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辽宁省沈阳二中等重点中学协作体2013届高三领航高考预测(一)数学(理)试题


2013 届省重点中学协作体领航高考预测试卷 1 数学理科
一、选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要 求的) 1.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k ? A ,如果 k ? 1 ? A 且 k ? 1 ? A ,那么 k 是 A 的 一个“孤立元” ,给定 S ? {1, 2, 3, 4, 5,

6, 7 , 8, } ,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含 “孤立元”的集合共有( ) 个 A. 4 B. 5 C. 2.设复数 x ? A. 2
1004

6
0 1

D. 7
2 2 2010 2010

1? i 1? i

( i 是虚数单位) C 2010 ? C 2010 x ? C 2010 x ? ? ? C 2010 x ,则 B. 2
1005

?(



i

i

C. ? 2

1005

D. ? 2
2

1004

3. 设双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点,则双曲线的离

心率为(

).

A.

5 4

B. 5

C.

5 2

D. 5
tan A tan B ? 2c b

4.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 1 ?
?
6

,则角 A 的大小为

(

)

A.

B.

?
4

C.

?
D.

2? 3
[来源:学科网]

3

5.一个几何体的三视图如右图所示,其中主视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视图 为正六边形,那么该几何体的左视图的面积为( ) A.
3 2

B.

2 3

C. 12

D. 6

6.已知正三棱锥 S ? A B C 的底面边长为 4,高为 3,在正三棱锥内任取一点 P ,使得
V P ? A B C ? 1 V S ? A B C 的概率是( 2 A. 7 B. 3 8 4

) C. 1
?1

2

D. 1

4
?1

7. 已知 f ( x ) ? a

?x

( a ? 0 且 a ? 1), f

( x ) 是 f ( x ) 的反函数, f 若

( 2 ) ? 0 ,则 f

?1

( x ? 1) 的

图象大致是(

)f ( 0

[来源:学科网 ZXXK]

8.已知 f ( x ) ? x ? bx
3

2

? cx ? 1在区间 [ ? 1, 2 ] 上是减函数,那么 2 b ? c (



A.有最小值 9 B.有最大值 9 C.有最小值-9 D.有最大值-9 9. 身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一行, 要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有( ) A. 24 种 B. 28 种 C. 36 种 D. 48 种
[来源:Zxxk.Com]

10. 已知椭圆
??? ?

x

2

?

y

2

? 1 ,过椭圆右焦点 F 的直线 L 交椭圆于 A、B 两点,交 y 轴于 P 点。

25

9

设 P A ? ? 1 A F , P B ? ? 2 B F ,则 ?1 ? ? 2 等于( A. ?
9 25

???? ??? ?

??? ?


50 9

B. ?
64 x

50 9
1

C.

D.

9 25

11.已知函数 f ( x ) ?

与函数 g ( x ) ? x 3 ? t ,若 f ( x ) 与 g ( x ) 的交点在直线 y ? x 的两
( ? C. 4, ? ) ( 4 D. ? 4,)

侧,则实数 t 的取值范围是( ) ( 6 ( 0 A. ? 6, ? B. ? 6,)

n 12. 设 a n 是 ( x ? 3 ) (n ≥ 2 且 n ∈ N) 的 展 开 式 中 x 的 一 次 项 的 系 数 , 则

2009 3 3 3 ( ? ?? ? ) 的值为( 2008 a2 a3 a 2009

2

3

2009



A. 18 B.17 C.-18 D. 19 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在答题纸相应位置) 13.已知函数 f ( x ) ? log 2 | ax ? 1 | ( a ? 0 ) 满足 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) , 则实数 a 值是_______ 14 . 函 数 f ( x ) ? sin ? x ?
f (? ) ? 0 且 ? ? ?
3 co s ? x ( x ? R ) , 又 f (? ) ? ? 2 ,

的最小值等于

3? 4

,则正数 ? 的值为

__________.学科网 15.函数 y ? | 2 ? 1 | 在区间 ( k ? 1, k ? 1) 上不单调, k 的取值范围 ... 则
x

; 16、下面四个命题:
? ①把函数 y = 3 s i n ( 2 x
y=3sin2x 的图象;

?
3

的)图 象 向 右 平 移

?
3

个单位,得到

②函数 f ( x ) ? a x ? ln x 的图象在 x=1 处的切线平行于直线 y=x,则 (
2

2 2

, ? ?) 是 f(x)的单

调递增区间; ③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为 1∶3; ④“a=2”是“直线 ax+2 y=0 平行于直线 x+y=1”的充分不必要条件。 其中所有正确命题的序号为 。 三、解答题: 17.(本小题满分 12 分)某校举行环保知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分,初赛采用选 手选一题答一题的方式进行, 每位选手最多有 5 次选题答题的机会, 选手累计答对 3 题或答 错 3 题即终止其初赛的比赛,答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题者则被淘汰,已知选手甲 答题连续两次答错的概率为
1 9

, (已知甲回答每个问题的正确率相同,并且相互之间没有影

响。(I)求甲选手回答一个问题的正确率; ) (Ⅱ)求选手甲可进入决赛的概率; (Ⅲ)设选 手甲在初赛中答题的个数为 ? ,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望。

[来源:学§科§网]

18.(本小题满分 12 分) 已知一个四棱锥的三视图如图所示,其中 R t ? P D A ? R t ? P B A ,且
PD ? AD ? 2 , E , F , G 分别为 PA 、 PD 、 CD 的中点

(1)求证:PB//平面 EFG (2)求直线 PA 与平面 EFG 所成角的大小 (3)在直线 CD 上是否存在一点 Q,使二面角 Q ? EF ? D 的大小为 60 ?若存在,求出
o

CQ 的长;若不存在,请说明理由。
P E A
主视图

P

.

F D A
左视图

B

A

D

.
B
俯视图

G

C

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

19.(本小题满分 12 分)已知 f(x)= (Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A; (Ⅱ)设关于 x 的方程 f(x)=
2

2x ? a x
2

? 2

(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.

1 x

的两个非零实根为 x1、x2.试问:是否存在实数 m,使得不等

式 m +t m+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立?若存在,求 m 的取值范围;若不 存在,请说明理由.
[来源:学*科*网]

? 1 ( a ? b ? 0 )上的三点, 2 b ???? ???? ???? ???? 其中点 A 的坐标为 ( 2 3 , 0 ) , B C 过椭圆 的中心,且 A C ? B C ? 0 , | B C | ? 2 | A C | 。

20.(本小题满分 12 分)己知 A 、 B 、 C 是椭圆 m :

x

2 2

?

y

2

a

(Ⅰ)求椭圆 m 的方程; (Ⅱ)过点 (0 , t ) 的直线 l (斜率存在时)与椭 圆 m 交于两点 P , Q ,设 D 为椭圆 m 与 y 轴 负半轴的交点,且 | D P |? | D Q | ,求实数 t 的取值范围.
???? ????

21.(本小题满分 12 分)已知数列 ? a n ? 各项均不为 0,其前 n 项和为 S n ,且对任意 n ? N * 都 有 (1 ? ( p 为大于 1 的常数) ,记
f (n ) ? 1 ? C n a1 ? C n a 2 ? ? ? C n a n
1 2 n

p )S n ? p ? pan

2 Sn

n



(1) 求 a n ; (2) 试比较
f ( n ? 1)



p ?1 2p

f (n)

的大小( n ? N * ) ;
? p ?1? p ?1? ?1 ? ? ? p ?1? ? 2p ? ?
2 n ?1

(3) 求证: ( 2 n

? 1) f ( n ) 剟 ? f ( k )
k ?1

2 n ?1

? ? ? ?

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题做答,每题 10 分 、 、 选考题: 请考 生在第 22、 23、 题中任选一题做答, 24 如果多做 , 则按所做的第一题记分. 做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 是⊙O 的直径 , 是弦 , AB AC ∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D, DE⊥AC, 交 AC 的延长线于点 E.OE 交 AD 于点 F. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若
AC AB ? 3 5

,求

AF DF

的值.

[来源:学科网]

E C F A O D B

23. 极坐标方程为 ? co s ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 的直线与 x 轴的交点为 P , 与椭圆 ? ( ? 为参数)交于 A , B , 求 P A ? P B .

? x ? 2 cos ? , ? y ? s in ?

24.已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ?

1 2

x ?1 .

(1)画出函数 f ? x ? 的图象,写出函数 f ? x ? 的单调区间; (2)解关于 x 的不等式 f ? x ? ? a ? a ? R ? .

2013届省重点中学协作体领航高考预测试卷 1
答案
一、选择题 1—5 CBDCA 二、填空题 13.
1 2

6—12 A ADDB 15. ( ? 1,1)

BA

14.

2 3

16.②③

17.解: (1)设甲选手答对一个问题的正确率为 P1 ,则 (1 ? P1 ) ?
2

1 9

故甲选手答对一个问题的正确率 P1 ?

2 3
2 3
3

3分
8 27
3

(Ⅱ)选手甲答了 3 道题目进入决赛的概率为 ( ) = 选手甲答了 4 道题目进入决赛的概率为 C 3 ( ) ?
2

4分
?
2

2 3

1 3

8 27

5分 6分 7分 8分

选手甲答了 5 道题目进入决赛的概率为 C 4 ( ) ( ) ?
2 3

2 3

1

16 81

3

选手甲可以进入决赛的概率 P ?

8 27 2 3

?
3

8 27

? 1

16 81
3

? 1 3

64 81

(Ⅲ) ? 可取 3,4,5 则有 P ( ? ? 3) ? ( ) ? ( ) ?
3

1 2 2 1 10 2 2 2 2 1 2 P (? ? 4 ) ? C 3 ( ) ? ? ? C 3 ( ) ? ? ? 3 3 3 3 3 3 27
8 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 P (? ? 5 ) ? C 4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ( ) ? 3 3 3 3 3 3 27

9分 10 分 5
8 27

?

3
1

4
10 27 8 27 ? 107 27

P

3 1 3 ? 4? 10 27 ? 5?

故 E? ? 3 ?

12 分

18.解: (1)取 AB 中点 M,EF//AD//MG ? EFGM 共面, 由 EM//PB,PB ? 面 EFG,EM ? 面 EFG,得 PB//平面 EFG ??????4 分 (2)如图建立直角坐标系, E(0,0,1),F(1,0,1),G(2,1 ,0) EF =(1,0,0),
FG =(1,1,-1),

z

y E B M A D F C Q G x

设面 EFG 的法向量为 n 1 =(x,y,z)由 n 1 ? EF 得出 x=0, 由 n 1 ? FG 得出 x+y-z=0

从 而 n 1 = ( 0,1,1 ) , 又 EF =(0,0,1), 得 cos ? =
? ? =45
o

1 2

=

2 2

( ? 为 EF 与 n 1 的 夹 角 )

?????8 分

(3)设 Q(2,b,0),面 EFQ 的法向量为 n 2 =(x,y,z) EQ =(2,b,-1) , 由 n 2 ? EF 得出 x=0, 由 n 2 ? EQ 得出 2x+by-z=0,从而 n 2 =(0,1,b) 面 EFD 的法向量为 n 3 =(0,1,0) ,所以 cos 60
o

?

1 b ?1
2

?

1 2

,解得,b= 3

CQ= 2 ?

3

?????12 分
4 ? 2 ax ? 2 x (x
2 2

19.解: (Ⅰ)f'(x)=

? 2)

2

=

? 2( x (x

2 2

? ax ? 2 ) ? 2)
2



∵f(x)在[-1,1]上是增函数,∴f'(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立, 即 x2-ax-2≤0 对 x∈[-1,1] 恒成立. 设 ? (x)=x2-ax-2,
? (1)=1-a-2≤0,





?

? -1≤a≤1,

? (-1)=1+a-2≤0.

∵对 x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f' (1)=0,∴A={a|-1≤a≤1}. (Ⅱ)由
2x ? a x
2

? 2

=
2

1 x

,得 x2-ax-2=0,

∵△=a2+8>0

∴x1,x2 是方程 x -ax-2=0 的两非零实根, x1+x2=a, ∴
2 从而|x1-x2|= ( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 = a ? 8 .

2

x1x2=-2, ∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|= a ? 8 ≤3.
2

要使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 当且仅当 m2+tm+1≥3 对任意 t∈[-1,1]恒成立, 即 m2+tm-2≥0 对任意 t∈[-1,1]恒成立. ②

设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2), g(-1)=m2-m-2≥0, ②
?

g(1)=m2+m-2≥0,

n ? m≥2 或 m≤-2.

所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 其取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}. 20.解: (Ⅰ)∵ | B C | ? 2 | A C 且 B C 过 ( 0 , 0 ) ,则 | O C | ? | A C | .
???? ????
???? ???? ???? ????
[来源:Z|xx|k.Com]

∵ A C ? B C ? 0 ,∴ ? O C A ? 9 0 ? ,即 C ( 3 , 3 ) .??2 分
x
2

又∵ a ? 2 3 ,设椭圆 m 的 方程为
3 12 3 12 ? c
2

?

y

2 2

12

12 ? c

?1,

将 C 点坐标代入得
2
2

?

? 1,

解得 c ? 8 , b ? 4 . ∴椭圆 m 的方程为
x
2

?

y

2

? 1.

??5 分

12

4

(Ⅱ)由条件 D (0, ? 2 ) , 当 k ? 0 时,显然 ? 2 ? t ? 2 ;???6 分 当 k ? 0 时,设 l : y ? kx ? t ,
?x y ? ?1 ? 2 2 2 ,消 y 得 (1 ? 3 k ) x ? 6 ktx ? 3 t ? 1 2 ? 0 4 ?12 ? y ? kx ? t ?
2 2

由 ? ? 0 可得, t ? 4 ? 1 2 k
2

2

??①???8 分
x1 ? x 2 2 ? ?3kt 1 ? 3k
2

设 P ( x1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) , P Q 中 点 H ( x 0 , y 0 ) , 则 x 0 ?
y0 ? kx0 ? t ? t 1 ? 3k
2



,

∴ H (?

3kt 1 ? 3k
2

,

t 1 ? 3k
2

) .???10 分

t ?2 ???? ???? 2 1 1 1 ? 3k ? ? , 由 | D P | ? D Q | ,∴ D H ? P Q ,即 k D H ? ? 。∴ 3kt k k ? ?0 2 1 ? 3k

化简得 t ? 1 ? 3 k ??②
2

∴t ? 1

将①代入②得, 1 ? t ? 4 。∴ t 的范围是 (1, 4 ) 。

综上 t ? ( ? 2 , 4 ) .???12 21.解:(1) ∵ (1 ?
p )S n ? p ? pan

,①

∴ (1 ?

p ) S n ? 1 ? p ? p a n ? 1 .②

②-①,得 (1 ? 可得 a1
? p

p ) a n ?1 ? ? p a n ?1 ? p a n ? p
n

,即 a n ? 1

? pan



(3 分)
? p

在①中令 n
n

?1,

.∴ ? a n ? 是首项为 a1
? p (1 ? p )
n

,公比为 p 的等比数列, a n .
2 2 n n

. (4 分)

(2) 由(1)可得 S n
1 2

1? p
n

?

p ( p ? 1) p ?1
1

1 ? C n a1 ? C n a 2 ? ? ? C n a n ? 1 ? p C n ? p C n ? ? ? C n p
1 ? C n a1 ? C n a 2 ? ? ? C n a n
1 2 n

? (1 ? p ) ? ( p ? 1)
n

n





f (n ) ?

2 Sn

n

?

p ?1 p

?

( p ? 1)
n n

n

2 ( p ? 1)



(5 分)
n ?1

f ( n ? 1) ?

p ?1 p

? 2

( p ? 1)
n ?1

n ?1

(p

n ?1

? 1)

.而

p ?1 2p

f (n) ?

p ?1 p

? 2

( p ? 1)
n ?1

(p

n ?1

? p)

,且 p

?1



∴ p n ?1

?1? p

n ?1

? p ? 0

,p

? 1 ? 0 .∴ f ( n ? 1) ?
p ?1 2p f ( n ? 1) ? ( p ?1 2p

p ?1 2p

f (n)

, n ? N * ) (8 分) ( .

(3) 由(2)知

f (1) ?

p ?1 2p



f ( n ? 1) ?

f (n)

, n ? N* ) ( .
p ?1 2p )
n ?1

∴ 当 n … 2 时,

f (n ) ?

p ?1 2p

) f (n ? 2) ? ? ? (
2

f (1) ? (

p ?1 2p

)

n


? ? ? ?



f (1) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( 2 n ? 1) ?

p ?1

? p ?1? ? p ?1? ?? ? ?? ? ? ? 2p ? 2p ? ? 2p ?
? 1 时取等号) .

2

2 n ?1

?

? p ?1? p ?1? ?1 ? ? ? p ?1? ? 2p ? ?

2 n ?1



(10 分) (当且仅当 n 另一方面,当 n … 2 , k
f (k ) ? f (2 n ? k ) ?

? 1, 2, ? , 2 n ? 1
k

时,
2n?k

? p ? 1 ? ( p ? 1) ( p ? 1) ? 2n?k ? k ? k 2n?k p ? 2 ( p ? 1) 2 (p ? 1) ?
2n?k



p ?1 p

?2

( p ? 1)
k k

k

2 ( p ? 1) 2

?

( p ? 1)
2n?k

(p

2n?k

? 1)

?

p ? 1 2 ( p ? 1) ? n p 2

n k

1 ( p ? 1)( p
2n?k

? 1)

?

p ? 1 2 ( p ? 1) ? n p 2

n 2n k

1 p ? p ? p
2n?k

?1



∵ ∴

p ? p
k

2n?k

…2 p

n

,∴ p 2 n
p ?1 p ?

? p ? p
k

2n?k

?1? p

2n

? 2 p ? 1 ? ( p ? 1)
n n

2



f (k ) ? f (2n ? k ) …
2 n ?1

2 ( p ? 1)
n n

n

2 ( p ? 1)

? 2 f (n )
2 n ?1

, (当且仅当 k

? n

时取等号) . 分) (13
? 1 时取等

∴?

f (k ) ?

1 2

2 n ?1

?

[ f ( k ) ? f ( 2 n ? k )] …

?

f ( n ) ? ( 2 n ? 1) f ( n )

. (当且仅当 n

k ?1

k ?1

k ?1

号) .

综上所述, ( 2 n
[来源:Z.xx.k.Com]

? 1) f ( n ) 剟 ? f ( k )
k ?1

2 n ?1

? p ?1? p ?1? ?1 ? ? ? p ?1? ? 2p ? ?

2 n ?1

? ? ? ?

, n ? N * )(14 分) ( .

22.略证 (1) 连结 OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ??2 分 ∴OD∥AE 又 AE⊥DE ????3 分 ∴DE⊥OD,又 OD 为半径 ∴ DE 是的⊙O 切线 ????5 分 ⑵ 提示:过 D 作 DH⊥AB 于 H 则有∠DOH=∠CAB Cos∠DOH=cos∠CAB=
AC AB ? 3 5

????????6 分

设 OD=5x,则 AB=10x,OH=3x,DH=4x ∴AH=8x AD2=80x2 由△AED∽△AD B 可得 AD2=AC·AB=AC·10x ∴AE=8X????8 分 又由△AEF∽△DOF ∴
AF DF

可得 AF∶DF= AE∶OD =

8 5



[来源:学,科,网]

=

8 5

??10 分

23.解析:直线 ? co s ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 的直角坐标方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,∴直线与 x 轴交 于 (1, 0 ) ,直线的斜率为 1 ,
? 2 t, ?x ? 1? ? 2 ∴直线的参数方程为 ? ( t 为参数) 2 ? y ? 0? t ? ? 2

,①

椭圆的普通方程为: x ? 4 y ? 4, ②
2 2

①代入②得: 5 t 2 ? 2 2 t ? 6 ? 0, ③ ∵ ? ? 1 2 8 ? 0 ,根据直线参数方程的几何意义知 P A ? P B ? t1 ? t 2 ?
?3 ?2 ? 1 ?1 f ?x? ? x ?1 ? x ?1 ? ? 24.解析: 2 ?2 ? ?? ? x( x ? 2) x ? 2(? 1 ? x ? 2) . 3 2 x ( x ? ? 1)
6 5



画出函数 f ? x ? 的图象如图中的折线,其单调递减区间是 ? ? ? , ? 1 ? ,单调递增区间是

? ? 1, ? ? ? .

(2)结合图象可知: 当a ?
3 3 2

时, f ? x ? ? a 恒成立,即不等式的解为 ? ? ? , ? ? ? ;



2 ? ? ? a ? 3 时,不等式的解为 ? ? ? , ? a ? ? 2 a ? 4 , ? ? ? ; ? 2 3 ? ? ? ? ? ?2 ? a ? a, ?? ? . ? ?3 3 ? ? ? 2

当 a ? 3 时,不等式的解为 ? ? ? , ?


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辽宁省沈阳二中等重点中学协作体2013届高三领航高考预测(一)数学(理)试题

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辽宁省沈阳二中等重点中学协作体2013届高三领航高考预测(四)数学(理)试题

2013 届省重点中学协作体领 航高考预测试卷 4 数学(理科)试卷出题人: (满分 150 分,时间 120 分钟)一、选择题 ( 满分 60 分,每题 5 分,共 12 小题) ...

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