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1.4 生活中的优化问题举例

时间:2012-10-22


1.4生活中的 优化问题举例
高二数学 选修2-2

第三章

导数及其应用

一、如何判断函数函数的单调性?
设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导, f(x)为增函数 f(x)为减函数

二、如何求函数的极值与最值?
求函数极值的一般步骤
(1)确定定义

域 (2)求导数f’(x)

(3)求f’(x)=0的根 (4)列表 (5)判断

求f(x)在闭区间[a,b] 上的最值的步骤:

(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值; (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b) 比较,从而确定函数的最值。

生活中经常遇到求利润最大、 用料最省、效率最高等问题,这 些问题通常称为优化问题.通过前 面的学习,我们知道,导数是求 函数最大(小)值的有力工具, 本节我们运用导数,解决一些生 活中的 优化问题.

例1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴 的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各 空2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的 尺寸,才能使四周空白面积最小?

x

分析:已知版心的面 积,你能否设计出版心 的高,求出版心的宽, 从而列出海报四周的面 积来?

图3.4-1

解 : 设 版 心 的 高 为 xd m , 则 版 心 的 宽 为

128 x

dm , 此 时 四 周 空 白 面 积 为

S ( x ) ? ( x ? 4 )( ? 2x ?

128 x

? 2) ? 128
你还有其他解法 吗?例如用基本 不等式行不?

512 x

? 8, x ? 0
512 x
?0
2

求 导 数 ,得 S ( x) ? 2 ?
'

令 : S (x) ? 2 ?
'

512 x
2

解 得 : x ? 16, x ? ? 16 舍 ) (

128 128 于是宽为: ? ?8 x 16

当 x ? ? 0,16 ? 时 , s

'

? x ? ? 0;

当 x ? ? 16, ?? ? 时 , s ? x ? ? 0.
'

因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点。所以, 当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最 小。

解法二:由解法(一)得
S (x) ? 2 x ? 512 x ? 8 ? 2 2x ? 512 x ?8

? 2 ? 32 ? 8 ? 72
当 且 仅 当 2x ? 512 x , 即 x ? 1 6 ( x ? 0 )时 S 取 最 小 值

此 时 y=

128 16

?8

答 : 应 使 用 版 心 宽 为 8 dm, 长 为16 dm, 四 周 空 白 面 积 最 小

问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
? 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗? ? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本 是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出售1ml的 饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为 6cm,(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的 利润最大? (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?

解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是 ∴每瓶饮料的利润:
y ? f (r ) ? 0.2 ? 4 3

p r ? 0.8p r
3

2

= 0.8π (

r

3

-r )
2

2

令f ' ( r ) = 0.8π r - 2r ) ? 0,得r = 2 (

3

(0 ? r ? 6)

r f '(r) f (r)

(0,2)

减函数↘

2 0 -1.07p

(2,6]

+
增函数↗

当半径r>2时,f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增, 即半径越大,利润越高; 当半径r<2时,f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减, 即半径越大,利润越低.

1.半径为2cm 时,利润最小,这时 f ( 2 ) ? 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值 2.半径为6cm时,利润最大

y

f ( r ) ? 0 . 8p (

r

3

?r )
2

从图中,你 还能看出什 么吗?
o

3

2

3

r

从图中可以看出: 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0, 2、当半径为6cm时,利润最大。

问题3、磁盘的最大存储量问题 (1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的 吗? (2) 你知道磁盘的结构吗? (3)如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息?

例3:现有一张半径为R的磁盘, 它的存储区是半径介于r与R的 环行区域。 (1)是不是r越小,磁盘的存

R r

储量越大? (2) r为多少时,磁盘具有最大存储量

(最外面的磁道不存储任何信息)?

解:存储量=磁道数×每磁道的比特数
设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽 度必须大于m,且最外面的磁道不存储人何信息,所以

磁道最多可达

R?r m

,

又由于每条磁道上的比特数相

同,为获得最大的存储量,最内一条磁道必须装满,即 2p r .所以,磁道总存储量 每条磁道上的比特数可达到
R ? r 2p r 2p r f ?r ? ? ? ? r ? R ? r ?. m n mn
n

(1)它是一个关于r的二次函数,从函数的解析式上可 以判断,不是r越小,磁盘的存储量越大.

(2)为求 f ? x ? 的最大值,计算 f ? r ? ? 0 ,
'

f

'

?r ? ?
'

2p mn

?R

? r ?,



f

?r ? ?
r ? R 2

0

解得
当r ? R 2 时, f
r ?
'

?r ? ?

0;当 r ?

R 2

时, f

'

?r ? ?

0,

因此,当

R 2

时,磁道具有最大的存储量,最大
2

存储量为 p R

.

2 mn

由上述例子,我们不难发现,解决优化问题的 基本思路是:
优化问题 用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过 程。

练习:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去
相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成 一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱 子容积最大?最大容积是多少?
x
x x
60

x

60

解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令V ? ( x ) ? 60 x ? 16000.
3 2 x ? 0 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=
2

由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,16000是最大值.

答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.

练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 的高与底半径,使得所用材料最省? 解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2. 又V=πR2h(定值),
? S ( R ) ? 2p R ?
由 S ?( R ) ? ? 则h ? V

h R

pR 2
2

. ? 2p R .
2

V

pR
2

2

? 2p R

?

2V R

2V R

? 4p R ? 0 .

解得 R ?

3

V 2p

.

从而 h ?

V

pR

2

? 2?

3

V 2p

即h=2R.

可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点. 答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.

练习3 如图,在二次函数 y 2的图象与x轴所 f(x)=4x-x 围成的图形中有一个内接 矩形ABCD,求这 个矩形的 最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
2 S ? ( x ) ? 6 x ? 24 x ? 16 .

令 S ?( x ) ? 0
2 3 3

,得x 1 ? 2 ?
?

2 3

? x 1 ? ( 0 , 2 ),

所以当
2

x ? 2?

时, S ( x ) max

3 32 3

, x2 ? 2 ?

2 3 3

.

.

因此当点B为( 2 ?

2 3

9

, 0 ) 时,矩形的最大面积是

32 9

3

.

例4:
如图,铁路线上AB段长100km, 工厂C到铁路的距离CA=20km. 现在要在AB上某一处D,向C修 B D 一条公路.已知铁路每吨千米与 公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?

C

A

解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 20 2 ? x 2 ? 2 400 ? x km. 又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千 米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂 C的总运费为
y ? 5t ? CD ? 3t ? BD ? 5t ( 0 ≤ x ≤ 1 0 0 ).
1答案

400 ? x

2

? 3 t (1 0 0 ? x )

解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 20 2 ? x 2 2 400 ? x km. 又设铁路上每吨千米的运费为3t元, 则公路上每吨千米的运费为5t元. B D 这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为
2

?

C

A

y ? 5 t ? C D ? 3 t ? B D ? 5 t 400 ? x ? 3 t (100 ? x )(0 ≤ x ≤ 100 ).

令y ? ? t (

5x 400 ? x
2

? 3) ? 0 ,在 0 ≤ x ≤ 100 的范围内有唯一解x=15.

所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.
注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.

C 已知:某商品生产成本C与产量q的函数关系式为 ? 100 ? 4 q , 价格p与产量q的函数关系式为 p ? 2 5 ? 1 q

求产量 q 为何值时,利润 L 最大?
解 : 利 润 L ? pq ? C ? (25 ?
? L'? ? 1 4 q ? 2 1, 令 L ' ? 0 ,

8
1 8 q ? 2 1q ? 1 0 0
2

1 8

q ) q ? (1 0 0 ? 4 q ) ? ?
求 得 q ? 84

当 L ' ? 0 时 ,q ? 8 4 ,

当 L ' ? 0 时 ,q ? 8 4 ,

? 当 产 量 q为 84时 , 利 润 L最 大
另 解 : 利 润 L ? pq ? C ? (25 ? 1 8 q ) q ? (1 0 0 ? 4 q )? ?
1 8
2

q ? 2 1q ? 1 0

当q ? ?

b 2a

?

21 1 4

? 8 4 时 , L的 值 最 大

(课本第37页B组第1题)
某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的 定价为180元时,房间会全部住满;房间的单价每 增加10元,就会有一个房间空闲.如果游客居住房 间,宾馆每天每间需花费20元的各种维修费.房间 定价多少时,宾馆的利润最大? 解:设宾馆定价为(180+10x)元时,宾馆的利润W最大
W ? (180 ? 10 x )( 50 ? x ) ? ( 50 ? x ) ? 20

? ? 10 x ? 340 x ? 8000 令 W ' ( x ) ? 0 , 求得 x ? 17
2

当 W ' ( x ) ? 0 时 , x ? 17;当 W ' ( x ) ? 0 时 , x ? 17

180 ( ? x ? 1 7, 利 W 最 大 房 价 : ? 10 ? 17 ? 350 元 )

练习5:证明不等式:
证:设 则
f ( x ) ? ln x ? f ?( x ) ? 1 x ? 1 x 1 x
2

ln x ?
2

1 x

?

1 2

( x ? 1) ? 1 ?
2

2 3

( 1 ? x ) ( x ? 0 ).
3

?

1 2

( x ? 1) ?

2 3

( x ? 1 ) ( x ? 0 ).
3 2 3

? ( x ? 1) ? 2( x ? 1) ? ( x ? 1) ?

2x ? 1 x
2

,

令 f ? ( x ) ? 0 ,结合x>0得x=1.
而0<x<1时, f ? ( x ) ? 0 ;x>1时, f ? ( x ) ? 0 ,所以x=1是f(x)的 极小值点. 所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.

从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
? 1? 2 3 (1 ? x )
3

ln x ?

1 x

?

1 2

( x ? 1)

2

成立.


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