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等比数列 第一课时


等比数列

探究一:等比数列的定义
观察下列数列,说出它们的特点.

(1)1,2,22,23,… (2)5, 25,125, 625... 1 1 1 (3)1, ? , , ? , 2 4 8 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比 数列,这个常数叫做公比,记

为q(q≠0).
an * ? q ( n ? 2 且 n ? N ). 数学语言: a n ?1 an ?1 或 ?q an

?n ? N *?

思考1:
1.已知等比数列{ an }: (1) an 能不能是零? 不能 能 (2)公比q能不能是1? 2.用下列方法表示的数列中能确定是等比数列的是 ①④⑥. ① 1,-1,1,…,(-1)n+1 √ ; ②1,2,4,6…; ③ a , a , a , …, a ;

×

× ④已知a1=2,an=3an+1 ; √ 2 3 ⑤ m, 2m, 4m ,8m ,... ×
⑥2a,2a,2a,…,2a. √ 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列?

非零的 常数列

探究二.等比中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后,这三个 数就会成为一个等比数列:
(1)1,±3 , 9 (3)-12, ±6 ,-3 (2)-1, ±2 ,-4 (4)1,±1 ,1

在a与b中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项 。 即G 2 ? ab
同号的两项才有等比中项,且有两个.

探究三:通项公式
思考3:如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法(累乘法) 2.不完全归纳法 a2/a1=q a2=a1q a3/a2=q a3=a2q=a1q2 a4/a3=q a4=a3q=a1q3 … … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 an=a1qn-1 所以 an=a1qn-1
其中,a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1, 即等式也成立,说明上面公式当n∈N*时都成立,因此它 就是等比数列{an}的通项公式。

等比数列的通项公式:
an ? a1 q
n?1

(n∈N﹡,q≠0)

变形结论:
在等差数列 ?a n ? 中 an ? am ? (n ? m)d

试问:在等比数列 ?a n ? 中,如果知道 am 和公 比q,能否求 an ?如果能,请写出表达式。

an ? amq

n ?m

(n, m ? N )
*

等比数列的增减性
{an}为递增数列?
a1 ? o
q?1



a1 ? o
0?q?1

{an}为递减数列?

a1 ? o
0?q?1



a1 ? o
q?1

{an}为摆动数列?
{an}为常数列?

q?0 q?1

等差数列与等比数列
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比q( q ? 0 )
名称 概念

等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数
公差d可正可负,且可以为零

常数

an ? amq

an ? a1 ? q

n ?1

通项 公式
通项 * 变形 中项 公式

n ?m

(n, m ? N )

an ? a1 ? (n ? 1)d an ? am ? (n ? m)d *
a?b 等差中项 A ? 2

(n, m ? N )

等比中项 G ? ? ab

应用示例
例1.在等比数列 ?an ? 中,

(1)a4 ? 27, q ? ?3, 求an ; (2)a3 ? 12, a4 ? 18, 求a1.
变式:求出下列等比数列中的未知项: ( 1) 2,a, 8; a ? ?4 (2)a 5 =4,a 7 =6,求a 9 . a9 ? 9

应用示例
例2 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
解:设这个等比数列的第1项是
那么

a

a q ? 12 a q ? 18
2 1 3 1

1

,公比是q ,

解得,

3 q? 2
2 1

16 ,a ? 3
1

因此

16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3

16 3 a ? aq ? ? ?8 3 2

高考链接
(2006 山东)已知数列 { a n } 为等比数 列, (1)若 m,n,p 成等差数列,求证 a m,a n,a p成等比数列 . (2)若 a 3 = -2 ,a 6 = 54 ,求 a 9 .

随堂练习
1.在等比数列 { a n } 中,a 1 = 2 ,a 7 a 8 = 80 , 求 a 14 .
解:因为{ a n }为等比数列 ,所以 a 1a 14 = a 7 a 8 .

? a14

a7 a8 80 ? ? ? 40 . a1 2

2.已知数列

的前n项和为 1 S n , S n ? (an ? 1)( n ? N ? ). 3

?an ?

(1)求

a1 , a 2

(2)求证数列

?an ? 是等比数列.

已知

?an ?,?bn ?是项数相同的等比数列, 求证 ?an ? bn ?是等比数列.

证明:设数列 ?an ?首项为a 1,公比为 q 1? ;b n ? 首项为b1,公比为q2 那么数列 ?an ? bn ?的第n项与第n+1项 分别为:

an?1 ? bn?1 a1b1 (q1q2 ) ? ? ? q1q2 .它是一个与n无关的常数, n ?1 an ? bn a1b1 (q1q2 )
n

a1 ? q ? b1 ? q2 与a1 ? q ? b1 ? q2 n?1 n a1b1 (q1q2 ) 与a1b1 (q1q2 ) 即为

n?1 1

n?1

n 1

n

所以 ?an ? bn ? 是一个以 q1q2 为公比的等比数列


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