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北京市各区2013年中考二模数学试题分类汇编:综合题(含答案)

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2013 年初三二模分类试题—综合题
西城、解答题 1.在平面直角坐标系 xOy 中, A,B 两点在函数 C1 : y ?
k1 x ( x ? 0) 的图象上,

其中 k1 ? 0 .AC⊥ y 轴于点 C,BD⊥ x 轴于点 D,且 AC=1. (1) 若 k1 =2,则 AO 的长为 ,△BOD 的面积为 ;

>(2) 如图 1,若点 B 的横坐标为 k1 ,且 k1 ? 1 ,当 AO=AB 时,求 k1 的值; (3) 如图 2,OC=4,BE⊥ y 轴于点 E,函数 C2 : y ?
k2 x ( x ? 0) 的图象分别与线段 BE,

BD 交于点 M, 其中 0 ? k2 ? k1 . N, 将△OMN 的面积记为 S1 , △BMN 的面积记为 S2 , 若 S ? S1 ? S2 ,求 S 与 k 2 的函数关系式以及 S 的最大值.

图1

图2

- 1 -

2.在△ABC 中,AB=AC,AD,CE 分别平分∠BAC 和∠ACB,且 AD 与 CE 交于点 M.点 N 在射线 AD 上,且 NA=NC.过点 N 作 NF⊥CE 于点 G,且与 AC 交于点 F,再过点 F 作 FH∥CE,且与 AB 交于点 H. (1) 如图 1,当∠BAC=60° 时,点 M,N,G 重合. ①请根据题目要求在图 1 中补全图形; ②连结 EF,HM,则 EF 与 HM 的数量关系是__________; (2) 如图 2,当∠BAC=120° 时,求证:AF=EH; (3) 当∠BAC=36° 时,我们称△ABC 为―黄金三角形‖,此时 直接写出 GM 的长.
BC AC ? 5 ?1 2

.若 EH=4,

图1

图2

备用图

- 2 -

3.如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 和抛物线 W 交于 A,B 两点,其中点 A 是抛 物线 W 的顶点.当点 A 在直线 l 上运动时,抛物线 W 随点 A 作平移运动.在抛物线平移的过程中,线段 AB 的长度保持不 变. 应用上面的结论,解决下列问题:
图1

如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l1 : y ? x ? 2 .点 A 是直线 l1 上的一 个动点,且点 A 的横坐标为 t .以 A 为顶点的抛物线 C1 : y ? ? x2 ? bx ? c 与直线 l1 的另 一个交点为点 B. (1) 当 t ? 0 时,求抛物线 C1 的解析式和 AB 的长; (2) 当点 B 到直线 OA 的距离达到最大时,直接写出此时点 A 的坐标; (3) 过点 A 作垂直于 y 轴的直线交直线 l2 : y ?
2

1 2

x 于点 C.以 C 为顶点的抛物线

C2 : y ? x ? mx ? n 与直线 l 2 的另一个交点为点 D.
①当 AC⊥BD 时,求 t 的值; ②若以 A,B,C,D 为顶点构成的图形是凸四边形,直接写出满足条件的 t 的取值 范围.

图2

备用图

- 3 -

海淀 4.已知:抛物线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 2 过点 A(3, 4) .
2

(1)求抛物线的解析式; (2)将抛物线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 2 在直线 y ? ?1 下方的部分沿直线 y ? ?1 翻折,图象其
2

余的部分保持不变,得到的新函数图象记为 G .点 M ? m, y1 ? 在图象 G 上,且 y1≤0 . ①求 m 的取值范围; 且满足 y2≥4 恒成立, k 的取值范围为 则 ②若点 N ? m ? k , y2 ? 也在图象 G 上, .

5.如图 1,在△ABC 中,AB=AC,?ABC ? ? . 过点 A 作 BC 的平行线与∠ABC 的平分线 交于点 D,连接 CD.

图1 (1)求证: AC ? AD ;

图2

(2)点 G 为线段 CD 延长线上一点,将射线 GC 绕着点 G 逆时针旋转 ? ,与射线 BD 交于点 E. ①若 ? ? ? , GD ? 2 AD ,如图 2 所示,求证: S? DEG ? 2S?BCD ; ②若 ? ? 2? , GD ? kAD ,请直接写出

S?DEG 的值(用含 k 的代数式表示). S?BCD

- 4 -

6. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标是 ( 0,2 ) ,过点 A 作直线 l 垂直 y 轴,点 B 是直线 且 l 上异于点 A 的一点, ?OBA = a .过点 B 作直线 l 的垂 线 m , C 在直线 m 上, 点 且在直线 l 的下方, ?OCB = 2a . 设点 C 的坐标为 ( x, y ) . (1) 判断△ OBC 的形状,并加以证明; (2) 直接写出 y 与 x 的函数关系式(不要求写自变量 的取值范围) ; (3) 延长 CO交(2)中所求函数的图象于点 D .求证: CD = CO× DO .

东城 7. 已知:关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 (m 为实数).
2

(1)若方程有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围; (2)求证:抛物线 y ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 总过 x 轴上的一个定点; (3)若 m 是整数,且关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 有两个不相等的
2

整数根时,把抛物线 y ? (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1 向右平移 3 个单位长度,求平移后的
2

解析式. 8. 在矩形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 3 , E 是 AB 边上一点, EF ? CE 交 AD 于点 F ,过 点 E 作 ?AEH ? ?BEC ,交射线 FD 于点 H ,交射线 CD 于点 N . (1)如图 1,当点 H 与点 F 重合时,求 BE 的长; (2)如图 2,当点 H 在线段 FD 上时,设 BE ? x , DN ? y ,求 y 与 x 之间的函数关系 式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)连结 AC ,当以点 E,F,H 为顶点的三角形与△AEC 相似时,求线段 DN 的长.

- 5 -

9.定义:P,Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点,线段 PQ 长度的最小值叫做线段 a 与线 段 b 的距离. 已知 O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中的四点. (1)根据上述定义,当 m=2,n=2 时,如图 1,线段 BC 与线段 OA 的距离是_____; 当 m=5,n=2 时,如图 2,线段 BC 与线段 OA 的距离是______ .

(2)如图 3,若点 B 落在圆心为 A,半径为 2 的圆上,求线段 BC 与线段 OA 的距离 d.

(3)当 m 的值变化时,动线段 BC 与线段 OA 的 距离始终为 2,若线段 BC 的中点为 M,直接 写出点 M 随线段 BC 运动所形成的图形的周 长 .

- 6 -

朝阳 10.已知关于 x 的一元二次方程 x2?(4?m)x?1?m = 0. (1)求证:无论 m 取何值,此方程总有两个不相等的实数根; (2)此方程有一个根是?3,在平面直角坐标系 xOy 中,将抛物线 y? 2?(4?m)x?1?m x 向右平移 3 个单位,得到一个新的抛物线,当直线 y? b 与这个新抛物线有且只 x? 有一个公共点时,求 b 的值.

11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y?ax2?bx?4 与 x 轴交于点 A(?2,0)、 B(6,0),与 y 轴交于点 C,直线 CD∥x 轴,且与抛物线交于点 D,P 是抛物线上一动 点.

y C A O D B A

y C D B O

x

x

备用图

(1)求抛物线的解析式; (2) 过点 P 作 PQ⊥CD 于点 Q, 将△CPQ 绕点 C 顺时针旋转, 旋转角为 α ﹤α﹤90? , (0? ) 当 cosα=

3 ,且旋转后点 P 的对应点 P' 恰好落在 x 轴上时,求点 P 的坐标. 5

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12. 在□ABCD 中,E 是 AD 上一点,AE=AB,过点 E 作直线 EF,在 EF 上取一点 G,使得 ∠EGB=∠EAB,连接 AG. (1)如图 1,当 EF 与 AB 相交时,若∠EAB=60° ,求证:EG =AG+BG; (2)如图 2,当 EF 与 AB 相交时,若∠EAB= α(0? ﹤α﹤90? ),请你直接写出线段 EG、 AG、BG 之间的数量关系(用含 α 的式子表示); (3)如图 3,当 EF 与 CD 相交时,且∠EAB=90° ,请你写出线段 EG、AG、BG 之间的 数量关系,并证明你的结论.
A E G D

A G F B

E

D

A

E

D

G F

F

C

B

图1

图2

C

B

C

图3

房山 13.已知二次函数 y =x ? kx ?
2

1 7 k- . 2 2

(1)求证:不论 k 为任何实数,该函数的图象与 x 轴必有两个交点; (2)若该二次函数的图象与 x 轴的两个交点在点 A(1,0)的两侧,且关于 x 的一元二次 方程 k2x2+(2k+3)x+1=0 有两个不相等的实数根,求 k 的整数值; (3)在(2)的条件下,关于 x 的另一方程 x2+2(a+k)x+2a-k2+6 k-4=0 有大于 0 且小 于 3 的实数根,求 a 的整数值.

14.(1)如图 1,正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 边上的点,且满足 BE=CF,联结 AE、BF 交于点 H..请直接写出线段 AE 与 BF 的数量关系和位置关系; (2) 如图 2, 正方形 ABCD 中, F 分别是 BC、 边上的点, E、 CD 联结 BF, 过点 E 作 EG⊥BF 于点 H,交 AD 于点 G,试判断线段 BF 与 GE 的数量关系,并证明你的结论; (3)如图 3,在(2)的条件下,联结 GF、HD. 求证:①FG+BE≥ 2 BF;
- 8 -

②∠HGF=∠HDF.

A

D

A

G

D

A

G

D

F H B E
第 24 题图 1

H B E
第 24 题图 2

F

H B E
第 21 题图 3

F

C

C

C

15. 已 知 抛 物 线 y ? ?3 - m?x 2 ? 2?m - 3?x ? 4m - m 2 的 最 低 点 A 的 纵 坐 标 是 3 , 直 线

y ? mx ? b 经过点 A,与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于点 C.
(1)求抛物线与直线 AB 的解析式. (2)将直线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90° ,与 x 轴交于点 D,与 y 轴交于点 E,求 sin∠BDE 的值. (3)过 B 点作 x 轴的平行线 BG,点 M 在直线 BG 上,且到抛物线的对称轴的距离为 6,设 点 N 在直线 BG 上,请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=450 的点 N 的坐标.

y
5 4 3 2 1 -2 -1 O -1 1 2 3 4 5 x

第 25 题图

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门头沟 16. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? ? 原点 O, 点 B(-2,n)在这条抛物线上. (1)求抛物线的解析式;

m ? 4 2 2m ? 7 x ? x ? m2 ? 6m ? 8 经过 8 3

(2) 将直线 y ? ?2 x 沿 y 轴向下平移 b 个单位后得到直线 l, 若直线 l 经过 B 点, n、 求 b 的值; (3)在(2)的条件下,设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 C,直线 l 与 y 轴交于点 D, 且与抛物线的对称轴交于点 E.若 P 是抛物线上一点,且 PB=PE,求 P 点的坐标. y

1 O 1 x

17.已知:在△AOB 与△COD 中,OA=OB,OC=OD, ?AOB ? ?COD ? 90 ? . (1)如图 1,点 C、D 分别在边 OA、OB 上,连结 AD、BC,点 M 为线段 BC 的中点, 连结 OM,则线段 AD 与 OM 之间的数量关系是 置关系是 ; ,位

(2)如图 2,将图 1 中的△COD 绕点 O 逆时针旋转,旋转角为 α ( 0? ? ? ? 90? ).连 结 AD、BC,点 M 为线段 BC 的中点,连结 OM.请你判断(1)中的两个结论是 否仍然成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由; (3)如图 3,将图 1 中的 △COD 绕点 O 逆时针旋转到使 △COD 的一边 OD 恰好与 △AOB 的边 OA 在同一条直线上时,点 C 落在 OB 上,点 M 为线段 BC 的中点. 请你判断(1)中线段 AD 与 OM 之间的数量关系是否发生变化,写出你的猜想, 并加以证明. B
B
B M

M D
D

M
C

C

O

C

A 图1

O 图2

A

D

O 图3

A

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18. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 已知矩形 ABCD 的两个顶点 B、C 的坐标分别是 B (1,0)、C(3,0).直线 AC 与 y 轴交于点 G(0,6).动点 P 从点 A 出发,沿线段 AB 向点 B 运动.同时动点 Q 从点 C 出发,沿线段 CD 向点 D 运动.点 P、Q 的运动速度均为 每秒 1 个单位,运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E. (1)求直线 AC 的解析式; (2)当 t 为何值时,△CQE 的面积最大?最大值为多少? (3)在动点 P、Q 运动的过程中,当 t 为何值时,在矩形 ABCD 内(包括边界)存在 点 H,使得以 C、Q、E、H 为顶点的四边形是菱形?
y G

A P E

D

Q O
2

B

C

x

怀柔 19. 已知二次函数 y ? x ? 2 x ? m 的图象 C1 与 x 轴有且只有一个公共点. (1)求 C1 的顶点坐标; (2)将 C1 向下平移若干个单位后,得抛物线 C2,如果 C2 与 x 轴的一个交点为 A(—3, 0),求 C2 的函数关系式,并求 C2 与 x 轴的另一个交点坐标; (3)若 P(n, y1 ), Q(2, y2 )是C1上的两点, 且y1 解:

? y2 . 直接写出实数 n 的取值范围.

20. 如图,四边形 ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线 BD(不含 B 点) 上任意一点,连结 AM、CM. (1) 当 M 点在何处时,AM+CM 的值最小; (2)当 M 点在何处时,AM+BM+CM 的值最小,并说明理由; (3)当 AM+BM+CM 的最小值为 3 ? 1 时,求正方形的边长. 解: (1)
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21.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4, 抛物线 y ? x2 ? bx ? c 经过 A,B 两点,抛物线的顶点为 D. (1)b= ,c= ;

(2)点 E 是 Rt△ABC 斜边 AB 上一动点(点 A、B 除外),过点 E 作 x 轴的垂线 交抛物线于点 F,当线段 EF 的长度最大时,求点 E 的坐标; (3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点 P,使△EFP 是以 EF 为直角边的直角三 角形? 若存在,求出所有点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 解:(1)b= (2) , c= ;

21 题图 (3)

21 题备用图

大兴 22.已知:如图,抛物线 L1:y=x2﹣4x+3 与 x 轴交于 A.B 两点(点 A 在点 B 左侧), 与 y 轴交于点 C. (1)直接写出点 A 和抛物线 L1 的顶点坐标; (2)研究二次函数 L2:y=kx2﹣4kx+3k(k≠0) . ①写出二次函数 L2 与二次函数 L1 有关图象的两条相同的 性质; ②若直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E、F 两点,问线段 EF 的 长度是否会因 k 值的变化而发生变化?如果不会,请求出 EF 的长度;如果会,请说明理由.

- 12 -

23.已知:如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AB = 3 ,AD = 3,BC = 4, 以点 D 为旋转中心,将腰 DC 逆时针旋转 а 至 DE. (1)当 а=90° 时,连结 AE,则△EAD 的面积等于___________(直接写出结果); (2)当 0° <а< 180° 时,连结 BE,请问 BE 能否取得最大值,若能,请求出 BE 的最大值; 若不能,请说明理由; (3)当 0° 180° <а< 时,连结 CE,请问 а 为多少度时,△CDE 的面积是 3 .

?

24.已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 是菱形,顶点 A.C.D 均在坐 标轴上,且 AB=5,sinB=

4 . 5

(1)求过 A.C.D 三点的抛物线的解析式; (2)记直线 AB 的解析式为 y1=mx+n, (1)中抛物线的解析式为 y2=ax2+bx+c,求当 y1<y2 时,自变量 x 的取值范围; (3)设直线 AB 与(1)中抛物线的另一个交点为 E,P 点 为抛物线上 A、E 两点之间的一个动点,当 P 点在何处时, △PAE 的面积最大?并求出面积的最大值.

丰台 25.已知关于 x 的方程 x2 ? (m ? 2) x ? m ? 3 ? 0 . (1)求证:此方程总有两个实数根; (2)设抛物线 y ? x2 ? (m ? 2) x ? m ? 3 与 y 轴交于点 M,若抛物线与 x 轴的一个交点关
y

于直线 y=-x 的对称点恰好是点 M,求 m 的值.

O

1

x

- 13 (备图)

26.在 Rt△ABC 中,AB=BC,∠B=90° ,将一块等腰直角三角板的直角顶点 O 放在斜边 AC 上,将三角板绕点 O 旋转. (1)当点 O 为 AC 中点时, ①如图 1, 三角板的两直角边分别交 AB,BC 于 E、F 两点,连接 EF,猜想线段 AE、 CF 与 EF 之间存在的等量关系(无需证明); ②如图 2, 三角板的两直角边分别交 AB,BC 延长线于 E、F 两点,连接 EF,判断① 中的猜想是否成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由; (2)当点 O 不是 AC 中点时,如图 3,,三角板的两直角边分别交 AB,BC 于 E、F 两点, 若 AO ? 1 ,求 OE 的值.
AC 4
OF

A

A

A E O

E

O

O

B

F

C

B E

C

F

B

F

C

图1

图2

图3

? 27. 如图, 把△OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中, OAB ? 90? , ? 2, AB ? OA
沿 x 轴的负方向平移 2OA 的长度后得到△DCE.

3 , 把△OAB 2

(1)若过原点的抛物线 y ? ax +bx ? c 经过点 B、E,求此抛物线的解析式;
2

(2)若点 P 在该抛物线上移动,当点 P 在第一象限内时,过点 P 作 PQ ? x 轴于点 Q , 连结 OP .若以 O 、 P 、 Q 为顶点的三角形与以 B、C、E 为顶点的三角形相似,直接 写出点 P 的坐标; (3)若点 M(-4,n) 在该抛物线上,平移抛物线,记平移后点 M 的对应点为 M′,点 B 的对应点为 B′. 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形 M′B′CD 的周长最短?若 存在,求出此时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由. y

E

B

- 14 -

D

C

O

A

x

石景山 28.如图,抛物线 y ? ? x 2 ? ax ? b 过点 A(-1,0),B(3,0),其对称轴与 x 轴的交点为 C, 反比例函数 y ?

k (x>0,k 是常数)的图象经过抛物线的顶点 D. x

(1)求抛物线和反比例函数的解析式. (2)在线段 DC 上任取一点 E,过点 E 作 x 轴平行线,交 y 轴于点 F、交双曲线于点 G, 联结 DF、DG、FC、GC. ①若△DFG 的面积为 4,求点 G 的坐标; ②判断直线 FC 和 DG 的位置关系,请说明理由; ③当 DF=GC 时,求直线 DG 的函数解析式. 解: O y

x

29.如图,四边形 ABCD 、 A1B1C1D1 是两个边长分别为 5 和 1 且中心重合的正方形. 其中, 正方形 A1B1C1D1 可以绕中心 O 旋转,正方形 ABCD 静止不动. (1)如图 1,当 D、D1、B1、B 四点共线时,四边形 DCC1D1 的面积为 (2)如图 2,当 D、D1、A1 三点共线时,请直接写出 __;

CD1 = _________; DD1

(3)在正方形 A1B1C1D1 绕中心 O 旋转的过程中,直线 CC1 与直线 DD1 的位置关系是 ______________,请借助图 3 证明你的猜想.
D C

D C1 D1
O

C

D C1

C

D1 A1
O

C1 B1

B1

B1 D1
O

A1
A B

A1
B

A

A

B

图1 解:

图2

图3

- 15 -

30.(1)如图 1,把抛物线 y ? ? x 2 平移后得到抛物线 C1 ,抛物线 C1 经过点 A( ?4,0) 和原 点 O (0,0) ,它的顶点为 P ,它的对称轴与抛物线 y ? ? x 2 交于点 Q ,则抛物线 C1 的解 析式为____________;图中阴影部分的面积为_____. (2)若点 C 为抛物线 C1 上的动点,我们把 ?ACO ? 90 时的△ ACO 称为抛物线 C1 的
?

内接直角三角形.过点 B(1,0) 做 x 轴的垂线 l , 抛物线 C1 的内接直角三角形的两条直角边 所在直线 AC 、 CO 与直线 l 分别交于 M 、 N 两点,以 MN 为直径的⊙ D 与 x 轴交于

E 、 F 两点,如图 2.请问:当点 C 在抛物线 C1 上运动时,线段 EF 的长度是否会发生变
化?请写出并证明你的判断.

解:

图1

图2

昌平 31. 已知点 A(a, y1 )、B(2a,y 2 )、C(3a,y 3 )都 在抛物线 y ?

1 2

x2 ?

1 2

y

x 上.

(1)求抛物线与 x 轴的交点坐标; (2)当 a=1 时,求△ABC 的面积; (3)是否存在含有 y1 、y 2 、y 3 ,且与 a 无关的等式?如果 存在,试给出一个,并加以证明;如果不存在,请说明理由.
1 -1 O -1 1

x

32.(1)如图 1,以 AC 为斜边的 Rt△ABC 和矩形 HEFG 摆放在直线 l 上(点 B、C、E、F 在直线 l 上),已知 BC=EF=1,AB=HE=2. △ABC 沿着直线 l 向右平移,设 CE=x,△ABC 与矩形 HEFG 重叠部分的面积为 y(y≠0). 当 x=

3 时,求出 y 的值; 5

(2)在(1)的条件下,如图 2,将 Rt△ABC 绕 AC 的中点旋转 180° 后与 Rt△ABC 形成 一个新的矩形 ABCD,当点 C 在点 E 的左侧,且 x =2 时,将矩形 ABCD 绕着点 C 顺时针旋 转 α 角,将矩形 HEFG 绕着点 E 逆时针旋转相同的角度. 若旋转到顶点 D、H 重合时,连接
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AG,求点 D 到 AG 的距离; (3)在(2)的条件下,如图 3,当 α=45° 时,设 AD 与 GH 交于点 M,CD 与 HE 交于 点 N,求证:四边形 MHND 为正方形.
A A H G D (H) B l C H F C E N E G A M G D F l

B B C E F l

图1

图2

图3

33. 如图,已知半径为 1 的 e O1 与 x 轴交于 A, B 两点, OM 为 e O1 的切线,切点为 M ,

0) 圆心 O1 的坐标为 (2, ,二次函数 y ? ? x ? bx ? c 的
2

y M

图象经过 A, B 两点. (1)求二次函数的解析式; (2)求切线 OM 的函数解析式;
O A

O1

B

x

(3)线段 OM 上是否存在一点 P ,使得以 P, O, A 为顶点的三角形与 △OO1M 相似.若存 在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

密云 34.已知:关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 (m 为实数)
2

(1)若方程有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围; (2)在(1)的条件下,求证:无论 m 取何值,抛物线 y ? (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1 总
2

过 x 轴上的一个固定点; (3)若 m 是整数, 且关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 有两个不相等
2

的整数根,把抛物线 y ? (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1 向右平移 3 个单位长度,求平移后的
2

解析式.

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35.如图 1,△ABC 是等腰直角三角形,四边形 ADEF 是正方形,D、F 分别在 AB、AC 边 上,此时 BD=CF,BD⊥CF 成立. (1)当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 θ(0° <θ<90° )时,如图 2,BD=CF 成立吗? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (2)当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45° 时,如图 3,延长 BD 交 CF 于点 G. ①求证:BD⊥CF; ②当 AB=4,AD= 时,求线段 BG 的长.

36.概念:P、Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点,线段 PQ 长度的最小值叫做线段 a 与 线段 b 的距离. 已知 O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角 坐标系中四点. (1)根据上述概念,当 m=2,n=2 时,如图 1,线段 BC 与线段 OA 的距离是 当 m=5, n=2 时, 如图 2, 线段 BC 与线段 OA 的距离 (即线段 AB 长) 为 ; ;

(2)图 3,若点 B 落在圆心为 A,半径为 2 的圆上,线段 BC 与线段 OA 的距离记为 d, 求 d 关于 m 的函数解析式. (3)当 m 的值变化时,动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 2,线段 BC 的中点为 M, ①求出点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长; ②点 D 的坐标为(0,2),m≥0,n≥0,作 MN⊥x 轴,垂足为 H,是否存在 m 的值 使以 A、M、H 为顶点的三角形与△AOD 相似?若存在,求出 m 的值;若不存在 请 说明理由.

- 18 -

顺义 37.已知抛物线 y ? 3x2 ? mx ? 2 . (1)求证:无论 m 为任何实数,抛物线与 x 轴 总有两个交点; (2) m 为整数, 若 当关于 x 的方程 3x ? mx ? 2 ? 0
2

y

的两个有理数根都在 ?1 与 (不包括-1、

4 之间 3
O

4 )时,求 m 的值. 3

1

x

(3)在(2)的条件下,将抛物线 y ? 3x2 ? mx ? 2 在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折, 图象的其余部分保 持不变,得到一个新图象 G ,再将图象 G 向上 平移 n 个单位,若图象 G 与过点(0,3)且与 x 轴平行的直线有 4 个交点,直接写出 n 的取值范围是 .

38 . 如 图 , 直 线 MN 与 线 段 AB 相 交 于 点 O , 点 C 和 点 D 在 直 线 MN 上 , 且

?ACN ? ?BDN ? 45? .
(1) 如图 1 所示,当点 C 与点 O 重合时 ,且 AO ? OB ,请写出 AC 与 BD 的数量关系和 位置关系; (2)将图 1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转到如图 2 所示的位置, AO ? OB ,(1)中的 AC 与 BD 的数量关系和位置关系是否仍然成立?若成立, 请证明; 若不成立, 请说明理由; (3)将图 2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到如图 3,求

AC 的值. BD

- 19 -

39 . 已 知 抛 物 线 y ? ?

1 2 x ? bx ? c 与 x 轴 交 于 A, B 两 点 , 与 y 轴 交 于 点 C , 连 结 4

AC,BC , D 是线段 OB 上一动点,以 CD 为一边向右侧作正方形 CDEF ,连结 BF .若

S?OBC ? 8 , AC ? BC .
(1)求抛物线的解析式; (2)求证: BF ? AB ; (3)求 ?FBE 的度数; (4)当 D 点沿 x 轴正方向移动到点 B 时,点 E 也随着运动,则点 E 所走过的路线长 是 .
y F

C E A O D B x

- 20 -

参考答案
1.解:(1) AO 的长为 5 ,△BOD 的面积为 1; (2) ∵A,B 两点在函数 C1 : y ?
k1 x ( x ? 0) 的图象上,

………………………… 2 分

∴点 A,B 的坐标分别为 (1, k1 ) , (k1 ,1) . ∵AO=AB, 由勾股定理得 AO2 ? 1? k12 , AB2 ? (1 ? k1 )2 ? (k1 ? 1)2 , ∴ 1 ? k12 ? (1 ? k1 )2 ? (k1 ? 1)2 . 解得 k1 ? 2 ? 3 或 k1 ? 2 ? 3 . ∵ k1 ? 1 , ∴ k1 ? 2 ? 3 . (3) ∵OC=4, ∴点 A 的坐标为 (1, 4) . ∴ k1 ? 4 . 设点 B 的坐标为 ( m, ) ,
m 4
E

………………… 3 分

…………………………………………… 4 分

y

y=

k2 x y=

………………… 5 分

k1 x

C

A

M

B N

O

D

x

∵BE⊥ y 轴于点 E,BD⊥ x 轴于点 D, ∴四边形 ODBE 为矩形,且 S四边形ODBE =4 , 点 M 的纵坐标为
4 m

,点 N 的横坐标为 m .
k2 x ( x ? 0) 的图象上,

∵点 M,N 在函数 C2 : y ? ∴点 M 的坐标为 ( ∴ S ?OME =S ?OND =
1 2

mk 2 4 k , ) ,点 N 的坐标为 ( m , 2 ) . 4 m m

k2 2

.
1 2 mk 2 4 4 m k2 m

∴ S2 =

BM ? BN ?

(m ?

)(

?

)?

(4 ? k 2 ) 8

2

.

∴ S =S1 ? S2 =(4 ? k2 ? S2 ) ? S2 =4 ? k2 ? 2S2 .

- 21 -

∴ S ? 4 ? k2 ? 2 ?

(4 ? k2 ) 8

2

1 2 ? ? k2 ? k2 , 4

………………………… 6 分

其中 0 ? k2 ? 4 .
1 2 1 1 2 ∵ S ? ? k 2 ? k 2 ? ? ( k 2 ? 2) ? 1 ,而 ? ? 0 , 4 4 4

∴当 k2 ? 2 时, S 的最大值为 1. 2.解:(1)补全图形见图 1, EF 与 HM 的数量关系是 EF=HM ; (2)连接 MF(如图 2). ∵AD,CE 分别平分∠BAC 和∠ACB, 且∠BAC=120° , ∴∠1=∠2=60° ,∠3=∠4. ∵AB=AC, ∴AD⊥BC.

…………………………………… 7 分 ………1 分 ………2 分
E M B D C H F

A

图1

H

A
1 2 7 6

∵NG⊥EC, ∴∠MDC =∠NGM =90° . ∴∠4+∠6=90° ,∠5+∠6=90° . ∴∠4=∠5. ∴∠3=∠5. ∵NA=NC,∠2=60° , ∴△ANC 是等边三角形. ∴AN=AC. 在△AFN 和△AMC 中,
??5 ? ?3, ? ? AN ? AC , ??2 ? ?2, ?

E B

F G
3 4

M D

C

5

N
图2

∴△AFN≌△AMC. ∴AF=AM. ∴△AMF 是等边三角形. ∴AF=FM,∠7=60° .

…………………………………………… 3 分

- 22 -

∴∠7=∠1. ∴FM∥AE. ∵FH∥CE, ∴四边形 FHEM 是平行四边形. ∴EH=FM. ∴AF=EH. (3) GM 的长为 5 ? 1 . …………………………………………… 5 分 …………………………………………… 7 分 ……………………………………… 4 分

3.解:(1) ∵点 A 在直线 l1 : y ? x ? 2 上,且点 A 的横坐标为 0, ∴点 A 的坐标为 (0, ?2) . ∴抛物线 C1 的解析式为 y ? ? x ? 2 .
2

…………………………… 1 分

∵点 B 在直线 l1 : y ? x ? 2 上, ∴设点 B 的坐标为 ( x, x ? 2) . ∵点 B 在抛物线 C1 : y ? ? x ? 2 上,
2

∴ x ? 2 ? ?x ? 2 .
2

解得 x ? 0 或 x ? ?1 . ∵点 A 与点 B 不重合, ∴点 B 的坐标为 ( ?1, ?3) .
2 2 ∴由勾股定理得 AB= (0 ? 1) ? ( ?2 ? 3) ?

…………………………… 2 分

2.

…………………… 3 分

(2) 点 A 的坐标为 (1, ?1) .

…………………………… 4 分

(3) ①方法一:设 AC,BD 交于点 E,直线 l1 : y ? x ? 2 分别与 x 轴、 y 轴交于点 P 和 Q(如图 1).则点 P 和点 Q 的坐标分别为 (2, 0) , (0, ?2) . ∴OP=OQ=2.
y=x2+mx+n

y
l2

∴∠OPQ =45° . ∵AC⊥ y 轴, ∴AC∥ x 轴. ∴∠EAB =∠OPQ =45° . ∵∠DEA =∠AEB=90° ,AB = 2 ,
图1 - 23 O
C D E B P

l1

A

x

Q

y= x2+bx+c

∴EA=EB =1. ∵点 A 在直线 l1 : y ? x ? 2 上,且点 A 的横坐标为 t , ∴点 A 的坐标为 (t , t ? 2) . ∴点 B 的坐标为 (t ? 1, t ? 3) . ∵AC∥ x 轴, ∴点 C 的纵坐标为 t ? 2 . ∵点 C 在直线 l2 : y ?
1 2 x 上,

∴点 C 的坐标为 (2t ? 4, t ? 2) . ∴抛物线 C2 的解析式为 y ? [ x ? (2t ? 4)] ? (t ? 2) .
2

∵BD⊥AC, ∴点 D 的横坐标为 t ? 1 . ∵点 D 在直线 l2 : y ?
x 上, 2 t ?1 ). ∴点 D 的坐标为 (t ? 1, 2 1

…………………………………………… 5 分
2

∵点 D 在抛物线 C2 : y ? [ x ? (2t ? 4)] ? (t ? 2) 上, ∴
t ?1 2 ? [(t ? 1) ? (2t ? 4)] ? (t ? 2) .
2

解得 t ?

5 2

或t ? 3.

∵当 t ? 3 时,点 C 与点 D 重合, ∴t ?
5 2

.

…………………………………………… 6 分

方法二:设直线 l1 : y ? x ? 2 与 x 轴交于点 P,过点 A 作 y 轴的平行线,过点 B 作 x 轴的平行线,交于点 N.(如图 2) 则∠ANB=90° ,∠ABN=∠OPB.
A

y

l

1

在△ABN 中,BN=ABcos∠ABN,AN=ABsin∠ABN. ∵在抛物线 C1 随顶点 A 平移的过程中, AB 的长度不变,∠ABN 的大小不变, ∴BN 和 AN 的长度也不变,即点 A 与点 B 的横坐标 的差以及纵坐标的差都保持不变.
- 24 -

O

B

P N

x

y= x2+bx+c

图2

同理,点 C 与点 D 的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变. 由(1)知当点 A 的坐标为 (0, ?2) 时,点 B 的坐标为 ( ?1, ?3) , ∴当点 A 的坐标为 (t , t ? 2) 时,点 B 的坐标为 (t ? 1, t ? 3) . ∵AC∥ x 轴, ∴点 C 的纵坐标为 t ? 2 . ∵点 C 在直线 l2 : y ?
1 2 x 上,

∴点 C 的坐标为 (2t ? 4, t ? 2) . 令 t ? 2 ,则点 C 的坐标为 (0, 0) . ∴抛物线 C2 的解析式为 y ? x .
2

∵点 D 在直线 l2 : y ?

x 上, 2 x ∴设点 D 的坐标为 ( x , ) . 2

1

∵点 D 在抛物线 C2 : y ? x 上,
2



x 2

?x .
2

解得 x ?

1 2

或x ?0.

∵点 C 与点 D 不重合,
1 1 ∴点 D 的坐标为 ( , ) . 2 4 1 1 ∴当点 C 的坐标为 (0, 0) 时,点 D 的坐标为 ( , ) . 2 4

∴当点 C 的坐标为 (2t ? 4, t ? 2) 时,点 D 的坐标为 (2t ? ∵BD⊥AC, ∴ t ? 1 ? 2t ? ∴t ?
5 2 7 2

7

7 ,t ? ) . 2 4

…… 5 分

. …………………………………………… 6 分
15 4

. 或t ? 5 .

② t 的取值范围是 t ?

………………………………… 8 分

说明:设直线 l1 与 l 2 交于点 M.随着点 A 从左向右运动,从点 D 与点 M 重合, 到点 B 与点 M 重合的过程中,以 A,B,C,D 为顶点构成的图形不是 凸四边形.
- 25 -

y
D C M A B

y
l1 l2
l1 l2

A C B M

D

O

x

O

x

4 解:(1)∵抛物线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 2 过点 A(3, 4) ,
2

∴ 9a ? 3(a ? 2) ? 2 ? 4 . 解得 a ? 1 . ∴抛物线的解析式为 y ? x ? x ? 2 . --------------2 分
2

(2)①当 y ? 0 时, x ? x ? 2 ? 0 .
2

∴ x ? ?1 或 2 . ∴抛物线与 x 轴交于点 A( ?1,0) , B(2,0) .-----3 分 当 y ? ?2 时, x ? x ? 2 ? ?2 .
2

∴ x ? 0 或1 . ∴抛物线与直线 y ? ?2 交于点 C (0, ?2) , D(1, ?2) . ∴ C , D 关于直线 y ? ?1 的对称点 C '(0,0) , D '(1,0) .----4 分 ∴根据图象可得 ? 1 ≤ m ≤0 或 1 ≤ m ≤ 2 .----------------5 分 ② k 的取值范围为 k ≥4 或 k ≤ ? 4 .----------------7 分 5.解:(1) ∵ BD 平分 ?ABC , ∴ ?1 ? ? 2 . ∵ AD ∥ BC , ∴ ?2 ? ?3 . ∴ ?1 ? ?3 .---------------1 分 ∴ AB ? AD . ∵ AB ? AC ,

- 26 -

∴ AC ? AD .---------------2 分 (2)①证明:过 A 作 AH ? BC 于点 H . ∴ ?AHB ? 90 .
?

∵ AB ? AC , ?ABC ? ? , ∴ ?ACB ? ?ABC ? ? . ∴ ?BAC ? 180? ? 2? . 由(1)得 AB ? AC =AD . ∴点 B 、 C 、 D 在以 A 为圆心, AB 为半径的圆上. ∴ ?BDC ?

1 ?BAC . 2

∴ ?GDE ? ?BDC ? 90? ? ? .----------3 分 ∵ ?G = ? = ? ? ?ABC , ∴ ?G ? ?GDE ? 90? . ∴ ?DEG ? ?AHB ? 90? . ∴△ DEG ∽△ AHB .------------------4 分 ∵ GD ? 2 AD , AB ? AD , ∴

S ?DEG GD 2 ? =4. S ?AHB BA2

∵ AD ∥ BC , ∴ S?BCD ? S?ABC ? 2S?AHB . ∴ S?DEG ? 2S?BCD .----------------------5 分 ②

S?DEG 2 =k . -------------------------7 分 S?BCD

6.解:(1)△ OBC 为等腰三角形.---------1 分 证明:如图 1,∵ AB ? BC , ∴ ?ABC ? 90? . ∵ ?OBA ? ? , ∴ ?CBO ? 90? ? ? . ∵ ?BCO ? 2? ,
- 27 -

图1

∴ ?BOC ? 90? ? ? ? ?CBO . ∴ BC ? OC . ∴ △ OBC 为等腰三角形.---------------2 分 (2) y 与 x 的函数关系式为 y = -

1 2 x +1.----4 分 4

(3) D 作 DF ^ l 于 F ,DG ? BC 于 G 交直线 OA 过 于H . ∵ C 为抛物线上异于顶点的任意一点,且 BC ? OC , ∴ DO = DF .-------------------------5 分 设 DO = DF = a , BC = OC = b , 则 DF ? AH ? BG ? a , DC ? a ? b . ①当点 C 在 x 轴下方时,如图 2, ∵ OA ? 2 , ∴ OH ? 2 ? a, CG ? b ? a . ∵ OH ∥ CG , ∴△ DOH ∽△ DCG . 图3 ∴ 图2

OH DO ? . CG DC

2?a a ? ∴ b?a a?b .
∴ ab ? a ? b . ∴ CD = CO× DO .------------------------7 分 ② 当 点 C 在 x 轴 上 方 时 , 如 图 3, OH ? a ? 2 , 图 4

CG ? a ? b .同理可证 CD = CO× DO .
③当点 C 在 x 轴上时,如图 4, CO ? DO ? 2 . ∴ CD ? CO ? DO . 综上所述, CD ? CO ? DO .------------------8 分 7.解:(1) ? ? (m ? 2) ? 4(m ?1) ? m .
2 2

∵方程有两个不相等的实数根,

- 28 -

∴ m ? 0 .……………………………………………………………………………1 分 ∵ m ?1 ? 0, ∴m 的取值范围是 m ? 0且m ? 1 .………………………………………………………2 分 (2)证明:令 y ? 0 得, (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 . ∴x ? ∴ x1 ?

? ( m ? 2) ? m 2 ? ( m ? 2) ? m . ? 2(m ? 1) 2(m ? 1)
?m?2?m ?m?2?m 1 . …………………………………4 分 ? ?1 , x2 ? ? 2(m ? 1) 2(m ? 1) m ?1
m ?1

∴抛物线与 x 轴的交点坐标为( ? 1,0 ),( 1 ,0 ). ∴无论 m 取何值,抛物线 y ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 总过定点( ?1, 0 ).……5 分 (3)∵ x ? ?1 是整数 ∴只需 ∵ m 是整数,且 m ? 0且m ? 1 , ∴ m ? 2 .…………………………………………………………………………6 分 当 m ? 2 时,抛物线为 y ? x 2 ? 1 . 把它的图象向右平移 3 个单位长度,得到的抛物线解析式为

1 是整数. m ?1

y ? ( x ? 3) 2 ? 1 ? x 2 ? 6x ? 8 .…………………………………………………7 分
8.解:(1)∵ EF ? EC , ∴ ?AEF ? ?BEC ? 90? . ∵ ?AEF ? ?BEC , ∴ ?BEC ? 45? . ∵ ?B ? 90? ,∴ BE ? BC . ∵ BC ? 3 ,∴ BE ? 3 .…………………2 分 (2)过点 E 作 EG ? CN ,垂足为点 G . ∴ BE ? CG .∵ AB ∥ CN ,∴ ?AEH ? ?N , ?BEC ? ?ECN . ∵ ?AEH ? ?BEC ,∴ ?N ? ?ECN .∴ EN ? EC . ∴ CN ? 2CG ? 2 BE . ∵ BE ? x , DN ? y , CD ? AB ? 4 , ∴ y ? 2 x ? 4 ? 2 ? x ? 3? .…………………4 分

- 29 -

(3)∵矩形 ABCD, ∴ ?BAD ? 90? .∴ ?AFE ? ?AEF ? 90? . ∵ EF ? EC ,∴ ?AEF ? ?CEB ? 90? . ∴ ?AFE ? ?CEB .∴ ?HFE ? ?AEC . 当以点 E,F,H 为顶点的三角形与 ?AEC 相似时, ⅰ)若 ?FHE ? ?EAC , ∵ ?BAD ? ?B , ?AEH ? ?BEC ,∴ ?FHE ? ?ECB .∴ ?EAC ? ?ECB . ∴ tan ?EAC ? tan ?ECB ,∴

BC BE 9 1 .∴ BE ? .∴ DN ? . ? 4 AB BC 2

ⅱ)若 ?FHE ? ?ECA ,如图所示,记 EG 与 AC 交于点 O . ∵ ?AEH ? ?BEC ,∴ ?AHE ? ?BCE . ∴ ?ENC ? ?ECN . ∵ EN ? EC , EG ? CN , ∴ ? ? ?2 . 1 ∵ AH ∥ EG ,∴ ?FHE ? ? .∴ ?FHE ? ?2 . 1 ∴ ?2 ? ?ECA . ∴ EO ? CO . 设 EO ? CO ? 3k ,则 AE ? 4k , AO ? 5k , ∴ AO ? CO ? 8k ? 5 . ∴ k ? ∴ AE ?

5 . 8

5 3 , BE ? . ∴ DN ? 1 . 2 2 1 综上所述,线段 DN 的长为 或 1. 2

………………7 分

9.解:(1)2, 5 ; ………………4 分 (2)当 2 ? m ? 4 时, d ? n (?2 ? n ? 2) ; 当 4 ? m ? 6 时, d ? 2 . ………………6 分 (3) 16+4? . ………………8 分

10. (1)证明:∵△= ? 4 ? m ? ? 4 ?1 ? m ? .……………………………………………… 1 分
2

= m ? 4m ? 12
2

= ? m ? 2 ? ? 8 …………………………………………………………2 分
2

- 30 -

∴△>0. …………………………………………………………………3 分 ∴无论 m 取何值,方程总有两个不相等的实数根. (2)把 x=-3 代入原方程,解得 m=1. …………………………………………………4 分 ∴ y ? x2 ? 3x .

3? 9 ? 即 y ??x? ? ? . 2? 4 ? 3? 9 ? 依题意,可知新的抛物线的解析式为 y ' ? ? x ? ? ? . ………………………5 分 2? 4 ?
即 y ' ? x2 ? 3x ∵抛物线 y ' 与直线 y ? x ? b 只有一个公共点, ∴ x ? 3x ? x ? b ..…………………………………………………………………6 分
2 2

2

2

即 x ? 4x ? b ? 0 . ∵△=0. ∴ ? ?4 ? ? 4 ? ? ? b ? ? 0 .
2

解得 b= -4.

……………………………………………………………………7 分

11. 解:(1)根据题意得

b ? 0 ? 4a ? 2 ? 4 , …………………………………………………………1 分 ? a b 4 0 ?3 6 ? 6 ? ? .

1 ? ?a ? ? 3 , ? 解得 ? ?b ? 4 . ? 3 ?
所以抛物线的解析式为 y ? ? x2 ?

1 3

4 x ? 4 .………………………………2 分 3

(2)如图 1,过点 Q 的对应点 Q ' 作 EF⊥CD 于点 E,交 x 轴于点 F. 设 P(x,y),则 CQ= x,PQ=4- y. 由题意可知 CQ ' = CQ= x, P ' Q ' =PQ=4- y,∠CQP =∠C Q ' P ' =90° . ∴ ?QCQ '? ?CQ ' E ? ?P ' Q ' F ? ?CQ ' E =90° . ∴ ?P ' Q ' F ? ?QCQ ' ? ? .……………………………………………………3 分 又∵cosα=

3 , 5
A

y C E Q P B x

4 3 ∴ EQ ' ? x  FQ ' ? (4 ? y) . , 5 5

Q' O P' F

- 31 -

4 3 ∴ x ? (4 ? y) ? 4 . 5 5

∵ y ? ? x2 ?

1 3

4 x?4, 3

1 整理可得 x 2 ? 4 . 5

∴ x1 ? 2 5 , x2 ? ?2 5 (舍去). ∴ P(2 5,
8 5-8 ) .………………………………………………………………5 分 3

如图 2,过点 Q 的对应点 Q ' 作 EF⊥CD 于点 E,交 x 轴于点 F. 设 P(x,y),则 CQ=- x,PQ=4- y. 可得 ?P ' Q ' F ? ?QCQ ' ? ? .……………………………………………………6 分
Q'

3 又∵cosα= , 5
4 3 ∴ EQ ' ? ? x  FQ ' ? (4 ? y) . , 5 5 4 3 ∴ ? x ? 4 ? (4 ? y) . 5 5
P'

y C D B O x

Q E FA

∵ y ? ? x2 ?

1 3

4 x?4, 3

P

1 整理可得 x 2 ? 4 . 5

∴ x1 ? 2 5 (舍去), x2 ? ?2 5 . ∴ P (?2 5,∴ P(2 5,
8 5+8 ) .……………………………………………………………7 分 3

8 5-8 8 5+8 ). ) 或 P ( ?2 5,3 3

12. 解:(1)证明:如图,作∠GAH=∠EAB 交 GE 于点 H. ∴∠GAB=∠HAE. ………………………………………………………………1 分 ∵∠EAB=∠EGB,∠APE=∠BPG, ∴∠ABG=∠AEH. ∵又 AB=AE, ∴△ABG≌△AEH. ………………2 分 ∴BG=EH,AG=AH.
G F B C P A H E D

- 32 -

∵∠GAH=∠EAB=60° , ∴△AGH 是等边三角形. ∴AG=HG. ∴EG =AG+BG. …………………………………………………………………3 分 (2) EG ? 2 AG sin

?
2

? BG. …………………………………………………………5 分

(3) EG ? 2 AG ? BG. ……………………………………………………………6 分 如图,作∠GAH=∠EAB 交 GE 于点 H. ∴∠GAB=∠HAE. ∵∠EGB=∠EAB=90° , ∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH =180° .
A E G D H

∴∠ABG=∠AEH. ∵又 AB=AE, ∴△ABG≌△AEH. ………………7 分 ∴BG=EH,AG=AH. ∵∠GAH=∠EAB=90° , ∴△AGH 是等腰直角三角形. ∴ 2 AG=HG.
B

F C

∴ EG ? 2 AG ? BG. …………………………………………………………8 分

4 ? 13.(1)证明:△1= b - 4ac ? k - ( k - ) k - 2k ? 14
2 2 2

1 2

7 2

? k 2 - 2k ? 1 ? 13=(k ? 1 2 ? 13 >0 )
∴不论 k 为任何实数,该函数的图象与 x 轴必有两个交点 (2)∵二次函数 y =x ? kx ?
2

-------------1 分

1 7 k - 的图象与 x 轴的两个交点在点(1,0)的两侧, 2 2

且二次函数开口向上 ∴当 x=1 时,函数值 y<0, 即1 ? k ?

1 7 5 k - <0,解得 k< 2 2 3
- 33 -

-----------------------------2 分

∵关于 x 的一元二次方程 k2x2+(2k+3)x+1=0 有两个不相等的实数根

( ) ∴k≠0 且△2= b - 4ac ? 2k ? 3 - 4k =4k +12k ? 9 - 4k =12k ? 9 >0
2 2 2 2 2

3 且 k≠0 4 3 5 ∴ - <k< 且 k≠0 4 3
∴k> ∴k=1 (3)由(2)可知,k=1 ∴x2+2(a+1)x+2a+1=0 解得 x1=-1,x2=-2a-1 根据题意,0<-2a-1<3 ∴ -2<a< -

------------------------------------4 分

--------------------------------5 分

---------------------------------6 分

1 2
-------------------------------7 分

∴a 的整数值为-1.

14(1)AE=BF 且 AE⊥BF. -----------------------------------------------1 分

A
(2)判断:BF=GE. -------------------------------------------------2 分 证明:过点 A 作 AM∥GE 交 BC 于 M ∵EG⊥BF ∴AM⊥BF ∴∠BAM+∠ABF=90° ∵正方形 ABCD ∴AB=BC,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=90° ∴∠CBF+∠ABF=90° ∴∠BAM=∠CBF ∴△ABM≌△BCF ∴AM=BF ∵AM∥GE 且 AD∥BC ∴AM=GE ∴BF=GE (3)①:过点 B 作 BN∥FG,且使 BN=FG

G

D

H B M E

F

C

-------------------------------------------------3 分

-------------------------------------------------4 分

- 34 -

联结 NG、NE ∴四边形 NBFG 是平行四边形 ∴BF=NG,BF∥NG 由(2)可知,BF⊥GE,且 BF=GE ∴NG⊥EG 且 NG=EG ∴△NGE 为等腰直角三角形

A N

G

D

H B E

F

C

由勾股定理得 NE= 2 NG ∴NE= 2 BF. 当点 F 与点 D 不重合,点 E 与点 C 不重合时,N、B、E 三点不共线 此时,在△BEN 中,NB+BE>NE,即 FG+BE> 2 BF. 当点 F 与点 D 重合,点 E 与点 C 重合时,N、B、E 三点共线 此时, NB+BE=NE,即 FG+BE= 2 BF. ②:∵正方形 ABCD ∴∠ADC=90° 以 GF 为直径作⊙P,则点 D 在⊙P 上 ∵∠GHF=90° ∴点 H 也在⊙P 上 ∴∠HGF=∠HDF. ---------------------------------------------7 分 ----------------------------------------------6 分 -------------------------------5 分

A

G P H

D

F

B

E

C

15. 解:(1)∵抛物线的对称轴 x= ?

b 2(m ? 3) ?? =1 2a 2(3 ? m)
2

且抛物线 y ? ?3 - m?x ? 2?m - 3?x ? 4m - m 的最低点 A 的纵坐标是 3
2

∴抛物线的顶点为 A(1,3) ∴ m ? 5m ? 6 ? 0
2

∴m=3 或 m=2, ∵3-m﹥0, ∴ m=2, ∴直线为 y ? 2x ? b ∴抛物线的解析式为: y ? x ? 2x ? 4 --------------------------------2 分
2

-----------------------------1 分

- 35 -

直线 AB 为:y=2x+1; (2)令 x=0,则 y=1, )令 y=0,则 x= ? ∴B(0,1),C(-

----------------------------3 分

1 , 2

1 ,0) 2

将直线 AB 绕 O 点顺时针旋转 900,设 DE 与 BC 交于点 F ∴D(1,0),E(0,

1 ) 2
1 , 2

?CFD ? 900
∴ CD=

-------------------------4 分

∴OB=OD=1

OC=

3 2

CB ?

5 2

BD ? 2
∵ CD ? OB ? CB ? DF ∴ DF ? ∴ BF ?

3 5 5

------------------------5 分

F C

G
B E D

5 5
BF 10 = BD 10
-----------6 分 --------8 分

∴ Sin∠BDE=

(3) N1 (5,1), N2 (?3,1)

16.解:(1)∵拋物线 y ? ?

m ? 4 2 2m ? 7 x ? x ? m2 ? 6m ? 8 经过原点, 8 3

∴m2?6m?8=0.解得 m1=2,m2=4. 由题意知 m?4, ∴m=2.………………………………………………………………………1 分 ∴拋物线的解析式为 y ? (2)∵点 B(-2,n)在拋物线 y ?

1 2 x ? x . ………………………………………2 分 4 1 2 x ? x 上, 4

∴n=3.………………………………………………………………………3 分 ∴B 点的坐标为(–2,3) . ∵直线 l 的解析式为 y ? ?2 x ? b ,直线 l 经过 B 点, ∴ 3 ? ?2 ? ?2? ? b . ∴ b ? 1 .………………………………………………………………………4 分

- 36 -

(3)∵拋物线 y ? ∴拋物线 y ?

1 2 x ? x 的对称轴为直线 x=2,直线 l 的解析式为 y=-2x-1, 4

1 2 x ? x 的对称轴与 x 轴的交点 C 的坐标为(2,0), 4
x=2 G C
O

直线 l 与 y 轴、直线 x=2 的交点坐标分别为 D(0,-1)、E(2,-5). y 过点 B 作 BG⊥直线 x=2 于 G,与 y 轴交于 F. 则 BG=4. 在 Rt△BGC 中, CB ? CG2 ? BG2 ? 5 . ∵CE=5,∴ CB=CE. 过点 E 作 EH⊥y 轴于 H. 则点 H 的坐标为 (0,-5). ∵点 F、D 的坐标为 F(0,3)、D(0,-1), ∴FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90° . ∴△DFB≌△DHE . ∴DB=DE. ∵PB=PE, ∴点 P 在直线 CD 上. ∴符合条件的点 P 是直线 CD 与该抛物线的交点. 设直线 CD 的解析式为 y=kx+a. H B F

A

x

E

? ? a ? ?1, 将 D(0,-1)、C(2,0)代入,得 ? 解得 ? 1 2 k ? a ? 0. ? ?k ? . ? 2
∴ 直线 CD 的解析式为 y ?

?a ? ?1,

1 x ? 1 . …………………………………………5 分 2

1 设点 P 的坐标为(x, x 2 ? x ), 4


1 1 x ? 1 = x2 ? x . 2 4

解得 x1 ? 3 ? 5 , x2 ? 3 ? 5 .

1? 5 , y2 ? 1 ? 5 . 2 2 1? 5 1? 5 ∴点 P 的坐标为( 3 ? 5 , )或( 3 ? 5 , ).…………………7 分 2 2 17.解:(1)线段 AD 与 OM 之间的数量关系是 AD =2OM,位置关系是 AD ? OM .…2 分
∴ y1 ?
- 37 -

(2)(1)的两个结论仍然成立. 证明:如图 2,延长 BO 到 F,使 FO=BO,连结 CF. ∵M 为 BC 中点,O 为 BF 中点,∴MO 为 ?BCF 的中位线. ∴FC =2OM. ………………………………3 分
B

∵∠AOB =∠AOF=∠COD=90° , ∴∠AOD =∠FOC . ∵AO =FO,CO=DO, ∴△AOD≌△FOC. ∴FC=AD. ∴AD =2OM. ………………………………………4 分 ∵MO 为 ?BCF 的中位线,∴MO∥CF . ∴∠MOB =∠F. 又∵ △ AOD ≌ △FOC ,∴ ?DAO = ?F . ∵ ?MOB + ?AOM =90° , ∴ ?DAO + ?AOM =90° . 即 AD ? OM . ……………………………………………………………5 分 (3)(1)中线段 AD 与 OM 之间的数量关系没有发生变化. 证明:如图 3,延长 DC 交 AB 于 E,连结 ME, 过点 E 作 EN ? AD 于 N. ∵OA=OB,OC=OD, ?AOB ? ?COD ? 90 ? ,
M B E

M D C O 图2 A

F

∴ ?A ? ?D ? ?B ? ?BCE ? ?DCO ? 45? .
C

∴AE=DE,BE=CE,∠AED=90° . ∴DN=AN. ∴AD=2NE. ∵M 为 BC 的中点,∴ EM ? BC . ∴四边形 ONEM 是矩形. ∴NE=OM. ∴AD=2OM. ………………………………………………………………7 分 18. 解:(1) 设直线 AC 的解析式为 y ? kx ? b. ∵直线 AC 经过 G(0,6)、C(3,0)两点,
k ? ?2, ∴ ?b ? 6, 解这个方程组,得 ? ? ? b ? 6. ? ?3k ? b ? 0.
- 38 -

D

O

N 图3

A

…………………………1 分

∴直线 AC 的解析式为 y ? ?2 x ? 6 . ……………………………………2 分 (2) 当 x=1 时,y=4. ∴A(1,4). ∵AP=CQ= t, ∴点 P(1,4-t).……………………………………………………………3 分 将 y=4–t 代入 y ? ?2 x ? 6 中,得点 E 的横坐标为 x= 1 ? ∴点 E 到 CD 的距离为 2 ?
1 ? ∴S△CQE= ? t ? ? 2 ? 2 ?

t . 2

t . 2
……………………4 分

t? 1 2 1 2 ? = ? t ? t = ? ? t ? 2 ? ? 1. 2? 4 4

∴当 t=2 时,S△CQE 最大,最大值为 1.……………………………………5 分 (3) 过点 E 作 FM∥DC,交 AD 于 F,交 BC 于 M.
y

当点 H 在点 E 的下方时,连结 CH. ∵ EM ? 4 ? t ,∴ HM ? 4 ? 2t . ∵ OM ? 1 ?
G F E Q H O B M C x

t t ,∴ CM ? 2 ? . 2 2

A P

D

∵四边形 CQEH 为菱形,∴ CH ? CQ ? t . 在 Rt△HMC 中,由勾股定理得 CH 2 ? HM 2 ? CM 2 .
t? 2 ? ∴ t 2 ? ? 4 ? 2t ? ? ? 2 ? ? . 2? ?
2

整理得 13t 2 ? 72t ? 80 ? 0 . 解得 t1 ? ∴当 t ?

20 , t2 ? 4 (舍). 13

20 时,以 C,Q,E,H 为顶点的四边形是菱形. ………………7 分 13

当点 H 在点 E 的上方时,同理可得当 t ? 20 ? 8 5 时. 以 C,Q,E,H 为顶点 的四边形是菱形. ………………………………………………………8 分 ∴ t 的值是 t ?

20 或 t ? 20 ? 8 5 . 13

19. 解:(1) y ? x 2 ? 2x ? m ? (x ? 1) 2 ? m ? 1, 对称轴为x

? ?1……1 分

? 与x 轴有且只有一个公共点,∴顶点的纵坐标为 0.
∴C1 的顶点坐标为(—1,0) ……………2 分

- 39 -

(2)设 C2 的函数关系式为 y

? ( x ? 1) 2 ? k ……………3 分

把 A(—3,0)代入上式得 (?3 ? 1) 2 ? k ? 0, 得k ? ?4, ∴C2 的函数关系式为 y ? ( x ? 1) 2 ? 4. ……………4 分

∵抛物线的对称轴为 x ? ?1, 与x 轴的一个交点为 A(—3,0),由对称性可知,它与 x 轴的另一个交点坐标为(1,0). ……………5 分 (3)n>2 或 n<-4……………7 分

20. 解:(1)当 M 点落在 BD 的中点时,AM+CM 的值最小. ……………………………1 分 (2)如图,连接 CE,当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时,AM+BM+CM 的值最小. 理由如下: ∵M 是正方形 ABCD 对角线上一点 ∴AM=CM 又 AB=BC,BM=BM ∴△ABM≌△CBM ∴∠BAM=∠BCM 又 BE=BA=BC ∴∠BEC=∠BCM ∴∠BEC=∠BAM 在 EC 上取一点 N 使得 EN=AM,连结 BN 又∵EB=AB ∴△BNE≌△ABM……………………3 分 ∴∠EBN=∠ABM,BN=BM 又∵∠EBN+∠NBA=60° ∴∠ABM+∠NBA=60° 即∠NBM=60° ∴△BMN 是等边三角形. ∴BM=MN. ……………………………4 分 ……………………………3 分

- 40 -

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM. 根据―两点之间线段最短‖,得 EN+MN+CM=EC 最短 ∴当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时,AM+BM+CM 的值最小,即等于 EC 的长. ……………………………5 分 (3)过 E 点作 EF⊥BC 交 CB 的延长线于 F ∴∠EBF=90° -60° =30° 设正方形的边长为 x,则 BF= 在 Rt△EFC 中, ∵EF2+FC2=EC2, ∴(
x 2 3 ) +( x+x)2= 2 2

x 3 x,EF= ……………………………6 分 2 2

? 3 ? 1? .
2

解得,x= 2 (舍去负值). ∴正方形的边长为 2 .……………………………7 分 21.解:(1)b=-2 c=-3 B(4,5) ……………………2 分

(2∵直线 AB 经过点 A(-1,0) ∴直线 AB 的解析式为:y=x+1 ∵二次函数 y ? x2 ? 2 x ? 3

∴设点 E(t, t+1) ……………………3 分
2 则 F(t, t ? 2t ? 3 )

∴EF= (t ? 1) ? (t ? 2t ? 3)
2
2 = ?(t ? ) ?

3 2

25 4

3 25 时,EF 的最大值= ……………………4 分 2 4 3 5 ∴点 E 的坐标为( , ) ……………………5 分 2 2
∴当 t ?
2 (3 )ⅰ)过点 E 作 a⊥EF 交抛物线于点 P,设点 P(m, m ? 2m ? 3 )

2 则有: m ? 2m ? 3 ?

5 2

解得: m1 ?

2- 26 2 ? 26 , m2 ? 2 2

- 41 -

∴ p1 (

2- 26 5 , ), 2 2

p2 (

2 ? 26 5 , ) 2 2

ⅱ)过点 F 作 b⊥EF 交抛物线于 P ,设 P (n, n 2 ? 2n ? 3 ) 3 3 则有: n2 ? 2n ? 3 ? ? 15 4 ∴ P( ,- 3 解得: n1 ?

1 3 , n2 ? (与点 F 重合,舍去) 2 2

1 2

15 ) 4 1 15 2 ? 26 5 2- 26 5 . , ) P ( ,- ) 能 , ) , p2 ( 3 ( 2 4 2 2 2 2

综上所述:所有点 P 的坐标: p1 (

使△EFP 组成以 EF 为直角边的直角三角形.……………………8 分

22 .解: (1)A(1,0),B(3,0),C(0,3),顶点坐标(2,﹣1).…………2 分 (2)①二次函数 L2 与 L1 有关图象的两条相同的性质: (i)对称轴为 x=2 或顶点的横坐标为 2, (ii)都经过 A(1,0),B(3,0)两点; …………………4 分

②线段 EF 的长度不会发生变化. …………………………………5 分 ∵直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E、F 两点, ∴kx2﹣4kx+3k=8k, ∵k≠0,∴x2﹣4x+3=8, 解得:x1=﹣1,x2=5, ∴EF=x2﹣x1=6, …………………………………………………7 分

∴线段 EF 的长度不会发生变化.

- 42 -

- 43 -

24 解: (1)∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=AD=CD=BC=5,sinB=sin?ADC= ; 在 Rt△OCD 中, OC=CD?sinD=4. ∴ OD=3; ∴OA=AD﹣OD=2, ∴ A(﹣2,0) 、B(﹣5,4) 、C(0,4) 、D(3,0) ; 设抛物线的解析式为:y=a(x+2) (x﹣3) , 得:2× (﹣3)a=4, ∴a=﹣ ; ∴抛物线:y=﹣ x2+ x+4.…………………………………………………2 分 (2)由 A(﹣2,0) 、B(﹣5,4)得直线 AB:y1=﹣ x﹣ ; 由(1)得:y2=﹣ x2+ x+4,则:



解得:





由图可知:当 y1<y2 时,﹣2<x< 5.…………………………………………5 分 (3)∵S△APE= AE?h, ∴当 P 到直线 AB 的距离最远时,S△ABC 最大; 若设直线 L∥AB,则直线 L 与抛物线有且只有一个交点时,该交点 为点 P; 设直线 L:y=﹣ x+b,当直线 L 与抛物线有且只有一个交点时,

- 44 -

﹣ x+b=﹣ x2+ x+4,且△=0; 求得:b= ,即直线 L:y=﹣ x+ ;

可得点 P( , ) . 由(2)得:E(5,﹣ 则点 F( ) ,则直线 PE:y=﹣ ; × ( + )= . .……………………8 分 x+9;

,0) ,AF=OA+OF=

∴△PAE 的最大值:S△PAE=S△PAF+S△AEF= ×

综上所述,当 P( , )时,△PAE 的面积最大,为

25、(1)证明: ? ? b2 ? 4ac ? (m ? 2)2 ? 4(m ? 3) ? m2 ? 8m ? 16 ? (m ? 4)2 ? 0 ,----------分 ∴此方程总有两个实数根. ------------------------- 2 分

1

(2)解:抛物线 y ? x2 ? (m ? 2) x ? m ? 3 与 y 轴交点为 M(0, m ? 3 ).---------------------3 分 抛物线与 x 轴的交点为(1,0)和( m ? 3 ,0),它们关于直线 y ? ?x 的对称点分别为 (0, ?1 )和 (0, 3 ? m ).-----------------5 分 由题意,可得:
?1 ? m ? 3或m ? 3 ? 3 ? m ,即 m=2 或 m=3. -------------------------7 分

26 解:(1) ① 猜想: AE 2 ? CF 2 ? EF 2 .-------------------------1 分 ② 成立. ------------------------2 分

A

O

证明:连结 OB. ∵AB=BC , ∠ABC=90° 点为 AC 的中点, ,O ∴ OB ?
1 ,∠ABO=∠BCO=45° . AC ? OC ,∠BOC=90° 2

B E

C

F

- 45 -

∵∠EOF=90° ,∴∠EOB=∠FOC. 又∵∠EBO=∠FCO, ∴△OEB≌△OFC(ASA).∴BE=CF. -------------------------3 分 又∵BA=BC, ∴AE=BF.

2 2 在 RtΔEBF 中, ∵∠EBF=90° ? B F2 ? B E ? E F.? AE 2 ? CF 2 ? EF 2 . -------------------------4 ,

分 (2)解:如图,过点 O 作 OM⊥AB 于 M,ON⊥BC 于 N. ∵∠B=90° ∴∠MON=90° , . ∵∠EOF=90° , ∴∠EOM=∠FON. ∵∠EMO=∠FNO=90° ,∴△OME∽△ONF. -------------------------5 分 ∴ OM ? OE
ON OF

A M E O

∵△AOM 和△OCN 为等腰直角三角形, ∴△AOM∽△OCN ∴ OM ? AO .
ON
3

OC

∵ AO ? 1 , ∴ OE ? 1 .
AC 4
OF

-------------------------7 分

B N

F

C

( 27.解:(1)依题意得: B 2, ) .
∵OC=2,CE=

3 2

3 3 . ,∴ E ( ? 2, ) 2 2

∵抛物线经过原点和点 B、E,∴设抛物线的解析式为 y ? ax2 (a ? 0) .

( ∵抛物线经过点 B 2, ) ,∴

3 2

3 3 ? 4 a .解得:a= . 8 2

3 ∴抛物线的解析式为 y ? x 2 .-------------------------2 分 8

(2) P (

64 512 3 或( , ) P 1,) .-------------------------4 分 9 27 8

(3)存在. 因为线段 M ?B ? 和 CD 的长是定值,所以要使四边形 M ?B?CD 的周长最短,只要使

M ?D ? CB? 最短.如果将抛物线向右平移,显然有 M′D+CB′>MD+CB,因此不存在某个
3 位置,使四边形 M′B′CD 的周长最短, 显然应该将抛物线 y ? x 2 向左平移. 8

由题知 M (?4,6) .

-------------------------5 分

y 8 6 4 B′′ B′

M′ 3 设抛物线向左平移了 n 个单位,则点 M ? 和 B′的坐标分别为 M′(-4-n,6)和 B′(2-n, ). 2

- 46 -

2 2 4 x

D C -4 -2 O -2 -4

3 因为 CD=2,因此将点 B′向左平移 2 个单位得 B′′(-n, ). 2

D 要使 M ? ? CB? 最短,只要使 M ?D +DB′′最短.
点 M′关于 x 轴对称点的坐标为 M′′(-4-n,-6). 设直线 M′′B′′的解析式 y ? kx ? b , 点 D 应在直线 M′′B′′上, ∴直线 M′′B′′的解析式为 y ?
15 15 x ? .----------------6 分 8 2

3 16 将 B′′(-n, )代入,求得 n ? .--------------7 分 5 2 16 故将抛物线向左平移 个单位时,四边形 M′B′CD 的周长最短,此时抛物线的解析式 5



3 16 y ? ( x ? )2 . -------------------------8 分 8 5

28.解: (1)? 抛物线 y ? ? x 2 ? ax ? b 过点 A(-1,0),B(3,0)

??1 ? a ? b ? 0 ?? ??9a ? 3a ? b ? 0
解得: ?

?a ? 2 ?b ? 3
2

∴抛物线的解析式为 y ? ? x ? 2 x ? 3

4) 顶点 D(1,
函数 y ?

k ( x ? 0 , m 是常数)图象经过 D(1, , 4) x

? k ? 4 .………………………………………………………………… 2 分
(2)①设 G 点的坐标为 ? m, ? , 据题意,可得 E 点的坐标为 ? 1, ? ,F 点的坐标为 ? 0, ? ,

? ?

4? m?

? 4? ? m?

? ?

4? m?

? m ? 1 ,? FG ? m , DE ? 4 ?
由 △DFG 的面积为 4,即

4 . m

1 ? 4? ? 4? m ? 4 ? ? ? 4 ,得 m ? 3 ,? 点 G 的坐标为 ? 3, ? . 2 ? m? ? 3?
………………………………………… 3 分

- 47 -

②直线 FC 和 DG 平行.理由如下:

方法 1:利用相似三角形的性质. 据题意,点 C 的坐标为 (1 0) , FE ? 1 , ,

? m ? 1 ,易得 EC ?

4 4 , EG ? m ? 1 , DE ? 4 ? m m

?

GE m 1 ? DE ? ? m ? 1, ? EF 1 CE GE DE ? . EF CE

4?

4 m

4 m ? m ?1 .

?

? ?D E G ? ? F E C
∴△ DEG ∽△ FEC

? ? D G ? ?E C F E
? FC / / DG
方法 2:利用正切值. ……………………………………… 5 分

, 据题意,点 C 的坐标为 (1 0) , FE ? 1 ,
? m ? 1 ,易得 EC ?

4 , EG ? m ? 1 , m

?

GE m1 ? m FE 1 m ? ? , ? ? . ? tan ?EDG ? tan ?ECF DE 4 ? 4 4 CE 4 4 m m

? ? D G ? ?E C F E
? FC / / DG .
③解:方法 1:

? F C∥ D G ? 当 FD ? CG 时,有两种情况: ,
当 FD ∥ CG 时,四边形 DFCG 是平行四边形, 由上题得,

GE DE ? m ? 1 ,? m ? 1 ? 1 ,得 m ? 2 . ? EF CE

? 点 G 的坐标是(2,2).
设直线 DG 的函数解析式为 y ? kx ? b ,把点 D,G 的坐标代入, 得?

?4 ? k ? b, ?k ? ?2, 解得 ? ?b ? 6. ?2 ? 2k ? b

? 直线 AB 的函数解析式是 y ? ?2 x ? 6 .……………………………… 6 分

- 48 -

当 FD 与 CG 所在直线不平行时,四边形 ADCB 是等腰梯形, 则 DC ? FG ,? m ? 4 ,? 点 G 的坐标是(4,1). 设直线 AB 的函数解析式为 y ? kx ? b ,把点 D,G 的坐标代入, 得?

?4 ? k ? b, ?k ? ?1, 解得 ? ?1 ? 4k ? b. ?b ? 5

? 直线 AB 的函数解析式是 y ? ? x ? 5 .……………………………… 7 分
综上所述,所求直线 DG 的函数解析式是 y ? ?2 x ? 6 或 y ? ? x ? 5 . 方法 2. 在 Rt⊿DFE 中, FE ? 1 , DE ? 4 ?

4 m

? FD 2 ? FE 2 ? DE 2 ? 12 ? (4 ?
在 Rt⊿GEC 中, EC ?

4 2 ) m

4 , EG ? m ? 1 , m

4 ? CG 2 ? EC 2 ? EG 2 ? ( ) 2 ? (m ? 1) 2 m
? FD ? CG

? FD2 ? CG 2

?12 ? (4 ?

4 2 4 ) ? ( ) 2 ? (m ? 1) 2 m m

解方程得: m ? 2 或 m ? 4 当 m ? 2 时,点 G 的坐标是(2,2). 设直线 DG 的函数解析式为 y ? kx ? b ,把点 D,G 的坐标代入, 得?

?4 ? k ? b, ?k ? ?2, 解得 ? ?b ? 6. ?2 ? 2k ? b

? 直线 AB 的函数解析式是 y ? ?2 x ? 6 .
当 m ? 4 时,? 点 G 的坐标是(4,1). 设直线 AB 的函数解析式为 y ? kx ? b ,把点 D,G 的坐标代入, 得?

?4 ? k ? b, ?k ? ?1, 解得 ? ?1 ? 4k ? b. ?b ? 5

? 直线 AB 的函数解析式是 y ? ? x ? 5 .
综上所述,所求直线 DG 的函数解析式是 y ? ?2 x ? 6 或 y ? ? x ? 5 .

注:不同解法酌情给分

- 49 -

29. 解:(1) S四边形DCC D =
1 1

1 ? (1 ? 5) ? 2 =6;…………………………1 分 2
……………………2 分 D ……………………3 分
M D1 C1 B1
O

(2)

CD1 4 = ; DD1 3

C

(3) CC1 ? DD1 .

证明:连接 CO, DO, C1O, D1O ,延长

A1 B

CC1 交 DD1 于 M 点.如图所示:……4 分
由正方形的性质可知:
A

CO ? DO, C1O ? D1O

?COD ? ?C1OD1 ? 45?
C ? O ? ?C O D? ? 1 O D ?1 C O D ?1 C, D 1 ?
即: ?COC1 ? ?DOD1

?△ COC1 ≌△ DOD1 ………………………………………5 分
??ODD1 ? ?OCC1

? ?C1CD ? ?OCC1 ? ?CDO ? 90?
??C1CD ? ?ODD1 ? ?CDO ? 90?
??CMD ? 90?
即: CC1 ? DD1 . ………………………………………7 分

30.解:(1)抛物线 C1 的解析式为 y ? ?( x ? 0)( x ? 4) ? ? x 2 ? 4 x ; 图中阴影部分的面积与△ POQ 的面积相同, S?POQ ? ∴阴影部分的面积为 8.

1 ?8? 2 ? 8 . 2

…………………………………… 2 分

(2)由题意可知,抛物线 C1 只存在两个内接直角三角形. 当点 C 在抛物线 C1 上运动时线段 EF 的长度不会发生变化. 证明: ∵ MN 为⊙ D 的直径, EF ? MN ∴ BE ? BF , ?OBN ? ?MBF ? ?MBA ? 90 ∵ ?MAB ? ?CNM , ∴△ ABM ∽△ NBO ∴
?

MB AB ? , MB ? NB ? AB ? BO ? 5 BO NB
- 50 -

连接 FM , FN , ?MFN ? 90 ,在△ MBF 和△ FBN 中,
?

?BMF ? ?BFN , ?MBF ? ?FBN ? 90?
∴△ MBF ∽△ FBN ∴ …………………………………… 6 分

BF BM ? BN BF

2 ∴ BF ? MB ? NB ? 5 , BF ? 5

∴ EF ? 2 5 .

…………………………………… 8 分

31.解:(1)由 y ?

1 2 1 x ? x =0,得 x1 ? 0 , x2 ? 1 . 2 2

∴抛物线与 x 轴的交点坐标为(0,0)、( 1 ,0). ············ 分 ··········· · ·········· · 2 (2)当 a=1 时,得 A(1,0)、B(2,1)、C(3,3), ··········· 3 分 ··········· ·········· · 分别过点 B、C 作 x 轴的垂线,垂足分别为 E、F,则有
y
C B O A E F

S ?ABC = S△AFC - S△AEB - S 梯形BEFC
=

1 (个单位面积)…………………………………4 分 2

x

(3)如: y3 ? 3( y2 ? y1 ) . ∵ y1 ?

1 2 1 1 1 1 1 2 ? a ? ? a ? a 2 ? a , y2 ? ? ? 2 a ? ? ? ? 2 a ? ? 2 a 2 ? a , 2 2 2 2 2 2 1 1 9 3 2 y3 ? ? ? 3a ? ? ? ? 3a ? ? a 2 ? a , 2 2 2 2

又∵3( y 2 ? y1 )= 3 ?? =

1 1 ?? ?? 1 2 ? ?1 ? ? 2a ? ? ? ? 2a ? ? ? ? a 2 ? a ?? 2 2 ?? ? ?2 ?? 2

9 2 3 a ? a . ··········· ··········· 5 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· · 2 2

∴ y3 ? 3( y2 ? y1 ) . ···························· 6 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······· 32.(1)解:如图 1,当 x=

3 时,设 AC 与 HE 交与点 P. 5

A H P

G

由已知易得∠ABC=∠HEC=90° . ∴tan∠PCE = tan∠ACB.

B E
- 51 -

C F

l

图1

PE AB ? ? 2. EC BC 6 ∴PE= . …………………………………… 1 分 5 1 1 6 3 9 ∴ y ? ? EP ? CE ? ? ? ? . …………… 2 分 2 2 5 5 25
∴ (2)如图 2,作 DK⊥AG 于点 K.
B

A

K D (H)

G

F C E l

∵CD=CE=DE=2, ∴△CDE 是等边三角形. ………………………… 3 分 ∴∠CDE=60° . ∴∠ADG=360° 2 90° 60° =120° . ∵AD=DG=1, ∴∠DAG=∠DGA=30°. ∴DK= ………………… 4 分
图2

1 1 DG= . 2 2 1 . 2
……………………………………………………5 分
A H G D N C E F l

∴点 D 到 AG 的距离为 (3)如图 3, ∵α=45° , ∴∠NCE=∠NEC=45° . ∴∠CNE=90° . ∴∠DNH=90° . ∵∠D=∠H=90° ,

M

B

图3

∴四边形 MHND 是矩形. ∵CN=NE,CD=HE. ∴DN=NH. ∴矩形 MHND 是正方形.

………………6 分

……………………………………………… 7 分

0) 33.解:(1)? 圆心 O1 的坐标为 (2, , ? O1 半径为 1, ? A(1, , B(3, . ………………………………………………1 分 0) 0)

? 二次函数 y ? ? x2 ? bx ? c 的图象经过点 A,B ,
??1 ? b ? c ? 0 ? 可得方程组 ? ??9 ? 3b ? c ? 0
- 52 -

解得: ?

?b ? 4 . ?c ? ?3

··········· ········· ·········· ·········· ? 二次函数解析式为 y ? ? x2 ? 4 x ? 3 ···················· 2 分 (2)如图,过点 M 作 MF ? x 轴,垂足为 F .

? OM 是 ? O1 的切线, M 为切点,

y M

?O1M ? OM .
在 Rt△OO1M 中, sin ?O1OM ?

O1M 1 ? , OO1 2

O

A

F O1

B

x

? ?O1OM 为锐角,
··········· ······· 4 ·········· ········ ??O1OM ? 30? ··················· 分

? OM ? OO1 ?cos 30? ? 2 ?

3 ? 3, 2
?

在 Rt△MOF 中, OF ? OM ? 30 ? 3 ? cos

3 3 ? , 2 2

1 3 . MF ? OM ? 30? ? 3 ? ? sin 2 2
?3 3? ·········· ··········· ········ ? 点 M 坐标为 ? , ? ······························ 分 ? 2 2 ? ··········· ·········· ········ 5 ? ?
设切线 OM 的函数解析式为 y ? kx(k ? 0) ,由题意可知

3 3 ? k, 2 2

?k ?

3 . 3 3 x ······················6 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· 3

? 切线 OM 的函数解析式为 y ?
(3)存在.

①如图,过点 A 作 AP ? x 轴于 A,与 OM 交于点 P . 1 1 可得 Rt△APO ∽ Rt△MO1O . 1

y P1 M

P2 O

H A

O1

B

x

P A ? OA?tan ?AOP ? tan 30? ? 1 1

3 , 3

- 53 -

? 3? ? P ? 1, ? . ·································· 7 分 ·········· ··········· ··········· ·· 1? ? ··········· ·········· ··········· ·· ? 3 ?
②过点 A 作 AP ? OM ,垂足为 P ,过 P 点作 P H ? OA ,垂足为 H . 2 2 2 2 可得 Rt△AP O ∽ Rt△O1MO . 2 在 Rt△OP A 中, OA ? 1 , 2

?OP2 ? OA? cos30? ?

3 . 2 3 3 3 ? ? , 2 2 4 3 1 3 , ? ? 2 2 4

在 Rt△OP H 中, OH ? OP2 ? ?AOP2 ? cos 2

P2 H ? OP2 ? ?AOP2 ? sin

?3 3? ? P2 ? , ? . ··································9 分 ·········· ··········· ··········· · ? 4 4 ? ··········· ·········· ··········· ·· ? ?
综上所述,符合条件的 P 点坐标有 ? 1,

? ? ?

3? ?3 3? ? ,? , ?. 3 ? ?4 4 ? ? ? ?

34. (1)△= (m ? 2) 2 ? 4(m ? 1) ?m2 ∵方程有两个不相等的实数根, ∴m ? 0. ∵ m ?1 ? 0, ∴m 的取值范围是 m ? 0, 且m ? 1 .………………2 分 (2)证明:令 y ? 0 得, (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 . ∴x ?

? (m ? 2) ? m 2 ? (m ? 2) ? m . ? 2(m ? 1) 2(m ? 1)

- 54 -

∴ x1 ?

?m?2?m ?m?2?m 1 . ……………4 分 ? ?1 , x2 ? ? 2(m ? 1) 2(m ? 1) m ?1
m ?1

∴抛物线与 x 轴的交点坐标为( ? 1,0 ),( 1 ,0 ), ∴无论 m 取何值, 抛物线 y ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 总过定点 ? 1,0 ) ………5 分 ( . (3)∵ x ? ?1 是整数 ∴只需

1 是整数. m ?1

∵ m 是整数,且 m ? 0, m ? 1 , ∴m ? 2. ………………………………………………………6 分
2

当 m ? 2 时,抛物线为 y ? x ? 1 . 把它的图象向右平移 3 个单位长度,得到的抛物线解析式为

y ? ( x ? 3) 2 ? 1 ? x 2 ? 6x ? 8 .
35. (1)BD=CF 成立.

…………………7 分

理由:∵△ABC 是等腰直角三角形,四边形 ADEF 是正方形, ∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90° , ∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC,∠CAF=∠DAF﹣∠DAC, ∴∠BAD=∠CAF, 在△BAD 和△CAF 中,

∴△BAD≌△CAF(SAS) . ∴BD=CF.…………………………………2 分 (2)①证明:设 BG 交 AC 于点 M. ∵△BAD≌△CAF(已证) , ∴∠ABM=∠GCM. ∵∠BMA=∠CMG, ∴△BMA∽△CMG. ∴∠BGC=∠BAC=90° . ∴BD⊥CF………………………………4 分 ②过点 F 作 FN⊥AC 于点 N.

- 55 -

∵在正方形 ADEF 中,AD=DE= ∴AE= =2,



∴AN=FN= AE=1. ∵在等腰直角△ABC 中,AB=4, ∴CN=AC﹣AN=3,BC= ∴在 Rt△FCN 中,tan∠FCN= ∴在 Rt△ABM 中,tan∠ABM= ∴AM= AB= . ∴CM=AC﹣AM=4﹣ = , BM= = .…………………………5 分 =4 = . =tan∠FCN= . .

∵△BMA∽△CMG, ∴ .

∴ ∴CG=

. .………………………………………………………6 分 = .………………………………7 分

∴在 Rt△BGC 中,BG= 36.(1)当 m=2,n=2 时,

如题图 1,线段 BC 与线段 OA 的距离等于平行线之间的距离,即为 2; 当 m=5,n=2 时, B 点坐标为(5,2),线段 BC 与线段 OA 的距离,即为线段 AB 的长, 如答图 1,过点 B 作 BN⊥x 轴于点 N,则 AN=1,BN=2, 在 Rt△ABN 中,由勾股定理得:AB=

AN 2 ? BN 2 ? 12 ? 22 = 5 …2 分

(2)如答图 2 所示,当点 B 落在⊙A 上时,m 的取值范围为 2≤m≤6: 当 4≤m≤6,显然线段 BC 与线段 OA 的距离等于⊙A 半径,即 d=2; 当 2≤m<4 时,作 BN⊥x 轴于点 N,线段 BC 与线段 OA 的距离等于 BN

- 56 -

长, ON=m,AN=OA-ON=4-m,在 Rt△ABN 中,由勾股定理得:
2 2 2 ∴d= 2 ? (4 ? m) = 4 ?16 ? 8m ? m = ?m ? 8m ?12 .………4 分

(3)①依题意画出图形,点 M 的运动轨迹如答图 3 中粗体实线 所示:由图可见,封闭图形由上下两段长度为 8 的线段, 以及左右两侧半 径为 2 的半圆所组成,其周长为: 2× 8+2× 2=16+4π, π× ∴点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长为: 16+4π. …5 分

②结论:存在. ∵m≥0,n≥0,∴点 M 位于第一象限. ∵A(4,0),D(0,2),∴OA=2OD. 如图 4 所示,相似三角形有三种情形: (I)△AM1H1,此时点 M 纵坐标为 2,点 H 在 A 点左侧. 如图,OH1=m+2,M1H1=2,AH1=OA-OH1=2-m, 由相似关系可知,M1H1=2AH1,即 2=2(2-m), ∴m=1;………………………………………………6 分 (II)△AM2H2,此时点 M 纵坐标为 2,点 H 在 A 点右侧. 如图,OH2=m+2,M2H2=2,AH2=OH2-OA=m-2, 由相似关系可知,M2H2=2AH2,即 2=2(m-2), ∴m=3;………………………………………………………7 分 (III)△AM3H3,此时点 B 落在⊙A 上. 如图,OH3=m+2,AH3=OH3-OA=m-2, 过点 B 作 BN⊥x 轴于点 N,则 BN=M3H3=n,AN=m-4, 由相似关系可知,AH3=2M3H3,即 m-2=2n (1) 在 Rt△ABN 中,由勾股定理得:22=(m-4)2+n2 (2) 由(1)、(2)式解得:m1=

26 ,m2=2, 5

当 m=2 时,点 M 与点 A 横坐标相同,点 H 与点 A 重合,故舍去,

- 57 -

∴m=

26 .……………………………………………………………………8 分 5

综上所述,存在 m 的值使以 A、M、H 为顶点的三角形与△AOD 相似,m 的取值为: 1、3 或

26 . 5

37.解:(1)∵△= m2 ? 4 ? 3 ? (?2) ? m2 ? 24 , ∴无论 m 为任何实数,都有 ? ? m ? 24 ? 0 ………………………… 1 分
2

∴抛物线与 x 轴总有两个交点.

…………………………………… 2 分

(2)由题意可知:抛物线 y ? 3x2 ? mx ? 2 的开口向上,与 y 轴交于(0,-2)点, ∵方程 3x ? mx ? 2 ? 0 的两根在-1 与
2

4 之间, 3

∴当 x=-1 和 x ?

4 时, y ? 0 . 3
………………………………………… 4 分

?3 ? m ? 2 ? 0, ? 即 ?16 4 ? 3 ? 3 m ? 2 ? 0. ?
解得

?

5 ?m ? . 1 2

………………………………………… 5 分

因为 m 为整数,所以 m=-2,-1,0 . 当 m=-2 时, 方程的判别式△=28,根为无理数,不合题意. 当 m=-1 时, 方程的判别式△=25,根为 x1 ? 1 , x2 ? ?

2 ,符合题意. 3

当 m=0 时, 方程的判别式△=24,根为无理数,不合题意. 综上所述 m=-1 . (3)n 的取值范围是 ………………………………………… 6 分

11 ? n ? 3 .………………………………… 7 分 12

38.
- 58 -

(1) AC ? BD, AC ? BD ; ………………………………………… 2 分 (2) 仍然成立. 证明: 过点 A 作 AE ? MN 于 E ,过点 B 作 BF ? MN 于 F ∴ ?AEO ? ?BFO ? 90? ∵ ?AOE ? ?BOF , AO ? OB ∴ ?AOE ≌ ?BOF ∴ AE ? BF ………………………………………… 3 分

∵ ?ACN ? ?BDN ? 45? ∴ AC ? 2 AE, BD ? 2BF ∴ AC ? BD ………………………………………… 4 分

延长 AC 与 DB 的延长线相交点 H ∴ ?DCH ? ?ACN ? 45? 又∵ ?BDN ? 45? ∴ ?CHD ? 90? ∴ AC ? BD ………………………………………… 5 分

(3) 过点 A 作 AE ? MN 于 E ,过点 B 作 BF ? MN 于 F 易证 ?AOE ∽ ?BOF ∴

AE AO ? . BF OB AO 1 ? . OB k

………………………………………… 6 分

∵ OB ? kAO , ∴

由(2)知 AC ? 2 AE, BD ? 2BF .

- 59 -

AC 2 AE AE 1 .………………………………………7 分 ? ? ? BD 2BF BF k
39. 解:(1)由 AC ? BC ,可知此抛物线的对称轴是 y 轴,即 b ? 0 所以 C(0, c), B( 4c,0)

1 ? OB ? OC ? 8 ,得 c ? 4 2 1 2 抛物线解析式为 y ? ? x ? 4 …………………………………………2 分 4
由 S ?OBC ? (2)由(1)得 C (0, 4), B(4,0) 所以 ?ACB ? 2?OCB ? 2 ? 45? ? 90? 在 ?ADC 和 ?BFC 中 ………………………………3 分

?ACD ? 90? ? ?DCB ? ?BCF , AC ? BC, DC ? FC
所以 ?ADC ≌ ?BFC 所以 ?FBC ? ?CAD ? 45? 所以 ?ABF ? ?ABC ? ?CBF ? 90? 所以 BF ? AB (3)作 EM ? x 轴,交 x 于点 M 易证 ?ODC ≌ ?DME 所以 DM ? OC ? 4 , OD ? EM 又因为 OD ? OB ? BD ? 4 ? BD ? DM ? BD ? BM 所以 BM ? EM 因为 ?EMB ? 90? 所以 ?MBE ? ?MEB ? 45? (4)由(3)知,点 E 在定直线上 当 D 点沿 x 轴正方向移动到点 B 时, 点 E 所走过的路线长等于 BC ? 4 2 ………………………………8 分 …………………………………………7 分 …………………………………………5 分 ………………………………………… 4 分

- 60 -


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