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2013理科二模-上海市奉贤区高三数学

时间:2013-05-18


2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——奉贤区数学(理科)

2013 年上海市奉贤区高三年级二模试卷——数学(理科)
2013 年 4 月 (考试时间 120 分钟,满分 150 分) 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

/>开始 1、函数 f ( x ) ? 2 sin x 的最小正周期是_____________
2

1? ? 2、在 ? x ? ? 的二项展开式中,常数项是 x? ? 3、已知正数 x 、 y 满足 x ? y ? xy ,则 x ? y 的最小值是
4、执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 5、已知直线 y ? t 与函数 f ( x ) ? 3 x 及函数 g ( x ) ? 4 ? 3 x 的图像分别相交 于 A 、 B 两点,则 A 、 B 两点之间的距离为 6、用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,已知该圆锥的母线与底面所在的 平面所成角为 45 ,容器的高为 10cm,制作该容器需要
0

8

k=1,S=0 S=S+2k k=k+1 k≥6 是 输出 S 结束 第 ( 4)题
45 0
?



cm2

的铁皮 7、 (理)若实数 t 满足 f(t)=-t,则称 t 是函数 f(x)的一个次不动点. 设函数 f ? x ? ? ln x 与反函数的所有次不动点之和为 m,则 m=______
2

8、 (理)关于 x 的方程 x ? mx ? 2 ? 0 ?m ? R ? 的一个根是 1 ? ni n ? R

?

?,

10 cm

在复平面上的一点 Z 对应的复数 z 满足 z ? 1 ,则 z ? m ? ni 的取值范围是 9、 (理)在极坐标系中,直线 ? sin(? ?

第 (6)题

?
4

)?

2 2

与圆 ? ? 2 cos ? 的位置关系是

_

10、 (理)已知函数 f ? x ? ? lg ? a x ? b x ? ? a ? 1 ? b ? 0 ? ,且 a 2 ? b 2 ? 1 , 则不等式 f ? x ? ? 0 的解集是 11、 f ? x ? 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数, 设 已知 x ? (0,1) ,f ? x ? ? log 1 ?1 ? x ? , 则函数 f ? x ? 在 (1, 2)
2

上的解析式是 12、设正项数列 ?a n ? 的前 n 项和是 S n ,若 ?a n ? 和{ S n }都是等差数列,且公差相等, 则 a1 ? d ? 13、理) ( 椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0) 上的任意一点 M (除短轴端点除外)与短轴两个端点 B1 , B 2 的连线交 x

轴于点 N 和 K ,则 ON ? OK 的最小值是 14、 (理)如图放置的等腰直角三角形 ABC 薄片(∠ACB=90° ,AC=2) 沿 x 轴滚动,设顶点 A(x,y)的轨迹方程是 y=f(x),当 x ? [0, 4 ? 2 2 ]时 y=f(x)= _____________
图(14 )

奉贤区 2013 高三数学二模(理科)

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二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
15、下列命题中正确的是( )

(A)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 互为反函数 (B)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是增函数 (C)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是奇函数 (D)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是周期函数 16、 (理)设事件 A , B ,已知 P ( A) = (A)两个任意事件

1 5

,P( B) =

1 3

, P( A ? B) =

8 15

,则 A , B 之间的关系一定为( (D)对立事件



(B)互斥事件

(C)非互斥事件

17、 (理)数列 {an } 前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 成立,则实数 a 的最小值为( (A) )

1 ,且对任意正整数 m, n ,都有 a m ? n ? a m ? a n ,若 S n ? a 恒 5

1 4

(B)

3 4
x2 4

(C)

4 3

(D)4

18、直线 x ? 2 与双曲线 C :

? y 2 ? 1 的渐近线交于 A, B 两点,设 P 为双曲线 C 上的任意一点,若


OP ? a OA ? bOB ( a, b ? R, O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( 1 2 2 2 2 (A) a ? b ? 2 (B) a ? b ? 2 1 2 2 2 2 (C) a ? b ? 2 (D) a ? b ? 2

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤.
19、 (理)长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是正方形, AA1 ? 2, AB ? 1 , E 是 DD 1 上的一点. ⑴求异面直线 AC 与 B1 D 所成的角; ⑵若 B1 D ? 平面 ACE ,求三棱锥 A ? CDE 的体积;

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20、 位于 A 处的雷达观测站, 发现其北偏东 45° 与 A 相距 20 2 海里的 B 处有一货船正以匀速直线行驶, , 20 分钟后又测得该船只位于观测站 A 北偏东 45? ? ? 0 ? ? ? 45
0

?

0

? 的 C 处, AC ? 5


13 .在离观测
B

站 A 的正南方某处 E, cos ?EAC ? ?

2 13 13

(1)求 cos ? ; (2)求该船的行驶速度 v(海里/小时) ;
θ A

C

E

2x
21、三阶行列式 D ? 0

0 b 3

5x ? 2 3 x

,元素 b ?b ? R ? 的代数余子式为 H ? x ? , P ? ?x H ? x ? ? 0? ,

1
(1) 求集合 P ;

(2) (理)函数 f ? x ? ? log 2 ax ? 2 x ? 2 的定义域为 Q , 若 P ? Q ? ? , 求实数 a 的取值范围;
2

?

?

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22、 (理)已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 S n ? (1)求 a1,a3;

n(an ? a1 ) . 2

(2)求证:数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?
a n ?1 3n

,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列?若存在,求出

所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.

23、理) ( 动圆 C 过定点 F ? (1)求 F ? x, y ? ? 0 ;

p ?p ? 且与直线 x ? ? 相切, 其中 p ? 0 .设圆心 C 的轨迹 ? 的程为 F ? x, y ? ? 0 ,0? , 2 ?2 ?

(2)曲线 ? 上的一定点 P ? x 0 , y 0 ? ( y 0 ? 0) ,方向向量 d ? ? y 0 , ? p ? 的直线 l (不过 P 点)与曲线 ? 交与 A、 B 两点,设直线 PA、PB 斜率分别为 k PA , k PB ,计算 k PA ? k PB ; ? ? (3)曲线 ? 上的两个定点 P0 ? x 0 , y 0 ? 、Q0 ? x 0 , y 0 ? ,分别过点 P0 , Q 0 作倾斜角互补的两条直线 P0 M , Q 0 N ? ? ? ? 分别与曲线 ? 交于 M , N 两点,求证直线 MN 的斜率为定值;

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上海市奉贤区 2013 年高考二模数学试题(理科) 参考答案
一、填空题 1. ? ; 4.62; 7. (理)0; (文)
2 3

2. 70 ; 5. log 3 4 ;

8. (理) 5 ? 1, 5 ? 1 ; (文) ? 1 11. y ? log 1 ? x ? 1?
2

?

?

3. 4 ; 6. 100 2? ; 9. (理)相离; (文) y ? 2 x ? 1 12.
3 4

10. (理) ?x x ? 2?; (文) ?0,2? 13. (理) 2a (文)
1 3

? 8 ? ? x ? 2 ?2 ?0 ? x ? 2 ? ? 14. (理) f ? x ? ? ? (每空 2 分) 2 ? 8 ? ?x ? 4? 2 ? x ? 4 ? 2 2 ? 36 ? 2b 2

?

?

(文)

3

二、选择题 15. C 16. 理 B 三、解答题

文D

17. 理 A 18. B

文 B

19、 (理)以 D 为原点, DA 、 DC 、 DD 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 1分 ⑴依题意, D (0 , 0 , 0) , A(1 , 0 , 0) , C (0 , 1 , 0) , B1 (1 , 1 , 2) 所以 AC ? (?1 , 1 , 0) , DB1 ? (1 , 1 , 2) 所以 DB 1 ? AC ? 0 , ⑵设 E (0 , 0 , a ) ,则 AE ? ( ?1 , 0 , a ) 因为 B1 D ? 平面 ACE , 所以异面直线所成角为 , 3分

? 2

6分 7分

AE ? 平面 ACE ,所以 B1 D ? AE
所以 DB 1 ? AE ? 0 ,所以 ? 1 ? 2a ? 0 , a ? 所以 V A?CDE ?
1 3 ? 1 2 ?1? 1 2 ?1 ? 1 12

9分

1 2

10 分 12 分

19、 (文)解: (1)由题意得 AE ‖ BG , ?DGB (或其补角)就是所求的异面直线所成的角 计算 DG ?
5 2 , BG ? 5 2 , DB ? 2

2分 4分

cos ?DGB ?

1 5

所以所求的异面直线的角大小 arccos

1 5

6分

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(2) ABCD ? A1 B1C1 D1 中,有 BC ⊥面 EGC 所以 BC 是三棱锥 B ? C1CE 的高, 9分 12 分 2分

1 1 1 ? ? 1? 1? 1 ? . 3 3 2 6 2 13 3 13 ,? sin ? EAC ? 1 ? cos 2 ? EAC ? 20、 (1)? cos ? EAC ? ? 13 13 3? 3? ? 3? ? cos ? ? cos? ? ? EAC ? ? cos ? cos ? EAC ? sin ? sin ? EAC 4 4 ? 4 ? V B1 ? C1CE ? 1 ? S C1CE ? BC ?
??

2 2

13 2 13 26 2 2 2 (2)利用余弦定理 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos ? ? 125 ,? BC ? 5 5
该船以匀速直线行驶了 20 分钟的路程为 5 5 海里, 该船的行驶速度 v ?

? (?

2 13

)?

2

?

3 13

?

5 26

6分 10 分

5 5 ? 15 5 (海里/小时) 1 3

14 分

21、解: 、 H ? x ? ? ? (1)

2x 1

5x ? 2 x

= 2 x ? 5x ? 2
2

3分 7分

? 1 ? P ? ? x ? x ? 2? ? 2 ?
(2)(理) 、

若 P ? Q ? ? , 则说明在 ? , 2 ? 上至少存在一个 x 值,使不等式 ax ? 2 x ? 2 ? 0 成立, 8 分 2
2

?1 ?

? ?

即在 ? , 2 ? 上至少存在一个 x 值,使 a ? ? 2 成立, x x ?2 ? 令u ?

?1

?

2

2

9分 11 分

2 x
2

?

2 x2
2

, 则只需 a ? u min 即可。
2

1 ?1 1? 又 u ? ? 2 ? ?2 ? ? ? ? . x x 2 ? x 2? 1 ?1 ? 1? ? ?1 ? 当 x ? ? , 2 ? 时, ? ? , 2 ? , u ? ? ? 4, ? , u min ? ? 4 从而 u min ? ?4 x ?2 ? 2? ?2 ? ? 由⑴知, umin ? ?4, ? a ? ?4.
2、(文) 若 P ? Q , ,则说明不等式 ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 x ? ? , 2 ? 上恒成立, 8 分 2
2

13 分 14 分

?1 ?

? ?

即不等式 a ? 令u ?

2 x

?

在 x ? ? , 2 ? 上恒成立, x ?2 ?
2

2

?1

?

9分 11 分

2 x
2

?

2 x2
2

, 则只需 a ? u max 即可。
2

1 ?1 1? 又 u ? ? 2 ? ?2 ? ? ? ? . x x 2 ? x 2?

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当 x ? ? , 2 ? 时, ? ? , 2 ? , 从而 u ? ? ?4, ? , u max ? , x ?2 ? 2? 2 ? ?2 ?

?1

?

1

?1

?

?

1?

1

13 分 14 分

?a ?

1 2

.

22、 (理)解:(1)令 n=1,则 a1=S1=

1( a1 ? a1 ) =0. 2 n(an ? a1 ) na (2)由 S n ? ,即 Sn ? n , ① 2 2 ②-①,得 (n ? 1 an ?1 ? nan . )

2 分; 得
S n ?1 ?

a3=2;
( n ? 1 an ?1 ) . 2

3分 ②

③ ④

5分 7分

于是, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 . ③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 . 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1. 法二②-①,得 (n ? 1 an ?1 ? nan . ) 于是,



9分 5分 7分 9分 10 分

a n ?1 n
?1

?

an n ?1

,?

an n ?1

?

a n ?1 n?2

???

a2 1

?

an n ?1

所以,an=n-1.

(3)假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列, 则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列,

2p q 于是, p ? 1 ? q . 11 分 3 3 3 2p 所以, q ? 3q ( p ? 1 ) (☆).易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解. 12 分 3 3 2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p 当 p≥3,且 p∈N*时, ? p ? p ?1 <0, 3 p ?1 3 3 2p 故数列{ p }(p≥3)为递减数列 14 分 3 2p 于是 p ? 1 ≤ 2 ? 3 ? 1 <0,所以此时方程(☆)无正整数解. 15 分 3 3 3 33

综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq 成等比数列. 22、 (文) 解: (1)设等差数列 ?a n ? 的首项 a 1 ,公差 d , a n ? a1 ? ( n ? 1) d

16 分

a n ?1 ? a n ?1 ? 2 a n ? a1 ? nd ? a1 ? ( n ? 2) d ? 2 a1 ? 2( n ? 1) d ? 0
所以任何的等差数列不可能是“Z 数列” 或者根据等差数列的性质: a n ?1 ? a n ?1 ? 2 a n 所以任何的等差数列不可能是“Z 数列” (2)假设 ?lg a n ? 是等比数列,则

3分 4分 3分 4分 6分 7分 11 分 11 分

? a n 是“Z 数列” ,所以 lg a n ?1 ? lg a n ?1 ? 2 lg a n
? a n ? ?1 ? a n ?1 ? a n ,所以 ?a n ? 不可能是等比数列,
2

等比数列 c n ? c1 ? q 其他的也可以: c n

?c1 ? 0, q ? 1? 只要首项 c1 ? 0 公比 q ? 1 ? an 2 ? bn ? c ?a ? 0 ?
n ?1

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等比数列 ?c n ? 的首项 c 1 ,公比 q ,通项公式 c n ? c1 ? q

c n ? an 4 ( a ? 0)

n ?1
2

c n ?1 ? c n ?1 ? 2c n ? c1 ? q n ? c1 ? q n ? 2 ? 2c1 ? q n ?1 ? c1 ? q n ? 2 ?q 2 ? 2 q ? 1? ? c1 ? q n ? 2 ? ?q ? 1? ? 0 恒 成 立 ,

? c1 ? 0
补充说明:分析: a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 ,

a n ?1 ? a n ( n ? 1) ? n

?

a n ? a n ?1 n ? ( n ? 1)

根据几何意义只要 c n ? f ?n ? 的一阶导函数单调递减就可以 (3)因为

bs ? a s ?1 ? a s , bs ?1 ? a s ? 2 ? a s ?1 , bs ? 2 ? a s ? 3 ? a s ? 2 ,??, bt ?1 ? a t ? a t ?1

a t ? a s ? a t ? a t ?1 ? a t ?1 ? a t ? 2 ? ? ? a s ?1 ? a s ? bt ?1 ? bt ? 2 ? ? ? bs ??? ???? ? ?
一共 t ? s ?1项

12 分

同理: a t ? m ? a s ? m ? a t ? m ? a t ? m ?1 ? a m ? t ?1 ? a m ? t ? 2 ? ? ? a s ? m ?1 ? a s ? m ? bt ? m ?1 ? bt ? m ? 2 ? ? ? bs ? m 13 分 ???? ????? ? ?
一共 t ? s ?1项

因为数列 {b n } 满足对任意的 n ? N 均有 bn ?1 ? bn ,
*

所以 bt ?1 ? bt ? m ?1 , bt ? 2 ? bt ? m ? 2 , ? , bs ? m ? bs ,

14 分 16 分

at ? a s ? at ? m ? a s ? m
23、 (理) (1)过点 C 作直线 x ? ? 定直线 x ? ?

p 2

的垂线,垂足为 N ,由题意知: CF ? CN ,即动点 C 到定点 F 与 2分 4分

p 2

的距离相等,由抛物线的定义知,点 C 的轨迹为抛物线,

p 2 其中 F ? p , 0 ? 为焦点, x ? ? 为准线,所以轨迹方程为 y ? 2 px? p ? 0 ? ; ? ?
?2 ?

2

(2)证明:设 A( x1 , y1 )、B( x 2 , y 2 ) 过不过点 P 的直线方程为 y ? ?

p y0

x?b
6分

5分

? y 2 ? 2 px 2 由? ? y ? ? p x ? b 得 y ? 2 y0 y ? 2 y0b ? 0 ? y0 ?

则 y1 ? y 2 ? ? 2 y 0 ,

7分

k AP ? k BP ?

y1 ? y 0 x1 ? x 0

?

y2 ? y0 x2 ? x0

=

y1 ? y 0 y
2 1

2p
=
2 p ( y1 ? y 2 ? 2 y 0 ) ( y1 ? y 0 )( y 2 ? y 0 )

?

y

2 0

?

y2 ? y0 y
2 2

2p

2p

?

y

2 0

=

2p y1 ? y 0

?

2p y2 ? y0

8分

2p
10 分

=0.

(3)设 M ? x1 , y1 ? , N ? x 2 , y 2 ?

k MN ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

= y 2 ? y1 =
2 y2

2p y1 ? y 2

(***)

12 分

2p

?

y12 2p

设 MP 的直线方程为为 y ? y 0 ? k ? x ? x 0 ? 与曲线 y ? 2 px 的交点 P0 ? x 0 , y 0 ?, M ? x1 , y1 ?
2

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由? ?

y 2 ? 2 px

? y ? y0 ? k ( x ? x0 )

, y2 ?

2p k

y?

2 py 0 k

? 2 px0 ? 0 的两根为 y 0 , y1
14 分

则 y 0 ? y1 ?

2p k 2p ?k

? y1 ?

2p k

? y0 ? y0 ?

同理 y 0 ? y 2 ?

?

,得 y 2 ? ?
?

2p k
?

15 分 17 分 18 分

代入(***)计算 y1 ? y 2 ? ?? y 0 ? y 0 ? ? ? ?
? k MN ? ? 2p y0 ? y0 ?

23、 (文) (1)过点 C 作直线 x ? ?1 的垂线,垂足为 N ,由题意知: CF ? CN , 即动点 C 到定点 F 与定直线 x ? ?1 的距离相等, 由抛物线的定义知,点 C 的轨迹为抛物线 (2)证明:设 A( x1 , y1 )、B( x 2 , y 2 ) 由题得直线的斜率 ? 1 过不过点 P 的直线方程为 y ? ? x ? b 5分 6分 2分 4分

其中 ?1,0 ? 为焦点, x ? ?1 为准线,所以轨迹方程为 y ? 4 x ;
2

? y 2 ? 4x 2 由? 得 y ? 4 y ? 4b ? 0 ?y ? ?x ? b 则 y1 ? y 2 ? ?4 。

P ?1,2 ?

7分

k AP ? k BP ?

y1 ? 2 x1 ? 1

?

y2 ? 20 x2 ? 1

=

y1 ? 2 y
2 1

?

y2 ? 2 y
2 2

=

4 y1 ? 2

?

4 y2 ? 2
10 分

8分

4
=

?1

4

?1

4 ( y1 ? y 2 ? 4 ) ( y1 ? 2 )( y 2 ? 2 ) y 2 ? y1 x 2 ? x1

=0.

(3)设 M ? x1 , y1 ? , N ? x 2 , y 2 ?

k MN ?

=

y 2 ? y1 y
2 2

4 设 MP 的直线方程为 y ? y 0 ? k ? x ? x 0 ?
? y 2 ? 4x 4 y0 4 2 由? ,y ? y? ? 4 x0 ? 0 k k ? y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 4 4 则 y 0 ? y1 ? ? y1 ? ? y 0 k k 2p 4 同理 y 0 ? y 2 ? ? ,得 y 2 ? ? ? y 0 k k 代入(***)计算得: y1 ? y 2 ? ?2 y 0

4

?

y

2 1

=

4 y1 ? y 2

(***)

12 分

15 分 16 分 17 分 18 分

? k MN ? ?

2 y0

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