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河南省天一大联考(豫东豫北十所名校)2015届高三阶段测试(二)数学(文)试题(扫描版)


天一大联考(原豫东、豫北十所名校联考) 2014—2015 学年高中毕业班阶段性测试(二) 数学(文科)· 答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)C (2)A (3)D (4)C (5)B (6)D (7)A (8)A (9)D (10)B (11)D (12)B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (

13)22 (14)3 (15) ?

3 5

(16) ?

1 210

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. ( 17 )解: ( Ⅰ )设公差为 d (d ? 0) ,由已知得: (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 8d ), 整理得

d ? 3a1 .………………………………………………………………………………………( 2
分) 又因为 a3 ? 7 ,即 a1 ? 2d ? 7 ,所以 a1 ? 1, d ? 3 ,故 an ? 3n ? 2. ……………………( 5 分)

2 时,有 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? 23n?2 , 所以 b1 ? 2. 当 n…

bn 23n?2 ? 3( n?1)?2 ? 8, 所以 {bn } 是以 2 bn?1 2

为首项,8 为公比的等比数列,所以 Sn ? 分) (18)解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin ?

2(1 ? 8n ) 2 n ? (8 ? 1). …………………………(10 1? 8 7

π ?π ? ? ? x ? ? cos ? x 任意两个零点之间的最小距离为 , 2 ?2 ?

所以 f ( x) 的最小正周期为 π ,故 分) 由 f (? ) ?

2π |? |

? π ,又 ? ? 0 ,故 ω ? 2 .………………………(3

1 1 π π ,得 cos 2? ? , 所以 2? ? 2kπ ? , k ? Z ,即 ? ? kπ ? , k ? Z, 2 2 3 6

又 ? ? [? π,π] . 所以 ? ? ?? 分) (Ⅱ)函数 y ? cos 2 x ? cos ? 2 x ?

? 5π π π 5π ? , ? , , ? .………………………………………………………………( 5 6 6 6? ? 6

? ?

π π π? ? ? cos 2 x ? cos 2 x cos 3 ? sin 2 x sin 3 ? 3?

1 3 π? ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin ? 2 x ? ? , ………………………………………………(9 分) 2 2 6? ?
由 2kπ ?

π π π π π x kπ ? , k ? Z . 剟 2x ? 2k? ? , k ? Z ,解得 kπ ? 剟 3 6 2 6 2

所以函数 y ? f ( x) ? cos ? ? x ?

? ?

π? π π? ? (12 分) ? 的单调递增区间为 ? kπ ? ,kπ ? ? , k ? Z. …… 3? 3 6? ?

(19)解: ( Ⅰ ) m ? n = cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B) ? ? cos C, ……………( 2 分) 所以 ? cos C ? cos 2C ,即 2cos2 C ? cos C ? 1 ? 0 , 故 cos C ? 分) 又 0 ? C ? π ,所以 C ? 分) (Ⅱ) 因为 CA ? CB ? 18, 所以 CA ? CB ? 36 . ①……………………………………… (8 分)

1 或 cos C ? ?1 (舍去) ,………………………………………………………( 4 2
π .…………………………………………………………………( 6 3

2 2 2 由余弦定理得 AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC ? cos

π , 3

及 AB ? 6 得, AC ? BC ? 0 . 分)

②…………………………………………………………(11

由①②解得, AC ? 6, BC ? 6 .…………………………………………………………… (12 分) (20)解: (Ⅰ)解法一:依题意得 Sn ? 2n ? r .…………………………………………( 1 分) 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 21 ? r ,

2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1. ………………………………………………( 4 当 n…
分) 又因为 {an } 为等比数列,所以 2 ? r ? 2
1?1

? 1,

所以 r ? ?1. …………………………………………………………………………………(6 分) 解法二: Sn ? 2 ? r ,………………………………………………………………………(1
n

分) 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 21 ? r,

2 时,an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1, ……………………………………………(4 分) 当 n…

a2 ? 2, a3 ? 4 ,
2 由 a2 ? a1 ? a3 ,解得 r ? ?1 .…………………………………………………………………( 6

分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? 2n?1 .…………………………………………………………………( 7 分) 则 bn ? log 2 2a1 ? log 2 2a2 ? 分) 所以

? log 2 2an ? 1 ? 2 ?

?n?

n(n ? 1) ,…………………(9 2

1 2 2 , ? ? bn n n ? 1

所以 Tn ? 2 ?1 ? 分)

? ?

1 1 1 ? ? ? 2 2 3

?

1 1 ? 2n . ……………………………………( 12 ? ?? n n ?1 ? n ?1

(21)解: (Ⅰ) f ?( x) ? 2 x ?

2a 2 x 2 ? 2a ? , x x

由已知 f ?(2) ? 1 , 解得 a ? ?3. …………………………………………………………… (2 分)
2 所以 f ( x) ? x ? 6 ln x, f ?( x) ? 2 x ?

6 ,因为 f ?(1) ? ?4, f (1) ? 1, 所以函数 f ( x) 的图象在 x

点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?4(x ? 1),即 4 x ? y ? 5 ? 0 . …………………………( 6 分)
2 al nx (Ⅱ) 由 g (x) ? ? x ? 2

2 x

得 g ?( x) ? ?

2 2a ? 2x ? , ………………………… (7 分) 2 x x

因为函数 g ( x) 为 ?1, 2? 上的单调减函数, 则 g ?( x)? 0 在 ?1, 2? 上恒成立,即 ? 即 a? 分) 令 h( x ) ?

2 2a ? 2 x ? ? 0 在 ?1, 2? 上恒成立. 2 x x

1 ? x 2 在 ?1, 2? 上恒成立.………………………………………………………………(9 x 1 1 ? 1 ? ? x 2 ,在 ?1, 2? 上 h?( x) ? ? 2 ? 2 x ? ? ? 2 ? 2 x ? ? 0, x x ?x ?
7 7 , 所以 a? ? . …………………(12 分) 2 2
x

所以 h( x) 在 ?1, 2? 上为减函数,h( x) min ? h(2) ? ?
x

(22)解: (Ⅰ)由 f ( x) ? e ? 2x ? 2a 知, f ?( x) ? e ? 2, x ? R .……………………( 2

分) 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 ,于是,当 x 变化时, f ?( x ) 和 f ( x) 的变化情况如下表

x
f ?( x )

(??,ln 2)
单调递减

ln 2
0

(ln 2, ??)
+ 单调递增

f ( x)

2 ? 2 ln 2 ? 2a

故函数 f ( x) 的单调递减区间是 (??,ln 2) , 单调递增区间是 (ln 2, ??) , f ( x) 在 x ? ln 2 处 取得极小值,极小值为 f (ln 2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2a .……………………………………………… (6 分) (Ⅱ)设 g ( x) ? e x ? x 2 ? 2ax ?1, x ? R ,于是 g ?( x) ? e x ? 2 x ? 2a, x ? R . 由(Ⅰ)知,对任意 x ? R , g ?( x)… 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 2 ? 2ln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 0 ,所以 g ( x) 在 R 上单调递增.………………………………………………………………………………(9 分)

x ?1 ?0 于是, 当 a ? ln 2 ? 1 时, 对任意 x ? (0, ??) , 都有 g ( x) ? g (0) ? 0 , 即 e x ? x 2? 2a



x 2 故 e ? x ? 2ax ? 1. ……………………………………………………………………… (12 分)


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