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2015-2016高中数学 2.3.1幂函数的图像、性质与应用练习 新人教A版必修1

时间:2015-10-28


2015-2016 高中数学 2.3.1 幂函数的图像、性质与应用练习 新 人教 A 版必修 1
基 础 梳 理 1.形如 y=x (α ∈R)的函数叫做________,其中 α 为常数,只研究 α 为有理数的情 形. 2 4 2 例如:函数 y=x ,y=x 的幂函数,而函数 y=2x 不是幂函数. 1 2 -1 3 2.幂函数 y=x,y=x2,y=x ,y=x

,y=x 的图象,如下图所示.
α

3.幂函数的性质. α (1)过定点:y=x 恒过定点______.当 α >0 时,所有幂函数都过定点____________. α α (2)单调性:当 α >0 时,y=x 在(0,+∞)上单调____;当 α <0 时,y=x 在(0,+ ∞)上单调____. α (3)奇偶性:当 α 为整数且为奇数时,y=x 为______;当 α 为整数且为偶数时,y=x α α 为______;当 x 为分数时可将 y=x 化为根式再判断. 基础梳理 1.幂函数 3.(1)(1,1) (0,0)和(1,1) (2)递增 递减 (3)奇函数 偶函数

,思 考 应 用
1.我们知道,形如 y=x (其中幂指数 α 是常数)的函数叫幂函数,而形如 y=a (其中 a 是大于 0 且不为 1 的常数)的函数叫指数函数,那么指数函数与幂函数的区别在哪里? n α 解析:这两个函数都具有幂指数 m 的形式,但幂函数 y=x 中,自变量在底数的位置, x 而指数函数 y=a 中,自变量在幂指数的位置,这两个函数的自变量所在的位置不同. α 2.从幂函数的形式:y=x 来看,它的表达式中只含有一个常数字母,确定一个待定系 α 数通常只要一个条件.若已知幂函数 y=x 过某个定点,你能确定这个幂函数吗? α 解析:一般来说, 由幂函数 y=x 所经过的定点,可以确定这个幂函数.但若只告诉 幂函数过原点,那我们只能判断幂指数 α >0;若只告诉幂函数过点(1,1),那告诉的这个 点没有任何作用,因为所有的幂函数都过点(1,1);若只告诉幂函数过点(-1,1), 那我们 只能判断这个幂指数的图象关于 y 轴对称,这个幂指数是偶函数.除这三个点之外,由幂函
1
α

x

数所经过的定点,可以确定这个幂函数的表达式. 3.如何根据幂函数的图象确定幂指数的大小? 解析:作直线 x=t(t>1),它与各幂函数图象相交,交点在第一象限,按交点从下到上 的顺序,幂指数按从小到大的顺序排列. 自 测 自 评 1.下列函数中,定义域是 R 的是( ) 1 -2 A.y=x B.y=x2 2 -1 C.y=x D.y=x 2. 下列四类函数中, 具有性质“对任意的 x>0, y>0, 函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)f(y)” 的是( ) A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D.正比例函数 3.已知幂函数 f(x)的图象经过点(2, 2),则 f(4)=____ 自测自评 1 -2 -1 1.解析:函数 y=x ,y=x 的定义域为{x|x∈R,x≠0},函数 y=x2的定义域为 2 {x|x≥0},函数 y=x 的定义域为 R.故选 C. 答案:C x y x+y 2.解析:本题考查幂的运算性质 f(x)f(y)=a a =a =f(x+y). 答案:C 1 1 n n 3.解析:设 f(x)=x ,则 2=2 ,解得 n= .∴f(x)=x2,f(4)=2. 2 答案:2

?基础达标 1.下列所给出的函数中,属于幂函数的是( ) 3 -3 3 3 A.y=-x B.y=x C.y=2x D.y=x -1 1.解析:由幂函数定义知选 B. 答案:B x 2 0 x 2 2.已知函数:①y=x ,②y=-x ,③y=x ,④y=2 ,⑤y=x +1,⑥y= x,其中 幂函数的个数是( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 2.解析:由幂函数定义知③⑥是幂函数.故选 A. 答案:A ?1 ? -2 3.函数 y=x 在区间? ,2?上的最大值是( ) ?2 ?

?1 ? -2 3.解析:∵y=x 在? ,2?上是单调递减函数, ?2 ? 1 ∴当 x= 时,y 有最大值 4. 2 答案:C 1 1 A. B.- C.4 D.-4 4 4
2

4.利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小: 3 3 6 6 ①2.34____2.44; ②0.315____0.355; 3 3 1 1 ③( 2)- ____( 3)- ; ④1.1- ____0.9- . 2 2 2 2 4.①< ②< ③> ④< m n 5.下图是幂函数 y=x 和 y=x 在第一象限内的图象,则(

)

A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1 C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1 5.解析:利用幂函数图象的性质及图象的关系知 n<-1,0<m<1.故选 B. 答案:B 1 6.(2013·上海卷)函数 f(x)=x- 的大致图象是( ) 2

1 6.解析:∵y=x- 定义域为(0,+∞),故选 A. 2 答案:A 7.求下列幂函数的定义域: 3 (1)y=x ; 1 (2)y=x3; 1 (3)y=x2; -2 (4)y=x ; 1 (5)y=x- . 2 7.分析:含分数指数幂的要化归为根式的形式. 3 解析:(1)y=x ,定义域是 R. 1 3 (2)y=x3= x,定义域是 R. 1 (3)y=x2= x,定义域是[0,+∞).

3

1 -2 (4)y=x = 2,定义域是{x|x∈R,且 x≠0}.

x

1 1 (5)y=x- = ,定义域是(0,+∞). 2 x 点评:考查函数的定义域要全面,如分母不为零,零次幂的底数不为零,偶次根号下不 小于零,等等 ?巩固提高 α 8.给出两个结论:(1)当 α =0 时,幂函数 y=x 的图象是一条直线;(2)幂函数 y=x α 的图象都经过(0,0)和(1,1)点,则正确的判断是( ) A.(1)对(2)错 B.(1)错(2)对 C.(1)(2)都错 D.(1)(2)都对 8.C 9.C4,C2,C3,C1 1 α 9.如图所示的曲线是幂函数 y=x 在第一象限内的图象,已知 α 分别取-1,1, ,2 2 四个值,则相应图象依次为:____________.

10.设 f(x)=(a-3)x (1)f(x)为常数函数? (2)f(x)为幂函数? (3)f(x)为正比例函数?

(a+1)(a-2)

,当 a 为何值时,

? ?1- 13 1+ 13? ? ? 10.(1){3,-1,2} (2){4} (3)? , 2 2 ? ? ? ?

1.注意幂函数与指数函数的区别,幂函数中底数是自变量,指数函数中指数是自变量.

n

2.将幂指式 xm写成 x 可以看出 x 的取值范围. 3.比较幂值的大小常利用相关函数的单调性.

m

n

4


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