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2015-2016学年高中数学 4.1数学归纳法练习 新人教A版选修4-5


第四讲

数学归纳法证明不等式

1.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题. 2.会用数学归纳法证明贝努利不等式: n (1+x) >1+nx(x>-1,x≠0,n 为正整数). 了解当 n 为实数时贝努利不等式也成立.

,
数学归纳法是重要的数学思想方法, 同学们应通过对一些简单

问题的分析, 掌握这种思 想方法.在利用数学归纳法解决问题时,常常需要进行一些代数恒等变换.不要做那些代数 恒等变换比 较复杂或过于技巧化的问题或习题,以免冲淡了对数学归纳法思想的理解. 注意数学归纳法一般步骤的要求,严格按要求表达.两个步骤一个结论都要认真写好.

4.1

数学归纳法

1.了解数学归纳法的原理及其使用范围. 2.会用数学归纳法证明一些简单问题. 3.掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论.

1.数学归纳法是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在________时成 立, 这是递推的基础; 第二步是假设在________时命题成立, 再证明________时命题也成立, 这是递推的依据.实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限.证明时,关键是 k+1 步的推证,要有目标意识. * * 答案: n=n0(n0∈N ) n=k (k≥n0,k∈N ) n=k+1 2.从试验、观察出发,用不完全归纳法作出________,再用数学归纳法进行________, 这是探索性问题的证法,数列中经常用到(试值→猜想→证明). 答案: 归纳猜想 严格证明 8·1 8·n 思考 已知数列 2 2,?, 2 2,?.Sn 为其前 n 项和,求 S1,S2, 1 ·3 (2n-1) ·(2n+1)

S3,S4,推测 Sn 公式.
8 24 48 80 (2n+1) -1 * 解析:计算得 S1= ,S2= ,S3= ,S4= ,推测 Sn= 2 (n∈N ). 9 25 49 81 (2n+1)
2

1

一 层 练 习 1.用数学归纳法证明 n(n+1)(2n+1)能被 6 整除时,由归纳假设推证 n=k+1 时命题 成立,需将 n=k+1 时的原式表示成( )

A.k(k+1)(2k+1)+6(k+1) B.6k(k+1)(2k+1) 2 C.k(k+1)(2k+1)+6(k+1) D.以上都不对 答案: C 2.下列四个判断中,正确的是( ) 2 n * A.式子 1+k+k +?+k (n∈N )当 n=1 时恒为 1 2 n-1 * B.式子 1+k+k +?+k (n∈N )当 n=1 时恒为 1+k 1 1 1 1 1 1 * C.式子 + + +?+ (n∈N )当 n=1 时恒为 1+ + 1 2 3 2n+1 2 3 D. 设 f(n)= 1 1 1 1 1 1 * + +?+ (n∈N ), 则 f(k+1)=f(k)+ + + n+1 n+2 3n+1 3k+2 3k+3 3k+4

答案: C 3.如果命题 P(n)对 n=k 成立,那么它对 n=k+2 成立,又若 P(n)对 n=2 成立,则 P(n)对所有( ) A.正整数 n 成立 B.正偶数 n 成立 C.正奇数 n 成立 D.大于 1 的自然数 n 成立 答案: B 1 1 1 4.用数学归纳法证明:设 f(n)=1+ + +?+ ,则 n+f(1)+f(2) +?+f(n-1) 2 3 n =nf(n)(n∈N ,且 n≥2)第一步要证明的式子是____________. 答案: 2+f(1)=2f(2)
*

二 层 练 习 5.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应验证( A.当 n=1 时成立 B.当 n=2 时成立 C.当 n=3 时成立 )

2

D.当 n=4 时成立 解析:多边形至少有三条边. 答案:C 6.记凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸 k+1 边形的内角和 f(k+1)=f(k)+( A. π 2 B.π 3 C. π 2 D.2π

)

答案:B 7.用数学归纳法证明“1+a+a +?+a
2

n+1

1-a * = ,a≠1,n∈N ” ,在验证 n=1 成 1-a

n+2

立时,左边计算所得项是( ) A.1 B.1+a 2 2 3 C.1+a+a D.1+a+a +a 答案:C * 8.某个命题与正整数 n 有关,若 n=k(k∈N )时该命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立,现已知当 n=5 时该命题不成立 ,那么可推得( ) A.当 n=6 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 C.当 n=4 时该命题不成立 D.当 n=4 时该命题成立 答案:C 9.已知 f(n)= 1

n+1 n+2



1

+?+

1 ,则 f(k+1)等于( 3n+1

)

1 A.f(k)+ 3(k+1)+1 1 B.f(k)+ 3k+2 1 1 1 1 C.f(k)+ + + - 3k+2 3k+3 3k+4 k+1 1 1 D.f(k)+ - 3k+4 k+1 解析:f(k)= 1

k+1 k+2



1

+?+

1 1 1 1 1 ,f(k+1)= + +?+ + + 3k+1 k+2 k+3 3k+1 3k+2

1 1 1 1 1 1 + ,∴f(k+1)=f(k)+ + + - . 3k+3 3k+4 3k+2 3k+3 3k+4 k+1 答案:C 10.用数学归 纳法证明:对任何正整数 n 有: 1 1 1 1 1 n + + + +?+ 2 = . 3 15 35 63 4n -1 2n+1 1 1 1 证明:(1)当 n=1 时,左边= ,右边= = ,故左边=右边,等式成立. 3 2×1+1 3 (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N )时等式成立,即 1 1 1 1 1 k + + + +?+ 2 = 3 15 35 63 4k -1 2k+1 那么当 n=k+1 时,利用归纳假设有:
*

3

1 1 1 1 1 1 k 1 k + + + +?+ 2 + = + = + 2 2 3 15 35 63 4k -1 4(k+1) -1 2k+1 4(k+1) -1 2k+1 1 k(2k+3)+1 2k +3k+1 (2k+1)(k+1) = = = (2k+1)(2k+3) (2k+1)(2k+3) (2k+1)(2k+3) (2k+1)(2k+3)
2

k+1 = . 2(k+1)+1
所以当 n=k+1 时等式也成立. 综合(1)、(2)知,对任何正整数 n,等式成立.

三 层 练 习 11.设 f(n)= 1 1 1 1 + + +?+ (n∈N+),那么 f(n+1)-f(n)等于( n+1 n+2 n+3 2n )

1 1 A. B. 2n+1 2n+2 C. 1 1 1 1 + D. - 2n+1 2n+2 2n+1 2n+2 1

解析: ∵f(n)=

n+1 n+2



1

1 1 1 1 1 1 +?+ , f(n+1)= + +?+ + + , 2n n+2 n+3 2n 2n+1 2n+2

1 1 1 1 1 ∴f(n+1)-f(n)= + - = - . 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2 答 案:D 12.观察下列等式: 2 1 =1 2 2 1 -2 =-3 2 2 2 1 -2 +3 =6 2 2 2 2 1 -2 +3 -4 =-10 ? 照此规律,第 n 个等式可为 ________________________________. 答案: 1 -2 +3 -?+(-1)
2 2 2

n-1 2

n=

(-1) 2

n +1

n(n+1)

13. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数 1, 3, 6, 10, ?, 第 n 个三角形数为

n(n+1) 1
2

1 2 = n + n.记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3 ),以下列出了 2 2 1 2 1 2

部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数

N(n,3)= n2+ n N(n,4)=n2 N(n,5)= n2- n N(n,6)=2n2-n
4

1 2 3 2

?? 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=______. 解析:先根据给出的几个结论,推测出当 k 为偶数时,N(n,k)的表达式,然后再将 n =10,k=24 代入,计算 N(10,24)的值.

? ? 2 2 2 由 N(n,4)=n ,N(n,6)=2n -n,?,可以推测:当 k 为偶数时,N(n,k)=? -1?n ?2 ?
k

? ? 2 2 -? -2?n,于是 N(n,24) =11n -10n,故 N(10,24)=11×10 -10×10=1 000. ?2 ?
k
答案:1 000 n * 14.已知数列{an}与{bn}的通项公式分别是 an=3n-1、bn=2 ,n∈N ,记 Tn=anb1+an- * * 1b2+?+a1bn,n∈N ,用数学归纳法证明:Tn+12=-2an+10bn(n∈N ). 证明:(1)当 n=1 时,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,故等式成立; (2)假设当 n=k 时等式成立,即 Tk+12=-2ak+10bk,则当 n=k+1 时有: Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+?+a1bk+1=ak+1b1+2(akb1+ak-1b2+?+a1bk)=ak+1b1+2Tk =ak+1b1+2(-2ak+10bk-12)=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24=-2ak+1+10bk+1-12. 即 Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1,因此 n=k+1 时等式也成立. * 由(1)和(2),可知对任意 n∈N ,Tn+12=-2an+10bn 成立.

1.学习完全归纳法与不完全归纳法,要注意他们的区别与联系:归纳法分为完全归纳 法和不完全归纳法, 由完全归纳法得出的结论是正确的, 由不完全归纳法得出的结论有可能 是错误的,但是不完全归纳法是人类研究科学、探索真理、发现客观规律的一种重要手段. 2.数学中有很多涉及正整数的命题,由于正整数有无穷多个,因而不可能对所有的正 整数一一加以验证.如果只对部分正整数加以验证,结论又不一定正确.数学归纳法的基本 思想是先验证使结论成立的最小正整数 n0,如果当 n=n0 时命题成立(这是基础,是出发 点).再假设当 n=k(k≥n0,k 为正整数)时命题正确,根据这个假设,如果能推出 n=k+1 时命题也成立(这是递推的依据),那么就可以推出对于所有不小于 n0 的正整数 n0+1,n0+ 2,?,命题都正确了. 3.用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不 可. (1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的正确性.在 这一步中, 只需验证使命题结论成立的最小的正整数就可以了, 没有必要验证命题对几个正 整数成立. (2)证明了第二步,就获得了递推的依据.第二步中,在推证之前,命题对 n=k 是否成 立是不清楚的,因此用“假设”两字,这一步的实质是证明命题对 n=k 的正确性可以传递 到 n=k+1 的情况,有了这一步,再由第一步知命题对 n0 成立,就可以知道命题对于 n0+1 也成立,进而再由 第二步可知命题对于 n=(n0+1)+1=n0+2 也成立,?,这样递推下去, 可以知道命题对于一切不小于 n0 的正整数都成立.在第二步中,n=k 命题成立,可以作为

5

条件加以运用,而 n=k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件、公理、定理、定义加以证 明. 完成一、二两步后,最后要对命题做一个总的结论.

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