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2014-2015学年江苏省盐城市东台市创新学校高二(下)4月月考数学试卷(文科)

时间:2016-02-27


2014-2015 学年江苏省盐城市东台市创新学校高二(下)4 月月 考数学试卷(文科)
一、填充题(每题 5 分,计 70 分) 1.已知集合 A={﹣1,0,1},B={0,1,2,3},则 A∩B= 2.函数 f(x)=log2(x ﹣6)的定义域为 3.2lg4+lg = .
2





>4.函数 则 α 的值为 5.函数 .

(常数 α∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是单调递减函数,

的最小正周期为



6.设

,则 f(f(﹣2) )=



7.曲线 y=x﹣cosx 在点(



)处的切线方程为



8.已知函数 f(x)的定义域为 R,则“f(0)=0 是函数为奇函数”的 9.函数
2

条件.

取得最小值时 x 的集合是



10.若函数 f(x)=x +bx+c 的图象的顶点在第四象限.则函数 f′(x)的图象是下列四幅中 的 (只填序号) . 11.已知 = .

12.要得到函数 到.

的图象,只需将函数 y=3sin2x 的图象



13.定义在实数集 R 上的偶函数 f(x) ,在区间[0,+∞)上满足 f′(x)>0 恒成立,若 f(1) <f(lgx) .则 x 的取值范围是 . 14.设函数 f(x)=ax ﹣3x+1(x∈R) ,若对于任意的 x∈[﹣1,1]都有 f(x)≥0 成立,则实 数 a 的值为 .
3

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (14 分) (2015 春?东台市校级月考) (1)设函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< π)最高点 D 的坐标为(2, ) .由最高点运动到相邻的最低点时,函数曲线与 x 轴的交 点为(6,0) . 求 A,ω 和 φ 的值; (2)当 时,求函数 f(x)=sin2x+ cos2x 的值域.

16. (14 分) (2015?鹿城区校级模拟)已知函数 f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x) ,a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 17. (15 分) (2015 春?东台市校级月考)已知函数 (1)求 (2)求 (2)设 值. 18. (15 分) (2011?南京一模)如图,在半径为 30cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一 块矩形材料 ABCD,其中点 A、B 在直径上,点 C、D 在圆周上. (1)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大?并求最大面积; (2)若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁 和拼接损耗) ,应怎样截取,才能使做出的圆柱形形罐子体积最大?并求最大面积. 的值; 的值; ,求 的 .

19. (16 分) (2010?韶关模拟)设函数 f(x)=2x +3ax +3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c 成立,求 c 的取值范围. 20. (16 分) (2015?扬州二模)设 a∈R,函数 f(x)=x|x﹣a|﹣a. (1)若 f(x)为奇函数,求 a 的值; (2)若对任意的 x∈[2,3],f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围; (3)当 a>4 时,求函数 y=f(f(x)+a)零点的个数.
2

3

2

2014-2015 学年江苏省盐城市东台市创新学校高二(下) 4 月月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填充题(每题 5 分,计 70 分) 1.已知集合 A={﹣1,0,1},B={0,1,2,3},则 A∩B=

{0,1} .

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 解答: 解:∵A={﹣1,0,1},B={0,1,2,3}, ∴A∩B={0,1}. 故答案为:{0,1} 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.函数 f(x)=log2(x ﹣6)的定义域为 (﹣∞,﹣
2

)∪(

,+∞) .

考点: 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)的解析式中,对数的真数大于 0,列出不等式,求出解集即可. 2 解答: 解:∵函数 f(x)=log2(x ﹣6) , 2 ∴x ﹣6>0, 解得 x<﹣ 或 x> ; ∴f(x)的定义域为(﹣∞,﹣ )∪( ,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣ )∪( ,+∞) . 点评: 本题考查了求对数函数的定义域的应用问题,是基础题目.

3.2lg4+lg =

1 .

考点: 对数的运算性质.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算性质即可得出; 解答: 解:原式= ═lg10=1,

故答案为:1. 点评: 本题考查了对数的运算性质,属于基础题.

4.函数 则 α 的值为 1 .

(常数 α∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是单调递减函数,

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题. 分析: 根据幂函数的性质,要使得函数为偶函数,且在(0,+∞)上是单调递减函数,则 2 2 α ﹣2α﹣3 为偶数,且 α ﹣2α﹣3<0,结合 α∈Z 进行求解即可 解答: 解:根据幂函数的性质,要使得函数为偶函数,且在(0,+∞)上是单调递减函数 则 α ﹣2α﹣3 为偶数,且 α ﹣2α﹣3<0 解不等式可得,﹣1<α<3 ∵α∈Z∴α=0,1,2 2 当 α=0 时,α ﹣2α﹣3=﹣3 不满足条件 2 α=1 时,α ﹣2α﹣3=﹣4 满足条件 2 α=2 时,α ﹣2α﹣3=﹣3 不满足条件 故答案为:1 α 点评: 本题主要考查了幂函数的性质:函数 y=x ,为偶函数且在(0,+∞)单调递减的条 件是 α 为偶数,且 α<0,这是解决此题的关键. 5.函数 的最小正周期为 2π .
2 2

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性求得函 数的最小正周期. 解答: 解:∵函数 = sinx,∴函数 f(x)的最小正周期为 =2π,

故答案为:2π. 点评: 本题主要考查二倍角的正弦公式,正弦函数的周期性,属于基础题.

6.设

,则 f(f(﹣2) )= 4 .

考点: 函数的值. 专题: 计算题.

分析: 因为 f(﹣2)=(﹣2) =4,再将 f(﹣2)=4 代入 f[f(﹣2)]即可得到答案. 2 解答: 解:∵f(﹣2)=(﹣2) =4, 再将 f(﹣2)=4 代入 f[f(﹣2)] f(f(﹣2) )=4. 故答案为:4. 点评: 本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题.这里将已知值代入即可得到答案.

2

7.曲线 y=x﹣cosx 在点(



)处的切线方程为 2x﹣y﹣

=0 .

考点: 专题: 分析: 解答:

利用导数研究曲线上某点切线方程. 计算题;导数的概念及应用;直线与圆. 求出函数的导数,求得切线的斜率,再由点斜式方程即可得到所求切线方程. 解:y=x﹣cosx 的导数为 y′=1+sinx, , , =0. =0. )处的切线斜率为 k=1+sin )处的切线方程为 y﹣ =2, =2(x﹣ ) ,

即有在点( 则曲线在点( 即为 2x﹣y﹣

故答案为:2x﹣y﹣

点评: 本题考查导数的运用:求切线方程,掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题 的关键. 8.已知函数 f(x)的定义域为 R,则“f(0)=0 是函数为奇函数”的 必要不充分 条件.

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合奇函数的性质进行判断即可. 解答: 解:已知函数 f(x)的定义域为 R,则函数 f(x)=|x|满足 f(0)=0,但 f(x)为 偶函数,不是奇函数,故充分性不成立, 若 f(x)则奇函数,则满足 f(﹣x)=﹣f(x) , 则当 x=0 时,有 f(0)=﹣f(0) , 即 f(0)=0,必要性成立, 故 f(0)=0 是函数为奇函数的必要不充分条件, 故答案为:必要不充分 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据奇函数的性质是解决本题的关键. ,k∈Z} .

9.函数

取得最小值时 x 的集合是 {x|x=4kπ﹣

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 由条件利用正弦函数的最小值,求得函数 集合. 解答: 解:对于函数 即 x=4kπ﹣ ,当 x﹣ =2kπ﹣

取得最小值时 x 的

,k∈Z 时,

,k∈Z 时,函数 y 取得最小值为﹣2, ,k∈Z}.

故答案为:{x|x=4kπ﹣

点评: 本题主要考查正弦函数的最小值,属于基础题. 10.若函数 f(x)=x +bx+c 的图象的顶点在第四象限.则函数 f′(x)的图象是下列四幅中 的 Ⅳ (只填序号) .
2

考点: 导数的运算;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 先根据二次函数的判断出 a,b 的符号,再求导,根据一次函数的性质判断所经过的 象限即可. 2 解答: 解:∵函数 f(x)=ax +bx+c 的图象开口向上且顶点在第四象限, ∴a>0,﹣ >0,

∴b<0, ∵f′(x)=2ax+b, ∴函数 f′(x)的图象经过一,三,四象限, ∴Ⅳ符合, 故答案为:Ⅳ. 点评: 本题考查了导数的运算和一次函数,二次函数的图象和性质,属于基础题. 11.已知 = .

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 2 2 2 分析: 将 1=sin α+cos α 代入,分子分母同时除以 cos α 可得到关于 tanα 的关系式,即可 得到答案. 解答: 解:∵ = =

又∵tanα=﹣ ∴原式= 故答案为: .

点评: 本题主要考查同角三角三角函数的基本关系.注意形式的转化.

12.要得到函数 单位 得到.

的图象,只需将函数 y=3sin2x 的图象 向左平移



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:将函数 y=3sin2x 的图象向左平移 象, 故答案为:向左平移 个单位. 个单位,可得函数 的图

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 13.定义在实数集 R 上的偶函数 f(x) ,在区间[0,+∞)上满足 f′(x)>0 恒成立,若 f(1) <f(lgx) .则 x 的取值范围是 {x|0<x< 或 x>10} .

考点: 函数奇偶性的性质;利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性和单调性,根据 f(1)<f(lgx)建立不等式组求得 x 的范围. 解答: 解:∵在区间[0,+∞)上满足 f′(x)>0 恒成立,函数 f(x)为增函数, 根据偶函数的性质可知 f(x)在区间(﹣∞,0)单调减, ∵f(1)<f(lgx) ∴有|1|<|lgx|, 即 lgx>1 或 lgx<﹣1, 解得 x>10,或 0<x< 故答案为:{x|0<x< ; 或 x>10}

点评: 本题主要考查了函数奇偶性的性质,利用导数研究函数的单调性,绝对值不等式的 解法,难度不大属于中档题. 14.设函数 f(x)=ax ﹣3x+1(x∈R) ,若对于任意的 x∈[﹣1,1]都有 f(x)≥0 成立,则实 数 a 的值为 4 . 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 先求出 f′(x)=0 时 x 的值,进而讨论函数的增减性得到 f(x)的最小值,对于任 意的 x∈[﹣1,1]都有 f(x)≥0 成立,可转化为最小值大于等于 0 即可求出 a 的范围. 2 解答: 解:由题意,f′(x)=3ax ﹣3, 2 当 a≤0 时 3ax ﹣3<0,函数是减函数,f(0)=1,只需 f(1)≥0 即可,解得 a≥2,与已知矛 盾,
3

当 a>0 时,令 f′(x)=3ax ﹣3=0 解得 x=± ①当 x<﹣ ②当﹣ ③当 x> 所以 f(

2



时,f′(x)>0,f(x)为递增函数, 时,f′(x)<0,f(x)为递减函数,

<x<

时,f(x)为递增函数. )≥0,且 f(﹣1)≥0,且 f(1)≥0 即可

由 f(

)≥0,即 a?

﹣3?

+1≥0,解得 a≥4,

由 f(﹣1)≥0,可得 a≤4, 由 f(1)≥0 解得 2≤a≤4, 综上 a=4 为所求. 故答案为:4. 点评: 本题以函数为载体,考查学生解决函数恒成立的能力,考查学生分析解决问题的能 力,属于基础题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (14 分) (2015 春?东台市校级月考) (1)设函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< π)最高点 D 的坐标为(2, ) .由最高点运动到相邻的最低点时,函数曲线与 x 轴的交 点为(6,0) . 求 A,ω 和 φ 的值; (2)当 时,求函数 f(x)=sin2x+ cos2x 的值域.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象;y=Asin(ωx+φ) 中参数的物理意义. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用函数的最高点求出 A,求出函数的周期,即可求 ω,利用最高点结合 φ 的范围求出它的值; (2) 利用两角和的正弦函数公式化简可得解析式 f (x) =2sin (2x+ 可得:2x+ ∈( , ) ,从而解得 f(x)∈(﹣ ,2]. ) , 由 ,

解答: (本小题满分 10 分) 解: (1)由题意最高点 D(2, 由题意 =6﹣2=4,T=16,T= ∴f(x)= sin( +φ) ,

)可得:A= ,∴ω= .



∵函数图象过最高点 D(2,

) ,



×2+φ=2kπ+ ,ω=

,可得:φ=2kπ+ ,φ= .

,k∈Z,结合范围:|φ|<π,可解得:φ=



综上,A=

(2)∵f(x)=sin2x+ ∵ ∴sin(2x+

cos2x=2sin(2x+ ∈(

) , , ) ,

,∴可得:2x+ )∈(﹣ ,1],

∴解得:f(x)=2sin(2x+

)∈(﹣

,2].

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,y=Asin(ωx+φ)中 参数的物理意义,正弦函数的图象和性质,属于基础题. 16. (14 分) (2015?鹿城区校级模拟)已知函数 f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x) ,a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的判断;对数的运算性质;对数函数的定义域;对数函数的单调性与特 殊点. 专题: 计算题. 分析: (1)根据对数的性质可知真数大于零,进而确定 x 的范围,求得函数的定义域. (2)利用函数解析式可求得 f(﹣x)=﹣f(x) ,进而判断出函数为奇函数. (3)根据当 a>1 时,f(x)在定义域{x|﹣1<x<1}内是增函数,可推断出 f(x)>0,进 而可知 进而求得 x 的范围.

解答: 解: (1)f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x) ,则 故所求定义域为{x|﹣1<x<1}. (2)f(x)为奇函数 由(1)知 f(x)的定义域为{x|﹣1<x<1},

解得﹣1<x<1.

且 f(﹣x)=loga(﹣x+1)﹣loga(1+x)=﹣[loga(x+1)﹣loga(1﹣x)]=﹣f(x) , 故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|﹣1<x<1}内是增函数, 所以 .

解得 0<x<1. 所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是{x|0<x<1}. 点评: 本题主要考查了函数的定义域,奇偶性的判断和单调性的应用.要求考生对函数的 基本性质熟练掌握.

17. (15 分) (2015 春?东台市校级月考)已知函数 (1)求 (2)求 (2)设 值. 考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)把 x= 代入函数 f(x)的解析式中,进行求解即可. 的值; 的值; ,求





(2)利用诱导公式化简函数的表达式,然后利用二倍角公式化简求值即可. (3)分别把 x=3α+ 和 x=3β+2π 代入 f(x)的解析式中,化简后利用诱导公式即可求出

sinα 和 cosβ 的值, 利用两角和差的余弦公式以及倍角公式进行求解. 解答: 解: (1)把 x= f( (2) =8sin =8cos sin cos sin cos =8cos cos )=2sin( × ﹣ 代入函数解析式得: )=2sin = ; ﹣ )sin( ﹣ )sin( ﹣ )

=8sin( cos

=

cos

cos

cos

=

(4sin

cos

cos



=

(2sin

cos

)=

=

=1.

(3)由 f(3α+

)=

,f(3β+2π)= ,代入得:

2sin[ (3α+

)﹣

]=2sinα= ]=2sin(β+

, )=2cosβ=

2sin[ (3β+2π)﹣ 则 sinα=

,cosβ= , ], ∈[0, ], × ﹣ × = .

又 α,β∈[0, 则 cosα=

,sinβ= ,

则 cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ= ∵ ∴cos ∈[0, ],

∈[0,1],
2

则 cos(α+β)=2cos 则 cos 则 cos
2

﹣1=



= =

, = .

点评: 本题主要考查三角函数值的求解,灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系 化简求值是解决本题的关键. 18. (15 分) (2011?南京一模)如图,在半径为 30cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一 块矩形材料 ABCD,其中点 A、B 在直径上,点 C、D 在圆周上. (1)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大?并求最大面积; (2)若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁 和拼接损耗) ,应怎样截取,才能使做出的圆柱形形罐子体积最大?并求最大面积.

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1) 【方法一】连接 OC,设 BC=x,矩形 ABCD 的面积为 S;则 S=AB?BC=2x x 的取值; =2 , 由基本不等式可得 S 的最大值以及对应的

【方法二】 连接 OC, 设∠BOC=θ, 矩形 ABCD 的面积为 S, 则 S=AB?BC=2OB?BC=900sin2θ, 由三角函数的知识,得出 S 的最大值以及对应 BC 的值. (2) 【方法一】设圆柱底面半径为 r,高为 x,体积为 V,由 AB=2πr,得 r,所以 V=πr h= (900x﹣x ) ;利用求导法,可得 x=10
3 2

时,V 取最大值,为



【方法二】连接 OC,设∠BOC=θ,圆柱底面半径为 r,高为 h,体积为 V,则圆柱的底面 半径为 r= ,高 h=30sinθ,所以 V=πr h=
3 2

cos θ=

2

(sinθ﹣sin θ) , cm

3

用换元法,令 t=sinθ,则 V= 时,V 取得最大值即可.

(t﹣t ) ,再由求导法,得 t=

时,此时 BC=10

解答: 解:如图所示, (1) 【方法一】连接 OC,设 BC=x,矩形 ABCD 的面积为 S;则 AB=2 <x<30) , ∴S=2x =2 ≤x +(900﹣x )=900,当且仅当 x =900﹣x ,即
2 2 2 2

(其中 0

x=15 时,S 取最大值 900; 2 所以,取 BC= cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大值为 900cm . 【方法二】连接 OC,设∠BOC=θ,矩形 ABCD 的 面积为 S,则 BC=30sinθ,OB=30cosθ (其中 0<θ< ) ; 时,S 取最大值为 900,此时
2

∴S=AB?BC=2OB?BC=900sin2θ,且当 sin2θ=1,即 θ= BC=15 ; 所以,取 BC=15

时,矩形 ABCD 的面积最大,最大值为 900cm . =2πr,得

(2) 【方法一】设圆柱底面半径为 r,高为 x,体积为 V,由 AB=2

r= ∴V=πr h= 因此 V= ∴当 x=10
2

, (900x﹣x ) , (其中 0<x<30) ;由 V = (900x﹣x )在 时,V 的最大值为 cm .
3 3 3 ′

(900﹣3x )=0,得 x=10

2



上是增函数,在(10 ,即取 BC=10

,30)上是减函数;

cm 时,做出的圆柱形罐子体积最

大,最大值为

【方法二】连接 OC,设∠BOC=θ,圆柱底面半径为 r,高为 h,体积为 V, 则圆柱的底面半径为 r= 所以 V=πr h= 设 t=sinθ,则 V= 因此 V= 所以,当 t=
3 2 2

,高 h=30sinθ, (其中 0<θ< cos θ= (t﹣t ) ,由 V =
3 ′

) ,

(sinθ﹣sin θ) , (1﹣3t )=0,得 t=
2

3



(t﹣t )在(0, 时,即 sinθ=

)上是增函数,在(

,1)上是减函数; cm .
3

,此时 BC=10

cm 时,V 有最大值,为

点评: 本题综合考查了二次函数,三次函数的最值问题,这里应用了基本不等式,以及求 导数的方法求出了函数的最值. 19. (16 分) (2010?韶关模拟)设函数 f(x)=2x +3ax +3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c 成立,求 c 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: (1)依题意有,f'(1)=0,f'(2)=0.求解即可. 2 2 (2)若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c 成立?f(x)max<c 在区间[0,3]上成立,根 据导数求出函数在[0,3]上的最大值,进一步求 c 的取值范围. 2 解答: 解: (Ⅰ)f'(x)=6x +6ax+3b, 因为函数 f(x)在 x=1 及 x=2 取得极值,则有 f'(1)=0,f'(2)=0. 即 解得 a=﹣3,b=4. 3 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=2x ﹣9x +12x+8c,f'(x)=6x ﹣18x+12=6(x﹣1) (x﹣2) . 当 x∈(0,1)时,f'(x)>0; 当 x∈(1,2)时,f'(x)<0; 当 x∈(2,3)时,f'(x)>0. 所以,当 x=1 时,f(x)取得极大值 f(1)=5+8c,又 f(0)=8c,f(3)=9+8c. 则当 x∈[0,3]时,f(x)的最大值为 f(3)=9+8c. 2 因为对于任意的 x∈[0,3],有 f(x)<c 恒成立, 2 所以 9+8c<c , 解得 c<﹣1 或 c>9, 因此 c 的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(9,+∞) . 点评: 本题考查了导数的应用:函数在某点存在极值的性质,函数恒成立问题,而函数①f 2 2 (x)<c 在区间[a,b]上恒成立与②存在 x∈[a,b],使得 f(x)<c 是不同的问题.①?f 2 2 (x)max<c ,②?f(x)min<c ,在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在”问题.在 解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用. 20. (16 分) (2015?扬州二模)设 a∈R,函数 f(x)=x|x﹣a|﹣a.
2 3 2

(1)若 f(x)为奇函数,求 a 的值; (2)若对任意的 x∈[2,3],f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围; (3)当 a>4 时,求函数 y=f(f(x)+a)零点的个数. 考点: 函数奇偶性的性质;函数恒成立问题;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据 f(0)=0 即可求出 a; (2)讨论 a 的取值:a<2,2≤a≤3,a>3,三种情况,求出每种情况下的 f(x)的最小值, 让最小值大于等于 0 从而求出 a 的取值范围; (3)代入 f(x) ,原函数变成 y=f(x|x﹣a|) ,这时候换元 t=x|x﹣a|,y=t|t﹣a|﹣a.然后画出 函数 t=x|x﹣a|和函数 y=t|t﹣a|﹣a 的图象,通过图象找出有几个 t 使得 y=t|t﹣a|﹣a=0,并找 出对应的 x 的个数,从而找到原函数的零点个数. 解答: 解: (1)∵f(x)在原点有定义,f(x)为奇函数; ∴f(0)=﹣a=0; ∴a=0; (2)f(x)=x|x﹣a|﹣a; ∴①若 a<2,则 x=2 时,f(x)在[2,3]上取得最小值 f(2)=2(2﹣a)﹣a=4﹣3a; ∴4﹣3a≥0,a≤ ; ∴ ;

②若 2≤a≤3,则 x=a 时,f(x)取得最小值 f(a)=﹣a; ﹣a<0,不满足 f(x)≥0; 即这种情况不存在; ③若 a>3,则 x=3 时,f(x)取得最小值 f(3)=3(a﹣3)﹣a=2a﹣9; ∴2a﹣9≥0,a ∴ ; ;

∴综上得 a 的取值范围为(﹣∞, ]∪[ ,+∞) ; (3)f(x)+a=x|x﹣a|,令 x|x﹣a|=t; ∴y=t|t﹣a|﹣a; 下面作出函数 t=x|x﹣a|= 象: 和函数 y=t|t﹣a|﹣a= 的图

函数 y=t|t﹣a|﹣a 的图象可以认为由函数 y=t|t﹣a|的图象向下平移 a 个单位得到; 显然函数 y=t|t﹣a|﹣a 的左边两个零点 t=t1,t=t2 都在(0,a)区间上,而通过 t=x|x﹣a|的图 象可看出: ∵ ∴t1,t2 分别有三个 x 和它对应; ∴这时原函数有 6 个零点; 由 t(t﹣a)﹣a=t ﹣ta﹣a=0 可以解出
2

,∴









显然
2 2 2 2



而(a ﹣2a) ﹣4(a +4a)=a[a (a﹣4)﹣16]; 2 显然 a (a﹣4)﹣16 可能大于 0,可能等于 0,可能小于 0; ∴t3 可能和它对应的 x 个数为 3,2,1; ∴此时原函数零点个数为 3,2,或 1; ∴原函数的零点个数为 9 个,8 个,或 7 个. 点评: 考查奇函数的定义,奇函数在原点有定义时 f(0)=0,函数零点的定义,含绝对值 函数求最值的方法:观察解析式的方法,以及画出分段函数的图象,以及根据图象求函数零 点个数的方法.


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