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浅晰导数在实践应用中的解答技巧

时间:2012-12-16


数学报告
浅晰导数在实践应用中的解答技巧

学校:西安欧亚学院 专业:移动通信技术 班级:1 2 0 1 班 姓名:马 召 浩

2012-12-8

浅晰导数在实践应用中的解答技巧
摘要:导数是微积分中的概念,当自变量趋近于零时,因变量的增量于自变量的增量的商的 极限。数学家们积极的探索,并在实际

生活中得到广泛的应用,为社会创造了无尽的财富。

一 导数的历史
大约 1629 年法国数学家研究了作曲线的切线和求函数值的方法, 1637 年左右, 在 他写了一 份手稿《求最大值和最小值的方法》在作曲线的时,构造了不得差分 F(A+E)-F(A)发现的 因子 E 就是我们今天的 Δχ 。直到 19 世纪导数才逐渐走向成熟,并广泛应用在实践中。

二 导数在实践中的应用
1) 甲、 例: 乙从海岛码头同时出发各自分别以 20 km ,15 km 匀速向东和向北方向行驶,

h

h

问 两船增加的距离的速率是多少? 分析: 此题是两个变量的变化率, 求另一个变量的变化率的问题, 所以涉及的变量符号 有四种,其中自变量为时间 T 。首先建立变量之间的函数关系,然后对自变量时间求导即 可 解: 设时间 T, 乙两穿分别行驶了 xkm.?km 两船之间的距离为 skm 甲、 如右图所示 由图知;

S ? ?2

? ?2

又 因为 S、X、Y 都是以 T 为自变量的函数 且
2 s ? ? t

? ?2 t

所以对其 s ?

?2
? ?? '

? ? 2 两边同时求导得

d? dy

? ??

'

?2

? ?2

又因为 ? ? 20t |y=15t

又因为 ? ' ? 20 所以

? ' ? 15
? 625 ? 25

d? d?

2 2 ? (20) t ? (15) t

(20t ) 2

? (15t ) 2

2)设有一半径为 r0 的雪球,其融化体积 V 对时间 T 的变化率与球的表面积成正比,比例常 数 k ? 0(假设在融化过程中雪堆始终保持球状体) 一直前三个小时内融化了其体积的 7 ,

8

问全部融化需要多少时间? 分析: 本题虽然是求是的问题, 但实质是涉及变化率的问题, 显然球体的体积 v 与半径 r 的关系是易知的 , 但题中是对时间的变化率 , 所以主要是寻求体积 v 与时间 t 的变化关系。 这其中就出现三种变量即体积、时间、半径,求导时必须注意对谁求导。 解:设时间 t 时刻的体积为 v 半径为 ?

4 d v ? ?r 3,s ? 4?r 2,v ? ? k)s ? ? k)?r 2 ( ( 4 dt 显然有: 3
4 3 ?r 两边对时间求导、 3 dv d d d ? v . r ? 4?r 2 . r dt dr dt dt
dv dt ? ( ? k ) 4?r 2 所以
dr dt ? ?k

由v ?

又因为

? r ? (?k )t ? a t?0
时 r ? r0 ? a ? r ? r0 ? kt 由因为由题知前三小时融化了其体积的 7 ,有 1 没有融化

8

8

即7

8

3 3 ? 7 . 4 ? r0 ? ? 4 ? (r0 ? kt) 3 ? 4 ?r0 8 3 3 3

当 t ? 3 ? r0 ? 6k ? r ? r0 (1 ? 1 t )

6

当 r ? 0 时 即雪球全部融化时间为 6 小时。

三实际 问题解答技技巧总结
综上 1)2)知,要解决生活中的实际问题,且涉及速率问题或者可以用速率问题表示时 一、首先要分清变量即自变量及因变量。二、寻找自变量与因变量之间的关系。三、代入已 知条件求出未知的变化率(求隐形函数时因变量要看成未知数) 。