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江西省丰城中学2016届高三上学期数学周练试题(理科重点班1.12)

时间:2016-07-13


丰城中学 2015-2016 学年上学期高三周练试卷



学 (理科尖子,重点班)

命题:熊安生 审题:高三理科数学组 2016.1.12 卷前寄语:计算能力历来是高考重点的考查方向。本卷试题量不多但有一定的 计算量,希望同学们认真仔细计算,不讨论不抄袭,把试卷完成。完成时间标 准:选填 35 分钟左右,两大题 35 分钟左右。 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1 . 设 全 集 U ?? ?, A ? B ? U , A ? (CU B) ? ?1,2?, (CU A) ? B ? ?3,4? 则 满 足 123456

A? B
A.2

的子集的个数是 B.4 ) C. 6 D.8

( B



2.下列命题错误的是( A

b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为钝角. A. 若向量 a, b 满足 a ?
B.若命题 p : ?x0 ? R, x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2

? ?

? ?

?

?

C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件; D. 命题“若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为“若 x, y 中至少有一个不为 0,
2 2

则 x ? y ? 0 ”;
2 2

3.已知 z∈C,满足不等式 z z ? iz ? i z ? 0 的点 Z 的集合用阴影表示为

( C



A.

B.

C.

D.

4. 函数 f ( x) ? mx 2 ? (m ? 3) x ? 1的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧, 则实数 m 的取值范围为( A. ?0, ? ?? B ) C. ?0,1? D. (0,1) B. ???,1?

1 当 m ? 0 时, f ( x ) ? ?3x ? 1,其图象与x轴交点为( , 0) 满足题意 3

当m ? 0时,再分m ? 0,m ? 0两种情形,由题意得
? ?m ? 0 ?m ? 0 ? ? 或? 解得 0 ? m ? 1或m ? 0 1 ?? ? 0 x1 x 2 ? ? 0 ? m?3 ? m ? ?? ?0 ? 2m

综上可知, m ? 0或m ? 0或0 ? m ? 1, m ? 1 故选(B)
5.若直线 y ? kx ? 1 与曲线 x ? A. ? 2 ? k ? ?1 C. 1 ? k ?

y 2 ? 1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是 ( A
B. ? 2 ? k ? 2 D. k ? ? 2 或 k ?



2

2

6. 已知圆锥的母线为 l, 轴截面顶角为 ? , 则过此圆锥的顶点的截面面积的最大 值为( D ) 1 A. l 2 ? sin ? 2 C. l 2 sin ?
1 2 l 2

B.

D. 以上均不对

1 当 ? ? 90? 时,最大截面就是轴截面,其面积为 l 2 sin ? ; 2 1 当 ? ? 90? 时,最大截面是两母线夹角为 90 ? 的截面,其面积为 l 2 2 1 2 1 2 可见,最大截面积为 l 或 l sin ? ,故选(D) 2 2
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

7. 若圆柱的侧面展开图是边长为 4 和 2 的矩形, 则圆柱的体积是___

8

?



4

?

___.

8. 与 圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 相 切 , 且 在 两 坐 标 轴 上 截 距 相 等 的 直 线 方 程 为 ____________。 y ? 3x或y ? ? 3x或x ? y ? (2 ? 2 ) ? 0或x ? y ? (2 ? 2 ) ? 0
x2 y2 x2 y2 9.过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线, 垂足恰好落在曲线 2+ 2 a b b a =1 上,则双曲线的离心率为________.[答案] [ 解析 ] 2

b 不妨设双曲线的一个焦点为 (c,0) , (c>0) ,一条渐近线方程为 y = x ,由 a

?y-0=-b?x-c? ? b ?y=ax

a

a2 ab x2 y2 a4 a2b2 得垂足的坐标为( , ),把此点坐标代入方程 2+ 2=1,得 2 2+ 2 2 c c b a bc ac

c =1,化简,并由 c2=a2+b2 得 a=b,∴e= = 2. a x2 y2 → → 10. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0), A(2,0)为长轴的一个端点, 弦 BC 过椭圆的中心 O, 且AC· BC a b → → → → =0,|OC-OB|=2|BC-BA|,则椭圆的方程为________. [答案] x2 3 2 + y =1 4 4

→ → → → [解析] ∵|OC-OB|=2|BC-BA|, → → ∴|BC|=2|AC|, → → → → 又AC· BC=0,∴AC⊥BC. ∴△AOC 为等腰直角三角形. → ∵|OA|=2,∴点 C 的坐标为(1,1)或(1,-1), ∵点 C 在椭圆上, 1 1 ∴ 2+ 2=1,又 a2=4, a b 4 x2 3 ∴b2= ,故所求椭圆方程为 + y2=1. 3 4 4

丰城中学 2015-2016 学年上学期高三周练试卷 数学答题卡(理科尖子、重点班) 班级 姓名 学号 得分

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分共 20 分.把答案填在题中横线上) 13. 14. 15. 16.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

三、解答题: (10 分*2=20 分)

11、在直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面 ABCD,AB=AD=a,S

D= 2a ,在线段 SA 上取一点 E(不含端点)使 EC=AC,截面 CDE 与 SB 交于点 F。 (1)求证:四边形 EFCD 为直角梯形; (2)求二面角 B-EF-C 的平面角的正切值; S CD (3)设 SB 的中点为 M,当 的值是多少时,能使△DMC AB F 为直角三角形?请给出证明. E M 解: (1)∵ CD∥AB,AB ? 平面 SAB ∴CD∥平面 SAB C 面 EFCD∩面 SAB=EF, D 0 ∴CD∥EF ∵ ?D ? 90 ,?CD ? AD, A B 又 SD ? 面 ABCD ∴ SD ? CD ? CD ? 平面 SAD,∴ CD ? ED 又 EF ? AB ? CD ? EFCD 为直角梯形 (2)? CD ? 平面 SAD, EF ∥ CD, EF ? 平面 SAD ? AE ? EF, DE ? EF,? ?AED 即为二面角 D—EF—C 的平面角 ED ? CD,? Rt?CDE 中 EC 2 ? ED2 ? CD 2 而 AC 2 ? AD2 ? CD 2 且 AC ? EC ? ED ? AD ? ? , ??ADE 为等腰三角形,??AED ? ?EAD ? tan ?AED ? 2 (3)当
CD ? 2 时, ?DMC 为直角三角形 . AB
? AB ? a,? CD ? 2a, BD ? AB2 ? AD2 ? 2a, ?BDC ? 450 ? BC ? 2a, BC ? BD ,
? SD ? 平面 ABCD,? SD ? BC,? BC ? 平面 SBD

.

在 ?SBD 中, SD ? DB, M 为 SB 中点,? MD ? SB . ? MD ? 平面 SBC, MC ? 平面 SBC , ? MD ? MC ??DMC 为直角三角形。
2 5 12.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 ,它的一个顶点恰好是抛 5 1 物线 y= x2 的焦点. 4 (1)求椭圆 C 的标准方程; → → (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点, 交 y 轴于 M 点, 若MA=λ1AF, → → MB=λ2BF,求 λ1+λ2 的值. x2 y2 [解析] (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 抛物线方程为 x2=4y,其焦点为(0,1),椭圆 C 的一个顶点为(0,1),即 b=1, a2-b2 2 5 c 由 e= = = ,得 a2=5, a a 5 x2 ∴椭圆 C 的标准方程为 +y2=1. 5 (2)由(1)得椭圆 C 的右焦点为 F(2,0), 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0), 显然直线 l 的斜率存在,

设直线 l 的方程为 y=k(x-2), x2 代入 +y2=1,并整理得 5 (1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0, ∴x1+x2= 20k2-5 20k2 , x x = . 1+5k2 1 2 1+5k2

→ → → → 又MA=(x1,y1-y0),MB=(x2,y2-y0),AF=(2-x1,-y1),BF=(2-x2,-y2), → → → → 由MA=λ1AF,MB=λ2BF, 得(x1,y1-y0)=λ1(2-x1,-y1), (x2,y2-y0)=λ2(2-x2,-y2), x1 x2 ∴λ1= ,λ2= , 2-x1 2-x2 2?x1+x2?-2x1x2 x1 x2 ∴λ1+λ2= + = =-10. 2-x1 2-x2 4-2?x1+x2?+x1x2


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