nbhkdz.com冰点文库

一道竞赛题的加强与推广

时间:2014-06-04


2008 年第 5 期               数学通讯

33

一道竞赛题的加强与推广
杜旭安
( 黄山区永丰中学 , 安徽   245700)

中图分类号 : O12 - 44      文献标识码 : A      文章编号 : 0488 - 7395 ( 2008) 05 - 0033 - 01   2004 年亚太地区数学奥林匹克竞赛中有如下 一道试题 , 即 命题   对任意正实数 a , b , c 均有
( a2 + 2) ( b2 + 2) ( c2 + 2) ≥ 9 ( ab + bc + ca) .

2) 当 m > 0 时 , 分两种情形 .

若 a , b , c 为非负实数 , 作代换 a =
=
m tanβ, c =

m tanα, b

m tanγ, 其中 α,β,γ ∈[ 0 ,
- 2

π ) ,则 2

本文对上述命题作一点加强与推广如下 . 定理   对任意实数 a , b , c 及非负实数 m , 均有
( a2 + m ) ( b2 + m ) ( c2 + m ) ≥

( 1) Ζ 4 ( cos α β ) cos cosγ )2 ≥ 3 ( tanα+ tanβ+ tanγ

3 m2 ( a + b + c) 2 4
( 1)

β α α β )2 Ζ 3 ( sinα cos cosγ + cos sinβ cosγ + cos cos sinγ
) cosγ + cos α β ≤ 4 Ζ sin (α+ β cos sinγ ≤

2 3

2 π 引理   对任意 α,β∈[ 0 , ) , 均有 2 4 ) + cos2α sin2 (α+ β cos2β≤ . 3
) + cos2α 证  sin2 (α+ β cos2β-

( 当且仅当 a = b = c = ±

m

时取等号)

2 ) cosγ - sin (α+ β 3 ) + cos2α Ζ [ sin2 (α+ β cos2β]cos2γ

β Ζ cosα cos

1 - cos2γ ≤

 -

4 4 ) cosγ - cos2α sin (α+ β cos2β+ ≥ 0 3 3 将此式视为关于 cosγ的一元二次不等式 , 则其

4 3

相应的判别式为 Δ = 16 sin2 ( α + β) - 4 [ sin2 ( α + β) + 3 4 2 2 ( ) = 4 [ sin2 (α + β ) + cos α cos β ]? - cos2α cos2β 3 4 cos2α cos2β]cos2α cos2β. 3 由引理易知 Δ ≤0 , 因此 , 当 a , b , c , m 为非负
4 3

4 3 ) + cos2α = ( sin2α cos2β+ cos2α cos2β cos2β

β+ cosα ) 2 + cos2α = ( sinα cos sinβ cos2β-

α β + 2sinα sinβ cos cos

4 3 4 3

α β= cos2β+ cos2α sin2β+ 2sinα sinβ cos cos

α β= 1 - sin2β+ cos2α sin2β+ 2sinα sinβ cos cos α β- 1 = - sin2α sin2β+ 2sinα sinβ cos cos 3

实数时 , ( 1) 成立 , 从而此时有   ( a2 + m ) ( b2 + m ) ( c2 + m )
3 m2 ( | a| + | b| + | c| ) 2   ≥ 4 当 a , b , c 中存在负数时 , 由于
( | a| + | b| + | c| ) 2 ≥( a + b + c) 2 , ( 2)

α β+ sinα ) - 3sinα = [ 2 ( cos cos sinβ sinβ] sinα sinβ) - 3sinα = [ 2cos (α- β sinβ]? sinα sinβ-

1 3

1 3

故由 ( 2) 可知 , 此时仍有
( a2 + m ) ( b2 + m ) ( c2 + m ) ≥

1 ) sinα ≤( 2 - 3sinα sinβ sinβ3 1 2 ) ≤ = - 3 ( sinα sinβ0, 3 引理得证 .

3 m2 ( a + b + c) 2 . 4

综上所述 , 定理得证 . 由简单不等式 ( a + b + c) 2 ≥ 3 ( ab + bc + ca) 和 上述命题的题设及定理的题设 , 易知定理是命题的 加强和推广 .

定理的证明 .
1) 当 m = 0 时 , ( 1) 显然成立 .

收稿日期 :2007 - 09 - 10 ) , 男 , 安徽黄山人 , 安徽省黄山区永丰中学一级教师 . 作者简介 :杜旭安 ( 1961 — ? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net


一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广

一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广_学科竞赛_高中教育_教育专区。一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广 1991 年四川省高中数学联合竞赛决赛第四题是一道平面几...

一道竞赛题1及其答案

一道竞赛题1及其答案_学科竞赛_初中教育_教育专区。一道竞赛题及其答案 1.市面...一道数学竞赛题的解答 6人阅读 2页 2下载券 一道竞赛题的解答及推广 14人...

一道竞赛题的解题心路历程

一道竞赛题的解题心路历程_初二数学_数学_初中教育_教育专区。解答一道初等数论竞赛题的心路历程求解一道竞赛题的心路历程嘉善实验中学 陈世文 原题呈现:从 1,2...

一道竞赛题的妙解

6页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 一道竞赛题的妙解 隐藏>> 一道竞赛题的妙解 广西师范大...

每天一道竞赛题11

每天一道竞赛题 11 1、春、秋季节,由于冷空气的入侵, 地面气温急剧下降到 0℃以下的天气现 象称为“霜冻”.由霜冻导致植物生长 受到影响或破坏的现象称为霜冻...

一道竞赛题的探究创新与思维拓展

一道竞赛题的探究创新与思维拓展湖北省武汉市青山区武钢实验学校范有根 问题Ⅰ:如图 1,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=96°, P 为△ABC 内一点,且 AB=PB, ∠...

八上每天一道竞赛题14

八上每天一道竞赛题14_学科竞赛_小学教育_教育专区。八上每天一道竞赛题 14(全等△) 1、 如图点 A、 E、 B、 D 在同一直线上, AE=DB,AC=DF 且 AC∥...

对一道数学竞赛试题的思考

一道数学竞赛试题的思考_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 对一道数学竞赛试题的思考 作者:李波 来源:《中学数学...

八上每天一道竞赛题4

八上每天一道竞赛题 4 1、两个一次函数 y=mx+n,y=nx+m.它们在同一坐标系 中的图像可能是图中的(B ) A B C D 2、设直线 y=kx+k-1 和直线 y=...

八上每天一道竞赛题7(全等三角形)

八上每天一道竞赛题7(全等三角形)_学科竞赛_初中教育_教育专区。八上每天一道竞赛题 7(全等△) 1、 如图点 A、 E、 B、 D 在同一直线上, AE=DB,AC=...