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矩阵与行列式、算法初步知识点


矩阵与行列式
考试内容: 矩阵的意义. 行列式的意义以及对角线法则. 算法的含义以及逻辑结构. 考试要求: (1)会用矩阵的记号表示线性方程组. (2) 掌握二阶、 三阶行列式展开的对角线法则, 以及三阶行列式按照某一行 (列) 展开的方法.会利用计算器求行列式的值. (3)掌握二元、三元线性方程组的公式解法(行列式表示) ,会对含字母系数的 二元、三元线性方程组的解的

情况进行讨论. (4)在具体问题的解决过程中,理解程序框图的逻辑结构:顺序,条件分支, 循环.

矩阵与行列式 知识要点
? 51 21 28 ? ? 2 3 m ? ? 2 3 m 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 1、形如 ? ? 、 ? 36 38 36 ? 、 ? 3 ?2 4 ? 、 ? 3 ?2 4 2 ? 这样的矩形数表叫 ? 3 ? ? 23 21 28 ? ? 4 1 ? n ? ? 4 1 ? n 4 ? ? ? ? ? ? ?
做矩阵。 2、在矩阵中,水平方向排列的数组成的向量 ? a1 , a2 , ???an ? 称为行向量;

? b1 ? ? ? b2 垂直方向排列的数组成的向量 ? ? 称为列向量; ? ??? ? ? ? ? bn ?
由 m 个行向量与 n 个列向量组成的矩阵称为 m ? n 阶矩阵,

?1 ? m ? n 阶 矩 阵 可 记 做 Am?n , 如 矩 阵 ? ? 为 2 ? 1 阶 矩 阵 , 可 记 做 A2?1 ; 矩 阵 ? 3?
?51 ? ?3 6 ?23 ? 21 38 21 2?8 ? 3?6为 3 ? 3 阶矩阵,可记做 A3?3 。有时矩阵也可用 A 、 B 等字母表示。 2? ?8

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素,在一个 m ? n 阶矩阵 Am?n 中的第 i ( i ? m )行

? 51 21 28 ? ? ? 第j ( j ? n) 列数可用字母 aij 表示, 如矩阵 ? 36 38 36 ? 第 3 行第 2 个数为 a32 ? 21 。 ? 23 21 28 ? ? ?

4、当一个矩阵中所有元素均为 0 时,我们称这个矩阵为零矩阵。如 ?

?0 0 0? ? 为一个 ?0 0 0?

2 ? 3 阶零矩阵。
5、当一个矩阵的行数与列数相等时,这个矩阵称为方矩阵,简称方阵,一个方阵有 n 行

? 51 21 28 ? ? 2 3 m ? ? ? ? ? (列) ,可称此方阵为 n 阶方阵,如矩阵 ? 36 38 36 ? 、 ? 3 ?2 4 ? 均为三阶方 ? 23 21 28 ? ? 4 1 ? n ? ? ? ? ?
阵。在一个 n 阶方阵中,从左上角到右下角所有元素组成对角线,如果其对角线的元 素均为 1,其余元素均为零的方阵,叫做单位矩阵。如矩阵 ?

?1 0? ? 为 2 阶单位矩阵, ?0 1?

?1 0 0? ? ? 矩阵 ? 0 1 0 ? 为 3 阶单位矩阵。 ?0 0 1? ? ?
6、如果矩阵 A 与矩阵 B 的行数和列数分别相等,那么 A 与 B 叫做同阶矩阵;如果矩阵

A 与矩阵 B 是同阶矩阵,当且仅当它们对应位置的元素都相等时,那么矩阵 A 与矩
阵 B 叫做相等的矩阵,记为 A ? B 。

? 2 x ? 3 y ? mz ? 1 ? 7、对于方程组 ?3 x ? 2 y ? 4 z ? 2 中未知数 x, y, z 的系数按原来的次序排列所得的矩阵 ?4 x ? y ? nz ? 4 ?
?2 3 m ? ?2 3 m 1? ? ? ? ? ? 3 ?2 4 ? ,我们叫做方程组的系数矩阵;而矩阵 ? 3 ?2 4 2 ? 叫做方程组 ? 4 1 ?n 4 ? ? 4 1 ?n ? ? ? ? ?
的增广矩阵。 8、矩阵的运算 1)矩阵的加法:当两个矩阵 A,B 的维数相同时,将它们各位置上的元素加(减)所得 到的矩阵称为矩阵 A,B 的和(差) ,记作: A ? B ? A ? B ? 。 加法运算律: A ? B ? B ? A 加法结合律: ? A ? B? ? C ? A ? ? B ? C ? 2)数乘矩阵 设 ? 为任意实数,把矩阵 A 的所有元素与 ? 相乘得到的矩阵叫做矩阵 A 与实数 ? 的乘 积矩阵。记作: ? A 分配律: ? ? A ? B? ? ?A ? ?B ; (? ? ? ) A ? ?A ? ?A

结合律: ????A ? ? ??A? ? ? ??A? 3)矩阵的乘积 一般,设 A 是 m ? k 阶矩阵, B 是 k ? n 阶矩阵,设 C 为 m ? n 矩阵 如果矩阵 C 中第 i 行第 j 列元素 Cij 是矩阵 A 第 i 个行向量与矩阵 B 的第 j 个列向量的 数量积,那么 C 矩阵叫做 A 与 B 的乘积.记作: C ? AB 。 分配律: A( B ? C ) ? AB ? AC , ( B ? C ) A ? BA ? CA 结合律: ? ? AB? ? ??A?B ? A??B ? , ? AB?C ? A?BC? 注:交换律不成立,即 AB ? BA
9、行列式展开的对角线法则:

a 1 b1 a2 b2

? a1b2 ? a2 b1

?a1 x ? b1 y ? c1 , 10、二元一次方程组: ?a x ? b y ? c ? 2 2 2
系数行列式 D ?

,其中 x,y 为未知数,方程组系数不全为 0

a 1 b1 a2 b2

; Dx ?

c1 b1 c2 b 2

; Dx ?

a1 c1 a2 c 2

D ? x? x ? ? D (1)当 D ? 0 时,方程有唯一解 ? D ?y ? y ? ? D

(2)当 D ? 0 , Dx ? Dy ? 0 时,方程组有无穷多解; (3)当 D ? 0 , Dx , Dy 中至少有一个不为零,方程组无解. 11、掌握三阶行列式展开的对角线法则,以及按某一行(列)展开的方法;

a1
对角线法则: a 2

b1 b2 b3 a1 b1 b2 b3

c1 c 2 = a1b2 c3 ? a2b3c1 ? a3b1c2 ? a3b2 c1 ? a2b1c3 ? a1b3c2 c3
b c 2 = a1 2 b3 c3

a3

c1

按第一行展开: a 2

a3
其中 A1 =

c2 a2 - b1 c3 a3

c2 a2 + c1 c3 a3

b2 b3

b2 b3

c2 a2 , B1 =c3 a3

c2 a2 , C1 = c3 a3

b2 分别叫做元素 a1 , b1 , c1 的代数余子式 b3

总之,三阶行列式可以按其任意一行(一列)展开成行(或该列)元素与其对应的代数余子 式的乘积之和。

三阶行列式的每一个元素的代数余子式, 根据该元素的位置应加在行列式上的符号由下式给

?
出:

? ? ? ? ? ?

? ?

12、知道行列式的某些性质 (性质 1)把行列式的各行变为相应各列(称行列转置)时,其行列式的值不变。即:

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1

a1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

c 2 = b1 c 3 c1

(性质 2)把某行列式的某一行(或列)的所有元素同乘以某个数 k ,等于用数 k 乘以原行 列式。即:

ka1 a2 a3

kb1 b2 b3

kc1

a1

b1 b2 b3

c1 c2 c3

c2 = k a 2 c3 a3

(性质 3)如果行列式的某一行(或列)的元素都拆成前后两项,那么这个行列式的值等于 分别取前项,后项为此行(或列)而其余行(或列)不变的两个行列式的和。即:

m?n a2 a3

p?q s?t b2 b3

m

p b2 b3

s

n

q b2 b3

t c2 c3

c2 = a 2 c3 a3

c2 + a2 c3 a3

(性质 4)如果行列式某两行(或两列)的对应元素都相等,那么这个行列式的值必等于零。 (性质 5)三阶行列式具有性质:将某一行(或列)的每个元素都乘以实数 k ,加到另一行 (或列)的对应元素上,得到的行列式与原行列式的值相等。 13、会对含有字母的三元线性方程组无解,有解及解的个数进行讨论(类似于二元线性方程 组) : (1)当 D ? 0 时,方程组有唯一解 (2)当 D ? 0, Dx , Dy , Dz 中至少有一个不为零,方程组无解。 (3)当 D ? 0, Dx ? Dy ? Dz ? 0 时,方程组无解或有无穷多解。 14、程序框图也叫流程图,是人们将思考的过程和工作的顺序进行分析、整理,用规定的文 字、符号、图形的组合加以直观描述的方法 程序框图的基本符号 起止框任何流程图都不可缺少的, 它表明程序的开始和结束, 所以一个完整 的流程图的首末两端必须是起止框。 输入输出框表示数据的输入或结果的输出,它可用在算法中的任何需要输 入、输出的位置

处理框是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号

判断框判断框一般有一个入口和两个出口,有时也有多个出口,它是惟 一的具有两个或两个以上出口的符号,在只有两个出口的情形中,通常都分成 “是”与 “否”(也可用“Y”与“N”)两个分支

用带有箭头的流程线连接图形符号. 15、三种基本的逻辑结构:顺序结构、条件结构和循环结构 (1)顺序结构 顺序结构描述的是是最简单的算法结构, 语句与语句之间, 框与框之间是按从上到下的顺序 进行的。 (2)条件结构分支结构的一般形式

条件 是 处理





条件



处 理 1

处 理 2

两种结构的共性:① 一个入口,一个出口。特别注意:一个判断框可以有两个出口,但 一个条件分支结构只有一个出口。 ② 结构中每个部分都有可能被执行,即对每一个框都有从入口进、出口出的路径。 以上两点是用来检查流程图是否合理的基本方法(当然,学习循环结构后,循环结构也有此 特点) 提醒:解决分段函数的求值等问题,一般可采用条件结构来设计算法.

(3)循环结构的一般形式 在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这 就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。


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