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数列的函数特性


旧知回顾: 按照一定顺序排成的一列数, 数列中的每一个数叫做数列的 项 1、重复性 确定性 2、有序性 3、

数列的概念

数列的特点
数列的通项公式 数列与函数的关系

an=f(n),项数与项之间的函数 关系 数列可以看作定义域为正整数 集(或它的有限子集),的函 数,项数是自变量,项是项数 所对应的函

数值。

数列的分类: 有穷数列 按项数分 无穷数列 按照数列的每一项随序号变化的情况分: 递增数列 从第2项 起,每一 项都大于 它的前一 项即 an+1>an 递减数列 从第2项 起,每一 项都小于 它的前一 项即 an+1<an 常数列 各项都 相等

摆动数列 从第2项起, 有些项大于 它的前一项, 有些项小于 它的前一项

国民生产总值 2500
国民生产总值

2000 1500 1000 500 0 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 年份 国民生产总值

1 1/5 1 4/5 3/5 2/5 1/5 0 0 2 4 6 8 系列1

1200 1000 800 600 400 200 0 0 5 10 15

递增数列

例如:1996~2002年某市普通高中生人数(单 位:万人) 82,93,105,119,129,130,132.

递减数列

目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数 列(单位:元) 100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2, 0.1,0.05,0.02,0.01.

常数数列

无穷多个3构成数列 3,3,3,3,3, … .

摆动数列

-1的1次幂, 2次幂, 3次幂, 4次幂 成数列 -1,1,-1,1, … .



数列的对应关系
1 a1 2 a2 3 a3 … … n an … …

x y

从映射的观点看,数列可以看作是:序号到 数列项的映 射; 从函数的观点看,数列项是序号的函数。 数列是一种特殊的函数。
我们把它看作以正整数集(或它的有限子集)为定义域 的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,都 有唯一一个函数值与其对应。

数列是一种特殊的函数
反过来,对于函数 y=f(x),如果f(i) (i=1,2,3, …) 有意义 ,那么我们可以得到一个数列

f (1), f (2), f (3),
a1 = f(1) =16

f (n )

例如:函数y=7x+9,当x依次取1,2,3, …时, 其函数值构成的数列有什么特点?

a2 = f(2) =23
a3 = f(3) =30

a4 = f(4) =37

函数与数列的比较

函数 定义域 解析式 图 像 R或R的子集

数列(特殊的函数)
N+或它的有限子集 an=f(n) 一些离散的点的集合

y=f(x)
点的集合

数列的表示
例1、已知数列{an}的通项公式为an=2n-1 ,用列表 的形式写出这个数列的前5项,并作出图象.

解: n an =2n-1 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9

an
10 9 8

y=2x-1 an=2n-1

7
6 5 4 3 2 1

O

特 点:数列的图象是一群孤立的点。

n 数列的图象有何特点?
1 2 3 4 5 6 7

列 表 法

数列的表示方法

图 像 法

通项公式法

应用示例
例3 判断下列无穷数列的增减性

(1)2,1,0, ?1, 3 ? n, 1 2 3 n (2) , , , , , 2 3 4 n ?1
解: (1)设
n?1

a

n

? 3 ? n 那么

a ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? n a ? a ? (2 ? n) ? (3 ? n) ? ?1 所以 a ? a ,因此数列 {a n}是递减数列。
n?1 n
n?1 n

例4 作出数列

1 1 1 1 1 n ? , , ? , , , (? ) , 2 4 8 16 2



图像,并分析数列的增减性。
1 2

1 4

3
1 ? 4
?

5

O
1 2

1 2

4

n

小结:
数列与函数的关系: 数列可以看作定义域为正整数集(或它的有限 子集),的函数,项数是自变量,项是项数所 对应的函数值。

数列的表示方法: 列表法,图像法,通项公式法。


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