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2015高一数学第3章 指数函数、对数函数和幂函数作业题及答案解析3.4.1 第2课时

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第 2 课时

用二分法求方程的近似解

课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数,借助于学习工具, 用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法, 体会“逐步 逼近”的思想.

1.二分

法的概念 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零 点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法 叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来求方程的近似解. 2.用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤: (1)确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0; (2)求区间(a,b)的中点 c; (3)计算 f(c); ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). (4)判断是否达到题目要求;否则重复(2)~(4).

一、填空题 1.已知函数 f(x)=x3+x2-2x-2,f(1)· f(2)<0,用二分法逐次计算时,若 x0 是[1,2]的中 点,则 f(x0)=________. 2.下列图象与 x 轴均有交点,其中能用二分法求函数零点的是________.(填序号)

3. 对于函数 f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下: f(2 007)<0, f(2 008)<0, f(2 009)>0, 则下列叙述正确的是________.(填序号) ①函数 f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点; ②函数 f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点; ③函数 f(x)在(2 008,2 009)内存在零点,并且仅有一个; ④函数 f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点. 4.设 f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间________. 5.函数 f(x)=x3-x2-x+1 在[0,2]上的零点有____个. 1 6.已知 x0 是函数 f(x)=2x+ 的一个零点.若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则下列 1-x

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各式中正确的是________.(填序号) ①f(x1)<0,f(x2)<0;②f(x1)<0,f(x2)>0; ③f(x1)>0,f(x2)<0;④f(x1)>0,f(x2)>0. 7.若函数 f(x)的图象是连续不间断的,根据下面的表格,可以断定 f(x)的零点所在的区 间为________.(只填序号) ①(-∞,1];②[1,2];③[2,3];④[3,4];⑤[4,5]; ⑥[5,6];⑦[6,+∞). x 1 2 3 4 5 6 f(x) 136.123 15.542 -3.930 10.678 -50.667 -305.678 8.用“二分法”求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实根,取区间中点为 x0=2.5,那 么下一个有根的区间是________. 9. 在用二分法求方程 f(x)=0 在[0,1]上的近似解时, 经计算, f(0.625)<0, f(0.70)>0, f(0.687 5)<0,即可得出方程的一个近似解为____________(精确到为 0.1). 二、解答题 10.确定函数 f(x)= log 1 x+x-4 的零点所在的区间.
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11.设函数 g(x)=-6x3-13x2-12x-3. (1)证明:g(x)在区间(-1,0)内有一个零点; (2)求出函数 g(x)在(-1,0)内的零点(精确到 0.1).

能力提升 12.下列是关于函数 y=f(x),x∈[a,b]的命题: ①若 x0∈[a,b]且满足 f(x0)=0,则(x0,0)是 f(x)的一个零点; ②若 x0 是 f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求 x0 的近似值; ③函数 f(x)的零点是方程 f(x)=0 的根,但 f(x)=0 的根不一定是函数 f(x)的零点; ④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值. 那么以上叙述中,正确的个数为________. 13.在 26 枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻),现在 只有一台天平,请问:你最多称几次就可以发现这枚假币?

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1.函数零点的性质: 从“数”的角度看:即是使 f(x)=0 的实数; 从“形”的角度看:即是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标; 若函数 f(x)的图象在 x=x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f(x)的图象在 x=x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点. 注:用二分法求函数的变号零点:二分法的条件 f(a)· f(b)<0 表明用二分法求函数的近似 零点都是指变号零点. 2.关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点: (1)第一步中要使:①区间长度尽量小;②f(a)· f(b)的值比较容易计算且 f(a)· f(b)<0. (2)根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与求相应方程的根是等价的, 对于求方程 f(x)=g(x)的根,可以构造函数 F(x)=f(x)-g(x),函数 F(x)的零点即为方程 f(x)=g(x)的根.

2.5.2
作业设计 1.0.625

用二分法求方程的近似解

1+2 解析 由题意知 f(x0)=f( )=f(1.5),代入解析式易计算得 0.625. 2 2.②③④ 解析 由①中的图象可知,不存在一个区间(a,b),使 f(a)· f(b)<0,即①中的零点不是 变号零点,不符合二分法的定义. 3.④ 4.(1.25,1.5) 1+1.5 解析 ∵f(1)· f(1.5)<0,x1= =1.25. 2 又∵f(1.25)<0,∴f(1.25)· f(1.5)<0, 则方程的根落在区间(1.25,1.5)内. 5.1 解析 f(x)=(x-1)2(x+1)=0, x1=1,x2=-1, 故 f(x)在[0,2]上有一个零点. 6.② 1 1 解析 ∵f(x)=2x- ,f(x)由两部分组成,2x 在(1,+∞)上单调递增,- 在(1, x-1 x-1 +∞)上单调递增,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增.∵x1<x0,∴f(x1)<f(x0)=0, 又∵x2>x0,∴f(x2)>f(x0)=0. 7.③④⑤ 8.[2,2.5) 解析 令 f(x)=x3-2x-5,则 f(2)=-1<0,f(3)=16>0,

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f(2.5)=15.625-10=5.625>0. ∵f(2)· f(2.5)<0,∴下一个有根的区间为[2,2.5). 9.0.7 解析 因为 0.70 与 0.6875 精确到 0.1 的近似值都为 0.7. 10.解 (答案不唯一) 设 y1= log 1 x,y2=4-x,则 f(x)的零点个数即 y1 与 y2 的交点个数,作出两函数图象,
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如图.

由图知,y1 与 y2 在区间(0,1)内有一个交点, 当 x=4 时,y1=-2,y2=0,f(4)<0, 当 x=8 时,y1=-3,y2=-4,f(8)=1>0, ∴在(4,8)内两曲线又有一个交点. 故函数 f(x)的两零点所在的区间为(0,1),(4,8). 11.(1)证明 g(x)=-6x3-13x2-12x-3. ∵g(-1)=2>0,g(0)=-3<0, ∴g(x)在区间(-1,0)内有一个零点. (2)解 g(-0.5)>0,g(0)<0?x∈(-0.5,0); g(-0.5)>0,g(-0.25)<0?x∈(-0.5,-0.25); g(-0.5)>0,g(-0.375)<0?x∈(-0.5,-0.375); g(-0.437 5)>0,g(-0.375)<0 ?x∈(-0.437 5,-0.375). 因此,x≈-0.4 为所求函数 g(x)的零点. 12.0 解析 ∵①中 x0∈[a,b]且 f(x0)=0,∴x0 是 f(x)的一个零点,而不是(x0,0),∴①错误; ②∵函数 f(x)不一定连续,∴②错误;③方程 f(x)=0 的根一定是函数 f(x)的零点,∴③ 错误;④用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值, ∴④也错误. 13.解 第一次各 13 枚称重,选出较轻一端的 13 枚,继续称;第二次两端各 6 枚,若 平衡,则剩下的一枚为假币,否则选出较轻的 6 枚继续称; 第三次两端各 3 枚,选出较轻的 3 枚继续称; 第四次两端各 1 枚,若不平衡,可找出假币;若平衡,则剩余的是假币. ∴最多称四次.


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