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高中数学教案 必修1 第二讲 函数的概念与表示


博途教育学科教师辅导讲义(一)
学员姓名: 辅导科目:数 课 题 学 年 级:高 一 日期: 时间: 学科教师:刘云丰

必修 1:函数的概念及其表示

授课日期 教学目标 1、理解函数的概念,初步了解函数的定义域、值域、对应法则的含义; 2、掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法. 教学内容

函数

的概念及其表示

〖教学重点与难点〗
◆教学重点:理解函数的概念,了解函数的定义域、值域、对应法则的含义; 掌握函数的两种重要表示法:解析法、图象法. ◆教学难点:理解函数符号 y = f (x)的含义; 能按要求作出函数图象
王新敞
奎屯 新疆

〖教学过程〗 一、函数的概念
(一)知识回顾

[来源:Zxxk.Com]

同学们,初中我们就学习了函数,那么它的含义是什么呢? 函数的概念: (初中)在一个变化过程中有两个变量 x 和 y,如果对于 x 的每一个值,y 都有唯一 的值与之对应. 那么我们就说 y 是 x 的函数,其中 x 叫做自变量. (二)情境设置,导入新课 示例分析 示例 1:一枚炮弹发射后,经过 26s 落到地面击中目标. 炮弹的射高为 845m,且炮弹距地面的高 度 h (单位:m)随时间 t (单位:s)变化的规律是
-1-

h = 130t – 5t2.
示例 2:近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少, 因而出现了臭氧层空洞问题. 右图中的曲线显 示了南极上空臭氧层空洞的面积从 1979~2001 年的变化情况.

示例 3 国际上常用恩格尔系数②反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量 越高,下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明, “八五”计划以来,我国城镇居民的生活 质量发生了显著变化. “八五”计划以来我国城镇居民 恩格尔系数变化情况 时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 城镇居民家庭恩格 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 尔系数(%) 时间(年) 1997 1998 1999 2000 2001 城镇居民家庭恩格 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 尔系数(%) 归纳上面 3 个示例,我们看到,三个示例中变量之间的关系可以描述为:对于数集 A 中的每 一个 x,按照某种对应关系 f,在数集 B 中都有唯一确定的 y 与之相对应,记作:
f : A ? B

.

从中我们可以总结出函数的概念: 一般地,设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数(function),记作 y = f (x),x∈A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域(domain);与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值,函数值的集合{ f (x) | x∈A }叫做函数的值域(range). 显然,值域是集合 B 的子集. 函数符号 y = f ( x ) 表示“ y 是 x 的函数” ,有时简记作函数 f ( x ) 。
函数的三要素:对应法则 f 、定义域 A、值域{ f ( x ) | x ∈A}

(三)已学函数的定义域和值域: 1、一次函数 f ( x ) = ax + b ( a ≠0):定义域 R ,值域 R 。对于 R 中的任意一个数 x,在 R 中都 有惟一的数 y ? ax ? b ( a ? 0 ) 和它相对应。 2、反比例函数 应关系。
-2-

f (x)

=

k x

( k ≠0):定义域{ x | x ≠0},值域{y | y≠0}。同学们说说它们的对

3、二次函数

f ( x ) = ax

2

+ bx + c ( a ≠0):定义域 R ,值域:当 a >0 时, y | y ≥ {
? b
2

4 ac ? b 4a

2

} ;

当 a <0 时, y | y ≤ 4 ac {

} 。

4a

在高中研究函数的时候,我们还常会用到区间的概念 设 a 、 b 是两个实数,而且 a < b ,我们规定: (1)满足不等式 a ≤ x ≤ b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[ a , b ]; (2)满足不等式 a < x < b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为( a , b ) ; (3)满足不等式 a ≤ x < b 或者 a < x ≤ b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,表示为 [ a , b ) 、 ( a , b ] ;这里的 a 与 b 都叫做区间的端点。 请同学们在数轴上把上面 3 种情况分别在数轴上表示出来, 画的时候要注意端点在不在区间 里。 实数集 R 可以用区间表示为(-∞,+∞) ;满足不等式 x ≥ a , x > a , x ≤ b , x < b 的实 数 x 的集合可以分别表示为[ a ,+∞ ) , a ,+∞)(-∞, b ] , ( , (-∞, b ) 。 注意集合与区间之间的关系:区间是数集,表示区间端点的两个实数不能相等,但数集中不 等式两端的两个实数可以相等,如 a ≤ x ≤ a 。 (四) 、实例提升 例 1、设集合 M={ x |0≤ x ≤2},N={ y |0≤ y ≤2},从 M 到 N 有 4 种对应如下图所示:

其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有 例 2、已知函数:
f (x)



=

x ?1



1 2? x

(1)求函数的定义域; (2)求
2 f ( ? 1) , f ( ) 3

的值; 的值

(3)若 a

? 0

,求

f ( a ), f ( a ? 2 )

例 3、下列函数中哪个与函数 y = x 是同一个函数? (1) y
? ( x)
2



(2) y

?

3

x

3



(3) y

?

x

2

-3-

(五)变式训练 1、已知函数
f (x)

=3 x 2-5 x +2,求函数的定义域和

f (3)



f (?

2)



f ( a ? 1)

的值。

2、下列各组中的两个函数是否为相同的函数? (1) y 1 (2) y 1 (3)
?
?

( x ? 3 )( x ? 5 ) x?3
x ?1 x ?1

y2 ? x ? 5

y2 ?
2

( x ? 1)( x ? 1)

f1 ( x ) ? ( 2 x ? 5 )

f 2 (x) ? 2 x ? 5

二、函数的表示
(一)回顾与新知 在初中,我们就已经学过表示函数的三种常用方法,即:有解析法、列表法和图象法. ⑴解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析表达 式,简称解析式. 例如,s=60 t 2 ,A= ?
r
2

,S=2 ? rl ,y=a x 2 +bx+c(a ? 0),y=

x?2

(x ? 2)等等都是用解析式表

示函数关系的. 优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量 的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. ⑵列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 例如,学生的身高 单位:厘米 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高 125 135 140 156 138 172 167 158 169 数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表,银行里的利息表,列车时刻表等等都是用列 表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表 优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 例如,气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线,课本中我国人口出生率变化的 曲线,工厂的生产图象,股市走向图等都是用图象法表示函数关系的. 优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,这样使得我们可以 通过图象来研究函数的某些性质.
-4-

(二)例题讲解 例 1 某种笔记本每个 5 元, x ? {1,2,3,4}个笔记本的钱数记为 y 买 (元) ,试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图 像 解:这个函数的定义域集合是{1,2,3,4},函数的解析式为 y=5x, x ? {1,2,3,4}. 它的图象由 4 个孤立点 A (1, 5) B (2, 10) C (3, 15) D (4, 20)组成,如图所示
王新敞
奎屯 新疆

D C B

王新敞
奎屯

新疆

A

例 2 国内投寄信函(外埠) ,每封信函不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 而不超过 40g 付 邮资 160 分,依次类推,每封 x g(0<x ? 100)的信函应付邮资为(单位:分) ,试写出以 x 为自变 量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图像 y 解:这个函数的定义域集合是 0 ? x ? 100 ,函数的解析式为
王新敞
奎屯 新疆

? 80 , x ? ( 0 , 20 ], ? 160 , x ? ( 20 , 40 ], ? ? y ? ? 240 , x ? ( 40 , 60 ], ? 320 , x ? ( 60 ,80 ], ? ? 400 , x ? ( 80 ,100 ]. ?

400 320 240 160

这个函数的图象是 5 条线段 (不包括左端点) 都平行于 x 轴, , 如图所示. 这一种函数我们把它称为分段函数
王新敞
奎屯 新疆

80
80

20

40

60

100

x

例 3 画出函数 y=|x|= ?

?x ?? x

x ? 0, x ? 0.

的图象.

y y=

解:这个函数的图象是两条射线,分别是第一象限和 第二象限的角平分线,如图所示.

{

x x?0
1 x

x<0

x

实例说明: ①说明了函数图象的多样性; ②从例 2 和例 3 看到,有些函数在它的定义域中,对于自变量 x 的不同取值范围,对应法则 不同,这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数,而不是几个函数. ③ 注 意 : 并 不 是 每 一 个 函 数 都 能 作 出 它 的 图 象 , 如 狄 利 克 雷 ( Dirichlet ) 函 数

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D(x)= ?

?1, x 是有理数, ? 0, x 是无理数 .

,我们就作不出它的图象.

同学们可以看到,函数的图像既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等。 那么如何去判断一个图形是不是函数的图像呢?(根据函数的定义回答) (三)变式训练 1、作出分段函数 y
? x ?1 ? x ? 2

的图像

解:根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即:
? ? ( 2 x ? 1) ? y ? x ?1 ? x ? 2 =? 3 ? 2x ?1 ?

x ? ?2 ?2 ? x ?1 x ?1

y

作出图像如下

x
2.作函数 y=|x-2|(x+1)的图像 分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难,除去对其函数性质分析外,我们 还应想到对已知解析式进行等价变形. 解:(1)当 x≥2 时,即 x-2≥0 时,
8

y ? ( x ? 2 )( x ? 1) ? x

2

? x ? 2 ? (x ?

1 2

) ?
2

9 4
-10 -5

6

4

2

当 x<2 时,即 x-2<0 时,
y ? ? ( x ? 2 )( x ? 1) ? ? x
2 ? ? 1? 9 ? ?x? ? ? ? ? 2? 4 y ? ? 2 ?? ? x ? 1 ? ? 9 ? ? ? ? 2? 4 ?
2

5

10

? x ? 2 ? ?(x ?

1 2

) ?
2

9 4

-2

.

-4

-6

x ? 2



x ? 2

这是分段函数,每段函数图象可根据二次函数图象作出

三、映射的概念
(一)回顾与新知 前面学到的函数是“两个数集间一种确定的对应关系” 。当我们把数集扩展到任意集合时, 就可以得到映射的概念。例如:欧洲的国家构成的集合 A,欧洲各国的首都构成的集合 B,对应 关系 f:国家 a 对应它的首都 b。这样,对于集合 A 中的任意一个国家,按照对应关系 f,在集 合 B 中都有唯一确定的首都与之相对应,那么,我们就将对应
f : A ? B

称为映射。
f

一般地, 我们设 A , B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系
-6-

,使对于集合 A 中的

任意一个元素 x ,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应
A

f :A ? B

为从集合

到集合 B 的一个映射. 在现实生活中有很多映射的例子, 例如: 设集合 A={x|x 是某场电影票上的号码}, 集合 B={y|y
f : A ? B

是这个电影院的座位号}, 对应关系 f: 电影票的号码对应于电影院的座位号, 那么对应 是一个映射。 (二)函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射
f : A ? B

函数 y

? f ( x ), x ? A , y ? B

集合 A,B 可为任何集合,其元素可 以是物,人,数等 集

函数的定义域和值域均为非空的数

对于集合 A 中任一元素 a ,在集合 B 对函数的定义域中每一个 x ,值域 中都有唯一确定的像 中都有唯一确定的值与之对应 对集合 B 中任一元素 b ,在集合 A 中 对值域中每一个函数值,在定义域 不一定有原像 中都有确定的自变量的值与之对应 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. (三)例题精析 例 1 下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射? (1)A={P|P 是数轴上的点},B=R,对应关系 f:数轴上的点与 它所代表的实数对应; (2)A={P|P 是平面直角坐标 系 中的点} ,B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系 f:平面直 角体系中的点与它的坐标对应; (3)A={三角形},B={x |x 是圆},对应关系 f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4)A={x |x 是新华中学的班级},B={x |x 是新华中学的学生},对应关系 f:每一个班级 都对应班里的学生.

思考: 将(3)中的对应关系 f 改为:每一个圆都对应它的内接三角形; )中的对应关系 f 改为: (4 每一个学生都对应他的班级,那么对应 f: B ? A 是从集合 B 到集合 A 的映射吗?

四、本课小结
1、函数的概念,函数三要素:定义域、值域和对应法则; 2、函数三种常用的表示方法及它们各自的特点; 3、映射的概念及映射与函数的关系。
-7-

五、课后练习
1、判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由? (1)f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 (2)f ( x ) = x; g ( x ) =
x
2

(3)f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) (4)f ( x ) = | x | ;g ( x ) = 2、作出函数 y ? | x 2 ? 2 x ? 3 | 的函数图像 解: y
?x ? 2x ? 3 ? ? 2 ? ? ( x ? 2 x ? 3)
2

2

x

2

6

5

4

x ? 2x ? 3 ? 0
2

3

2

x ? 2x ? 3 ? 0
2
-6 -4 -2

1

2

4

6

8

-1

步骤: (1)作出函数 y= x 2 ?2x?3 的图象

-2

-3

-4

(2)将上述图象 x 轴下方部分以 x 轴为对称轴向上翻折(上方部分不变) ,即得 y=| x 2 ?2x?3| 的图象 3、已知函数 f ( x ) =2 x -3,求: (1) f ( 0 ) , f ( 2 ) , f ( 5 ) ; (2) f [ f ( x )] ; (3)若 x ∈{0,1,2,3},求函数的值域。
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奎屯 新疆

4、解答下列问题: (1)若 f(x+1)=2x2+1,求 f(x); (2)若函数 f(x)= x ,f(2)=1,又方程 f(x)=x 有唯一解,求 f(x). ax+b

5、在下列对应中,哪些是映射,哪些不是,哪些是函数,哪些不是?为什么? 设 A={1,2,3,4},B={3,5,7,9},对应关系是 f(x)=2x+1,x 属于 A; 设 A={1,4,9},B={-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是“A 中的元素开平方” ; 设 A=R,B=R,对应关系是 设 A=R,B=R,对应关系是 6、如果函数
f (x) ? x
3

,x 属于 A;
2

f ( x ) ? ( 2 x ) ? 1 ,x
3

属于 A。
f (1 ? x ) ? ? f (1 ? x )

f (x) ? (x ? a)

对任意 x ? R 都有

,试求

f (2) ? f (?2)

的值.

-8-

-9-


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