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高三-等差数列的通项公式与前n项和陆奇明


精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 年 级: 高三 辅导科目: 数学 课 时 数:3 学科教师:陆奇明

授课主题 授课日期及时段

T 等差数列基础

C 等差数列性质

T 等差数列运算

教学内容

知识梳理
1.等差数列

的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个 常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示。 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an=a1+(n-1)d; 数列{an}为等差数列充要条件,通项公式关于 n 的一次函数 an ? an ? b ( k , b 为常数) ,其中 a 即为公差。 3.等差中项 a+b 如果 A= ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。 2 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*); (2)若{an}为等差数列,且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*); (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 md 的等差数列; (4)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列; (5)S2n-1=(2n-1)an; nd (6)若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇= , 2 5.等差数列的前 n 项和公式 若 n 为奇数,则 S 奇-S 偶=a 中(中间项)。

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n?a1+an? 等差数列{an}首项 a1 和末项 an,则 Sn= ; 2 n?n-1? 等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其前 n 项和公式为 Sn=na1+ d; 2 数列{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn(A,B 为常数),公式是关于 n 且没有常数项的 二次函数。 6. 证明一个数列为等差数列的常用方法 (1)(定义法)证明: an ?1 ? an ? 常数; (2)(等差中项法)证明: an ?1 ? an ?1 ? 2an ( n ? 2) 。

基础自测: 1.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于__________ 解析: 答案:6 2.设数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a6=2 且 S5=30,则 S8 等于__________
?a1+5d=2, ? 由已知可得? 解得 ?5a1+10d=30, ?

a2+a8=2a5,∴a5=6.

解析:

?a = 3 , ? 4 ?d=-3.
1

26

8× 7 ∴S8=8a1+ d=32. 2

答案:32 3.设 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , S 2 k ? S k ? 24 ,则 k 的值等于 答案:4 4.设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值. 分析: 第(1)问:列方程组求 a1 与 d; 第(2)问:由(1)写出前 n 项和公式,利用函数思想解决. 解析: (1)由 an=a1+(n-1)d 及 a3=5,a10=-9 得
?a1+2d=5, ?a1=9, ? ? ? 可解得? ? ? ?a1+9d=-9, ?d=-2.

数列{an}的通项公式为 an=11-2n. (2)由(1)知,Sn=na1+ n?n-1? d=10n-n2. 2

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因为 Sn=-(n-5)2+25,所以当 n=5 时,Sn 取得最大值.

一、专题精讲
题型一:等差数列求基本量

?S ? 例题 1.(徐州 2013 届高三第三次调研)已知 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 7 , S15 ? 75 ,则数列 ? n ? 的前 ?n?
20 项和为____.

?S ? 分析:方法一.可以设首项 a1 ,公差 d ,然后表示出 S 7,S15 ,解得首项 a1 ,公差 d ,后面求出 ? n ? 也是等差数列, ?n?
再求前 20 项和;

S ?S ? 方法二.学生如果能够明白 ? n ? 本质上就是个等差数列, bn ? n ,此时相当于知道 b7 ? 1, b15 ? 5 ;通过计 n ?n?
算新数列,再求前 20 项和。

答案:55

?S ? 点评:本题可以带领学生探究 ? n ? 也是一个等差数列,可以带领学生探究成等差数列时,数列通项关于 n 的一次 ?n?
函数。 例题 2.已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列, 若 S10 是数列 ?Sn ? 中的唯一最小项, 则数列 {an } Sn 是其前 n 项和, 的首项 a1 的取值范围是 .

分析:方法一.可以设首项 a1 ,然后表示出 Sn ,计算 S10 ? S11 , S10 ? S9 方法二.对于数列基本量研究透彻,明确首项为负,第 10 项为最后一个负数即可

a10 ? 0, a11 ? 0 ? a1 ? 9d ? 0, a1 ? 10d ? 0 解得: ? 30 ? a1 ? ?27
答案: ? 30 ? a1 ? ?27 例 题 3. ( 南 京 2013 届 高 三 第 二 次 调 研 ) 设 数 列 { an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , S n 为 其 前 n 项 和 , 若
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2 2 2 a12 ? a2 ? a3 ? a4 , S 5 ? 5 ,则 a7 的值为_____.

分析:方法一.可以设首项 a1 ,公差 d ,然后表示出通项 a n 及 Sn ,代入联立方程组 方法二.由 S 5 ? 5 ,可以直接得出 a3 ? 1 ,后面根据 a3 ? 1 ,设出四项为 1 ? 2d ,1 ? d ,1,1 ? d ,解出 d ,比较简 单。 答案:9 点评:对于等差数列基本量求解,当我们知道其中某项是,不妨以此项为基准,往前的项减去公差,往后的项加 上公差,这样只需一个公差为未知数。而避免 a1 与 d 同时出现,求两个未知数。 练习: 1.设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,若 答案:

S S3 1 ? ,则 6 ? _________ S7 S6 3

27 35

2.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 S n 取最小值时,n 等于_______ 答案:6 3.已知前 3 项和为 12,前 3 项积为 48,且 d ? 0 ,则 a1 = 解析:由 a1 ? a2 ? a3 ? 12得a2 ? 4,? a1 ? a3 ? 8且 a1a3 ? 12 ,

? a1 ? 2, a3 ? 6或a1 ? 6, a3 ? 2 又 d ? 0, ? a1 ? 2
题型二:等差数列性质 例题 1:等差数列{an}中, (1)已知等差数列 {a n } 中, a 7 ? a9 ? 16, a 4 ? 1 ,则 a12 的值是 (2) a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a18 ? a19 ? a20 ? 78 则数列的公差 通项 数列前 20 项和

(3)若数列前 6 项和为 36,Sn=324,最后 6 项的和为 180(n>6),求数列的项数 n (4)若公差为 1,且 a1 ? a2 ? ? ? a98 ? a99 ? 99 ,则 a3 ? a 6 ? a9 ? ? ? a96 ? a99 ?

7 解析:(1)由 a7 ? a9 ? 16 ,得 a8 ? 8 d ? 8 ? 1 ? 7 , a12 =1+8× =15. 4 8?4 4
(2)(a18+a19+a20)-(a1+a2+a3)=51d=102?d=2
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利用等差中项 a1+a3=2a2?a2=-8

an ? a2 ? (n ? 2)d ? ?8 ? (n ? 2) ? 2 ? 2n ? 12
由已知可得(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=-24+78?(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=54

a1+a20 18 ?a1+a20=18?S20= 2 × 20= 2 × 20=180.
(3) 由题意可知 a1+a2+…+a6=36① an+an-1+an-2+…+an-5=180② ①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216. ∴a1+an=36.又 Sn= ∴n=18. (4)方法一 S99 ? n?a1+an? =324, ∴18n=324. 2

99(a1 ? a99 ) ? 99 ,得出 a1 ? a99 ? 2 2

根据等差数列的性质 a3 , a6 ? ? ? a96 , a99 也为等差数列,共 33 项

S?

33(a3 ? a99 ) 33(a1 ? 2d ? a99 ) ? ? 33 ? 2 ? 66 2 2
a2 ? a5 ? a8 ? ? ? ? ? a95 ? a98 ? S ? 33d a1 ? a4 ? a7 ? ? ? ? ? a94 ? a97 ? S ? 66 d
a1 ? a2 ? ? ? a98 ? a99 ? 99


方法二.设 a3 ? a 6 ? a9 ? ? ? a96 ? a99 ? S

S ? S ? 33d ? S ? 66d ? 99

S ? 66
答案:(1)15 (2) 2, an ? 2n ? 12 , 180

(3) 18

(4) 66

点评:本题将等差数列的性质几种用法罗列 (1)m+n=p+q?am+an=ap+aq (2)通过性质与前 n 项和公式 Sn=

m+n=2p?am+an=2ap



n?a1+an? 结合一起,采用整体思想,简化解题过程; 2

(3)隔项成等差数列的想法,整体思想,相同项求和之间的关系。 例题 2.(苏锡常镇四市 2013 届高三调研)设 Sn ,Tn 分别是等差数列 ?an ? ,?bn ? 的前 n 项和,已知

S n 2n ? 1 ? , Tn 4 n ? 2

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n ? N * ,则

a10 a11 ? ? b3 ? b18 b6 ? b15



分析:本题关键在于的性质 m+n=p+q?am+an=ap+aq 的应用,转化 Sn=

n?a1+an? 2

b3 ? b18 ? b6 ? b15 ? b1 ? b20

41 78 教师在实际授课中让学生明确一点: 等差数列性质应用,让学生在看到某两项或多项相加,关键在于找相关项符合 m+n=p+q?am+an=ap+aq 或者 m+n=2p?am+an=2ap
答案:

练习: 1.(南京 2013 届一模)在等差数列 ?an ? 中, 若 a3 ? a5 ? a7 ? 9 , 则其前 9 项和 S 9 的值为 答案:27 2.设 Sn 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,若 答案:1 3.一个等差数列的项数为 2n ,若 a1 ? a3 ? ??? ? a2 n ?1 ? 90 , a2 ? a4 ? ??? ? a2 n ? 72 ,且 a1 ? a2 n ? 33 ,则该数列的 公差 d ? 答案: - 3 4.等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S 6 ? 36, S n ? 324 , S n?6 ? 144 (n ? 6) ,则 n 为_______ 答案:18
2 5.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和是 Sn ,若 m ? 1 ,且 am ?1 ? am ?1 ? am ? 0 , S 2 m ?1 ? 38 ,则 m ? ________

S a5 5 ? ,则 9 的值为________ a3 9 S5

答案:10 6.已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 都是等差数列, S n , Tn 分别是它们的前 n 项和,并且

S n 7n ? 1 , ? Tn n?3



a 2 ? a5 ? a17 ? a 22 = b8 ? b10 ? b12 ? b16
29 5



答案:

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题型三:等差数列的判定或证明 例题 1.已知数列 ? an ? 中, a1 ?

1 1 3 ? ? , an ? 2 ? ( n ? 2, n ? N ),数列 ?bn ? 满足 bn ? ( n ? N ). an ?1 an ? 1 5

(1)求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (2)求数列 ? an ? 中的最大项和最小项,并说明理由. 解析: (1)证明 因为 an ? 2 ?

1 1 . (n ? 2, n ? N ) , bn ? an ? 1 an ?1
a 1 1 1 1 1 = - = n ?1 - =1 . an ?1 ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 ? 1 an ? 1 an ?1 ? 1 ? 1 ? ?2? ? ?1 an ?1 ? ?

所以当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ?

又 b1 ?

1 5 ?? . a1 ? 1 2

所以,数列 ?bn ? 是以 ? (2) 由(1)知, bn ? n ? 设函数 f ( x) ? 1 ?

5 为首项,以 1 为公差的等差数列. 2
1 2 7 ,则 an ? 1 ? . ? 1? bn 2n ? 7 2

2 7 7 ,易知 f ( x) 在区间 ( ??, ) 和 ( , ??) 内为减函数. 2 2 2x ? 7

所以,当 n ? 3 时, an 取得最小值 ?1 ; 当 n ? 4 时, an 取得最大值 3 . 练习:1.(江苏 2012 届高考)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: an ?1 ?
2 ? bn ?? bn ? ? ? ? bn?1 ? 1 ? ,n ? N ,求证:数列 ?? ? ? 是等差数列; an ?? an ? ? ? ?

an ? bn an ? bn
2 2

, n ? N? .设

解析:证明: ∵ bn ?1 ? 1 ?

bn an ? bn = ,∴ an ?1 ? an an 2 ? bn 2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2

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?b ? b ∴ n ?1 ? 1 ? ? n ? an?1 ? an ?

2

2 2 2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ∴ ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an ?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ?

2

2 ? ?? b ? ? ? ∴数列 ?? n ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 ?? an ? ? ? ?

2.已知数列 ?an ? 满足 an ? 2an ?1 ? 2 n ? 1(n ? 2) 且 a4 ? 81 , (1) 求数列 ?an ? 的前三项 a1 , a 2 , a3 ; (2) 求证:数列 {

an ? 1 } 为等差数列,并求 a n . 2n

解析: (1)分别对 n 进行赋值, a1 , a 2 , a3 分别为 5,13,33 (2)证明:当 n ? 2 时,

an ? 1 an ?1 ? 1 2an ?1 ? 2 n ? 1 ? 1 an ?1 ? 1 ? n ?1 ? ? n ?1 2n 2 2n 2

?
数列 {

2an ?1 ? 2 n ? 2 ? 2an ?1 ? 2 ?1 2n

an ? 1 } 以 2 为首项,公差为 1 的等差数列 2n

an ? 1 ? 2 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 2n

an ? (n ? 1) ? 2 n ? 1

例题 2.已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足: a3 ? a4 ? 117, a2 ? a5 ? 22 . (1)求通项 an ; (2)若数列 {bn } 满足 bn ? 请说明理由.
2 解析: (1)由等差数列的性质得, a2 ? a5 ? a3 ? a4 ? 22 ,所以 a3 、 a4 是关于 x 的方程 x ? 22 x ? 117 ? 0 的解,

Sn ,是否存在非零实数 c 使得 {bn } 为等差数列?若存在,求出 c 的值;若不存在, n?c

又公差大于零,所以 a3 ? 9, a4 ? 13 .

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易知 a1 ? 1, d ? 4 ,故通项为 an ? 1 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 3 . (2)由(1)知 Sn ? 方法一

S 2n 2 ? n n(1 ? 4n ? 3) . ? 2n2 ? n ,所以 bn ? n ? n?c n?c 2

1 6 15 , b2 ? , b3 ? (c ? 0) . 1? c 2?c 3? c 1 令 2b2 ? b1 ? b3 ,解得 c ? ? . 2
所以 b1 ?

2n 2 ? n 1 当 c ? ? 时, bn ? ? 2n ;当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ? 2 . 1 2 n? 2
故当 c ? ? 方法二

当 n ? 2 时,

1 时,数列 {bn } 为等差数列. 2

2n 2 ? (4c ? 2)n ? 3c 2n 2 ? n 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2 bn ? bn ?1 ? ? , n ? (2c ? 1)n ? c(c ? 1) n?c n ?1? c
欲使 {bn } 为等差数列, 只需 4c ? 2 ? 2(2c ? 1) 且 ?3c ? 2c(c ? 1) ( c ? 0 ) 解得 c ? ? 方法三

1 . 2

{bn } 为等差数列,则 bn 的通项是关于 n 的一次函数,设 bn ? kn ? b

Sn 2n 2 ? n ,交叉相乘后对应系数相等 bn ? ? kn ? b ? n?c n?c

k ? 2, b ? 0,c ? ?
故当 c ? ?

1 2

1 时,数列 {bn } 为等差数列. 2

点评:对于含参数列,如果要求确定数列为等差数列,有一下几种思想 1.可以利用特殊到一般,先利用前 3 项等差,求出参数,再证明数列为等差 2.利用等差数列通项的性质,一定是关于 n 的一次函数,可以设通项 bn ? kn ? b ,利用系数相等,2013 届 高考题利用本题思想,教师可以研究下。 练习: (2010 盐城二模改编)数列 ?bn ? 满足 2n ? (t ? bn )n ?
2

3 bn ? 0 ( t ? R, n ? N * ). 2
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试确定 t 的值,使得数列 ?bn ? 为等差数列. 解析: 2n 2 ? (t ? bn )n ?

2n 2 ? tn 3 , b1 ? 2t ? 4, b2 ? 16 ? 4t , b3 ? 12 ? 2t , bn ? 0 ,得 bn ? 3 2 n? 2

b1 ? b3 ? 2b2 ,得 t ? 3 ,
当 t ? 3 时, bn ? 2n ,由 bn ?1 ? bn ? 2 ,可以证明 ?bn ? 为等差数列

二、专题过关

三、学法提炼
1.掌握等差数列概念,公式的应用,基本量之间的关系; 2.能够根据题意提炼出关于基本量的方程或方程组,求解基本量; 3.等差数列中等差性质的综合应用;
4.对于证明数列为等差数列,可以用定义法或者等差中项法,判断等差数列可以用通项,前 n 项和的性质来 判别。

一、 能力培养
1.设 Sn 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,若

S3 1 S ? ,则 7 =______________ S6 3 S8

解析:

S3 1 S 14 d ? 21d 35 ? , a1 ? 2d , 7 ? ? S6 3 S8 16 d ? 28d 44

答案:

35 44

2.已知等差数列 {a n } 中 d ? 0 , a3a6 ? ?8, a4 ? a6 ? 0 求 {a n } 的通项,前 n 项和 Sn .
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解析:

a3a6 ? ?4, a4 ? a6 ? 0

?(a1 ? 2d )( a1 ? 5d ) ? ?8 ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0
解得

d ? 2, a1 ? ?8

an ? 2n ? 10, S n ? n 2 ? 9n
3.(扬州 2013 届高三期末考试)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n .是否存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N 都有
*

an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.
解析:假设存在满足条件的数列 {an } ,设此数列的公差为 d ,则 方法 1: [a1 ? (n ? 1)d ][a1n ?

n(n ? 1) d ] ? 2n 2 (n ? 1) ,得 2

d2 2 3 3 1 n ? ( a1d ? d 2 )n ? (a12 ? a1d ? d 2 ) ? 2n 2 ? 2n 对 n ? N * 恒成立, 2 2 2 2

?d2 ? ? 2, ?2 ?3 则 ? a1 d ? d 2 ? 2, ?2 1 2 ? 2 3 ?a1 ? 2 a1 d ? 2 d ? 0, ?

解得 ?

? d ? 2, ? d ? ?2, 或? 此时 an ? 2n ,或 an ? ?2n . ? a1 ? 2, ? a1 ? ?2.

* 故存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N 都有 an ? S n ? 2n (n ? 1) .其中 an ? 2n ,或 an ? ?2n .
2

方法 2:令 n ? 1, a1 ? 4 ,得 a1 ? ?2 ,
2

令 n ? 2 ,得 a2 ? a1 ? a2 ? 24 ? 0 ,
2

①当 a1 ? 2 时,得 a2 ? 4 或 a2 ? ?6 ,
* 若 a2 ? 4 ,则 d ? 2 , an ? 2n , S n ? n(n ? 1) ,对任意 n ? N 都有 an ? S n ? 2n (n ? 1) ;
2

若 a2 ? ?6 ,则 d ? ?8 , a3 ? ?14 , S3 ? ?18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 3 ? (3 ? 1) .
2

②当 a1 ? ?2 时,得 a2 ? ?4 或 a2 ? 6 ,
* 若 a2 ? ?4 ,则 d ? ?2 , an ? ?2n , Sn ? ?n(n ? 1) ,对任意 n ? N 都有 an ? S n ? 2n (n ? 1) ;
2

若 a2 ? 6 ,则 d ? 8 , a3 ? 14 , S3 ? 18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 3 ? (3 ? 1) .
2

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* 综上所述,存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N 都有 an ? S n ? 2n (n ? 1) .其中 an ? 2n ,或 an ? ?2n .
2

二、能力点评
本节能力注意针对学生的运算进行培养,数列中涉及的量比较多,中间的关系计算比较复杂, 培养学生能够根据题意列出二元方程组,并且解二元方程组的能力。

学法升华
一、 知识收获
1.等差数列基本量的计算; 2.等差数列性质应用; 3.等差数列通项公式及前 n 项和关系

二、 方法总结
1.已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各 项再依据等差数列的定义进行对称设元. 2.等差数列的判断方法 (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an-an-1 为同一常数; (2)等差中项法:验证 2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立; (3)通项公式法:验证 an=kn+b; (4)前 n 项和公式法:验证 Sn=An2+Bn. 注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.

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课后作业
1.设 {a n } 是等差数列,且 a2 ? ?6, a8 ? 6 , Sn 是数列 {a n } 的前 n 项和,则下列正确的是 ①. S 4 ? S 5 答案: ②③ ②. S 4 ? S 5 ③. S 6 ? S 5 ④. S 6 ? S 5

2.在等差数列 {a n } 中, a5 ? 3, a6 ? ?2 ,则 a4 ? a5 ? ? ? a10 ? ____________ 答案:-49 3.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S8 ? ________ 答案:72

4.在等差数列 {a n } 中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 ,则 3a9 ? a11 的值为_____________ 答案:48 S12 S10 5.在等差数列{an}中,a1=-2012,其前 n 项和为 Sn,若 - =2,则 S2012 的值等于___________ 12 10 Sn S1 解析:根据等差数列的性质,得数列{ }也是等差数列,根据已知可得这个数列的首项 =a1=-2012,公差 d=1, n 1 故 S2012 =-2012+(2012-1)× 1=-1,所以 S2012=-2012. 2012

答案:-2012 6.若等差数列{an}的公差 d<0,且 a1+a11=0,则数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数 n 是 __________ 答案:5 或 6 解析:∵a1+a11=0,∴a1+a1+10d=0, 即 a1=-5d.∴an=a1+(n-1)d=(n-6)d. 由 an≥0 得(n-6)d≥0,∵d<0,∴n≤6. 即 a5>0,a6=0. 所以前 5 项或前 6 项的和最大. 7. (江苏省 2010 届苏北四市第一次联考) 已知等差数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和为 S n , T n ,若对于任意的自然数 n ,

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都有

S n 2n ? 3 a9 a3 ? ,则 ? = Tn 4n ? 3 b5 ? b7 b4 ? b8

答案:

19 41

8.数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负. (1)求数列的公差 d; (2)求前 n 项和 Sn 的最大值; (3)当 Sn>0 时,求 n 的最大值. 解析:(1)由已知 a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0, 23 23 解得:- <d<- ,又 d∈Z,∴d=-4. 5 6 (2)∵d<0,∴{an}是递减数列,又 a6>0,a7<0, 6× 5 ∴当 n=6 时,Sn 取得最大值,S6=6× 23+ × (-4)=78. 2 n?n-1? 25 (3)Sn=23n+ × (-4)>0,整理得: n(50-4n )>0,∴0<n< ,又 n∈N*, 2 2 所求 n 的最大值为 12. 9.数列 ?an ?中, a1 ? 1, a n ?1 ?

2a n (n ? N ? ) , 2 ? an

(1)证明 ?

?1? ? 是等差数列 ? an ?

(2)求 ?an ?的通项. 解析:(1)证明

1 1 2 ? an 1 1 ? ? ? ? an ?1 an 2an an 2

?1? 1 ? ? 是以 1 为首项,公差为 的等差数列 2 ? an ?
(2)

1 1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? ? (n ? 1) an 2 2

an ?
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2 n ?1
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2 2 10.已知数列{an}满足:a1=a2=a3=2,an+1=a1a2…an-1(n≥3),记 bn ?2 ? a12 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an (n≥3).

求证数列{bn}为等差数列,并求其通项公式

解析:证明:当 n≥3,
bn ?1 ? bn?2 ? a1 ? a2 ? ? ? ?an ? an ?1 ? a1a2 ? ? ? an an ?1 ? (a1 ? a2 ? ? ? ?an ? a1a2 ? ? ? an )
2 2 2 2 2 2 2

? an ?1 ? a1a2 ? ? ? an an ?1 ? a1a2 ? ? ? an ? an ?1 ? a1a2 ? ? ? an (an ?1 ? 1) ? an ?1 ? (an ?1 ? 1)( an ?1 ? 1) ?1
{bn}是以 b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a1a2 a3 ? 4 为首项,公差为 1 的等差数列
2 2 2

2 2 2

bn ? 4 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 3

11.已知数列{ a n }的通项公式是 a n = 2 n 2 ? n (n=1,2,…),是否存在非零常数 p 和 q,使数列{ 在,求出 p 和 q 满足的关系式;若不存在,说明理由. 解析:方法一.计算出前 3 项,利用等差数列性质,求 p 和 q 满足的关系式 方法二.设等差数列通项

an }成等差数列?若存 pn ? q

an ? kx ? b pn ? q

2n 2 ? n ? ( pn ? q)( kn ? b) ,利用对应系数相等

?k p ? 2 ? ?bp ? k q ? ?1 ?qb ? 0 ?
非零常数 p 和 q,得 p ? ?2q

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高三-等差数列的通项公式与前n项和陆奇明

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