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8.7一轮复习抛物线


抛物线第 7 课时

1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 2. 理解数形结合的思想. 3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.

[对应学生用书 P142]

【梳理自测】 一、抛物线定义及标准方程和几何性质 1.坐标平面内到定点 F(-1,0)的距离和到定直线 l:x=1 的距离相等的点的轨迹方

程是( )

A.y2=2x C.y2=4x D.y2=-4x

B.y2=-2x

2.顶点在原点,焦点坐标为(-2,0)的抛物线的标准方程为(

)

A.y2=4x B.y2=8x C.y2=-4x D.y2=-8x
3 2 3.已知抛物线 y= x ,则它的焦点坐标是( 4 )

A.?0, ? B.? ,0? ? 16? ?16 ?

?

3?

?3

?

?1 ? ? 1? C.? ,0? D.?0, ? ?3 ? ?
3? 4.抛物线 y =4x 上一点 M 到焦点的距离为 2,则 M 到 y 轴的距离为________. 5.顶点在原点,对称轴是 x 轴,且经过点 M(5,-4)的抛物线的标准方程是________. 答案:1.D 2.D 3.D 4.1 5.y =
2 2

16 x 5

◆以上题目主要考查了以下内容:

(1)抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. (2)抛物线标准方程与几何性质

标准方程

y =2px(p>0)

2

y =-2px(p> 0)

2

x =2py(p>0)

2

x =-2py(p> 0)

2

p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形

顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 焦半径 x=- p 2 p x= 2 y=0

O(0,0) x=0

?p ? F? ,0? ?2 ?

? p ? F?- ,0? ? 2 ?
e=1

? p? F?0, ? ? 2?
p 2

p? ? F?0,- ? 2? ?

y=-

y=

p 2

x≥0,y∈R 向右 |PF|=x0+

x≤0,y∈R
向左

y≥0,x∈R
向上 |PF|=y0+

y≤0,x∈R
向下

p
2

|PF|= -x0 2 【指点迷津】

p

p
2

|PF|=-y0+

p
2

1.一种对应关系 抛物线、焦点、准线是一种对应关系.焦点在抛物线的开口内,与焦点横坐标是一对 相反数(以焦点在 x 轴上为例). 2.一种转化关系 抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容:可将抛物线上的点到焦点的距离转化为 到准线的距离,可以使运算化繁为简.即焦半径的计算. 3.六个常见结论 直线 AB 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如图. p 2 ①y1y2=-p ,x1x2= . 4 ②|AB|=x1+x2+p,x1+x2≥2 x1x2=p,即当 x1=x2 时,弦长最短为 2p.
2 2



1 1 2 + 为定值 . |AF| |BF| p 2p

④弦长 AB=

sin2α

(α 为 AB 的倾斜角).

⑤以 AB 为直径的圆与准线相切. ⑥焦点 F 对 A,B 在准线上射影的张角为 90°.

[对应学生用书 P143]

考向一 抛物线的定义及应用

已知抛物线 y =2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),求 |PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时 P 点的坐标. 【审题视点】 【典例精讲】 把|PF|转化为 P 到准线的距离,两点之间线段最短. 将 x=3 代入抛物线方程 y =2x,得 y=± 6.
2

2

∵ 6>2,∴A 在抛物线内部. 1 设抛物线上点 P 到准线 l:x=- 的距离为 d, 2 由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d, 7 当 PA⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为 , 2

7 即|PA|+|PF|的最小值为 . 2 此时 P 点纵坐标为 2,代入 y =2x,得 x=2, ∴点 P 坐标为(2,2). 【类题通法】 (1)利用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是 否为抛物线. (2)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题,可优先考虑利用抛物线的定义转化为 点到准线(焦点)的距离问题求解.
2

1.(2014?辽宁省五校联考)设抛物线 x =12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l

2

与抛物线相交于 A,B 两点,又知点 P 恰为 AB 的中点,则|AF|+|BF|=________. 解析:分别过点 A,B,P 作准线的垂线,垂足分别为 M,N,Q,根据抛物线上的点到焦 点的距离等于该点到准线的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8. 答案:8 考向二 抛物线标准方程及性质

(1)(2012?高考陕西卷)如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后,水面宽________米.

(2)抛物线 y =4x 的焦点为 F, 点 P 为抛物线上的动点, 点 M 为其准线上的动点, 当△FPM 为等边三角形时,其面积为( )

2

A.2 3 C.6 D.4 3
【审题视点】

B.4

(1)建立坐标系,利用点待定抛物线方程,再求横坐标.

(2)利用抛物线定义性质及等边三角形性质求解. 【典例精讲】 (1)如图建立平面直角坐标系,设抛物线方程为 x =-2py(p>0).
2

由题意 A(2,-2)代入 x =-2py, 得 p=1,故 x =-2y. 设 B(x,-3),代入 x =-2y 中, 得 x= 6,故水面宽为 2 6米. (2)依题意,过点 P 作抛物线的准线的垂线,垂足为 M1,记抛物线的准线 x=-1 与 x 轴的交点为 N,则有|PM1|=|PF|=|PM|.又点 M1、M 均在抛物线的准线上,因此点 M1 与 M 重 合.由△FPM 为等边三角形得∠PMF=60°,又 PM 平行于 x 轴,因此∠MFN=∠PMF=60°. 在 Rt△MFN 中,|FN|=2,cos∠MFN= ?|MF| =4 3,选 D. 【答案】 (1)2 6 (2)D
2 2 2

2

|FN| 1 3 = ,|MF|=4,所以等边三角形 FPM 的面积是 |MF| 2 4

【类题通法】 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位 置,开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数 p,只需一个 条件就可以确定抛物线的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来 解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.

2.(2014?郑州一模)如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A、 B,交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )

2

A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2= 3x
解析:选 C.如图,分别过 A、B 作 AA1⊥l 于 A1,BB1⊥l 于 B1,由抛物线的定义知:|AF| =|AA1|,|BF|=|BB1|, ∵|BC|=2|BF|,

∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°,连结 A1F,则△AA1F 为等边三角形, 1 1 过 F 作 FF1⊥AA1 于 F1, 则 F1 为 AA1 的中点, 设 l 交 x 轴于 K, 则|KF|=|A1F1|= |AA1|= |AF|, 2 2 3 2 即 p= ,∴抛物线方程为 y =3x,故选 C. 2 考向三 直线与抛物线的位置关系 已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点, 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1, y1), B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λ OB,求 λ 的值.
2

【审题视点】 于 λ 的方程的解. 【典例精讲】
2

联立方程组,利用抛物线定义求焦点弦长,把向量用坐标表示,求关

? p? (1)直线 AB 的方程是 y=2 2?x- ?, ? 2?
2 2

与 y =2px 联立,从而有 4x -5px+p =0, 所以:x1+x2= 5p , 4

由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9. 所以 p=4, 从而抛物线方程是 y =8x. (2)由 p=4,4x -5px+p =0 可简化为 x -5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2); → 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ (4,4 2) =(4λ +1,4 2λ-2 2). 又 y3=8x3,即[2 2(2λ -1)] =8(4λ +1), 即(2λ -1) =4λ +1, 解得 λ =0,或 λ =2. 【类题通法】 与抛物线的焦点弦长有关的问题,可直接应用公式求解.解题时,需
2 2 2 2 2 2 2

依据抛物线的标准方程,确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定,是 p 与交 点横(或纵)坐标的和还是与交点横(或纵)坐标的差.这是正确解题的关键.

3.过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A,直线 l → → → → 与抛物线的准线的交点为 B,点 A 在抛物线的准线上的射影为 C,若AF=FB,BA?BC=36, 则抛物线的方程为( )

2

A.y =6x C.y2=12x D.y2=2 3x

2

B.y2=3x

→ → 解析: 选 D.设准线与 x 轴的交点为 M, 由AF=FB知 F 为线段 AB 的中点, ∴|AC|=2|MF| =2p. 由抛物线定义知|AF|=|AC|, ∴|AF|=2p, 故|AB|=4p, 在 Rt△BCA 中,|BC|=2 3p,

2 3p 3 且 cos∠ABC= = , 4p 2 → → → → ∴BA·BC=|BA||BC|cos∠ABC =4p?2 3p·
2

3 =36, 2

∴p =3,∴p= 3, ∴抛物线的方程为 y =2 3x,故选 D.
2

[对应学生用书 P144]

抛物线定义及焦点弦性质的应用方法 (2012?高考安徽卷)过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( )
2

A. C.

2 2 3 2 D.2 2 2

B. 2

【方法分析】 的直线,且|AF|=3.

①题目条件:已知抛物线方程,则已知焦点坐标和准线方程,过点 F

②解题目标:由弦 AB 形成的三角形 OAB 的面积. ③关系探究:(ⅰ)由抛物线定义转化|AF|=3,得出 A 点横坐标,代入抛物线得出 A 点 1 坐标,由 A、F 两点确定 AB 直线,联立方程组求 B 点,利用 S△AOB= |yA-yB|·|OF|求面积. 2 (ⅱ)若直接用焦点弦性质 yA·yB=-p ,可求 yB. (ⅲ)得出 A 点坐标,估算 S△OAF、S△OBF 与 S△AOB 的大小关系而得答案. 【解题过程】 (方法一)如图所示,由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0),又
2

|AF|=3,由抛物线定义知:点 A 到准线 x=-1 的距离为 3,∴点 A 的横坐标为 2.将 x=2 代入 y =4x 得 y =8,由图知点 A 的纵坐标 y=2 2, ∴A(2,2 2), ∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1).
2 2

?y=2 2(x-1), 联立直线与抛物线的方程? 2 ?y =4x,
1 ? ?x=2, ?x=2, 解之得? 或? ?y=2 2. ? ?y=- 2

?1 ? 由图知 B? ,- 2?, ?2 ?
1 ∴S△AOB= |OF|·|yA-yB| 2 1 3 = ?1?|2 2+ 2|= 2.故选 C. 2 2 (方法二)若得出 yA=2 2, ∴由 yA·yB=-p =-4,∴yB=- 2, 1 3 由 S△AOB= |OF|·|yA-yB|= 2. 2 2 (方法三)由题意,抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 l:x=-1,可得 A 点的横坐标为 2,不妨设 A(2,2 2),则 S△OAF= 2,又知 0<S△OBF<S△OAF= 2,故 2<S△
AOB 2 2

<2 2,结合选项知选 C. 【答案】

C
(1)当涉及抛物线上的点到焦点距离问题时(如|AF|=3),就可用定义

【回归反思】 转化求点的坐标.

(2)解决与抛物线的焦点弦有关的问题,如果能用到一些常用结论,就会带来意想不到 的效果,而对于一些客观题采用排除法能快速正确的找出答案.

y 2 2 1.(2013?高考四川卷)抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x - =1 的渐近线的距离是 3 ( )

2

A.

1 2

B.

3 2

C.1 D. 3
解析:选 B.由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距 离公式求解. 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0), 双曲线的渐近线方程为 3x-y=0 或 3x+y=0, 则焦点到渐近线的距离 d1= | 3?1-0| ( 3) +(-1)
2 2



3 | 3?1+0| 3 或 d2= = . 2 2 2 2 ( 3) +1
2

2.(2013?高考全国新课标卷)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y =4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( )

A.2 B.2 2 C.2 3 D.4
解析:选 C.先利用抛物线的焦半径公式求出点的坐标,再结合三角形面积公式求解. 设 P(x0,y0),则|PF|=x0+ 2=4 2, ∴x0=3 2, ∴y0=4 2x0=4 2?3 2=24, ∴|y0|=2 6. 1 ∵F( 2,0),∴S△POF= |OF|·|y0| 2 1 = ? 2?2 6=2 3. 2 3.(2013?高考全国大纲卷)已知抛物线 C:y =8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜 → → 率为 k 的直线与 C 交于 A、B 两点.若MA?MB=0,则 k=( )
2 2

A.

1 2

B.

2 2

C. 2 D.2
解析:选 D.联立直线与抛物线的方程,消元得一元二次方程并得两根之间的关系,由 → → MA·MB=0 进行坐标运算解未知量 k. 抛物线 C 的焦点为 F(2,0),则直线方程为 y=k(x-2),与抛物线方程联立,消去 y 化简得 k x -(4k +8)x+4k =0.设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 8 则 x1+x2=4+ 2,x1x2=4. k 8 所以 y1+y2=k(x1+x2)-4k= , k y1y2=k [x1x2-2(x1+x2)+4]=-16. → → 因为MA·MB=(x1+2,y1-2)?(x2+2,y2-2) =(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2) =x1x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0, 将上面各个量代入,化简得 k -4k+4=0,所以 k=2. x y 2 4.(2013?高考江西卷)抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 3 3 相交于 A,B 两点,若△ABF 为等边三角形,则 p=________. 解析:根据抛物线与双曲线的图象特征求解.
2 2 2 2 2 2 2 2

p 2 由于 x =2py(p>0)的准线为 y=- , 2 p ? ?y=- , 2 由? ? ?x2-y2=3, 解得准线与双曲线 x -y =3 的交点为 A?-
2 2

? ?

1 2 p? ? 3+ p ,- ?,B? 4 2? ? 1 2 3+ p . 4

1 2 p? 3+ p ,- ?, 4 2?

所以 AB=2

由△ABF 为等边三角形,得 答案:6

3 AB=p,解得 p=6. 2

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