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2013石家庄高中毕业班第一次模拟考试文科数学参考答案


2013 年高中毕业班第一次模拟考试 (数学文科答案)
一、选择题 A 卷答案 1-5 DCBCA B 卷答案 1-5 DBCBA 二、填空题 13.

6-10 6-10

CACAB BABAC

11-12 DB 11-12 DC

1 2

14.

r />35 36 37 24

15.

6 2

16 .

二 解答题 17.解:(Ⅰ)法一:由 ( 2c ? b) cos A ? a cos B 及正弦定理得:

( 2 s i n ? s i n ) c o s ? s i n c o s ?????2 分 C B A A B
则 2 sin C cos A ? sin B cos A ? sin A cos B ? sin( B ? A)

? A ? B ? C ? ? ,?sin( A ? B) ? sin C

2 sin C cos A ? sin C
由于 sin C ? 0 ,所以, cos A ? 又 0 ? A ? ? ,故 A ?

?

2 2

?????? 4 分

4 或解:(Ⅰ)由 ( 2c ? b) cos A ? a cos B 及余弦定理得:

. ???????? 6 分

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 ( 2c ? b) ?a ????????? 2 分 2bc 2ac 2 2 2 整理得: b ? c ? a ? 2bc b2 ? c2 ? a2 2 ???????? 4 分 cos A ? ? 2bc 2 ? 又 0 ? A ? ? ,故 A ? . ????????? 6 分 4 1 (Ⅱ) ?ABC 的面积 S = bc sin A = 1 , 2 故 bc = 2 2 ① ??????? 8 分 2 2 2 根据余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 和 a = 2 , 2 2 可得 c ? b = 6 ?? ② ??????? 10 分
解①②得

P

?b ? 2 ?b ? 2 ? ? . ???????? 12 分 ? 或者 ? ?c ? 2 ?c ? 2 ? ? ? 18.解:证明:(Ⅰ)? ?ABC ? ?ADC ? 90 , AD ? AB, AC 为公共边, ? Rt ?ABC ? Rt ?ADC ,??????? 2 分
B

A O C D
1

则 BO=DO, 又在 ?ABD 中, AB ? AD ,所以 ?ABD 为等腰三角形. ? AC ? BD ,???????? 4 分 而 PA ? 面 ABCD , PA ? BD , 又 PA ? AC ? A,? BD ? 面 PAC , 又 BD ? 面 PBD ,? 平面 PAC ? 平面 PBD .???????? 6 分
? (Ⅱ) 在 Rt ?ABC 中, AB ? 1 , ?BAC ? 60 ,则 BC ? 3 ,

S?ABD ?

1 AB ? AD sin1200 2

1 3 3 ,????????8 分 ? ? 1? 1? = 2 2 4
S?BCD ? 1 BC ? CD sin 600 2

1 3 3 3 ,???????10 分 ? ? 3? 3? = 2 2 4

1 S ? PA VD ? ABP VP ? ABD 3 ?ABD S 1 . ???????12 分 = ? ? ?ABD ? 1 VB ? PCD VP ? BCD S?BCD 3 S?BCD ? PA 3 19.解: (Ⅰ)设估计上网时间不少于 60 分钟的人数 x , x 30 ? 依据题意有 ,???????4 分 750 100 解得: x ? 225 ,
所以估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数是 225 人.??????? 6 分 (Ⅱ)根据题目所给数据得到如下列联表: 上网时间少于 60 分钟 男生 女生 合计 60 70 130 ????? 8 分 其中 K ?
2

上网时间不少于 60 分钟 40 30 70

合计 100 100 200

200(60 ? 30 ? 40 ? 70) 2 200 ? ? 2.198 ? 2.706 ??????10 分 100 ?100 ?130 ? 70 91

因此,没有 90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.???????12 分 20. 解:(Ⅰ)由椭圆的定义知 AF1 ? AF2 ? BF1 ? BF2 ? 2a ,? ?ABC 周长为 4a , 因为 ?ABF2 为正三角形,所以 AF2 ? BF2 , AF ? BF , 1 1
F1 F2 为边 AB 上的高线,??????????2 分

?

2c ? cos300 , 4a 3
c 3 ? .??????? 4 分 a 3
2

∴椭圆的离心率 e ?

1? 5 5 ?1 , c ? 1 ,所以 a ? . ????6 分 2 2 ??? ??? ? ? b4 1 y2 b4 ①当直线 AB与x 轴垂直时, 2 ? 2 ? 1 , y2 ? 2 , OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? 2 , a a b a 3 2 5 2 ?( a ? ) ? ??? ??? ? ? ?a4 ? 3a2 ? 1 2 4 , 因为 a 2 ? 3 ? 5 ,所以 OA ? OB ? 0 , = 2 a a2 2 ??AOB 为钝角.?????????8 分
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 因为 0 ? e ? ②当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,代入 整理得: (b2 ? a2 k 2 ) x2 ? 2k 2 a2 x ? a2 k 2 ? a2b2 ? 0 ,

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

?2a2 k 2 a 2 k 2 ? a 2 b2 , x1 x2 ? 2 x1 ? x2 ? 2 b ? a2 k 2 b ? a2 k 2 ??? ??? ? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2
x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 x2 (1 ? k 2 ) ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2

(a2 k 2 ? a2 b2 )(1 ? k 2 ) ? 2a2 k 4 ? k 2 (b2 ? a2 k 2 ) b2 ? a 2 k 2 k 2 ( a 2 ? b 2 ? a 2 b2 ) ? a 2 b 2 ? b2 ? a 2 k 2 2 4 k (?a ? 3a2 ? 1) ? a2 b2 ??????10 分 ? b2 ? a 2 k 2 令 m(a) ? ?a4 ? 3a2 ? 1 , 由 ①可知 m(a) ? 0 , ??AOB 恒为钝角.??????12 分 ?
21.解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? e x ? x ? 1 , f (1) ? e , f ?( x) ? e x ? 1 , f ?(1) ? e ? 1 , 函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? e ? (e ? 1)( x ? 1) 即 y ? (e ? 1) x ? 1 ?????? 2 分 设切线与 x、y 轴的交点分别为 A,B. 令 x ? 0 得 y ? ?1 ,令 y ? 0 得 x ?
S△OAB ? 1 1 1 ? ?1 ? . 2 e ?1 2(e ? 1) 1 ???????4 分 2(e ? 1)

1 1 ,∴ A( , 0) , B (0, ?1) e ?1 e ?1

在点 (1, f (1)) 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 (Ⅱ)由 f ( x) ≥ x 2 得 a ≥ 令 h( x) ?

1 ? x2 ? e x , x

1 ? x2 ? e x 1 ex ? ?x? , x x x x 1 e ( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 1 ? e x ) h ?( x) ? 1 ? 2 ? ? x x2 x2

令 k ( x) ? x ? 1 ? e x ,???????? 6 分
k ?( x) ? 1 ? e x ,

∵ x ? (0,1) ,∴ k ?( x) ? 1 ? e x ? 0 , k ( x) 在 x ? (0,1) 为减函数
3

∴ k ( x) ? k (0) ? 0
2

,????????8 分

又∵ x ? 1 ? 0 , x ? 0
( x ? 1)( x ? 1 ? e x ) ?0 x2 ∴ h( x) 在 x ? (0,1) 为增函数,??????????10 分

∴ h ?( x) ?

h( x) ? h(1) ? 2 ? e ,

因此只需 a ≥ 2 ? e . ?????????????12 分 22.证明:(Ⅰ)∵∠BAD=∠BMF, 所以 A,Q,M,B 四点共圆,?????3 分 所以 PA ? PB ? PM ? PQ .??????5 分 (Ⅱ)∵ PA ? PB ? PC ? PD , ∴ PC ? PD ? PM ? PQ 又 ?CPQ ? ?MPD , , 所以 ?CPQ ~ ?MPD ,?????7 分

∴ ?PCQ ? ?PMD ,则 ?DCB ? ?FMD ,??????8 分 ∵ ?BAD ? ?BCD , ∴ ?BMD ? ?BMF ? ?DMF ? 2?BAD , ?BOD ? 2?BAD , 所以 ?BMD ? ?BOD .???????10 分 23.解:(Ⅰ)依题意 ? 2 sin 2 ? ? ? cos? ??????3 分 得: y 2 ? x

? 曲线 C1 直角坐标方程为: y 2 ? x .???????5 分

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 代入 y 2 ? x 整理得: (Ⅱ)把 ? ?y ? 2 t ? 2 ?

t 2 ? 2t ? 4 ? 0 ??????7 分
? ? 0 总成立,

t1 ? t 2 ? ? 2 , t1t 2 ? ?4
AB ? t1 ? t 2 ? (? 2 ) 2 ? 4 ? (?4) ? 3 2
另解: (Ⅱ)直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 ? x ,把 y ? 2 ? x 代入 y ? x 得:
2

??????10 分

x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ??????7 分
4

? ? 0 总成立, x1 ? x2 ? 5 , x1 x2 ? 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2 (5 2 ? 4 ? 4) ? 3 2
24. 解:(Ⅰ) ?

???????10 分

?x ? 2 7 解得 x ? 3 ?x ? 2 ? 2x ? 2 ? 3

?1 ? x ? 2 解得 x ? ? ? ?2 ? x ? 2 x ? 2 ? 3 ?x ? 1 1 解得 x ? ???????3 分 ? 3 ?2 ? x ? 2 ? 2 x ? 3
不等式的解集为 ( ??, ) ? ( , ?? ) ??????5 分

1 3

7 3

?? 3 x ? 2 ? 2 a , x ? 2 ? f (Ⅱ) a ? 2时, ( x) ? ?? x ? 2a ? 2,2 ? x ? a ; ?3x ? 2 ? 2a, x ? a ?

??3x ? 6, x ? 2 a ? 2时, ( x) ? ? ; f ?3x ? 6, x ? 2
?? 3 x ? 2 ? 2 a , x ? a ? f a ? 2时, ( x) ? ? x ? 2a ? 2, a ? x ? 2 ; ?3x ? 2 ? 2a, x ? 2 ?

? f (x) 的最小值为 f (2)或f (a) ;??????8 分
则?

? f (a) ? 1 ,解得 a ? 1 或 a ? 3 .??????10 分 f (2) ? 1 ?

5


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