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2015年CMO 中国数学奥林匹克试题

时间:2014-12-20


第 30 届中国数学奥林匹克
重庆 第一天
(2014 年 12 月 20 日 8:00—12:30) 1. 复数 zk ? k ? 1, 2, ……n ? 满足: zk ? 1 ? r ,其中 0 ? r ? 1 ,求证:
n n

? zk ? ?
k ?1 k ?1

1 ? n 2 ?1 ? r 2 ? zk

2. 如图,设 A, B, D, E, F , C 是圆周上顺次六个点,满足 AB ? AC ,直线 AD 交 BE 于 P 直线 AF 交 CE 于 R ,直线

点 K 在线段 ST 上, 满足 ?SKQ ? ?ACE , 求证: BF 交 CD 于 Q ,直线 AD 交 BF 于 S ,直线 AF 交 CD 于 T ,

SK PQ ? KT QR

3. 已知 n ? 5 ,求最小的 m 使得存在两个正整数集合 A, B 满足:

(1) A ? n , B ? m , A ? B

(2)对 B 任意两个不同元素 x, y ,有 x ? y ? B 当且仅当 x, y ? A


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