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【最新精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编(第3期)专题02 函数


【精选+详解】2013 届高三数学名校试题汇编(第 3 期) 专题 02 函数
一.基础题 1. 【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】 已知函数错误! 未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。是 A.奇函数且在错误!未找到引用源。上单调递增 上单调递减 C.偶函数且在错误!未找到引用源。上单调递增 上单调递减

【答案】C 【解析】错误!未找到引用源。,在错误!未找到引用源。上单调递增 D.偶函数且在错误!未找到引用源。 B.奇函数且在错误!未找到引用源。

3.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试】下列函数错误!未找到引用源。中,满足“对 任意的错误!未找到引用源。时,都有错误!未找到引用源。”的是 A.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 B. 错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

4.【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】函数 ,则 是

A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【解析】错误!未找到引用源。的定义域为错误!未找到引用源。记错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,则 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。,故错误!未找到引用源。是奇函数.

6.【安徽省 2013 届高三开年第一考文】已知函数错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引 用源。的解集为错误!未找到引用源。 ,则函数错误!未找到引用源。的图像是( )

【答案】D 【解析】由已知:错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。 , 得:错误!未找到引用源。 ,选 D 7.【安徽省宣城市 6 校 2013 届高三联合测评考】设 a 是函数错误!未找到引用源。的零点, 若错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。的值满足( ) A. 错误! 未找到引用源。 B. 错误! 未找到引用源。 C. 错误! 未找到引用源。 D. 错 误!未找到引用源。的符号不确定 【答案】B 【解析】画出错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的图像可知当错误!未找到引 用源。时,错误!未找到引用源。,故错误!未找到引用源。

9.

1 2 ( , ) 【惠州市 2013届高三第三次调研 考试】已知幂函数 y ? f ( x) 的图 象过点 2 2 ,则

log 4 f (2) 的值为(
1 A. 4



1 B. - 4

C.2

D.-2

10.【深圳市南山区 2013 届高三上学期期末考试】定义运算错误!未找到引用源。,错误! 未找到引用源。,则错误!未找到引用源。为 A.奇函数 B.偶函数 C.常函数 D.非奇非偶函数 【答案】A 【解析】 由题意知,则错误! 未找到引用源。 其函数 f(x)的定义域为错误! , 未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 所以{x|-2≤x≤2 且 x≠0},即定义域关于原点成中心对称. , 而错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。,所以 f(x)为奇函数,故选择 A. 11.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试】设错误!未找到引用源。,函数错误!未 找到引用源。的图象可能是

【答案】B 【解析】由图象可知错误!未找到引用源。。错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用 源。,排除 A,C.,当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,排除 D,选 B.

13.【2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】已知奇函数错误!未找到引用源。在错误!未 找到引用源。为单调递减函数,又错误!未找到引用源。为锐角三角形两内角,则下列结论 正确的是( ) 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 C. 错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 【答案】D 【解析】奇函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。为单调递减函数,则错误! 未找到引用源。在错误!未找到引用源。为单调递减函数。又错误!未找到引用源。为锐角 三角形两内角,所以有错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。,从而错误!未找 到引用源。 14.【2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】若 a>3,则函数错误!未找到引用源。在区间错 误!未找到引用源。上恰好有___个零点 【答案】1 【解析】考查二次方程根(二次函数零点)的分布。注意错误! 未找到引用源。,对称轴错误!未找到引用源。>0,错误!未找 到引用源。 <0,则错误! 未找到引用源。 函数图像必为右图所示, 在错误!未找到引用源。上恰好有 1 个零点.

16.【2012-2013 学年四川省成都市高新区高三(上)统一检测】函数 的定义域为 .

【答案】

【解析】要使式子有意义,则





,解得

且 x≠ ,

故函数的定义域为: 故答案为:



二.能力题

2.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】已知函数:①错误!未找到引用源。 ,②错误! 未找到引用源。 ,③错误!未找到引用源。.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是 命题错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。是奇函数; 引用源。错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上是增函数; 命题错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ; 命题错误!未找到引用 命题错误!未找到

源。错误!未找到引用源。的图像关于直线错误!未找到引用源。对称 A.命题错误!未找到引用源。 未找到引用源。 B.命题错误!未找到引用源。 C.命题错误!

D.命题错误!未找到引用源。

3.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】设函数错误!未找到引用源。则错误!未找到 引用源。 (A) 2 (B) (C) ?2 (D) ?1 【答案】D 【解析】错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 ,选 D. 4.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】若定义在 R 上的偶函数错误!未找到 引用源。满足

错误!未找到引用源。 ,且当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。则方程错误! 未找到引用源。的解个数是 ( ) A.0 个 B.2 个 C.4 个 D.6 个

5.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 已知函数错误!未找到引用源。中,常数错误!未找到引用源。那么错误!未找到引用源。 的解集为 A.错误!未找到引用源。 未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 C.错误!

6.【2012-2013 学年云南省昆明市高三(上)摸底调研测试】已知函数 ,若 f(a﹣2)+f(a)>0,则实数 a 的取值范围是( A. 或 B.a>1 C. 或 D.a<1 )

]

【答案】D 2 【解析】∵x>0 时,﹣x<0,∴f(﹣x)=x +4x=﹣f(x) ;x<0 时,﹣x>0,∴f(﹣ 2 x)=﹣x +4x=﹣f(x) , ∴函数 f(x)是奇函数 ∵f(a﹣2)+f(a)>0,∴f(a﹣2)>f(﹣a) , ∵函数
2



∴h(x)=﹣x ﹣4x 在[0,+∞)单调递减,h(x)max=h(0)=0 2 g(x)=x ﹣4x 在(﹣∞,0)上单调递减,g(x)min=g(0)=0

由分段函数的性质可知,函数 f(x)在 R 上单调递减 ∵f(a﹣2)>f(﹣a) , ∴a﹣2<﹣a,∴a<1 故选 D. 7.【广东省华附、省实、广雅、深中 2013 届高三上学期期末四校联考】已知错误!未找到引 用源。 ,函数错误!未找到引用源。是它的反函数,则函数错误!未找到引用源。的大致图像 是

【答案】D 【解析】错误!未找到引用源。 ,故选 D。 8.【2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】如图所示的四个容器的高度都相同。将水从容器 顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止。用下面对应的图像显示该容器中水面的高 度 h 和时间 t 之间的关系,其中不正确的有( )

【答案】A 【解析】水不停地注入,所以随着时间的增加,水面的高度 h 是增大的。分析第二个容器, 发现其底面由小变大,故在相同的时间内,由于增加的水的体积是不变的,则水面的高度 h 增加的幅度越来越小,图像就越来越平缓,所以第二个图像是正确的,同理可得第 3、4 个图 像也正确;而第一个图像应为一条直线,错误。故只有 1 个图像错误,选 A 10.[安徽省宣城市 6 校 2013 届高三联合测评考]函数错误! 未找到引用源。 的图像大致是 ( )

【答案】A 【解析】∵错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用源。,结合选项可知选 A. 11.【安徽省皖南八校 2013 届高三第二次联考】已知函数错误!未找到引用源。是错误!未 找到引用源。上的奇函数且满足错误!未找到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。的值为 A.0 B 1 C. 2 D.4

1 2.【北京市东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测】给出下列命题:①在 区间错误!未找到引用源。上,函数错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错 误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。中有三个是增函数;②若错误!未找到引用 源。,则错误!未找到引用源。;③若函数错误!未找到引用源。是奇函数,则错误! 未找到引用源。的图象关于点错误!未找到引用源。对称;④已知函数错误!未找到引 用源。则方程 有错误!未找到引用源。个实数根,其中正确命题 错误!未找到引用源。 (C)

的个数为 (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 (D)错误!未找到引用源。

【答案】C 【解析】①在区间错误!未找到引用源。上,只有错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用 源。是增函数,所以①错误。②由错误!未找到引用源。 ,可得错误!未找到引用源。 , 即错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 ,所以②正确。③正确。④当错误! 未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,由错误!未找到引用源。 ,可知此时有一个 实根。当错误!未找到引用源。时,由错误!未找到引用源。 ,得错误!未找到引用源。 , 即错误!未找到引用源。 ,所以④正确。所以正确命题的个数为 3 个。选 C. 13.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。,且错 误!未找到引用源。 ,集合 A={m|f(m)<0},则 (A) 错误!未找到引用源。都有错误!未找到引用源。 源。都有错误!未找到引用源。 (C) 错误!未找到引用源。使得 f(m0+3)=0 f(m0+3)<0 (D) 错误!未找到引用源。使得 (B) 错误!未找到引用

14.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】给出定义:若 (其 错误!未找到引用源。 中错误!未找到引用源。为整数),则错误!未找到引用源。叫做离实数错误!未找到引用源。 最近的整数,记作错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. 在此基础上给出下列关 ,即 于函数错误!未找到引用源。的四个命题: ①错误! 的定义域是错误! , ; 未找到引用源。 值域是 未找到引用源。 错误! 未找到引用源。 ②点错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的图像的对称中心,其中错误!未 ; 找到引用源。 ③函数错误!未找到引用源。的最小正周期为; ④ 函数错误!未找到引用源。在 上是增函数. 错误!未找到引用源。 则上述命题中真命题的序号是 【答案】①③ 【解析】①中,令错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 。所以正确。②错误! 未找到引用源。 ,所以点错误!未找到引用源。不是函数错误!未找到引用源。的图象的对称 中心,所以②错误。③错误!未找到引用源。 ,所以周期为 1,正确。④令错误!未找到引用 源。 ,则错误!未找到引用源。 ,令错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ,所以错 误!未找到引用源。 ,所以函数错误!未找到引用源。在 上是增函数错 错误!未找到引用源。 误。 ,所以正确的为①③ 15. 【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】 奇函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?2, 2? , f ? x ? 在 若 .

?0, 2? 上单调递减,且 f ?1 ? m ? ? f ? m ? ? 0 ,则实数 m 的取值范围是



16. 【 北 京 市 通 州 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 理 】 对 任 意 两 个 实 数 x1 , x2 , 定 义

? x , x ? x2 , 2 max ? x1 , x2 ? ? ? 1 1 若 f ? x ? ? x ? 2 , g ? x ? ? ? x ,则 max ? f ? x ? , g ? x ? ? 的最小值 ? x2 , x1 ? x2 .
为 . 【答案】错误!未找到引用源。 【解析】因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。时,解得错误!未找到引 用源。或错误!未找到引用源。 。当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,即错 误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 ,做出图象,由图象可知函数的最小值在 A

处,所以最小值为错误!未找到引用源。 。 17.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】已知函数错误!未找到引用源。的定义域为 错误!未找到引用源。 .若错误!未找到引用源。常数错误!未找到引用源。 ,对错误! 未找到引用源。 ,有错误!未找到引用源。 ,则称函数错误!未找到引用源。具有性质错 误!未找到引用源。 .给定下列三个函数: ①错误!未找到引用源。 ; ②错误!未找到引用源。 ; ③错误!未找到引用源。 .

其中,具有性质错误!未找到引用源。的函数的序号是______.

18.【安徽省皖南八校 2013 届高三第二次联考】若函数错误!未找到引用源。对定义域的每 一个值 x1,都存在唯一的 x2,使: 错误!未找到引用源。成立,则称此函数为“滨湖函数”.下 列命题正确的是 ____ (把你认为正确的序号都填上) ①y=x 是“滨湖函数、 ②错误!未找到引用源。是“滨湖函数” ; ③错误!未找到引用源。是“滨湖函数” ; ④错误!未找到引用源。是“滨湖函数” ; ⑤错误!未找到引用源。都是“滨湖函数”,且定义域相等,则错误!未找到引用源。是“滨 湖函数”.

三.拔高题 2 a 2 1.【2012-2013 学年四川省成都市高新区高三(上)统一检测】已知方程 x ﹣9x+2 =0 和 x ﹣ b 6x+2 =0 分别存在两个不等实根, 其中这四个根组成一个公比为 2 的等比数列, a+b= 则 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 2 a 2 b 【解析】设方程 x ﹣9x+2 =0 的两根为 x1,x4,方程 x ﹣6x+2 =0 的两根为 x2,x3,则 a b x1x4=2 ,x1+x4=9,x2x3=2 ,x2+x3=6 ∵四个根组成一个公比为 2 的等比数列,∴x1=1,x2=2,x3=4,x4=8, a b ∴2 =8,2 =8,∴a=b=3

∴a+b=6 故选 D. 2.[2012-2013 学年河南省中原名校高三(上)第三次联考](5 分)定义一个对应法则 f:P (m,n)→P( , )(m≥0,n≥0) , .现有点 A(2,6)与点 B(6,2) ,点 M 是线段 AB 上一动点,按定义的对应法则 f:M→M′.当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时, 点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为 . 【答案】 【解析】由题意知 AB 的方程为:x+y=8, 2 2 2 2 设 M(x,y) ,则 M′(x ,y ) ,从而有 x +y =8, 易知 A(2,6)→A′( 不难得出∠A′OX= 路线长度为 ; ,∠B′OX= ) ,B(6,2)→B′( ,则∠A′OB′= ) ,

,点 M 的对应点 M′所经过的

3. 【 四 川 省 成 都 市 2013 届 高 中 毕 业 班 第 一 次 诊 断 性 检 测 】

已知函数



,给出下列结论:

①函数 f(x)的值域为

;②函数 g(x)在[0,1]上是增函数; ,使得

③对任意 a>0,方程 f(x)=g(x) 在[0,1]内恒有解;④若存在 成立,则实数 a 的取值范围是
__________.

.其中所有正确结论的序号是

4.【北京市东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测】定义映射错误!未找 到引用源。,

其中错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,已知对所有的有序正整数对错误!未 找到引用源。满足下述条件: ①错误!未找到引用源。;②若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。;③错误! 未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 . 【答案】错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 【解析】根据定义得错误!未找到引用源。。错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。,所以根据归纳推理可知错误!未找到引用源。。 5.[2012-2013 学年河南省平顶山许昌新乡三市高三(上)第一次调研考试](5 分)若关于 x 的方程 有三个不等实数根,则实数 k 的取值范围是 .

6.[2012-2013 学年河南省中原名校高三(上)第三次联考]函数的定义域为 D,若满足:①f (x)在 D 内是单调函数;②存在[a,b]上的值域为 功函数”,若函数 范围为( ) A.(0,+∞) ,那么就称函数 y=f(x)为“成 是“成功函数”,则 t 的取值

B.(﹣∞,0)

C.

D.

【答案】D

【解析】因为函数 f(x)= 则若函数 y=f(x)为“成功函数”, 且 f(x)在[a,b]上的值域为

, (c>0,c≠1)在其定义域内为增函数,





,即



故 方程

必有两个不同实数根,



等价于

,等价于



∴方程 m ﹣m+t=0 有两个不同的正数根,∴

2

,∴



故选 D. 7.【2013 年河南省开封市高考数学一模试卷(文科) 】偶函数 ,则关于 x 的方程 A.l B.2 上解的个数是( C.3 ) D.4

8.【广东省华附、省实、广雅、深中 2013 届高三上学期期末四校联考】已知点错误!未找到 引用源。为曲线错误!未找到引用源。上任一点,点错误!未找到引用源。 ,则直线错 误!未找到引用源。的斜率错误!未找到引用源。的取值范围是( A.错误!未找到引用源。 未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 ) C.错误!

D.错误!未找到引用源。

9.【2012-2013 学年江西省南昌二中高三(上)第四次月考】如图,函数 y=f(x)的图象为 * 折线 ABC,设 f1(x)=f(x) n+1 (x)=f[fn(x)],n∈N ,则函数 y=f4(x)的图象为( ,f )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】函数 y=f(x)的图象为折线 ABC,设 f1(x)=f(x) n+1 (x)=f[fn(x)], ,f 由图象可知 f(x)为偶函数,关于 y 轴对称,所以只需考虑 x≥0 的情况即可: 由图 f1(x)是分段函数,

f1(x)=f(x)=

,是分段函数,

∵f2(x)=f(f(x), ) 当 0≤x≤ ,f1(x)=4x﹣1,可得﹣1≤f(x)≤1,仍然需要进行分类讨论: ①0≤f(x)≤ ,可得 0<x≤ ,此时 f2(x)=f(f1(x) )=4(4x﹣1)=16x﹣4, ② ≤f(x)≤1,可得 <x≤ ,此时 f2(x)=f(f1(x) )=﹣4(4x﹣1)=﹣16x+4, 可得与 x 轴有 2 个交点; 当 ≤x≤1,时,也分两种情况,此时也与 x 轴有两个交点; ∴f2(x)在[0,1]上与 x 轴有 4 个交点; 那么 f3(x)在[0,1]上与 x 轴有 6 个交点; ∴f4(x)在[0,1]上与 x 轴有 8 个交点,同理在[﹣1.0]上也有 8 个交点; 故选 D; 10.【安徽省 2013 届高三开年第一考文】若函数错误!未找到引用源。满足错误!未找到引 用源。 ,且错误!未找到引用源。时,有错误!未找到引用源。 ,则函数错误!未找到引用源。 零点的个数为

11.【惠州市2013届高三第三次调研考试】 .已知函数 在

? 2 1 x ? x ? a ? 2 , ≤1, f ? x? ? ? 2 ?a x ? a ,x ? 1 ?

.若

f ? x?

? ?0 , ??


上单调递增,则实数 a 的取值范围为 【答案】 1 ? a ? 2

1 12 ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 x 2 【解析】 , a ? a 是增函

数,所

以a ?1

?1? a ? 2 .
12.【安徽省皖南八校 2013 届高三第二次联考】 若函数错误!未找到引用源。对定义域的 每一个值错误!未找到引用源。 ,都存在唯一的错误!未找到引用源。 ,使错误!未找到引用 源。成立,则 称此函数为“滨湖函数”.下列命题正确的是 ______.(把你认为正确的序号都 填上) ①错误!未找到引用源。是“滨湖函数” ; ②错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。是“滨湖函数” ; ③错误!未找到引用源。是“滨湖函数” ; ④错误!未找到引用源。是“滨湖函数” ; ⑤错误!未找到引用源。都是“滨湖函数” ,且定义域相同,则错误!未找到引用源。是“滨 湖函数” 【答案】②③

13.【2012-2013 学年云南省昆明市高三(上)摸底调研测试】设函数 f(x)满足 f(﹣x)=f (x) ,且当 x≥0 时, ﹣g(x)在 A.3 ,又函数 g(x)=|xsinπ x|,则函数 h(x)=f(x) 上的零点个数为( B.4 【答案】C 【解析】∵f(﹣x)=f(x) , ∴f(x)为偶函数; 又 g(x)=|xsinπ x|, ) C.5 D.6

同理可得 g(x)为偶函数. 令 h(x)=f(x)﹣g(x)=0,x∈[﹣ ,2], 则 h(x)=f(x)﹣g(x)在[﹣ ,2]上的零点个数就是函数 f(x)与 g(x)在[﹣ ,2]上的交点个数. 当 x=0 时,f(0)= =1,g(0)=|0×sin0|=0,f(0)>g(0) ;

当 x= 时,f( )=

= ,g( )=| ×sin

|= ,f( )=g( ) ,

∴f(x)与 g(x)在[0, ]上有一个交点; 同理可得,f(x)与 g(x)在[ ,1],[1, ],[ ,2]上各有一个交点; 又 f(x) 、g(x)均为偶函数, ∴f(x)与 g(x)在[﹣ ,0]上有一个交点; 综上所述,f(x)与 g(x)在[﹣ ,2]上有五个交点. 故选 C. 14.【北京市房山区 2013 届高三上学期期末理】已知函数错误!未找到引用源。,若存在错误! 未找到引用源。 ,使得错误!未找到引用源。,则称错误!未找到引用源。是函数错误!未找 到引用源。的一个不动点,设二次函数错误!未找到引用源。. (Ⅰ) 当错误!未找到引用源。时,求函数错误!未找到引用源。的不动点; (Ⅱ) 若对于任意实数错误!未找到引用源。 ,函数错误!未找到引用源。恒有两个不同的不 动点,求实数错误!未找到引用源。的取值范围; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,若函数错误!未找到引用源。的图象上错误!未找到引用源。两点的 横坐标是函数错误!未找到引用源。的不动点,且直线错误!未找到引用源。是线段错误! 未找到引用源。的垂直平分线,求实数错误!未找到引用源。的取值范围.

即 对于任意实数错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 , 所以 错误!未找到引用源。 ????????7 分 ???????8 分

解得 错误!未找到引用源。

15. 北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】 【 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , y ? 若 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“一阶比增函数” ;若 y ? 称 f ( x ) 为“二阶比增函数”.

f ( x) x

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则 x2

我们把所有 “一阶比增函数” 组成的集合记为 ?1 , 所有 “二阶比增函数” 组成的集合记为 ? 2 . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 2hx ? hx ,若 f ( x) ? ?1 , 且 f ( x) ? ? 2 ,求实数 h 的取值范围;
3 2

(Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x ) ? ?1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x

a
d

b

c

a?b?c
4

f ( x)
求证: d (2d ? t ? 4) ? 0 ;

d

t

(Ⅲ)定义集合 ? ? f ( x ) | f ( x ) ? ? 2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x ) ? k ,

?

?

请问:是否存在常数 M ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立?若存 在,求出 M 的最小值;若不存在,说明理由.

因为

d d b?a ? , 所以 d ( ) ? 0, a b ab

而 0 ? a ? b , 所以 d ? 0 所以 d (2d ? t ? 4) ? 0 ??????8 分

(Ⅲ) 因为集合 ? ? f ( x ) | f ( x ) ? ? 2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x ) ? k , 所以 ?f ( x) ? ? ,存在常数 k ,使得 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立 我们先证明 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立

?

?

假设 ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 , 记
f ( x0 ) ?m?0 x0 2
f ( x) 是增函数. x2

因为 f ( x ) 是二阶比增函数,即 所以当 x ? x0 时,

f ( x ) f ( x0 ) ? ? m ,所以 f ( x ) ? mx 2 x2 x0 2

所以一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k

16.已知定义域为错误!未找到引用源。的函数错误!未找到引用源。同时满足: (1)对于任意错误!未找到引用源。 ,总有错误!未找到引用源。 ; (2)错误!未找到引用源。 ; (3)若错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,则有错误! 未找到引用源。 ; (Ⅰ)证明错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上为增函数; (Ⅱ)若对于任意错误!未找到引用源。 ,总有错误!未找到引用源。 ,求实数错误!未找到 引用源。的取值范围; (Ⅲ)比较错误!未找到引用源。与 1 的大小,并给与证明;

(Ⅲ)令错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。----------①,则 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。--------------②, 由①-②得, 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,即, 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。. 17.【黄浦区 2013 届高三一模】 对于函数错误!未找到引用源。与常数错误!未找到引用源。 ,若错误!未找到引用源。 恒成立,则称错误!未找到引用源。为函数错误!未找到引用源。的一个“P 数对” ;若错误! 未找到引用源。恒成立,则称错误!未找到引用源。为函数错误!未找到引用源。的一个“类 P 数对” .设函数错误!未找到引用源。的定义域为错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引 用源。 . (1)若错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的一个“P 数对” ,求错误!未找 到引用源。 ; (2)若错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的一个“P 数对” ,且当错误!未 找到引用源。时错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,求错误!未找到引用源。在区 间错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。上的最大值与最小值; (3)若错误!未找到引用源。是增函数,且错误!未找到引用源。是错误!未找到引用 源。的一个“类 P 数对” ,试比较下列各组中两个式子的大小,并说明理由. ①错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。+2 错误!未找到引用源。 ;②错误!未 找到引用源。与错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 .

(3)由错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的一个“类 P 数对” ,可知错误!未 找到引用源。恒成立, 即错误!未找到引用源。恒成立,令错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,可得错误! 未找到引用源。 , 即错误!未找到引用源。对一切错误!未找到引用源。恒成立, 所以错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 , 故 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 . ?????????????14 分 若错误!未找到引用源。 ,则必存在错误!未找到引用源。 ,使得错误!未找到引用源。 , 由错误!未找到引用源。是增函数,故错误!未找到引用源。 , 又错误!未找到引用源。 ,故有错误!未找到引用源。 .?????????????18 分 18.(金山区 2013 届高三一模) 已知函数错误!未找到引用源。 ,其中常数 a > 0. (1) 当 a = 4 时,证明函数 f(x)在错误!未找到引用源。上是减函数; (2) 求函数 f(x)的最小值.

19.(浦东新区 2013 届高三一模 理科)

1 ? 0? x? ?2x, ? 2 设函数 T ( x) ? ? ?2(1 ? x), 1 ? x ? 1 ? ? 2
(1)求函数 y ? T ? sin(

? ?

?

? ?? ? x) ? 和 y ? sin ? T ( x) ? 的解析式; 2 ? ?2 ?

(2)是否存在非负实数 a ,使得 aT ( x) ? T (a x ) 恒成立,若存在,求出 a 的值;若不存在, 请说明理由;

? ? ? 1? x ? ?0, ? ?sin 2 ? 2x ? ? 2? ?? ? ? 函数 y ? sin ? T ( x) ? ? ? = sin ?? x ? x ? ? 0,1? ??4 分 ?2 ? ? ? ?1 ? sin ? 2-2x ? x ? ? ,1? ? 2 ?2 ? ?

1 ? 1 ? 0? x? 0 ? ax ? ?2ax, ?2ax, ? 2 ? 2 (2) y ? aT ( x ) ? ? , y ? T (ax ) ? ? ??6 分 ?2a (1 ? x), 1 ? x ? 1 ?2(1 ? ax), 1 ? ax ? 1 ? ? ? 2 ? 2
当 a ? 0 时,则有 a (T ( x)) ? T (ax) ? 0 恒成立. 当 a ? 0 时,当且仅当 a ? 1 时有 a (T ( x)) ? T (ax) ? T ( x) 恒成立. 综上可知当 a ? 0 或 a ? 1 时, a (T ( x)) ? T (ax) 恒成立;?????????8 分 (3)① 当 x ? ? 0,

? ?

1 ? 1 ? 时,对于任意的正整数 j ? N , ? i ? n ? 1 ,都有 0 ? 2 j x ? 1 n ? 2 2 ?
2 j n ?1

故有 y ? Tn ( x) ? Tn ?1 (2 x) ? Tn ? 2 (2 x) ? ? ? Tn ? j (2 x) ? ? ? T (2

x) ? 2 n x ?13 分

解得 k ? ( 0 ,

2m ) , 若将这些根从小到大排列组成数列 ? xn ? , 2m ? 1
1 ? n ? N , ? i ? 2 ? .????????17 分
? m

由此可得 xn

? 2n ? 1? ? (?1)n ?
2
m ?1

? (?1) 2k
n

故数列 ? xn ? 所有 2m 项的和为:

S ? x1 ? x2 ? ? x2m ?1 ? x2m

?

0 ? 2 ? 4 ? ? ? (2m ? 2) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 m 2m ?1 (4m ? 2k ) ? ? .??18 分 2m ? k 2m ? k 4m ? k 2

20(宝山区 2013 届期末) 已知函数错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。. (1)当错误!未找到引用源。时,求错误!未找到引用源。的定义域; (2)若错误!未找到引用源。恒成立,求错误!未找到引用源。的取值范围.

21.(长宁区 2013 届高三一模)已知函数 错误!未找到引用源。 。 (1)求函数错误!未找到引用源。的定义域和值域; (2)设错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。为实数) ,求错误!未找到引用源。在 错误!未找到引用源。时的最大值错误!未找到引用源。 ; (3)对(2)中错误!未找到引用源。 ,若错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。所 有的实数错误!未找到引用源。及错误!未找到引用源。恒成立,求实数错误!未找到引用 源。的取值范围。 (文)已知二次函数 f ? x ? ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? a 。 (1)函数 f ? x ? 在 ? ?? , ? 1? 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)关于 x 的不等式

f ? x? x

? 2 在 x ? ?1 , 2? 上恒成立,求实数 a 的取值范围;
在 ? 2 , 3? 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

(3)函数 g ? x ? ? f ? x ? ?

1 ? ? a ? 1? x 2 x

解:错误!未找到引用源。由 1+x≥0 且 1-x≥0,得-1≤x≤1,所以定义域为错误!未找到引 用源。 ????2 分 又错误! 未找到引用源。 由错误! 未找到引用源。 ≥0 得值域为错误! 未找到引用源。 ???? 4分 (2)因为错误!未找到引用源。 令错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)+t=错误!未找到引 用源。 ????6 分 由题意知 g(a)即为函数错误!未找到引用源。的最大值。 注意到直线错误!未找到引用源。是抛物线错误!未找到引用源。的对称轴。????7 分 因为 a<0 时,函数 y=m(t), 错误!未找到引用源。的图象是开口向下的抛物线的一段,

(3)易得错误!未找到引用源。 , ????14 分 由错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。恒成立, 即要使错误!未找到引用源。恒成立,????15 分 错误!未找到引用源。 ,令错误!未找到引用源。 ,对所有的错误!未找到引用源。成立, 只需错误!未找到引用源。 ????17 分 求出 m 的取值范围是错误!未找到引用源。. ????18 分 (文)解: (1)当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,不合题意;????? 1分 当错误!未找到引用源。时, f ? x ? 在 ? ?? , ? 1? 上不可能单调递增;?????2 分

当错误!未找到引用源。时,图像对称轴为错误!未找到引用源。 , 由条件得错误!未找到引用源。 ,得错误!未找到引用源。 (2)设错误!未找到引用源。 , ?????5 分

?????4 分

当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,

?????7 分

? 2 在 x ? ?1 , 2? 上恒成立,所以错误!未找到引用源。在错误!未找到引用 x 源。时的最小值大于或等于 2, 所以,错误!未找到引用源。 , ?????9 分
因为不等式 解得错误!未找到引用源。 。 ?????10 分

f ? x?

22.(崇明县 2013 届高三一模) 设函数错误!未找到引用源。. (1)当错误!未找到引用源。时,求函数错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。 内的零点; (2)设错误!未找到引用源。 ,证明:错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。 内存在唯一的零点; (3)设错误!未找到引用源。 ,若对任意错误!未找到引用源。 ,有错误!未找到引用源。 , 求错误!未找到引用源。的取值范围. 解: (1)错误!未找到引用源。 ,令错误!未找到引用源。 ,得错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。 。 (2)证明:因为 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 。所以错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 。所以错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。内存在零点。 错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。内单调递增, 所以错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。内存在唯一零点。

23.(奉贤区 2013 届高三一模)设函数错误!未找到引用源。定 义域为错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。. 设点错误!未找到引用源。是函数图像上的任意一点,过点错 误!未找到引用源。分别作直线错误!未找到引用源。和 错误!未找到引用源。轴的垂线,垂足分别为错误!未找到引 用源。 . (1)写出错误!未找到引用源。的单调递减区间(不必证明) ; (4 分) (2)问:错误!未找到引用源。是否为定值?若是,则求出该定 值, 若不是,则说明理由; 分) (7 (3)设错误!未找到引用源。为坐标原点,求四边形错误!未找到引用源。面积的最小值. (7 分)

(2)(文)设错误!未找到引用源。 、 5分 直 线 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 斜 率 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 6分 则错误!未找到引用源。的方程错误!未找到引用源。 7分 联立错误!未找到引用源。 8分 错误!未找到引用源。 11 分

(奉贤区 2013 届高三一模)设函数错误!未找到引用源。定义域为错误!未找到引用源。 , 且错误!未找到引用源。. 设点错误!未找到引用源。是函数图像上的任意一点,过点错误!未找到引用源。分别作 直线错误!未找到引用源。和

错误!未找到引用源。轴的垂线,垂足分别为错误! 未找到引用源。 . (1)写出错误!未找到引用源。的单调递减区间(不 必证明)(4 分) ; (2)设点错误!未找到引用源。的横坐标错误!未找 到引用源。 ,求错误!未找到引用源。点的坐标(用错 误!未找到引用源。的代数式表示)(7 分) ; (3)设错误!未找到引用源。为坐标原点,求四边形 错误!未找到引用源。面积的最小值.(7 分) 解: 、因为函数错误!未找到引用源。的图象过点 (1) 错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。 函 数 4分

2分

f ( x) 在 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 上 是 减 函 数 .

(2)(文)设错误!未找到引用源。 、 5分 直 线 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 斜 率 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 6分 则错误!未找到引用源。的方程错误!未找到引用源。 7分 联立错误!未找到引用源。 8分 错误!未找到引用源。 11 分

25.(虹口区 2013 届高三一模)如果函数错误!未找到引用源。的定义域为错误!未找到引 用源。 ,对于定义域内的任意错误!未找到引用源。 ,存在实数错误!未找到引用源。使得错 误!未找到引用源。成立,则称此函数具有“错误!未找到引用源。性质” . (1)判断函数错误!未找到引用源。是否具有“错误!未找到引用源。性质” ,若具有“错 误!未找到引用源。性质”求出所有错误!未找到引用源。的值;若不具有“错误!未找到 引用源。性质” ,请说明理由. (2)已知错误!未找到引用源。具有“错误!未找到引用源。性质” ,且当错误!未找到引 用源。时错误!未找到引用源。 ,求错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上的最大 值. (3)设函数错误!未找到引用源。具有“错误!未找到引用源。性质” ,且当错误!未找到 引用源。时,错误!未找到引用源。 .若错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。交点 个数为 2013 个,求错误!未找到引用源。的值. 解: (1)由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 ,根据诱导公式得错误!未找到引 用源。错误!未找到引用源。 .错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。具有“错误!未 找到引用源。性质” ,其中错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 . ??????4 分

(3)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。具有“错误!未找到引用源。性质” ,错 误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,从而得到错误!未找到引用源。是以 2 为周期 的函数. 又设错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 . 再设错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。, ) 当错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。则错误!未找到引 ) 用源。 , 错误!未找到引用源。 ; 当错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。则错误!未找到引 ) 用源。 ,错误!未找到引用源。 ; 错误!未找到引用源。对于,错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。,都有错误!未 ) 找到引用源。 ,而错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。是周期为 1 的函数.

(1)若某个似周期函数错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。且图像关于直线错 误!未找到引用源。对称.求证:函数错误!未找到引用源。是偶函数; (2)当错误!未找到引用源。时,某个似周期函数在错误!未找到引用源。时的解析式为错 误!未找到引用源。 ,求函数错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。的解析式; (3)对于确定的错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,试研究似周期函数函数 错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上是否可能是单调函数?若可能,求出 错误!未找到引用源。的取值范围;若不可能,请说明理由. 解: 因为错误! 未找到引用源。 关于原点对称, ???????????????????? 1分 又函数错误!未找到引用源。的图像关于直线错误!未找到引用源。对称,所以 错误!未找到引用源。① ?????????????????????2 分 又错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 用错误!未找到引用源。代替错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 ③ ?????????????????3 分 由①②③可知错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。. 即 函 数 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 是 偶 函 数;????????????????4 分

27.(嘉定区 2013 届高三一模 理科) 设错误!未找到引用源。 ,函数错误!未找到引用源。 . (1)若错误!未找到引用源。 ,求函数错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用 源。上的最大值; (2)若错误!未找到引用源。 ,写出函数错误!未找到引用源。的单调区间(不必证明) ; (3)若存在错误!未找到引用源。 ,使得关于错误!未找到引用源。的方程错误!未找 到引用源。有三个不相等的实数解,求实数错误!未找到引用源。的取值范围. (1)当错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。?(2 分) 作函数图像(图像略) ,可知函数错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上是增 函数,所以错误!未找到引用源。的最大值为错误!未找到引用源。 .????(4 分) (2)错误!未找到引用源。??(1 分) ①当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 , y 因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上单调递增.????(3 分) ②当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 , O 错误!未找到引用源。 a x

②当错误!未找到引用源。时,由(1)知错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。和 错误!未找到引用源。上分别是增函数,在错误!未找到引用源。上是减函数,当且仅当错 误!未找到引用源。时,方程错误!未找到引用源。有三个不相等的实数解. 即错误!未找到引用源。 .????(5 分) 令错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。时是增函数,故错 误!未找到引用源。 .????(7 分) 所以,实数错误!未找到引用源。的取值范围是错误!未找到引用源。 .????(8 分)


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