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福建省福州市2014届高三上学期期末质量检测数学理科试题(扫描版)


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福州市 2013—2014 学年第一学期高三期末质量检测 数学(理科)试卷 参考答案与评分标准
第Ⅰ卷 (选择题
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共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答

案中有且只有一个答

案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. C 12. B 2. B 3. B 4.A 5. B 6. A 7. D 8. B 9. C 10.C 11. B

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置上. ) 13.1 14. 4 2

n2 ? n ? 2 15. 2

16..② ③ ④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. ) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) g ( x) ? b ? 1 ? sin 2 x
2 ?? 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

由 g ( x) ? 0 得 sin 2 x ? 0 ? 2 x ? k? ?k ? Z ? 即 x ? 故方程 g ( x) =0 的解集为 x x ?
?? ?? 2

?

k? ?k ? Z ? 2

k? ?k ? Z ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2

?
?
6

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
2

(Ⅱ) f ( x) ? a ? b ? 1 ? (2 cos x, 3 ) ? (1, sin 2 x) ? 1 ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 1 · · · · · · 7分

? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?
∴函数 f ( x) 的最小周期 T ? 由?

)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

2? ?? 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

? 2k? ?k ? Z ? 得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ?k ? Z ?

故函数 f ( x) 的单调增区间为 ??

? ? ? ? ? k? , ? k? ??k ? Z ? . ( 开区间也可以) 6 ? 3 ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)? a1 ?

1 n ?1 , an ?1 ? an ? an ? 0 3 3n a a 1 1 a ? n ?1 = ? n ,又 ? 1 = · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 n ?1 3 n 1 3
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

1 1 ?a ? ? ? n ? 为首项为 ,公比为 的等比数列 3 3 ?n?

a 1 ?1? ? n = ?? ? n 3 ? 3?
(Ⅱ) S n ?

n ?1

, ? an =

n 3n

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ??① · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 1 3 3 3 3 1 1 2 n ?1 n ? S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ??② · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 3 3 3 3
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①-② 得:

2 1 1 1 1 n Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 3 3 3 3 3 3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

1? 1? ?1 ? n ? n 3 3 ? ? ? ? n?1 1 3 1? 3
3? 1? n ? Sn ? ?1 ? n ? ? 4 ? 3 ? 2 ? 3n
3n ?1 ? 3 ? 2n ? Sn ? 4 ? 3n
19. (本小题满分 12 分) .解:(Ⅰ )根据题意,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

? 0) ? P( A1 ) P( B1 ) ? 0.2 ? 1) ? P( A1 ) P( B2 ) ? P( A2 ) P( B1 ) ? 0.4 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.37 ? 2) ? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A2 ) P( B2 ) ? P( A3 ) P( B1 ) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.1? 0.5 ? 0.28 ? 3) ? P( A2 ) P( B3 ) ? P( A3 ) P( B2 ) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.1? 0.3 ? 0.13 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? 4) ? P( A3 ) P( B3 ) ? 0.1? 0.2 ? 0.02 · 所以 ? 的分布列为: ? 0 1 2 3 4
P 0.2 0.37 0.28 0.13 0.02 ? 的数学期望 E? ? 0 ? 0.2 ? 1? 0.37 ? 2 ? 0.28 ? 3 ? 0.13 ? 4 ? 0.02 ? 1.4 · · · · · 11 分 答:甲、乙两人所扣积分相同的概率为 0.37, ? 的数学期望 E? ? 1.4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 20. (本小题满分 12 分) 解:依题意得 g(x) ? x ? 3 ,设利润函数为 f(x) ,则 f(x) ? r (x) ? g(x) , 所以 f(x) ? ?

P(? P(? P(? P(? P(?

分别记“甲所付租车费 0 元、1 元、2 元”为事件 A1 , A2 , A3 ,它们彼此互斥, 且 P( A 1 ) ? 0.4, P( A 2 ) ? 0.5,? P( A 3 ) ? 1 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.1 分别记“乙所付租车费 0 元、1 元、2 元”为事件 B1 , B2 , B3 ,它们彼此互斥, 且 P( B1 ) ? 0.5, P( B2 ) ? 0.3,? P( B3 ) ? 1 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 由题知, A1 , A2 , A3 与 B1 , B2 , B3 相互独立, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 记甲、乙两人所扣积分相同为事件 M ,则 M ? A B ? A B ? A B 1 1 2 2 3 3 所以 P(M ) ? P( A ) P ( B ) ? P ( A ) P ( B ) ? P ( A ) P ( B ) 1 1 2 2 3 3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.1? 0.2 ? 0.2 ? 0.15 ? 0.02 ? 0.37 · · · · · · · 6分 (Ⅱ) 据题意 ? 的可能取值为: 0,1, 2,3, 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

??0.5 x 2 ? 6 x ? 13.5 ? 10.5 ? x

(0 ? x ? 7) (x ? 7)

,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

(I)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0,因为

f(x)>0? ?

0?x?7 ? x?7 , 或? ??0.5x ? 6 x ? 13.5 ? 0 ?10.5 ? x ? 0 ?
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

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?0 ? x ? 7 0?x?7 ? ? x?7 或 ? ?? 2 ? ?3 ? x ? 9 或? ? x ? 12 x ? 27 ? 0 ?10.5 ? x ? 0
? 3 ? x ? 7 或 7 ? x ? 10.5 , 即 3 ? x ? 10.5 .

7 ? x ? 10.5

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 300 台小于 1050 台的范围内. · · · · · · 8分 (II)当 3 ? x ? 7 时, f(x) ? ?0.5( x ? 6)2 ? 4.5 故当 x=6 时,f(x)有最大值 4.5. 而当 x>7 时, f(x) ? 10.5 ? 7 ? 3.5 . 所以当工厂生产 600 台产品时,盈利最大. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

21. (本小题满分 12 分)

解: (I)设双曲线 C 的方程为

x2 y 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) , · a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? 9, ? 由题设得 ? b · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 5 ? . ? 2 ?a
解得 ?

?a 2 ? 4, ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 b ? 5. ? ?


所以双曲线 C 的方程为

x2 y 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? ? 1 ;· 4 5

(II)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,点 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) 的坐标满足方程组

① ? y ? kx ? m, x 2 (kx ? m) 2 ? 2 2 将①式代入②式,得 ? ?1, ?x y 4 5 ? 1. ② ? ? 5 ?4 ,
整理得 (5 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 20 ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
2 2 2

此方程有两个不等实根,于是 5 ? 4k 2 ? 0 , 且 ? ? (?8km) ? 4(5 ? 4k )(4m ? 20) ? 0 ,
2 2 2

整理得 m 2 ? 5 ? 4k 2 ? 0 .③

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 ( x0,y0 ) 满足:

x0 ?

x1 ? x2 4km 5m , y0 ? kx0 ? m ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? 2 2 5 ? 4k 5 ? 4k 2
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从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 y ?

5m 1? 4km ? · · · 9分 ?? ?x? ? · 2 5 ? 4k k? 5 ? 4k 2 ? ,

此直线与 x 轴, y 轴的交点坐标分别为 ?

9m ? ? 9km ? ? , , 0 ? , ? 0, 2 2 ? ? 5 ? 4k ? ? 5 ? 4k ?

(5 ? 4k 2 ) 2 1 9km 9m 81 2 由题设可得 ,整理得 m ? ,k ? 0, ? ? k 2 5 ? 4k 2 5 ? 4k 2 2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 将上式代入③式得

(5 ? 4k 2 ) 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? 5 ? 4k 2 ? 0 , · k
2

整理得 (4k ? 5)(4k ? k ? 5) ? 0 , k ? 0 ,解得 0 ? k ?
2

5 5 或k ? , 2 4

所以 k 的取值范围是 ? ?∞, ? 22. (本小题满分 14 分)

? ?

5? ? 5 ? ? 5? ?5 ? · · · · · 12 分 ? , 0 ? 0 , ?? , ? ∞? . · ? ? ? ??? ? ? ? ? 4? ? 2 ? ? 2 ? ?4 ?
2x , x ?1

解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? ∴ f ?( x) ?
1 2 x?3 ? ? , 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分

∴ f ?(0) ? 3 ,所以所求的切线的斜率为 3. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 又∵ f ? 0? ? 0 ,所以切点为 ? 0, 0 ? . 故所求的切线方程为: y ? 3x . (Ⅱ)∵ f ( x) ? ln( x ? 1) ? ∴ f ?( x) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

ax ( x ? ?1) , x ?1
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

1 a( x ? 1) ? ax x ? 1 ? a ? ? . x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

①当 a ? 0 时,∵ x ? ?1 ,∴ f ?( x) ? 0 ; ②当 a ? 0 时,

? f ?( x) ? 0 ? f ?( x) ? 0 由? ,得 ?1 ? x ? ?1 ? a ;由 ? ,得 x ? ?1 ? a ; ? x ? ?1 ? x ? ?1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 单调递增; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ?1 ? a) 单调递减,在 (?1 ? a, ??) 上单调递增. · · · · 9分 (Ⅲ)方法一:由(Ⅱ)可知,当 a ? ?1 时,

f ? x ? ? ln ? x ? 1? ?

x 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. x ?1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

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当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 ,即 ln ? x ? 1? ?

x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 x ?1

1 1 1 ? 1? * 令 x ? ( n?N ) ,则 ln ?1 ? ? ? n ? . 1 n ? n? ?1 n ?1 n
另一方面,∵
1 1 1 1 1 ? 2 ,即 ? ? 2, n ? n ? 1? n n n ?1 n

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

∴ ∴

1 1 1 ? ? 2. n ?1 n n

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分

? 1? 1 1 ln ?1 ? ? ? ? 2 ( n ? N* ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 ? n? n n

方法二:构造函数 F ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x2 , (0 ? x ? 1) ∴ F '( x) ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

1 x(2 x ? 1) ?1 ? 2x ? , 1? x x ?1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分

∴当 0 ? x ? 1 时, F '( x) ? 0 ; ∴函数 F ( x) 在 (0,1] 单调递增. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ∴函数 F ( x) ? F (0) ,即 F ( x) ? 0 ∴ ?x ? (0,1] , ln(1 ? x) ? x ? x2 ? 0 ,即 ln(1 ? x) ? x ? x2 令x? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分

1 ? 1? 1 1 ( n ? N* ) ,则有 ln ?1 ? ? ? ? 2 . n ? n? n n

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分

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