nbhkdz.com冰点文库

高考数学复习点拨 例析椭圆中的三种最值问题


椭圆中的三种最值问题
与椭圆有关的最值问题均具有较强的综合性,涉及到数学知识的多种知识点,诸如:几何、三角、函数等, 同时与椭圆的定义、方程联系紧密,思维能力要求比较高. 下面对与椭圆的最值有关的问题作简单的探究: 一、利用定义转化为几何问题处理最值: 例 1、已知 F1 是椭圆 A、 9 ?
x
2

?

y

2

9

5

? 1 的左焦点,P 是椭圆上的动点, A ? 1,1 ? 为定点,则 P A ? P F1 的最小值是(



2

B、 6 ?

2

C、 3 ?

2

D、

6?

2

y P P/ A F2 x

解析: 连接 F 2 A 并延长交椭圆 P ? 是椭圆上一动点, 连接 P F1 , P F2 , P A F1 O ∵ P F1 ? P A ? A F2 ? P F1 ? P F2 , 而 P F1 ? P F2 ? P ?F1 ? P ?F2 ? P ?F1 ? P ?A ? A F 2 , ∴ P F1 ? P A ? A F2 ? P ?F1 ? P ?A ? A F2 , ∴ P F1 ? P A ? P ?F1 ? P ?A ? P ?F1 ? P ?F 2 ? A F 2 ? 6 ? (当 P 与 P ? 重合时取“=”号) 故答案:选 B。 二、利用椭圆的标准方程三角换元求最值: 例 2、已知点 P 是椭圆
x
2

2

?

y

2

? 1 上任意一点,则点 P 到直线 x ? y ? 7 ? 0 的距离最大值为

16 x
2

9 y

解析:由椭圆的方程

?

16

? x ? 4 cos? ? 1 ,则可设 ? ( ? 为参数) 9 ? y ? 3 s in ?
2

设点 P ? 4 co s ? , 3 sin ? ? ,
4 cos ? ? 3 cos ? ? 7 2 5 s in ? ? ? ? ? ? 7 2
12 2

则点 P 到直线的距离为 d ?

?

当 sin ? ? ? ? ? ? ? 1 ,距离 d 的最大值为 d m a x ?

? 6

2

点评:本题利用里椭圆的标准方程的结构形式,把椭圆的最值问题,转化为三角函数的最值问题,利用三角函数 的性质求解。 三、利用函数的最值探究方法: 例 3、设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e ?
3 2

,已知点 P ? 0 ,
?

?

3? ? 到这个椭圆上点的最远距离 2?

为 7 ,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点 P 的距离为 7 的点的坐标。

1

解析:设椭圆的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? ,由 e ?

3 2

,即

c a

?

3 2



又 a2 ? b2 ? c2

∴ a ? 2 b ,故椭圆的方程是

x

2 2

?

y b

2 2

4b

? 1?b ? 0 ? 。

设 M ? x , y ? 是椭圆上任意一点,则 x 2 ? 4 b 2 ? 4 y 2
2

∴ PM

3? 9 9 ? 2 2 2 2 2 2 ? x ? ? y ? ? ? 4b ? 4 y ? y ? 3 y ? ? ? 3 y ? 3 y ? ? 4b 2? 4 4 ? 1? ? 2 ? ?3 ? y ? ? ? 3 ? 4b 2? ?
2

2

∵ ? b ? y ? b (讨论
? 3 ? 4b ?
2

1 2

与 ? ? b , b ? 间的关系)

当b ?

1 2

,则当 y ? ?
1 2

1 2

时, P M

2

m ax

7 ,∴ b ? 1 ;

当0 ? b ? ∴b ?

,则当 y ? ? b 时, P M
3 2

m ax

?

3? ? ?b ? ? 2? ?

?

7 ,∴ b ?

3 2

?

7

7 ?

与0 ? b ?

1 2

矛盾;
x
2

综上所述 b ? 1 ,∴所求椭圆方程为
7 时, y ? ?
1 2

? y

2

?1

4

∵ PM

m ax

?

,∴ x ? ? 3 ,
? ? 1? ?。 3?

∴椭圆上到点 P 的距离为 7 的点有两个 ? ? 3 , ?

点评:将其转化为函数的最值问题处理来处理,此时应充分注意椭圆中 x , y 的范围,常常是化为闭区间上的二次 函数的最值求解。

2


高考数学复习点拨 例析椭圆中的三种最值问题

高考数学复习点拨 例析椭圆中的三种最值问题 隐藏>> 椭圆中的三种最值问题与椭圆有关的最值问题均具有较强的综合性,涉及到数学知识的多种知识点,诸如:几何、三...

2016年高考数学复习 专题15 解析几何 椭圆中的最值问题易错点

椭圆中的最值问题易错点 主标题:椭 圆中 的最值问 题易错点 副标题:从考点分析椭圆中的最值问题高考中的易错点,为学生备考提 供简洁有效的备 考策略。 ...

例析椭圆中的三种最值问题

高考数学复习点拨 例析椭... 2页 2下载券 与椭圆有关的最值问题的... 2...例析椭圆中的三种最值问题 例析椭圆中的三种最值问题 三种与椭圆有关的最值...

2016年高考数学复习 专题15 解析几何 椭圆中的最值问题备考策略

椭圆中的最值问题备考策略 主标题:椭圆中的最值问题备考策略 副标题:通过考点分析高考命题方向,把握高考规律,为学生备考复习打通快速通道。 关键词:椭圆,最值,备考...

椭圆中的最值问题

椭圆中的最值问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考二轮复习,重难点突破的...剖解椭圆中最值问题的几... 3页 免费 例析椭圆中的三种最值问... 2页 ...

解答椭圆中最值问题策略

解答椭圆中最值问题策略_数学_高中教育_教育专区。...4 3 4 3 点拨:函数法是探求最值问题的常用方法,...、巧妙设角,利用三角函数有界性 x2 y2 例 3...

2016年高考数学复习 专题15 解析几何 椭圆中的最值问题考点剖析

2016年高考数学复习 专题15 解析几何 椭圆中的最值问题考点剖析_高考_高中教育_教育专区。椭圆中的最值问题 主标题: 副标题:为学生详细的分析椭圆中的最 值问题...

椭圆最值问题的常见解题策略

椭圆最值问题的常见解题策略与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决: (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系; (2)不等式(组)求解法:利用题...

破解椭圆中最值问题的常见策略

破解椭圆中最值问题的常见策略_高三数学_数学_高中教育...中均有考查,其中 以解答题为重,在平时的高考复习...分析:根据条件可采用多种方法求解,如例 1 中所提...

椭圆中的最值问题

椭圆中的最值问题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 椭圆中的最值问题_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 ...