ?

例1:求适合下列条件的 x ( 1 ) sin x ? 0.5736 x ? [0,2? ]
举例 深化

1 (2) arcsin (? ) 2 2 (3) arccos (? ) 2 3 (4) arctan 3
师生共同分析, 归纳总结解题步骤 第一步 :根据所给三角函数 值判定角 x 所在象限 第二步 : 如果函数值为正 , 先求出对应锐角 x1; 如果函数值为负 , 先 求出与其绝对值对 应的锐角 x1 第三步 : 如果函数值为负 , 则根据 x 可能是第几 象 限 的 角 得 出 (0,2 п ) 内 对应 的角 , 如 果是第二象限角 , 那 么可表示为 -x!+ π , 如果它是第三或第 四象限角 , 可表示为 x1+π 或-x1+π 第四步 : 如果求出 (0,2 π ) 以外对应角 , 则可以 利用终边相同的三 角函数值写出结果 师 生 共 同 总 结 ----- 交 流 -----完善

培养学生归纳总 结能力

(2) cos x ? ?

x ? [0,2? ] (3) t an x ? 3.415 x ? [? ,2? ]

2 2

课 时 小 结

(1) 请学生回顾本节课学习 的重点问题 (2) 通过回顾本节课的探索 学习过程,理解解题方法

引导学生学会自 己总结,让学生进 一步体会知识形 成发展完善的过 程

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布 置 作 业

(1) 教材 P63 页习题 1-3.A 9、10 (2) 预习总复习内容

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