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一道竞赛题的加强与推广

时间:2014-06-04


2008 年第 5 期               数学通讯

33

一道竞赛题的加强与推广
杜旭安
( 黄山区永丰中学 , 安徽   245700)

中图分类号 : O12 - 44      文献标识码 : A      文章编号 : 0488 - 7395 ( 2008) 05 - 0033 - 01   2004 年亚太地区数学奥林匹克竞赛中有如下 一道试题 , 即 命题   对任意正实数 a , b , c 均有
( a2 + 2) ( b2 + 2) ( c2 + 2) ≥ 9 ( ab + bc + ca) .

2) 当 m > 0 时 , 分两种情形 .

若 a , b , c 为非负实数 , 作代换 a =
=
m tanβ, c =

m tanα, b

m tanγ, 其中 α,β,γ ∈[ 0 ,
- 2

π ) ,则 2

本文对上述命题作一点加强与推广如下 . 定理   对任意实数 a , b , c 及非负实数 m , 均有
( a2 + m ) ( b2 + m ) ( c2 + m ) ≥

( 1) Ζ 4 ( cos α β ) cos cosγ )2 ≥ 3 ( tanα+ tanβ+ tanγ

3 m2 ( a + b + c) 2 4
( 1)

β α α β )2 Ζ 3 ( sinα cos cosγ + cos sinβ cosγ + cos cos sinγ
) cosγ + cos α β ≤ 4 Ζ sin (α+ β cos sinγ ≤

2 3

2 π 引理   对任意 α,β∈[ 0 , ) , 均有 2 4 ) + cos2α sin2 (α+ β cos2β≤ . 3
) + cos2α 证  sin2 (α+ β cos2β-

( 当且仅当 a = b = c = ±

m

时取等号)

2 ) cosγ - sin (α+ β 3 ) + cos2α Ζ [ sin2 (α+ β cos2β]cos2γ

β Ζ cosα cos

1 - cos2γ ≤

 -

4 4 ) cosγ - cos2α sin (α+ β cos2β+ ≥ 0 3 3 将此式视为关于 cosγ的一元二次不等式 , 则其

4 3

相应的判别式为 Δ = 16 sin2 ( α + β) - 4 [ sin2 ( α + β) + 3 4 2 2 ( ) = 4 [ sin2 (α + β ) + cos α cos β ]? - cos2α cos2β 3 4 cos2α cos2β]cos2α cos2β. 3 由引理易知 Δ ≤0 , 因此 , 当 a , b , c , m 为非负
4 3

4 3 ) + cos2α = ( sin2α cos2β+ cos2α cos2β cos2β

β+ cosα ) 2 + cos2α = ( sinα cos sinβ cos2β-

α β + 2sinα sinβ cos cos

4 3 4 3

α β= cos2β+ cos2α sin2β+ 2sinα sinβ cos cos

α β= 1 - sin2β+ cos2α sin2β+ 2sinα sinβ cos cos α β- 1 = - sin2α sin2β+ 2sinα sinβ cos cos 3

实数时 , ( 1) 成立 , 从而此时有   ( a2 + m ) ( b2 + m ) ( c2 + m )
3 m2 ( | a| + | b| + | c| ) 2   ≥ 4 当 a , b , c 中存在负数时 , 由于
( | a| + | b| + | c| ) 2 ≥( a + b + c) 2 , ( 2)

α β+ sinα ) - 3sinα = [ 2 ( cos cos sinβ sinβ] sinα sinβ) - 3sinα = [ 2cos (α- β sinβ]? sinα sinβ-

1 3

1 3

故由 ( 2) 可知 , 此时仍有
( a2 + m ) ( b2 + m ) ( c2 + m ) ≥

1 ) sinα ≤( 2 - 3sinα sinβ sinβ3 1 2 ) ≤ = - 3 ( sinα sinβ0, 3 引理得证 .

3 m2 ( a + b + c) 2 . 4

综上所述 , 定理得证 . 由简单不等式 ( a + b + c) 2 ≥ 3 ( ab + bc + ca) 和 上述命题的题设及定理的题设 , 易知定理是命题的 加强和推广 .

定理的证明 .
1) 当 m = 0 时 , ( 1) 显然成立 .

收稿日期 :2007 - 09 - 10 ) , 男 , 安徽黄山人 , 安徽省黄山区永丰中学一级教师 . 作者简介 :杜旭安 ( 1961 — ? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net


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