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辽宁省实验中学分校2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


辽宁省实验中学分校 2015—2016 学年度上学期期末考试 数学学科 高一年级

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {2015 非空集合 ? 满足 A ? B ? {2015 则满足条件的集合 ,2016 }, ,2016 },

>? 的个数是
A. 1 2.函数 y= A. ?1,2? B. 2 C. 3





D. 4 ( )

log 2 ( x ? 1) 2? x

的定义域是 B. (1,2) C. (2,+∞)

D.(-∞,2) ( )

3.已知空间中两点 A(1, 2, 3) , B(4 , 2 , a) ,且 | AB |? 10 ,则 a 的 值是 A.2 B. 4 C.0

D. 2 或 4

4.某三棱锥的三视图如右图所示,该三棱锥的表面积是( A. 56 ? 12 5 C. 30 ? 6 5 B. D.



60 ? 12 5 28 ? 6 5

5.直线 l 将圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 平分, 且与直线
2 2

x y ? ? 1 平行, 则直线 l 的方程是 ( 2 4



A. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. 2 x ? y ? 0
a

B. x ? 2 y ? 3 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0
b

?1? ?1? 6.设 a, b, c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log2 c .则 ?2? ?2? 2 2
A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b

c





D. b ? a ? c

7.设 m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,有以下四个命题: ① 若 ? // ? , ? // ? , 则 ? // ? ②若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ?

高一数学第 1 页

共4页

1

③ 若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? 其中正确命题的序号是

④若 m // n,

n ? ? ,则 m // ?
( )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 2 8.函数 f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且 f(x+1)为奇函数,当 x>1 时,f(x)=2x - 12x + 16 , 则 直 线 y = 2 与 函 数 f(x) 图 象 的 所 有 交 点 的 横 坐 标 之 和 是 ( A.1
x

) B.2 C.4 D.5 ( )

9.若 x1 满足 2 x ? 2 ? 5 , x2 满足 2 x ? 2log2 ( x ?1) ? 5 ,则 x1 + x2 = A.

5 2
2

B.3
2

C.

7 2

D.4 )

10.过点(3, 1)作圆(x-1) +y =1 的两条切线, 切点分别为 A, B, 则直线 AB 的方程为( A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0

11.设 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,且对任意 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立,如果实 数 m, n 满足不等式 f (m ? 6m ? 21) ? f (n ? 8n) ? 0 ,那么 m 2 ? n 2 的取值范围是 (
2 2

)

A. (9,49) B. (13,49) C. (9,25) D. (3,7) 12.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小 值为 ( )

A.

3?2 6 3

B. 2+

2 6 3

C. 4+

2 6 3

D.

4 3?2 6 3

王新敞
奎屯

新疆

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.函数 y ? log a ( x ?1) ? 8 (a ? 0 且 a ? 1) 的图象恒过定点 P , P 在幂函数 f ( x ) 的图象上, 则 f (3) ? ___________. 14.直线 ? 2m ? 1? x ? ? 3m ? 2 ? y ? 1 ? 5m ? 0 被圆 x ? y ? 16 截得弦长的最小值为
2 2

.

?2 x ? a , x ? 0, ? f ( x) ? ? 2 ? ? x ? 3ax ? a, x ? 0 有三个不同的零点,则实数 a 的取 值范围是_____. 15.已知函数
16.如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1, 线段 B1 D 1 上有 两个动点 E 、 F ,且 EF ? ① AC ? BE ;

1 .有下列结论: 2
共4页

② EF ∥平面 ABCD ;

高一数学第 2 页

2

③三棱锥 A ? BEF 的体积为定值; ④△ AEF 的面积与△ BEF 的面积相等. 其中正确的有 .(写出所有正确结论的序号) 三、解答题 (本大题共 6 小 题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 设U ? R , A ? x 1 ? x ? 3

?

? , B ? ?x 2 ? x ? 4 ? , C ? ? x a ? x ? a ? 1 ? ( a 为实数)

(1)分别求 A ? B , A ? (CU B) ; (2)若 B ? C ? C ,求 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 已知△ ABC 的顶点 A(5,1) , AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 , AC 边上 的高 BH 所在直线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 . ⑴求顶点 C 的坐标; ⑵求直线 BC 的方程. 19.(本小题满分 12 分) 已知如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AA 1 ? AC ,且 AB ? AC , M 是 CC1 的中 点, N 是 BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上. (Ⅰ)若 P 为 A1B1 中点,求证: NP // 平面 ACC1 A 1; (Ⅱ)证明: PN ? AM

A1

P
B1 C1

A B
y _

M

20. (本小题满分 12 分)

N

L
M _

C

2 已知圆 O 的 直径 AB=4,定直线 l 到圆心的距离为 4,且 0 直线 l ⊥直线 AB. 点 P 是圆 O 上异于 A、B 的任意一点, 0 直线 PA、PB 分别交 l 与 M、N 点. 如图,以 AB 为 x 轴, 9 0 O _ A _ 圆心 O 为原点建立平面直角坐标系 xOy . 4 0 (Ⅰ)若∠PAB=30°,求以 MN 为直径的圆方程; 6 (Ⅱ)当 点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点.

P _

B _

x _

N _

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共4页
3

21. (本小题满分 12 分) 如 图 甲 , ⊙ O 的 直 径 AB ? 2 , 圆 上 两 点 C , D 在 直 径 AB 的 两 侧 , 使 .沿 直 径 AB 折 起 ,使 两 个 半 圆 所 在 的 平 面 互 相 垂 直( 如 4 3 图 乙 ) , F 为 BC 的 中 点 , E 为 AO 的 中 点 . P 为 AC 上 的 动 点 , 根 据 图 乙 解 答 下列各题:

?C A B ?

?

, ?DAB ?

?

( 1 ) 求三棱锥 D ? ABC 的体积. ( 2 ) 求 证 : 不 论 点 P 在 何 位 置 , 都 有 DE ⊥ BP ; ( 3 )在 BD 弧 上 是 否 存 在 一 点 G ,使 得 FG ∥ 平 面 A C D? 若 存 在 ,试 确 定 点 G 的 位置;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? log2 (1 ? a ? 2x ? 4x ) ,其中 a 为常数 (1)当 f (2) ? f (1) ? 2 时,求 a 的值; (2)当 x ? [1, ??) 时,关于 x 的不等式 f ( x) ? x ? 1 恒成立,试求 a 的取值范围; (3)若 a ? R ,试求函数 y ? f ( x) 的定义域.

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4

高一数学参考答案 一、CBDCC AADCA AC

二、13.27 三、

14、 2 14

15、

4 ? a ?1 9

16、①②③.

17.(本小题满分 10 分) 解:(1) A∩B={x|2<x≤3},…………2 分
U

B={x|x≤2 或 x≥4}

A∪( UB)= { x|x≤3 或 x≥4}……………….5 分 (2)∵B∩C=C ∴C ? B……… ………… …….7 分 ∴2<a<a+1<4……………….9 分 ∴2<a<3 ∴a 的取值范围为(2,3)……………………..10 分

19. (本小题满分 12 分) ⑴ 解 : 由 题 意 可 知 , 直 线 AC 的 斜 率 为 ?2 , 又 A( 5 , 1) , ∴ 直 线 AC 的 方 程 为

2x ? y ? 1 1 ? 0。 ………3 分 且点 C 在直线方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 上, ………4 分 联立可求 C (4,3) 。 ………6 分 ⑵由题意可知,点 B 在直线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 上,不妨设 B(2t ? 5, t ) ,所以 AB 的 t ?1 ) ,且点 M 在直线 2 x ? y ? 5 ? 0 上,代入可求 t ? ?3 。 中点 M 的坐标为 (t ? 5, 2 ∴ B(?1, ?3) 。 ………10 分 BC 故可求得直线 的方程为 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 。 ………12 分
19、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:取 AC 中点为 Q ,连接 A1Q , NQ ,

1 NQ ? AB , 在 ?ABC 中, 2


-------------2

1 又 A1 P ? AB 2
所以, NQ ? A 1PNQ 是平行四边形. 1P ,即四边形 A 故 NP ? AQ , 1 -------------4 分
5

又 NP ? 平面 ACC1 A ? 平面 ACC1 A1 , 1 , AQ 1 所以, NP ? 平面 ACC1 A 1. -------------6 分

A1
(Ⅱ)证明:连接 B1 N , 在正方形 ACC1 A 1 中,

P
B1 C1

Rt ?AAQ ? Rt ?CAM , 1
所以, ?MAC 与 ?A1QA 互余, 故 AM ? AQ , 1 -------------8 分

A
Q

M

又 A1B1 ? AA1 , A1B1 ? AC , AC ? AA1 ? A ,

B

N

C

AM ? 平面 ACC1 A1 , 所以, A1 B1 ? 平面 ACC1 A 1 ,又
故 A1 B1 ? AM . -------------10 分 又 A1Q ? A1B1 ? A1 , 所以 AM ? 平面 AQNB 1 1, 又 PN ? 平面 AQNB 1 1, 所以 PN ? AM -------------12 分 20. (本小题满分 12 分)
2 2 解:⊙O 的方程为 x ? y ? 4 ,直线 L 的方程为 x ? 4 .

(Ⅰ)∵∠PAB=30°, ∴点 P 的坐标为 (1, 3) , ∴ l AP : y ?

3 ( x ? 2) , lBP : y ? ? 3( x ? 2) 3

将 x=4 代入,得 M (4, 2 3), N (4, ?2 3) ∴MN 的中点坐标为(4,0) ,MN= 4 3 ∴以 MN 为直径的圆的方程为 ( x ? 4) ? y ? 12
2 2

同理,当点 P 在 x 轴下方时,所求圆的方程仍是 ( x ? 4) ? y ? 12 .
2 2

因此所求圆的方程是 ( x ? 4) ? y ? 12
2 2

-------------6 分
6

2 2 2 2 (Ⅱ)设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,∴ x0 ,∴ y0 ? y0 ? 4 ( y0 ? 0 ) ? 4 ? x0

∵ lPA : y ?

y0 y ( x ? 2), lPB : y ? 0 ( x ? 2) ,将 x=4 代入, x0 ? 2 x0 ? 2

得 yM ?

6 y0 2 y0 , yN ? x0 ? 2 x0 ? 2

∴ M (4,

4 x0 ? 4 6 y0 2 y0 6 y0 2 y0 ), N (4, ) ,MN= ? ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 y0
4( x0 ? 1) ) y0
2 12 ? 3 x0

MN 的中点坐标为 (4, ?

4( x0 ? 4) 2 16( x0 ? 1) 2 4 ? ? 以 MN 为直径的圆 C 截 x 轴的线段长度为 2 2 2 y0 y0 y0

?

4 3 4 3 2 4 ? x0 ? y0 ? 4 3 为定值 y0 y0
∴⊙ O 必过⊙O 内 定点 (4 ? 2 3,0) . -------------12 分
/

21. (本小题满分 12 分) ( 1)

3 6

-------------4 分

(2)∵ P ? AC ,∴ P ? 面ABC ,∴ PB ? 面ABC .又由(1)知, DE ? 面ABC . ∴ 不 论 点 P 在 何 位 置 , 都 有 DE ⊥ BP . -------------8 分 理由如下:

(3) BD 弧上存在一点 G ,满足 DG ? GB ,使得 FG ∥ 面ACD .

连结 OF , FG, OG ,则 ?ABC 中, F , O 为 BC, AB 的中点.∴ FO ∥ AC . 又∵ FO ? 面ACD ,AC ? 面ACD , ∴ FO ∥ 面ACD . 弧的中点,∴ ?BOG ? ∵ ?BAD ?

?
3

, 且 G 为 BD

?
3

.∴ AD ∥ OG . 且 FO ? OG ? O ,

又 OG ? 面ACD , AD ? 面ACD , ∴ OG ∥ 面ACD .

FO, OG ? 面FOG .∴ 面FOG ∥ 面ACD .
又 FG ? 面FOG ∴ FG ∥ 面ACD . -------------12 分
7

23. (本小题满分 12 分) (1). f (2) ? f (1) ? 2 ? log2 (1 ? 4a ? 16) ? log2 (1 ? 2a ? 4) ? log2 4

? log2 (17 ? 4a) ? log2 4(5 ? 2a) ? 17 ? 4a ? 20 ? 8a ? a ? ? ………( 3 分)
(2) log2 (1 ? a ? 2x ? 4x ) ? x ?1 ? log2 2x?1

3 4

1 ? a ? 2x ? 4x ? 2x ?1 ?
令t ? 2
x

a ? ?2 x ?

1 1 ? 2x 2

∵ x ? [1, ??)

∴ t ? [2, ??)

设 h(t ) ? ?t ? ?

1 1 , 2 ? t1 ? t2 t 2

h(t1 ) ? h(t2 ) ? ?t1 ?

t t ?1 1 1 ? t2 ? ? (t2 ? t1 ) ? 1 2 t1 t2 t1t2

(t2 ? t1 ) ? 0 , t1t2 ?1 ? 0 , t1t2 ? 0 h(t1 ) ? h(t2 )
1 1 h(t ) 在 [2, ??) 上为减函数 ? t ? 2 时, y ? ?t ? ? 有最大值为 ?2 t 2 ∴ a ? ?2 ………(7 分)
(3) 1 ? a ? 2 ? 4 ? 0
x x

?
2

令m ? 2

x

( m ? 0 )即 m ? a ? m ? 1 ? 0

2 ①当 ? ? a ? 4 ? 0 ? ?2 ? a ? 2

m? R ? x ? R
2 ②当 ? ? a ? 4 ? 0 ? a ? 2或a ? ?2

2 若 a ? 2 , (m ? 1) ? 0 又 m ? 0 ? x ? R 2 若 a ? ?2 , (m ?1) ? 0 又 m ? 1 ? x ? x x ? 0, x ? R

?

?

2 ③当 ? ? a ? 4 ? 0 ? a ? 2或a ? ?2

设 g (m) ? m ? a ? m ? 1
2

而 g (0) ? 1 ? 0

若a ? 2,?

a ? ?1 而 m ? 0 ? 2

x?R

若 a ? ?2 , ?

a ?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 ? 1而 m ? 0 ? 0 ? m ? 或m ? 2 2 2
8

? 2x ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 或2 x ? 2 2 ?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 或x ? log 2 2 2

? x ? log 2

综上:①当 a ? ?2 时 f ( x ) 定义域为 R ②当 a ? ?2 时

f ( x) 定义域为 (??,log 2

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 )U (log 2 , ??) ………(12 分) 2 2

9


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