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必修一2.3幂函数

时间:2011-04-08


教学内容分析 本节课是新课标高中数学A版必修①中第二章 本节课是新课标高中数学 版必修① 版必修 第三节。 第三节。幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又 一基本函数。通过本节课的学习, 一基本函数。通过本节课的学习,学生将建立幂函数 这一函数模型, 这一函数模型,并能用系统的眼光看待以前已经接触 的函数,进一步确立利用函数的定义域、值域、 的函数,进一步确立利用函数的定义域、

值域、奇偶 单调性研究一个函数的意识, 性、单调性研究一个函数的意识,因而本节课更是一 个对学生研究函数的方法和能力的综合提升,同时, 个对学生研究函数的方法和能力的综合提升,同时, 通过幂函数的学习,对培养学生相互联系、 通过幂函数的学习,对培养学生相互联系、相互转化 的思想,培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 的思想,培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

教学目标: 教学目标:



通过实例,了解幂函数的概念;结合函数 x 通过实例,了解幂函数的概念;结合函数y=x,
2 3 1/2

y=x , y=x , y=1/x, y=x 的图像,了解幂函数的 x x x x 的图像, 图象和性质它们的变化情况。 图象和性质它们的变化情况。 能够类比研究一般函数、指数函数、 ⑵ 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数 的过程与方法,来研究幂函数的图象和性质. 的过程与方法,来研究幂函数的图象和性质.并能 进行简单的应用. 进行简单的应用. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. ⑶ 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

教学重难点: 教学重难点:

从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质, 难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质, 体会图象的变化规律. 体会图象的变化规律.

教学流程
创设情境 组织探究 尝试练习 巩固反思 作业回馈 问题引入. 问题引入. 幂函数的图象和性质. 幂函数的图象和性质. 幂函数性质的初步应用. 幂函数性质的初步应用. 复述幂函数的图象规律及性质. 复述幂函数的图象规律及性质. 幂函数性质的初步应用. 幂函数性质的初步应用.

问题引入: 问题引入:函数的生活实例
问题1:如果张红购买了每千克1元的蔬菜 千克, 元的蔬菜w千克 问题 : 如果张红购买了每千克 元的蔬菜 千克 , 那么她需要付的钱数p 那么她需要付的钱数 =w 元, 这里p是 的函数 。 这里 是w的函数 y = x 问题2:如果正方形的边长为a, 问题 :如果正方形的边长为 ,那么正方形的面积 y = x? 是S = a? , 这里S是 的函数 这里 是a的函数 。 问题3:如果正方体的边长为a, 问题 :如果正方体的边长为 ,那么正方体的体积 y= x? 是V = a?,这里 是a的函数 。 这里V是 的函数 问题4:如果正方形场地的面积为 如果正方形场地的面积为S, 问题 如果正方形场地的面积为 , 那么正方形的 1 1 边长a= 这里 是S的函数 。 边长 S 2 , x2 这里a是 的函数 y= 问题5:如果某人t 内骑车行进了 内骑车行进了1km,那么他骑 问题 :如果某人 s内骑车行进了 , y=x? t ?1km/s 这里 是t的函数 。 y=x 1 车的平均速度v 车的平均速度 = ,这里v是 的函数 来表示,函数值用 函数值用y来 若将它们的自变量全部用x来表示 函数值用 来 表示,则它们的函数关系式将是 则它们的函数关系式将是: 表示 则它们的函数关系式将是

以上问题中的函数有什么共同特征? 以上问题中的函数有什么共同特征?
(1)

(2) (3) (4) (5)

y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1

(1)都是函数; )都是函数;
(2)均是以自变量为底的幂; )均是以自变量为底的幂; 3)指数为常数; (3)指数为常数; (4)自变量前的系数为 。 )自变量前的系数为1。

上述问题中涉及的函数, 的函数。 上述问题中涉及的函数,都是形如y=xα的函数。

一、定义

几点说明: 几点说明
1 1、对于幂函数,我们只讨论 α =1,2,3, , =1, 2 -1时的情形。 2、幂函数不象指数函数和对数函数,其定义 域随α 的不同而不同。

练习1
判断下列函数是否为幂函数。 判断下列函数是否为幂函数。 (1) y=x4 (2) y=2x2 (3) y= -x2

(4) y = 2
(5) y = x

x

?2

(6) y=x3+2

练习2 练习
、 知 函 y 图 过 (2, 1 已 幂 数 = f (x)的 象 点 2), 试 出 个 数 解 式 求 这 函 的 析 .

y=x

1 2

二、五个常用幂函数的图象: 五个常用幂函数的图象: 函数的图象
y = x2 y y = x3
(-2,4)
4

(2,4)

3

y=x
y=x
4 6

2

1 2

(-1,1)
-4 -2

1

(1,1)
2

y=x?1

(-1,-1)

x

-1

-2

从图象能得出它 们的性质吗? 们的性质吗

-3

函数y=x的图象和性质 的图象和性质 函数

定义域: 定义域: 值 域: 奇偶性: 奇偶性:

R R

奇函数 在R 单调性: 单调性: 上是增函数

函数y=x2的图象 函数 和性质

定义域: 定义域:

R

值 域:[0,+∞) 奇偶性: 奇偶性: 偶函数
在 单调性: 单调性: [0,+∞)上是增函数

在 ,0]上 减 数 (?∞ 是 函

函数y=x3的图 函数 象和性质

定义域: 定义域: 值 域:

R R

奇偶性: 奇偶性:奇函数 单调性: 上是增函数 单调性: 在R

函 y=x 数

1 2

的 像 性 图 和 质

定义域: 定义域: [0,+∞) 值 域: [0,+∞) 奇偶性: 奇偶性: 非奇非偶函数

在 是 函 单调性: [0,+∞)上 增 数 单调性:

函数y=x-1的图象 函数 和性质

( 定义域:?∞, ∪ 0,+∞) 定义域: 0) ( ( 0) ( 值 域:?∞, ∪ 0,+∞)

奇偶性: 奇偶性: 奇函数
在 (0, 单调性: 单调性: (-∞,0)和 +∞)上是减函数

探究:观察幂函数图象(课本第 页图 页图2.3.1),将你发现 ),将你发现 探究:观察幂函数图象(课本第78页图 ), 的结论填在下面表格内: 的结论填在下面表格内:

y=x
定义域 值域 R R

y = x2 y = x3 y = x
R [0,+∞) , ) 偶函数 R R 奇函数

1 2

[0,+∞) , ) [0,+∞) , ) 非奇非偶 函数

y=x 0) (0,+ ( ?∞, ∪ ∞) 0) (0,+ ( ?∞, ∪ ∞)
奇函数

?1

奇偶性 奇函数

在(-∞,0] (- R上是 上是减函 , R上是 在(0,+∞) 上是 增函数 数,在(0, 单调性 增函数 上是增函数 +∞)上是 ) 增函数 公共点 (1,1) , )

在( -∞,0)和 和 (0, +∞)上 ) 是减函数

三、幂函数的性质: 幂函数的性质:
幂函数的定义域、奇偶性、单调性, 幂函数的定义域、奇偶性、单调性,因函数式 的不同而各异. 中α的不同而各异.

所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 1.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义 数图象都通过点(1,1 (1,1); 数图象都通过点(1,1 2.当 为奇数时,幂函数为奇函数, 2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 为偶数时,幂函数为偶函数. 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
α>1

3.如果α>0,则幂函数 3.如果α>0,则幂函数 如果 (0,+∞)上为增函数 上为增函数; 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 如果α<0,则幂函数 (0,+∞)上为减函数 上为减函数。 在(0,+∞)上为减函数。

0<α<1
α<0

练习: 如图所示, 练习 如图所示,曲线是幂函数 y = xa 在第一象限
1 内的图象, 内的图象,已知 a分别取 ? 1, 1, , 2 分别取 2

四个值, 四个值,

则相应图象依次为:________ 则相应图象依次为 C4 C2 C3 C1 一般地, 一般地,幂函数的图象 在直线x=1的右侧,大指 的右侧, 在直线 的右侧
1

数在上,小指数在下,在 数在上,小指数在下, Y轴与直线 =1之间正好相反。 轴与直线x 之间正好相反 之间正好相反。 轴与直线

练习:
1、求下列幂函数的定义域,并指出奇偶性、单调性: 、求下列幂函数的定义域 并指出奇偶性 单调性: 并指出奇偶性、

(1)y=x ) (3)y=x )

2 5
? 3 4

R

(2)y=x )

1 3

R

{x x > 0} (4)y=x-2 { x x ≠ 0 } )

利用单调性判断下列各值的大小。 例1 利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 ) (2)0.20.3 与 0.30.3 )

(3) )
解:(1)y= ∵5.2<5.3

-2 -2 2.5 5 与 2.7 5

x0.8在(0,+∞)内是增函数 内是增函数, 内是增函数

(3)y=x-2/5在(0,+∞)内 内 是减函数, 是减函数, ∵2.5<2.7 ∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数 内是增函数 ∵0.2<0.3 ∴ 0.20.3 <0.30.3

练习4 练习
1) )

1.3

0.5<

1.5

0.5

5.1 < 5.09?2 2) )
?2

3) ) 4) )

0.5

1 4

> 0.4 >

1 4

0.7

2 ? 3

0.8

2 ? 3

小结
1、幂函数的定义 及图象特征? 及图象特征?

2、幂函数的性质 α

y=x

(1)幂函数图象过定点(1,1) (1)幂函数图象过定点(1,1) 幂函数图象过定点 (2)当 为奇数时, (2)当α为奇数时,幂函数为 奇函数; 为偶数时, 奇函数; 当α为偶数时,幂 函数为偶函数. 函数为偶函数. (3)当 >0时 (0,+∞)上为 (3)当α>0时,在(0,+∞)上为 增函数; <0时 增函数;当α<0时,在 <0 (0,+∞)上为减函数 上为减函数。 (0,+∞)上为减函数。

练习

P79习题 习题2.3 习题

1、2; 、 ;

认真完成作业是 提高成绩的基础

思考题
已知f(x)=(m +2m)x ?
2 m2 +m+1

,当m为何值时,f(x)是:

(1)正比例函数; (2)反比例函数; (3)二次函数; (4)幂函数?

判断函数 f ( x ) = x , ( x ) = x ,f ( x ) = x f 的奇偶性。

5 3

3 4

2 5

f ( x) = x ( m , n均 为 整 数 , n ≠ 0)
奇偶性是怎样的? (n为偶数,m为奇数,非奇非偶; n为奇数,m为偶数,偶函数 n,m均为奇数,奇函数 )

m n


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