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广东省汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期末考试数学文科

时间:2012-12-12


广东省汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期末考试

高三文数

2012 年12 月

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分;在每个小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项) . 1.设集合 A ? {x | x 2 ? 2x ? 0, x

? R} , B ? { y | y ? ? x 2 ,?1 ? x ? 2} ,则 A∩B 等于( A. R B. {x | x ? R, x ? 0} C. {0} D. ? )

2.命题“ ?x ? R, e x ? x ”的否定是( ) A. ?x ? R, e x ? x B. ?x ? R, e x ? x C. ?x ? R, e x ? x D. ?x ? R, e x ? x

1 2 3. m< ”是“一元二次方程 x +x+m=0 有实数解”的( ) “ . 4 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如果 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( ) ..... A.ab>ac B.c(b-a)>0 C.ac(a-c)<0 D.cb <ab
2 2

5.若向量 a ? (1,2), b ? (?1,1) ,且 ka ? b 与 a ? b 共线,则实数 k 的值为( A. ?1 B.1 B.12 C.30 C.2 D.24 D. 0

?

?

?

?

?

?

)

6. ?an ? 是公差为正数的等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 18 , 1a2 a3 ? 120 , a2 ? a3 ? a4 ? 设 若 则 ( ) a A.18 7. 已知在△ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, c, 角 B, b, 若

a c os A 2

?

b c os B 2

, c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab,

则△ABC 的形状是( ) A.钝角三角形 B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

8.把函数 y ? cos x ? 3sin x 的图象向左平移 m (m>0)个单位后,所得的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( )

A. 6

?

B. 3

?

2? C. 3

5? D. 6


x 9.已知 f ( x ) 为偶函数,且 f ( x) ? f (4 ? x), 当 ? 2 ? x ? 0 时, f ( x) ? 3 ,则 f (2011 ? ( )

A.

1 3

B. 3

C. ?3

D. ?

1 3

1

10.定义方程 f ( x) ? f ?( x) 的实数根 x0 叫做函数 f ( x ) 的“新驻点” ,如果函数 g ( x) ? x ,

? ? h( x) ? ln( x ? 1) , ? ( x) ? cos x ( x ? ( , ) )的“新驻点”分别为 ? , ? , ? ,那么 ? , ? ) ? , ? 的大小关系是( A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ?
第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) . 11.在等比数列 ?an ? 中, an ? 0 且 a5 a6 ? 9 ,则 log3 a2 ? log3 a9 ? __________. 12.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2 ,b=2,sinB+cosB=0,则角 A 的大小为_____________.

? ax ? y ? b ? 0 b ?1 ? 13.若点(1,0)在关于 x , y 的不等式组 ? 2ax ? by ? 4 ? 0 所表示的平面区域内,则 的最小 a?2 ?bx ? 3 y ? 3a ? 1 ?
值为 . 14. 在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 15. (本小 题满分 12 分)设命题 p : 函数 f ( x) ? (a ?

3 x ) 是 R 上的减函数,命题 q : 函 数 2

f ( x) ? x2 ? 4 x ? 3在 ?a,4? 上递增.若“ p 且 q ”为假命题, p 或 q ”为真命题,求 a 的取值 “
范围.

1 tan B 2c ? 16. (本小题满分 12 分)设△ABC 三个角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c, 若 1 ? . , tan A 3a 3 (1)求角 B 的大小; , 5 (2)若 m ? (cos A, cos B), n ? (1, sin A ? cos A tan B) ,求 m ? n 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? log2 (ax2 ? 2x ? 3a) , (1)当 a ? ?1 时,求该函数的定义域和值域; (2)当 a ? 0 时,如果 f ( x ) ≥ 1 在 x ? [2, 3] 上恒成立,求实数 a 的取值范围. . .

2

18.(本小题满分 14 分)如图,2012 年春节,摄影爱好者 S 在某公园 A 处,发现正前方 B 处有一立柱,测得立柱顶端 O 的仰角和立柱底部
O

M

B 的俯角均为 30? ,已知 S 的身高约为 3 米(将眼睛距地面的距离 按 3 米处理) (1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度; (2) 立柱的顶端有一长 2 米的彩杆 MN 绕中点 O 在 S 与立柱所在的平 面内旋转.摄影者有一视角范围为 60? 的镜头,在彩杆转动的任意时 刻,摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面?说明理由. 19. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? 且 Sn ? f (an ) , (n ? N ) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 是否存在等比数列 ?bn ? , 使得 a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ? 2 n?1 (2n ? 1) ? 2 对一切正整数 n 都 成立?若存在,请求出数列 ?bn ? 的通项公式;若不存在,请说明理由.
?

N S

B

A

1 2 1 3 x ? x ? ,对于正数数列 ?an ? ,其前 n 项和为 Sn , 4 2 4

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

?( x 2 ? 2ax)e x , x ? 0 , g ( x) ? c ln x ? b, 且x ? 2 是函数 x ? 0, ?bx,

y ? f (x) 的极值点.
(1)当 x ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 y ? f ( x) ? m 有两个零点,求实数 b, m 满足的条件; (3)直线 l 是函数 y ? f (x) 与函数 y ? g (x) 的图象在 x0 处的公切线,若 x0 ? ?2,4? , 求

b 的取值范围. c

3

汕头市金山中学 2012~2013 学年度第一学期期末考试
高三文科数学 参考答案
一、选择题(50 分) 1 2 题号 C D 答案 二、填空题(20 分) 11. 2 12. 30° 13. ? 3 A 4 D 5 A 6 C 7 B 8 C 9 A 10 D

3 2

14. -2

三、解答题(80 分) 15. (本小题满分 12 分) 解:由 0 ? a ?

3 3 5 ? 1得 ? a ? 2 2 2
2

? f ( x) ? ( x ? 2) ?1 ,在 ?a,4? 上递增,得 2 ? a ? 4

?2 分 ??4 分 ??6 分

? p 且 q 为假, p 或 q 为真, ? p 、 q 一真一假. 3 5 ?a?2 , 若 p 真 q 假得, 若 p 假 q 真得, ? a ? 4 . ??10 分 2 2 3 5 综上所得, a 的取值范围是 ? a ? 2 或 ? a ? 4 . ??12 分 2 2
16、 (本小题满分 12 分) 解 :(1)由 1 ?

tan B 2c ? 得 tan A 3a sin B cos A 2 sin C sin C 2 sin C 1? ? ? 即 cos B sin A 3 sin A cos B sin A 3 sin A ? A, C ? (0, ? ) ,? sin C ? 0, sin A ? 0
??3 分

? cos B ?
?
6

3 2 ? B ? (0, ? )
得B? .

?? 5 分

(2)由(1)知 B ? ∴ m ? (cos A,

?
6

, ??6 分

3 3 ), n ? (1, sin A ? cos A) , 2 3

于是 m ? n ? cos A ?

?0 ? A ?

5? ? ? ,? ? A ? ? ? 6 6 6 1 ? 1 ? ? ∴ ? sin( A ? ) ? 1 ,即 ? m ? n ? 1 . 2 6 2

? 3 3 1 3 sin A = sin(A ? ) . ??10 分 (sin A ? cos A) = cos A ? 6 2 2 2 3

?12 分

17、 (本小题满分 14 分) 解:(1) 当 a ? ?1 时, f ( x) ? log2 (? x2 ? 2x ? 3) 令 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 3 所以函数 f ( x ) 的定义域为 (?1, 3) .
2

3分

令 t ? ? x ? 2 x ? 3 ? ?( x ?1) ? 4 ,则 0 ? t ? 4
2 2

4

所以 f ( x) ? log2 t ? log2 4 ? 2 因此函数 f ( x ) 的值域为 (??, 2] 6分 (2) 解法一: f ( x) ? 1 在区间 [2, 3]上恒成立等价于 ax 2 ? 2 x ? 3a ? 2 ? 0 在区间 [2, 3]上恒成 立 ??7 分 2 令 g ( x) ? ax ? 2x ? 3a ? 2 当 a ? 0 时, g ( x) ? 2 x ? 2 ? 0 ,所以 a ? 0 满足题意. 当 a ? 0 时, g ( x) 是二次函数,对称轴为 x ? ? 当? 8分

1 , a
10 分

2 1 5 ? a ? 0 时, ? ? , g ( x)min ? g (2) ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? ?2 5 a 2 2 1 5 2 时, 0 ? ? ? , g ( x)min ? g (3) ? 6a ? 4 ? 0 ,解得 a ? ? 5 a 2 3

当a ? ?

12 分

? 2 ? 14 分 ,0? ? 3 ? 2 解法二: f ( x) ?1 在区间 [2, 3] 上恒成立等价于 ax ? 2 x ? 3a ? 2 ? 0 在区间 [2, 3] 上恒成立 2 ? 2x 由 ax 2 ? 2 x ? 3a ? 2 ? 0 且 x ? [2,3] 时, x 2 ? 3 ? 0 ,得 a ? 2 9分 x ?3 2 x2 ? 4 x ? 6 2 ? 2x 令 h( x ) ? 2 ,则 h?( x) ? 12 分 ?0 x ?3 ( x 2 ? 3)2 2 所以 h( x) 在区间 [2, 3] 上是增函数,所以 h( x) max ? h(3) ? ? 3 2 ? ? 因此 a 的取值范围是 ?? ,0? . 14 分 ? 3 ?
综上, a 的取值范围是 ?? 18、 (本小题满分 14 分) 解:(1) 如图,不妨将摄影者眼部设为 S 点,做 SC 垂直 OB 于 C, ?CSB ? 30? , ?ASB ? 60? , 又 SA ? 3, 故在 Rt?SAB 中,可求得 BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为 3 米……… 3 分 由 SC=3, ?CSO ? 30 , 在 Rt?SCO 中,可求得 OC ? 3,
?

又 BC ? SA ? 3, 故 OB ? 2 3, 即立柱高为 2 3 米. ------------------------ 6 分 (2) (注:若直接写当 MN ? SO 时, ?MSN 最大,并且此时 ?MSN ? 60 ,得 2 分) 连结 SM,SN, 在△SON 和△SOM 中分别用余弦定理,
?

(2 3 ) 2 ? 12 ? b 2 2 ? 2 3 ?1

2 ? 2 3 ?1 2 2 2 a ?b ?2 11 22 11 1 cos?MSN ? ? ? 2 ? ? 2 2ab ab a ? b 13 2

??

(2 3 ) 2 ? 12 ? a 2

? a 2 ? b 2 ? 26

??10 分

? ?MSN ? 60?

故摄影者可以将彩杆全部摄入画面. ………………………………………………… 14 分 19、 (本小题满分 14 分) 解: (1)由 f ( x) ?

1 2 1 3 x ? x ? , Sn ? f (an ) , (n ? N ? ) 4 2 4 1 2 1 3 得 S n ? an ? an ? ① (n ? N ? ) 4 2 4

5

1 2 1 3 an ? 1? an ? 1 ? , ② 4 2 4 1 2 1 1 2 an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? (an ?1 ? an ) ? an ?1 ? an , 即 4 2 2 1 2 1 2 (an ?1 ? an ) ? (an ?1 ? an ) ? 0 ,即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 2) ? 0 ??4 分 即 4 2 ∵ an > 0 , ∴ an?1 ? an ? 2 , 即 数 列 ?an ? 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列 , 由 ① 得 , Sn ?1 ?

1 2 1 3 a1 ? a1 ? ,解得 a1 ? 3 4 2 4 因此 ,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1. S1 ? a1 ?
(2)假设存在等比数列 ?bn ? ,使得对一切正整数 n 都有

??6 分 ??7 分

a1b1 ? a2b2 ??? anbn ? 2n?1 (2n ?1) ? 2
n

③ ④ ??12 分 ??13 分

当 n ? 2 时,有 a1b1 ? a2b2 ? ?? an?1bn?1 ? 2 (2n ? 3) ? 2 ③-④,得
1

,由 anbn ? 2n ( 2 ? 1) an ? 2n ? 1得, bn ? 2n n

又 a1b1 ? 6 ? 2 (2 ?1 ? 1) 满足条件, 因此,存在等比数列 2
n

? ? ,使得 a b ? a b
1 1

2 2

??? anbn ? 2 (2n ?1) ? 2 对一切正整数 n 都成
??14 分

n?1

立. 20、 (本小题满分 14 分) 解: (1) x ? 0时, f ( x) ? ( x2 ? 2ax)e x ,

? f ?( x) ? (2 x ? 2a)ex ? ( x2 ? 2ax)e x ? [ x2 ? 2(1 ? a) x ? 2a]e x .
由已知得, f '( 2) ? 0, ? 2 ? 2 2 ? 2a ? 2 2a ? 0, 解得 a=1.

??1 分 ??2 分 ??3 分 ??4 分
2

? f ( x) ? ( x 2 ? 2x)e x ,? f ' ( x) ? ( x 2 ? 2)e x .
当 x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( 2, ??) 时, f ?( x) ? 0 . 当 x ? 0 时, f ( x) 的递增区间为 ( 2, ??) ,递减区间为 (0, 2) . (2)由(1)知,当 x ? (0, 2) 时, f (x) 单调递减, f ( x) ? ((2 ? 2 2)e ,0) 当 x ? ( 2, ??)时 , f (x) 单调递增, f ( x) ? ((2 ? 2 2)e 2 , ??) . ??6 分 要使函数 y ? f ( x) ? m 有两个零点,则函数 y ? f (x) 的图象与直线 y ? m 有两个不同的交点. ①当 b ? 0 时,m=0 或 m ? (2 ? 2)e 2 ; ②当 b=0 时, m ? ((2 ? 2 2)e 2 ,0) ; ③当 b ? 0时, m ? ((2 ? 2 2)e , ??) .
2

??7 分 ??8 分 ??9 分
2

(3) x ? 0 时, f ( x) ? ( x 2 ? 2 x)e x ,? f ' ( x) ? ( x 2 ? 2)e x

? f ( x0 ) ? ( x0 ? 2x0 )e x0 , f / ( x0 ) ? ( x0 ? 2)e x0
2

?l : y ? ( x0 ? 2)e x0 x ? ( x0 ? x0 )e x0
2 2 3

? g ( x) ? c ln x ? b,? g / ( x) ?

c x

? g ( x0 ) ? c ln x0 ? b,? g / ( x0 ) ?

c x0

?l : y ?

c x ? c ln x0 ? b ? c x0

6

c ? 2 x0 ?( x 0 ? 2)e ? x ?? 0 ?( x 2 ? x 3 )e x0 ? c ln x ? b ? c 0 0 ? 0
两式相除得

x0 ? x0
2 2

3

x0 ? 2
2

?

c ln x0 ? b ? c ,整理得 c x0
?12 分
2

b x0 ? x0 ? 2 ? 1 ? ln x0 c x0 ? 2

? x0 ? x0 ? 8 x0 ? 2 x0 ? 4 b ( )/ ? 2 c x0 ( x0 ? 2) 2
4 3

令 h( x0 ) ? ?x0 ? x0 ? 8x0 ? 2x0 ? 4
4 3 2

则 h ( x0 ) ? ?4x0 ? 3x0 ? 16x0 ? 2
/ 3 2

? x0 ? ?2,4?,? h / ( x0 ) ? 0 ? h( x0 ) 在 ?2,4?递减 h( x) ? h(2) ? 0 b ? ( ) / ? 0 仅在 x0 ? 2 取等号, c b ?1 ? ? ? ? ? ln 4,? ln 2? c ?7 ?

? ?4x0 ( x0 ? 4) ? 3x0 ? 2
2 2

b ? 在 ?2,4?递减 c
??14 分

7


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