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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第2章 第10讲 函数的图象

时间:2012-08-08


1.若函数f(x)的单调增区间为(-2,3),那么
函数f(x+5)的单调递增区间是_______. (-7,-2)

2.函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则
3? 3 a+b的值为___________

解 析 : 将 点 ? ? 2, 0 ? ,0, 2 ? 分 别 代 入 y ? ? ? lo g a ?? 2 ? b ? ? 0 lo g a ? x ? b ? 得 ? ,解得 ? lo g a b ? 2 ?a ? 3 ? ,所以a ? b ? 3 ? ? ?b ? 3 ? 3

3.若函数y=f(x+1)是偶函数,则函数y=f(2x)的图象 的对称轴方程是 x=______. 2
1

4.已知函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=2对 称.若当-2<x<2时,f(x)=-x2+1,则当-6<x<-2时,

f(x)=_________. -(x+4)2+1
解析:因为f(2-x)=f(2+x)且f(-x)=f(x),

则f(x)=f(x+4),当-6<x<-2时,-2<x+4<2,
所以f(x)=f(x+4)=-(x+4)2+1.

5.若曲线|y|=2x+1与直线y=b无公共点,则b的

取值范围是__________. [-1,1]
解析:当y>0时,y=2x+1>1; 当y<0时,y=-2x-1<-1,所以-1≤b≤1.

作图
【例1】

作出下列函数的图象.
(1)y=|x-2|(x+1); (2)y=|log2x-1|; (3)y=2|x-1|.

1 2 9 ? ( x ? ) ? ( x ? 2) ? ? 2 4 【 解 析 】 1 ? 函 数 化 为 y= ? ? ??( x ? 1 )2 ? 9 ( x ? 2) ? ? 2 4 图象如下图.

? lo g 2 x ? 1( x ? 2 ) ? ? 2 ? 函 数 化 为 y= ? lo g x ? 1? 0 ? x ? 2 ? 1 ? ? 2 图象如下图.

? 2 x ? 1 ( x ? 1) ? ? 3 ? 函 数 化 为 y= ? 1 x ?1 ? ( ) ( x ? 1) ? 2 函数的图象如下图.

作函数的图象,首先要对函数表 达式进行化简,再根据自变量的范围

描画函数的图象;也可以应用函数图
象的变换规律描述函数的图象.要熟 练掌握基本初等函数的图象.

【变式练习1】

作出下列函数的图象.
(1)y=|lgx|和y=lg|x|; (2)y=a|logax|(a>0,且a≠1). 【解析】(1)第一个函数的图象只需将y=lgx 在x轴下方部分的图象沿x轴翻折上去,并去 掉x轴下方的图象,如下图(1);第二个函数的 图象只需将y=lgx的图象沿y轴翻折过去,同

时保留y轴右边的图象,如下图(2).

?2?分0 ?

a ? 1或 a ? 1两 种 情 况 讨 论 :

? x ( x ? 1) ? 当 a ? 1 时 , 函 数 化 为 y= ? 1 ? (0 ? x ? 1) ?x ? x ? 1 ( x ? 1) 当 0 ? a ? 1 时 , 函 数 化 为 y= ? ? x (0 ? x ? 1) 如 下 图 ? 3 ? ? 4 ?.

函数图象的变换过程
【 例 2】 分别叙述下列各题的求解过程.

?1 ?已 知 函 数 f ? x ? 的 图 象 , 求 作 函 数 f ? 2 x ? 和 2 f ? x ? 的 图 象 ; ? 2 ?已 知 函 数 f ? x ?= (
1 2 ) 的 图 象 , 求 作 函 数 y= lo g 2 x的 图 象 ;
x

? 3 ? 已 知 函 数 y= f ( x-1)的 图 象 , 求 作 函 数 y= f (- x+ 2 )的
图象.

【 解 析 】 1 ?由 函 数 f ?

? x ?的 图 象 , 得 到 函 数 ? x ?的 图 象 上 ? x ?的 图 象 ,

f ? 2 x ? 的 图 象 , 只 需 将 y= f

各点的纵坐标保持不变,横坐标变为原 来横坐标的 只 需 将 y= f 1 2 ; 要 得 到 函 数 2f

? x ?的 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 保

持 不 变 , 纵 坐 标 变 为 原 来 纵 坐 标 的 2倍 .

? 2 ? 先 作 出 函 数 f ? x ?= (

1 2

) 的图象,再作

x

出 它 关 于 直 线 y= x 对 称 的 函 数 的 图 象 , 即 得 到 函 数 y= lo g 1 x的 图 象 . 接 着 作 函
2

数 y= lo g 1 x的 图 象 关 于 x 轴 对 称 的 图 象 ,
2

就 得 到 函 数 y= lo g 2 x的 图 象 .

(3)分如下三个步骤求解: 第一步,将函数y=f(x-1)的图象沿x轴的负 方向(或向左)平移一个单位长度,得到函数

y=f(x)的图象;
第二步,将函数y=f(x)的图象以y轴为对称 轴翻折180°,得到函数y=f(-x)的图象; 第三步,将函数y=f(-x)的图象沿x轴的正 方向平移2个单位长度,得到y=f[-(x-2)]

=f(-x+2)的图象.

图象变换有三种:平移变换、对称变 换、伸缩变换,要掌握三种变换的基本规

律.本题(1)小题是伸缩变换(联系三角函数
中的周期变换和振幅变换);(2)小题是对称 变换,也可以理解为翻折变换,对称变换 有轴对称变换和中心对称变换;(3)小题是 平移变换,对自变量作平移必须注意,如

将-x向右平移1个单位长度,即-(x-1),
而不是-x-1.

【 变 式 练 习 2】 分别叙述下列各题的求解过程.

? 1 ?已 知 函 数 f ? x ? =
x?2 x ?1 的图象;

3 x

的 图 象 , 求 作 函 数 y=

? 2 ?已 知 函 数 y= f ( 2 x-1)的 图 象 , 求 作 函 数
y= f (3 - 2 x )的 图 象 .

【 解 析 】 1 ? 函 数 y= ?

x?2 x ?1 3 x

=1 +

3 x ?1

,分两步完成:

第 一 步 , 将 函 数 y=

的 图 象 沿 x轴 的 正 方 向 平 移 3 x ?1 的图象;

一 个 单 位 长 度 , 得 到 函 数 y= 第 二 步 , 将 函 数 y= 3 x ?1

的 图 象 沿 y轴 的 正 方 向 x?2 x ?1 =1 + 3 x ?1

平 移 1 个 单 位 长 度 , 得 到 函 数 y= 的图象.

(2)分两步完成: 第一步:将函数y=f(2x-1)的图象沿y轴翻 折180°,得到函数y=f(-2x-1)的图象;

第二步:将函数y=f(-1-2x)的图象沿x轴
的正方向平移2个单位长度,得到函数y= f(3-2x)的图象.

识图

【例3】

已知函数f(x)是定义在R
上的奇函数,如右图 是函数f(x)的图象.令g(x)=af(x)+b,证 明:当a=-1,-2<b<0时,方程g(x)=0 有大于2的根.

【解析】将f(x)的图象以x轴为对称轴翻
折得到-f(x)的图象, 又-2<b<0,所以g(x)的图象由-f(x)的 图象向下平移|b|个单位长度得到,所以 g(x)在(2,+∞)上是增函数,且g(2)=

b<0,于是方程g(x)=0有大于2的根.

识图就是充分应用所给图象反
映出来的信息解决问题,如图象上 可以反映出函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性等性质.

【变式练习3】 设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如 右图,求实数b的取值范围.

【解析】由图象知,方程f(x)=0的三个

根是0,1,2,
设f(x)=ax(x-1)(x-2),又由图象 知x>2时,f(x)>0,所以a>0, 又因为f(x)=ax3 -3ax2 +2ax=ax3 + bx2+cx+d,所以b=-3a<0,

即实数b的取值范围是(-∞,0).

用图

【 例 4】 1 若 不 等 式 x - log a x ? 0 对 x ? (0, ) 恒 成 立 , 2
2

求 实 数 a的 取 值 范 围 .

【解析】设f 因 为0 ? x ?

? x ?= x
1 2

2

, g ? x ? = lo g a x .
2

, lo g a x ? x ? 0, 得 0 ? a ? 1.

1 作 出 两 函 数 f ? x ? 、 g ? x ? 在 (0, ) 上 的 图 象 , 2 易 知 f ( )= , 2 4 1 1 所 以 , 当 函 数 g ? x ? 的 图 象 经 过 点 A ( , )时 , 2 4 1 1



1 4

= lo g a

1 2

, 得 a=

1 16

.

1 1 1 2 1 当 x ? (0, )时 , 由 lo g a ? ( ) , 得 a ? ; 2 2 2 16 当 a= 1 16 而g ?x? ? 1 4 1 16 ,. 1) , 时,由于f

?x? ?

1 4

(0 < x <

1 2

),

故 实 数 a的 取 值 范 围 是 [

将不等式(含参数)转化为函数

的关系,借助于函数图象来研究,
是数学思想灵活运用的体现.本题 直接解不等式是困难的.本题也可 以作另外的解释,即

x ? lo g a x (0 ? x ?
2 2

1 2

)恒 成 立 , 就 是 函 数 f

?x?

= x 的 最 大 值 小 于 函 数 g ? x ? = lo g a x的 最 小 值 . 1 因 为 在 (0, ) 上 , 函 数 f 2 当x ? 1 2 时,f

? x ?是 单 调 增 函 数 ,
,所以f

?x? ?

1 4

?x? ?

1 4

.函 数

1 g ? x ? = lo g a x ? 0 ? a ? 1 ? 在 (0, ) 上 是 单 调 减 函 2 数,当x ? 当 g ? x ?= 1 4 1 2 时,g ?x? ? 1 4 ,所以g ?x? ? 1 4 ,

时,也符合题意.

【变式练习4】 已知关于x的方程x2 -4|x|+5=m有四个不相

等的实根,求实数m的取值范围.
【解析】设y1=x2-4|x|+5, y2=m,作函数y1=x2-4|x|

+5,y2 =m的图象如右图,
由图可知要使方程x2 -4|x| +5=m有四个不相等实根, 只需两图象有四个不同的 交点,即1<m<5.

1.将函数y=f(x)的图象向右平移两个单位,

再向下平移两个单位,得到函数y=2x,
则f(x)=______________ 2x+2+2 2.函数f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),α、 β(α<β)是方程f(x)=0的两个实数根, 则α、β、a、b的大小关系是 α<a<b<β __________________

? 4 x ? 4 ( x ? 1) 3.函 数 f ? x ? = ? 2 的图象和函 ? x ? 4 x ? 3( x ? 1)

3 数 g ? x ? = lo g 2 x的 图 象 的 交 点 个 数 是 _ _ _ _ _ _ 【解析】分别画出两函数的图象(如图), 易知它们有3个交点.

4 .已 知 函 数 f

? x ?=

x ?1? a a?x

( a ? R ),

求 证 : 函 数 y= f

? x ?的 图 象 关 于 点

( a, -1) 成 中 心 对 称 .

【 证 明 】 设 ( x 0, y 0 ) 在 函 数 y= f

? x ?的 图 象

上 , 且 关 于 点 ( a, -1) 对 称 的 点 为 ( x, y ). ? x0 ? 2 a ? x 2a ? x ? 1 ? a 则? , 所 以 - 2 - y= . a ? ?2a ? x? ? y0 ? ?2 ? y 即 y= x ?1? a a? x .

这 说 明 点 ( x, y ) 也 在 函 数 y= f 上 , 所 以 函 数 y= f -1) 成 中 心 对 称 .

? x ?的 图 象

? x ? 的 图 象 关 于 点 ( a,

函数图象是函数的一种表达方式, 它直观地显示了函数的性质.正确画出 函数图象,熟练识别函数图象,熟练应 用函数图象,必须熟悉基本初等函数的

图象,掌握它们所具有的性质.
1.熟悉函数图象的变换(掌握三种 函数图象变换)

(1)平移变换 ①水平平移:把函数y=f(x)的图象沿x轴方

向向左(a>0)平移a个单位长度,就得到函数y=
f(x+a)的图象; 把函数y=f(x)的图象沿x轴方向向右(a>0)平移a 个单位长度,就得到函数y=f(x-a)的图象; ②上下平移:把函数y=f(x)的图象沿y轴方

向向上(a>0)平移a个单位长度,就得到函数y=
f(x)+a的图象;把函数y=f(x)的图象沿y轴方向 向下(a>0)平移a个单位长度,就得到函数y=f(x)

-a的图象.

(2)对称变换

①轴对称:设函数y=f(x)的图象的对
称轴是直线x=a,则f(a-x)=f(a+x)或f(2a -x)=f(x);当a=0时,函数f(x)是偶函数;

②中心对称:设函数y=f(x)的图象的
对称中心为(a,0),则f(a-x)=-f(a+x)或 f(2a-x)=-f(x);当a=0时,函数f(x)是奇 函数;设对称中心是(a,b),则f(a-x)= 2b-f(a+x)或f(x)=2b-f(2a-x).

图象的对称变换中,要注意两个函 数图象的对称性问题:如函数y=f(x)与 函数y=-f(x)的图象关于x轴对称;函

数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于
原点对称;函数y=f(x)与函数y=f - 1(x)的图象关于直线y=x对称等.

图象对称变换中的翻折问题:如把

函数y=f(x)在x轴下方的图象沿x轴翻折
到x轴上方,在x轴上方的保持不变,就 得到函数y=|f(x)|的图象;把函数y=f(x) 在y轴右边的图象沿y轴翻折到y轴左边, 保留y轴右边的图象,就得到函数y=

f(|x|)的图象.

2.应用图象可以直观地解决很多问
题,如解决与方程的解的个数有关的问 题、解不等式等,应用图象解决问题的 前提是正确地画出图象,而画图的步骤: 求定义域;化简解析式;确定基本函数

及图象变换的顺序;作出图象.


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