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高考数学复习点拨 例析椭圆中的三种最值问题


椭圆中的三种最值问题
与椭圆有关的最值问题均具有较强的综合性,涉及到数学知识的多种知识点,诸如:几何、三角、函数等, 同时与椭圆的定义、方程联系紧密,思维能力要求比较高. 下面对与椭圆的最值有关的问题作简单的探究: 一、利用定义转化为几何问题处理最值: 例 1、已知 F1 是椭圆 A、 9 ?
x
2

?

y

2

9

5

? 1 的左焦点,P 是椭圆上的动点, A ? 1,1 ? 为定点,则 P A ? P F1 的最小值是(



2

B、 6 ?

2

C、 3 ?

2

D、

6?

2

y P P/ A F2 x

解析: 连接 F 2 A 并延长交椭圆 P ? 是椭圆上一动点, 连接 P F1 , P F2 , P A F1 O ∵ P F1 ? P A ? A F2 ? P F1 ? P F2 , 而 P F1 ? P F2 ? P ?F1 ? P ?F2 ? P ?F1 ? P ?A ? A F 2 , ∴ P F1 ? P A ? A F2 ? P ?F1 ? P ?A ? A F2 , ∴ P F1 ? P A ? P ?F1 ? P ?A ? P ?F1 ? P ?F 2 ? A F 2 ? 6 ? (当 P 与 P ? 重合时取“=”号) 故答案:选 B。 二、利用椭圆的标准方程三角换元求最值: 例 2、已知点 P 是椭圆
x
2

2

?

y

2

? 1 上任意一点,则点 P 到直线 x ? y ? 7 ? 0 的距离最大值为

16 x
2

9 y

解析:由椭圆的方程

?

16

? x ? 4 cos? ? 1 ,则可设 ? ( ? 为参数) 9 ? y ? 3 s in ?
2

设点 P ? 4 co s ? , 3 sin ? ? ,
4 cos ? ? 3 cos ? ? 7 2 5 s in ? ? ? ? ? ? 7 2
12 2

则点 P 到直线的距离为 d ?

?

当 sin ? ? ? ? ? ? ? 1 ,距离 d 的最大值为 d m a x ?

? 6

2

点评:本题利用里椭圆的标准方程的结构形式,把椭圆的最值问题,转化为三角函数的最值问题,利用三角函数 的性质求解。 三、利用函数的最值探究方法: 例 3、设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e ?
3 2

,已知点 P ? 0 ,
?

?

3? ? 到这个椭圆上点的最远距离 2?

为 7 ,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点 P 的距离为 7 的点的坐标。

1

解析:设椭圆的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? ,由 e ?

3 2

,即

c a

?

3 2



又 a2 ? b2 ? c2

∴ a ? 2 b ,故椭圆的方程是

x

2 2

?

y b

2 2

4b

? 1?b ? 0 ? 。

设 M ? x , y ? 是椭圆上任意一点,则 x 2 ? 4 b 2 ? 4 y 2
2

∴ PM

3? 9 9 ? 2 2 2 2 2 2 ? x ? ? y ? ? ? 4b ? 4 y ? y ? 3 y ? ? ? 3 y ? 3 y ? ? 4b 2? 4 4 ? 1? ? 2 ? ?3 ? y ? ? ? 3 ? 4b 2? ?
2

2

∵ ? b ? y ? b (讨论
? 3 ? 4b ?
2

1 2

与 ? ? b , b ? 间的关系)

当b ?

1 2

,则当 y ? ?
1 2

1 2

时, P M

2

m ax

7 ,∴ b ? 1 ;

当0 ? b ? ∴b ?

,则当 y ? ? b 时, P M
3 2

m ax

?

3? ? ?b ? ? 2? ?

?

7 ,∴ b ?

3 2

?

7

7 ?

与0 ? b ?

1 2

矛盾;
x
2

综上所述 b ? 1 ,∴所求椭圆方程为
7 时, y ? ?
1 2

? y

2

?1

4

∵ PM

m ax

?

,∴ x ? ? 3 ,
? ? 1? ?。 3?

∴椭圆上到点 P 的距离为 7 的点有两个 ? ? 3 , ?

点评:将其转化为函数的最值问题处理来处理,此时应充分注意椭圆中 x , y 的范围,常常是化为闭区间上的二次 函数的最值求解。

2


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