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2009届安徽省皖南八校高三第二次联考-数学理


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安徽省皖南八校 2009 届高三第二次联考理科数学
南京考一教育研究所命制 考生注意: 考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答题前,请考生务必将答题纸左侧密封线内的项目填写

清楚。请考生按规定用笔将所有 试题的答案涂、写在答题纸上,在试题卷上作答无效。 参考公式 宣城二中承办 2008.12

第Ⅰ卷 (选择题

共 6 0 分)

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的。 有一项是符合题目要求的。 1.若

1 + 2i ,则 = a + b i ( a, b ∈ R, i 是虚数单位) a b 等于 1 2i 1 7 A. 7 B. 1 C. D. 5 5

2.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班 50 名学生的高 校招生体检表中视力情况进行统计, 其结果的频率分布直方 图如右图:若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上,则 该班学生中能报 A 专业的人数为 A.10 B.20 C.8 D.16

3.已知集合 S = {x | 的充要条件是 D. 0 < a ≤ 1

x2 < 0}, T = {x | x 2 (2a + 1) x + a 2 + a ≥ 0}( a ∈ R ) ,则 S ∪ T = R x
B. 1 < a ≤ 1 C. 0 ≤ a ≤ 1

A. 1 ≤ a ≤ 1

4.若 (1 x ) n = 1 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + + x n ( n ∈ N + ) ,且 a1 : a3 = 1: 7 ,则 a5 等于 A.56 5.若 B. 56 C.35 D. 35



π

2 0

(sin x a cos x)dx = 2 ,则实数 a 等于
B.1 C. 3 D. 3

A. 1

6.已知奇函数 f ( x ) 的定义域为 R ,当 x > 0 时, f ( x ) = lg x ,则不等式 xf ( x ) ≤ 0 的解集

为 A. [(1, 0) ∪ (0,1)] C. (∞, 1] ∪ [1, ∞ ) B. [ 1,1] D. ( ∞, 1] ∪ {0} ∪ [1, ∞ )

7.某几何体的三视图如图所示,根据图中数据,可得该几何体 的体积是 A. 3 2 + 3 B. 2 + 3 3 C. 2 2 3 3 D. 3 2 2 3 8. 在棱长为 a 的正方体 ABCD A1 B1C1 D1 内任取一点 P , 则点 P 到点 A 的距离小于等于 a

的概率为 A.

2 2

B.

2 π 2

C.

1 6

D. π

1 6

9.若向量 a = (sin( a + A.

π
6

),1), b = (4, 4 cos a 3) ,若 a ⊥ b ,则 sin(α +
B.

4π ) 等于 3 1 4

3 4

3 4

C.

1 4

D.

10.极坐标方程 ρ cos θ = 2 sin 2θ 表示的曲线为 A.一条射线和一个圆 C.一条直线和一个圆 B.两条直线 D.一个圆

11. 已知曲线 C : y = 2 x 2 x 3 , p (0, 4) , 点 直线 l 过点 P 且与曲线 C 相切于点 Q , 则点 Q 的横坐标为 A. 1 B.1 C. 2 D.2

x 1 ≤ 0 12.已知 P ( x, y ) 满足 2 x + 3 y 5 ≤ 0, 点 Q ( x, y ) 在圆 ( x + 2) 2 ( y + 2) 2 = 1 ,则 | PQ | 的 4 x + 3 y 1 ≥ 0,
最大值与最小值分别为 A.6,3 B.5,3 C.6,2 D.5,2

第Ⅱ卷 (非选择题

共 9 0 分)

小题。 把答案填在题中的横线上。 二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 4 分,共 l6 分。把答案填在题中的横线上。 填空题: 13.曲线

x = 2 cos θ , π 0 ∈ [0, ] 的普通方程为 2 y = 1 2sin θ .



14.若数列 {an } 的前 n 项 ( n ≥ 5) 由如图所示的流程图输出 依次给出,则 a5 = .

15.在计算“ 1 × 2 + 2 × 3 + + n ( n 1) ”时,某同学学 到了如下一种方法:先改写第 k 项:

1 k ( k + 1) = [ k ( k + 1)( k + 2) ( k 1) k ( k + 1)] ,由此得 3 1 1× 2 = (1× 2 × 3 0 × 1× 2) , 3 1 2 × 3 = (2 × 3 × 4 1× 2 × 3) . 3 1 n( n 1) = [ n( n + 1)( n + 2) ( n 1) n( n 1)] 3 1 相加,得 1× 2 2 × 3 + + n( n 1) = n( n + 1)(n + 2) . 3
类比上述方法,请你计算“ 1 × 3 + 2 × 4 + + n ( n + 2) ” ,其结果写成关于 n 的一次因式的 积的形式为 16.已知双曲线 .

x2 y2 = 1(a > 1, b > 0) 的焦距为 2c ,离心率为 e ,若点 ( 1, 0) 与 (1, 0) 到 a 2 b2


直线

x y 4 = 1 的距离之和 S ≥ c ,则 e 的取值范澍是 a b 5

小题, 解答应写出必要的文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 解答题: 骤。 17. (本小题满分 1 2 分) 三角形的三内角 A , B , C 所对边的长分别为 a , b , c ,设向量

m = (c a, b a ), n = (a + b, c ) ,若 m / / n ,
(1)求角 B 的大小; (2)求 sin A + sin C 的取值范围.

18. (本小题满分 1 2 分) 甲有一个放有 3 个红球、2 个白球、1 个黄球共 6 个球的箱子,乙也有一个放有 3 个红 球、2 个白球、1 个黄球共 6 个球的箱子. (1)若甲在自己的箱子里任意取球,取后不放回,每次只取一球,直到取得红球为止, 求甲取球次数 ξ 的数学期望; (2)若甲、乙两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色,规定同色时为甲胜,异色时 为乙胜,这个游戏规则公平吗?请说明理由.

19. (本小题满分 12 分) 乙知四棱台 ABCD A1 B1C1 D1 (如图)中,底面 ABCD 是正方形,且 DD1 ⊥ 底面

ABCD , AB = 2 A1 B1 = 2 DD1 = 2a .
(1)求异面直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值; (2)试在平面 ADD1 A1 中确定一个点 F ,使得 FB ⊥ 平面

BCC1 B1 ;
(3)求二面角 F CC1 B 的余弦值( F 满足(2). )

20. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,公差 d ≠ 0, a1 = 1 ,且 a1 , a2 , a7 成等比数列. (1)求数列 {an } 的前 n 项和公式 S n ; (2) bn = 设

2Sn 64bn , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 求证: Tn 9bn 1 + 18 > 2 ( n > 1) . 2n 1 ( n + 9)bn +1

21. (本小题满分 12 分) 如图,椭圆 C :

x2 y2 = 1(a > b > 0), A1 , A2 为椭圆 C 的左、右顶点. a2 b2

(1)设 F1 为椭圆 C 的左焦点,证明:当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的左、右顶点 时, | PF1 | 取得最小值与最大值; (2)若椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小 值为 l,求椭圆 C 的标准方程; (3)若直线 l : y = kx + m 与(2)中所述椭圆 C 相交 于 A 、 B 两点( A 、 B 不是左右顶点) ,且满是 AA2 ⊥ BA2 ,求证:直线 l 过定点,并求出 该定点坐标.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = ln x

a , x

(1)当 a > 0 时,判断 f ( x ) 在定义域上的单调性; (2)若 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为

3 ,求 a 的值; 2

(3)若 f ( x) < x 2 在 (1, +∞ ) 上恒成立,求 a 的取值范围.

皖南八校 2009 届高三第二次联考数学试卷 参考答案、解析及评分细则
1.D l1.A
2

2.B 12.C
2

3.C

4.B

5.A

6.B

7.B

8.D

9.C

10.C

13. x + ( y 1) = 4(0 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ 3) 14.15 15.

1 n( n 1)(2n + 7) 6

16. [

5 , 5] 2

提示: 1.D

1 + 2i (1 + 2i) 2 3 4i 3 4 7 = = , a = ,b = , a b = . 1 2i (1 2i)(1 + 2i) 5 5 5 5
视力住 0.9 以上的频率为 (1 + 0.75 + .025) × 0.2 = 0.4 ,人数为 0.4 × 50 = 20 .

2.B 3.C

S = ( x | 0 < x < 2) ,且 T = {x | x ≥ a 1或x ≤ a},
若 S ∪ T = R ,则 a ≥ 0 且 a + 1 ≤ 2 0 ≤ a ≤ 1 反之,若 0 ≤ a ≤ 1 ,则 S ∪ T = R

4.B

3 a2 = Cn2 , a3 = Cn ,由 a2 : a3 = 1: 7, ,得 n = 8 .

a5 = C85 = C83 = 56 .

5.A



π

π
(sin x a cos x)dx ( cos x a sin x) 2 = a + 1 = 2, a = 1 . 0

2 0

6.B

lg x, x > 0 f ( x) = 0, x = 0 lg( x), x < 0

当 x > 0 时, xf ( x ) = x lg x ,由 x lg x ≤ 0 得 0 < x ≤ 1 ; 当 x = 0 时, xf ( x ) = 0 ;

当 x < 0 时, xf ( x ) = xlg ( x ) ,由 x lg( x) ≤ 0得 1 ≤ x < 0 . 7.B 该几何体是上面是正四棱锥,下面为正方体,体积为

1 V = ( 3)3 + × ( 3) 2 × 2 = 3 3 + 2 . 3 1 4 3 × πa π P = 8 33 8.D = . a 6
9.C

∵ a ⊥ b,∴ a b = 0, ,

∴ 4sin(a + ) + 4 cos a 3 = 0 , 6
∴ sin a cos

π

π
6

+ cos a sin

π
6

+ cos a =

3 , 4

1 3 1 ∴ sin a + cos a = , 2 2 4

π 1 4π π 1 ∴ sin( a + ) ,∴ sin( a + ) = sin( a + ) = . 3 4 3 3 4
10.C

ρ cos θ = 4sin θ cos θ , cos θ = 0, 或ρ -4sinθ ,即ρ cosθ =0,或ρ 2 = 4 ρ sin θ ,

即 x = 0 ,或 x 2 + y 2 = 4 y . 1l.A
2 3 y′ = 4 x 3 x 2 , 设 Q ( x0 , 2 x0 x0 ), .

2 3 2 则 l 方程为 y 2 x0 + x0 = (4 x0 3 x0 )( x x0 ) . 2 3 2 ∵ l 过点 P (0, 4),∴ 4 2 x0 + x0 = (4 x0 3 x0 )(0 x0 ) 4 2 ∴ x0 x0 + 2 = 0 , 3 2 ∴ x0 + 1 ( x0 1) = 0 , 2 ∴ ( x0 + 1)( x0 2 x0 + 2) = 0 ,

∴ x0 = 1 .
12.C 画出平面区域 ABC , A(1,1), B (1, 1), C ( 2,3) , 圆 ( x + 2) 2 + ( y + 2) 2 = 1 的圆心 M ( 2, 2) ,半径为 l,

| PM | 的最大值为 | MC |= 5,| PM | 的最小值为

| 8 6 1| = 3 .∴| PQ | 的最大值为 5 + 1 = 6 ,最小值为 3 1 = 2 5
13. x + ( y 1) = 4(0 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ 3), x ( y 1) = 4 .
2 2 2 2

∵0 ≤ θ ≤
14.15

π
2

,∴ 0 ≤ cos θ ≤ 1, 0 ≤ sin θ ≤ 1, ,

∴ 0 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ 3 .

i = 1, a2 = 1, i = 2, a2 = 1 + 2 = 3; i = 3, a3 = 3 + 3 = 6; ;

i = 4, a4 6 + 4 = 10 ; i = 5, a5 10 + 5 = 15 .
15.

1 1 n(n 1)(2n 7) ∵ k (k + 2) = [k (k + 2)(k 4) (k 2)k (k 2)] 6 6

∴1× 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + 4 × 6 + 5 × 7 + 6 × 8 + + n( n + 2)

1 = [1× 3 × 5 (1) × 1× 3 + 2 × 4 × 6 0 × 2 × 4 + 3 × 5 × 7 1× 3 × 5 + 4 × 6 × 8 6

2× 4× 6 + 5× 7
+ n(n + 2)( n + 4) ( n 2) n( n + 2)]

×9 3 × 5 × 7 + 6 × 8 ×10 4 × 6 × 8 +

1 = [(1) × 1× 3 0 × 2 × 4 + (n 1)(n + 1)(n + 3) + n(n + 2)(n + 4)] 6 1 1 = (2n3 + 9n 2 + 7 n) = n(n + 1)(2n + 7) . 6 6
5 | b ab | | b ab | 2ab 4 2c 2 5b 2 16. [ , 5]∵ S = + = ≥ c,∴ 2c ≤ 5ab,∴ 2 ≤ . 2 c 5 a a a2 + b2 a2 + b2

b c2 a 2 = e 2 1, 又 = 2 a a
∴ 2e2 ≤ 5 e 2 1,∴ 4e 4 ≤ 25(e 2 1)
5 5 ∴ 4e 4 25e 2 + 25 ≤ 0,∴ ≤ e 2 ≤ 5,∴ ≤ e ≤ 5. 4 2
17.解: (1)∵ m / / n,∴ c (c a ) (b a )( a + b ) , (2 分)

a2 + c2 b2 ∴ c ac = b a ,∴ = 1. ac
2 2 2

(4 分)

由余弦定理,得 cos B =

1 π ,B = . 2 3

(6 分)

(2)∵ A + B + C = π ,∴ A + C =

∴ sin A + sin C = sin A + sin(

2π 2π 2π A) = sin A + sin cos A cos sin A (9 分) 3 3 3
(10 分)

2π , 3

(7 分)

3 3 π = sin A + cos A = 3 sin( A + ) 2 2 6
∵0 < A <

2π π π 5π ,∴ < A + < 3 6 6 6

(11 分)

1 π 3 ∴ < sin( A + ) ≤ 1,∴ < sin A + sin C ≤ 3 2 6 2
18.解: (1) ξ 的可能取值为 l,2,3,4.

(12 分)

3 1 3× 3 3 3× 2 × 3 3 = ; P (ξ 2) = = ; p (ξ = 3) = = ; 6 2 6 × 5 10 6 × 5 × 4 20 3 × 2 × 1× 3 1 (4 分) P (ξ = 4) = = 6 × 5 × 4 × 3 20 1 3 3 1 7 ∴甲取球次数 ξ 的数学期望 Eξ = 1× + 2 × + 3× + 4 × = . (6 分) 2 10 20 20 4 P (ξ = 1) =
(2)由题意,两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色
2 2 共有 C6 C6 = 36 (种)不同情形,

(8 分)

每种情形都是等可能,记甲获胜为事件 A,则
1 1 1 1 1 C3 C32 + C2 C2 + C3 C2 7 1 = < , P( A) = 18 2 C62 C62

(11 分) (12 分)

所以甲获胜的概率小于乙获胜的概率,这个游戏规则不公平 19.解:以 D 为原点, DA 、 DC 、 DD1 所在的直线为

x , y , z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 D (0, 0, 0), A(2a, 0, 0), B1 ( a, a, a ), D1 (0, 0, a ), B (2a , 2 a , 0),

C (0, 2a, 0), C1 (0, a, a )
(1)∵ AB1 = (a, a, a), DD1 = (0, 0, a), ,

(3 分)

∴ cos AB1 , DD1 ) =

AB1 DD1 a2 3 = = , 3 AB1 DD1 3a 2 a 2
3 3
(6 分)

即直线 AB1 与 DD1 所成角的余角的余弦值为

(2)设 F ( x, 0, z ),∵ BB = (a, a, a), BC = (2a,0, 0), FB1 = (a x, a1 , a z ), 由 FB1 ⊥ 平面 BCC1 B1 得

FB1 BB1 = 0, FB1 BC = 0,


a(a x) a 2 + a(a z ) = 0 即 2a(a x) = 0
∴ F ( a, 0, 0) ,即 F 为 DA 的中点.

x = a, z = 0,
(9 分)

(3)由(2)知 FB2 为平面 BCC1 B1 的法向量. 设 n = ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 FCC1 的法向量,

CC = (0, a, a ), FC = ( a, 2a, 0)


n CC1 = 0, n FC = 0,



ay1 + az1 = 0 ax1 + 2ay1 = 0

令 y1 = 1 得 x1 = 2, z1 = 1 ,

∴ n = (2,1,1), cos n, FB1

n FB1 a+a 3 , = = | n || FB1 | 3 6 2a 2
3 3
(12 分)

即二面角 F CC1 B 的余弦值为 (非向量解法参照给分)

2 20. (1)解:∵ a1 , a2 , a7 成等比数列,∴ a2 = a1 a7 ,即 ( a1 + d ) 2 = a1 ( a1 + 6d )

又 a1 = 1, d ≠ 0,∴ d = 4 ,

(3 分) (5 分) (6 分)

n( n 1) d = n + 2n( n 1) = 2n 2 n. 2 2Sn 2n(2n 1) (2)证明: ∵ bn = = = 2n . 2n 1 2n 1 ∴ S n = na1 + ∴{bn } 是首项为 2,公差为 2 的等差数列, ∴Tn = n(2 + 2n) = n2 + n 2

(7 分)

∴ 2Tn 9bn 1 + 18 = 2n 2 + 2n 18( n 1) + 18 = 2n 2 16n + 36 = 2( n 2 8n + 16) + 4 = 2( n 4) 2 + 4 ≥ 4 (当且仅当 n = 4 时取

“=”. )



(9 分)

64bn 64 × 2n 64n 64 64 = = 2 = ≤ = 4. (n + 9)bn +1 (n + 9) × 2(n 1) n + 10n + 9 n + 9 + 10 6 + 10 n 9 当且仅当 n 即 n = 3 时取“=” . ② n
分) 又①②中等号不可能同时取到,∴ 2Tn 9bn 1 + 18 >

(11

64bn ( n > 1). (12 分) ( n + 9)bn +1

21.解: (1)设 f ( x) =| PF1 | = ( x + c) + y =
2 2 2

c2 2 x + 2cx + a 2 . 2 a
(2

对称轴方程 x = 分)

a2 a2 .由题意 ≤ a 恒成立, c c

∴ f ( x ) 在区间 [ a, a ] 上单凋递增,

(3 分)

∴当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的左、 右顶点时 | PF1 | 取得最小值与最大值. (4 分) (注:这里用椭圆第二定义根简单直观) (2)由已知与(1)得: a + c = 3, a c = 1 ,

∴ a 2, c 1,∴ b 2 a 2 c 2 = 3 , x2 y 2 ∴椭圆的标准方程为 + = 1. 4 3

(5 分)

(6 分)

y = kx + m, (3)设 A( x2 , y2 ), B ( x2 , y2 ) ,联立 x 2 y 2 = 1, + 3 4
得 (3 + 4k 2 ) x 2 + 8mkx + 4( m 2 3) = 0 . (7 分)

△= 64m2 k 2 16(3 + 4k 2 )(m2 3) > 0, 即3 + 4k 2 m 2 0 8mk 则 x1 + x2 = , 3 + 4k 2 4(m2 3) x1 x2 = . 3 + 4k 2
又 y1 y2 = (kx2 + m)( kx2 + m) k x1 x2 + mk ( x1 x2 ) + m =
2 2

3(m 2 4k 2 ) , 分) (8 3 4k 2

∵椭圆的右顶点为 A2 (2, 0), AA2 ⊥ BA2 , ,

∴ ( x2 2)( x2 2) + y1 y2 = 0, ∴ y1 y2 + x1 x2 2( x1 + x2 ) + 4 = 0, ∴ 3(m 2 4k 2 ) 4(m 2 3) 16mk + + + 4 = 0, 3 4k 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2
(9 分) (10 分)

∴ 7 m 2 + 16mk + 4k 2 = 0,
解得: m1 = 2k , m2 =

2k ,且均满足 3 + 4 k 2 m 2 > 0 , 7

当 m1 = 2k 时, l 的方程为 y = k ( x 2) ,直线过定点(2,0) ,与已知矛盾.

2k 2 2 时, l 的方程为 y = k ( x ) ,直线过定点( ,0) , (11 分) 7 7 7 2 ∴直线 l 过定点,定点坐标为( ,0) . (12 分) 7 1 a x+a 22,解: (1)由题意: f ( x ) 的定义域为 (0, +∞ ) ,且 f ′( x ) = + 2 = . x x x2
当 m2 =

∵ a > 0,∴ f ′( x ) > 0 ,故 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上是单调递增函数.
(2)由(1)可知: f ′( x ) =

(2 分)

x+a x2

① 若 a ≥ 1 ,则 x + a ≥ 0 ,即 f ′( x ) ≥ 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上 为增函数,

∴[ f ( x )]min = f (1) = a =

3 3 . ,∴ a = (舍去) 2 2

(4 分)

② 若 a ≤ e ,则 x + a ≤ 0 ,即 f ′( x ) ≤ 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上 为减函数,

∴[ f ( x)]min = f (e) = 1

a 3 e . = a = (舍去) e 2 2

(6 分)

③ 若 e < a < 1 ,令 f ′( x ) = 0 得 x = a , 当 1 < x < a 时, f ′( x ) < 0,∴ f ( x ) 在 (1, a ) 上为减函数, 当 a < x < e 时, f ′( x ) > 0,∴ f ( x ) 在 ( a , e) 上为增函数,

∴[ f ( x)]min = f ( a ) = ln( a ) + 1 =
综上可知: a = e . (3)∵ f ( x ) < x 2 ,∴ ln x

3 a= e 2

(9 分) (10 分)

a < x2 . x
(11 分)

又 x > 0,∴ a > x ln x x 2 令 g ( x) = x ln x x , h( x) = g ′( x) 1 + ln x 3 x , h′( x) =
3 2

1 1 6 x2 6x = , x x

∵ h( x ) 在 [1, +∞ ) 上是减函数,∴ h( x ) < h(1) = 2 ,即 g ′( x) < 0 , ∴ g ( x ) 在 [1, +∞ ) 上也是减函数,∴ g ( x ) < g (1) = 1 .
令 a ≥ 1 得 a > g ( x ) ,∴当 f ( x) < x 2 在 (1, +∞ ) 恒成立时, a ≥ 1 . (14 分)

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皖南八校2009届高三第二次联考理科数学2008.12.26

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